教案：24.2.2圆的基本性质之二：垂径定理(一)
24.2圆的基本性质(垂径定理)
24.2圆的基本性质（垂径定理）一、教学目标（一）知识目标：使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，理解垂径定理的内容和意义。
（二）能力目标：能较熟练地运用弦、弧、直径之间的特定关系和勾股定理，解决有关问题二、教学重点、难点：垂径定理及运用三、教学过程（一）导入新课1、请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【这些图形都是轴对称图形】2、我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。
【等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆】（二）共同探究新知：1、老师要求同学们拿出你的圆形纸片，首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折。
2、然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论【圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线】3、现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。
那么折叠后，用针在半圆上刺个小孔，得到重合点A、B，如下图把它摊平，那么折痕CD是⊙O的直径，而A、B是一对对应点，如图连接AB,得到弦AB，思考弦AB与直径CD之间有什么位置关系？【CD垂直平分于弦AB，并且平分弦劣AB和优弧AB】4这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。
5、教师板书垂径定理。
【垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧】（三）例题讲解：1、例1：如图，已知在⊙O的半径是5cm，弦AB为6cm，求⊙O的的圆心到弦AB的距离。
【解题过程略】l）2 】【根据勾股定理总结半径、圆心的弦的距离及弦长三者 r2=d2+（22、例2：1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）解：AB 表示桥拱，AB 的圆心为O ，半径为R 米。
经过圆心O 作弦AB 的垂线OD ，D 为垂足，与AB 相交于点C ，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
沪科版九年级数学24.2圆的性质-垂径定理PPT课件
luzishu
-
1
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
驶向胜利 的彼岸
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
-
10
如图，用
Ａ⌒Ｂ
AB
表示主桥拱，设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
CD是直径
C
A
EB
O
AE=BE AC=BC AD=BD
老师提示:
D
垂径定理是圆中一个重要的
结论,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
-
6
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！
-
7
O
·
A
E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
●O
-
2
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
第24章圆-第九讲圆的垂径定理及运用(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到，教学不仅仅是传授知识，更重要的是引导学生学会思考、学会学习。在今后的教学中，我将更加关注学生的个体差异，尽量满足不同学生的学习需求，帮助他们建立自信，培养解决问题的能力。
五、教学反思
在上完这节课之后，我思考了很多。首先，关于圆的垂径定理的教学，我发现学生们对于定理的理解和掌握程度超出了我的预期。他们能够通过直观的图形和简单的例子，快速抓住定理的核心。特别是在实践活动中，学生们通过分组讨论和实验操作，将理论知识与实际应也注意到，在定理的证明部分，有一部分学生还是感到有些困惑。我意识到，几何证明对于他们来说是一个难点，需要更多的引导和练习。在接下来的教学中，我打算多花一些时间，通过逐步引导和反复练习，帮助学生克服这个难题。
-举例：在圆中，若AB为弦，O为圆心，OD垂直于AB，则OD平分AB，并且AD=BD，同时弧AC和弧BC相等。
2.教学难点
-理解并证明垂径定理：学生需要理解定理背后的几何逻辑，并能够通过作图和逻辑推理来证明定理的正确性。
-定理在实际问题中的灵活应用：学生在面对具体问题时，可能会难以找到合适的入手点，不知道如何将定理应用到解题过程中。
针对这些教学难点和重点，教师应采用以下策略：
-使用直观的动画或实物模型来展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
-通过典型例题的讲解，展示定理在实际问题中的应用方法，并指导学生进行步骤分解。
垂径定理优秀教案
记录与整理
每个小组安排一名记录员，负责 记录讨论过程中的重要观点和问 题。讨论结束后，由组长组织整 理讨论成果，准备向全班汇报。
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学生自主设计问题并求解
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问题设计
鼓励学生们结合垂径定理的内容，自主设计一些具有挑战 性的问题。问题可以涉及到证明、计算、应用等方面。
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物理学中的应用
在物理学中，垂径定理可用于解决与圆相关的运动问题，如圆周 运动、简谐振动等。
工程学中的应用
在工程学中，垂径定理可用于计算圆的弧长、面积等参数，以及解 决与圆相关的设计问题。
数学其他分支中的应用
垂径定理还可应用于数学的其他分支，如解析几何、三角函数等， 为解决相关问题提供新的思路和方法。
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圆的周长（或称为圆的周长）
C = 2πr，其中r为圆的半径。
02
圆的面积
A = πr^2，其中r为圆的半径。
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垂径定理的推导与证明
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垂径定理的推导过程
引入概念
首先，通过图形和实例引 入垂径和垂径中点的概念 ，为后续推导打下基础。
构建辅助线
在圆中，作过圆心与垂径 垂直的辅助线，将垂径分 为两段，并标出相应的点 。
垂径定理优秀教案
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目录
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• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾 • 垂径定理的推导与证明 • 垂径定理的应用举例 • 学生自主探究活动 • 课程总结与拓展延伸
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课程介绍与目标
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3
垂径定理的概念
《垂径定理》(北师大)参考教案
《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
【情感态度价值观目标】1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。
（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。
做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。
2．得到一条折痕CD。
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
4.成长记录：鼓励学生建立数学学习成长记录，记录学习过程中的点滴进步，培养他们的自主学习能力和反思能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示一幅圆形花园的图片，提问：“同学们，你们知道圆形花园中隐藏的数学秘密吗？”激发学生的好奇心。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解垂径定理，我们将从生活实际出发，创设富有启发性的教学情境。通过展示实际生活中含有垂径定理元素的场景，如古建筑中的拱桥、圆形花园的布局等，引导学生感受数学与生活的紧密联系。同时，利用多媒体手段，如动画、图片等，形象地呈现垂径定理的基本原理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
1.教学反思：在教学过程中，教师需密切关注学生的学习状态，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。课后，教师应认真反思教学设计、教学方法和教学效果，不断调整教学策略，以提高教学质量和效果。
2.学生评价：采用多元化的评价方式，包括自评、互评、小组评价和教师评价。评价内容涵盖知识掌握、技能运用、合作态度等方面。通过评价，激发学生的学习积极性，培养他们的自信心和自我认知能力。
3.小组交流：各小组分享自己的探究过程和结果，互相学习、借鉴，提高解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.教师总结：对本节课的重点知识进行梳理，强调垂径定理的原理、证明方法及其应用。
2.学生总结：鼓励学生发表自己对垂径定理的理解和感悟，提高他们的概括和表达能力。
3.知识体系：将垂径定理与圆的其他性质相结合，构建完整的知识体系，为后续学习打下基础。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
《垂径定理》教案
《垂径定理》教案教学目标知识目标：1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；3.掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段.能力目标：1.通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；2.向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法.情感目标：1.结合课本教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点与难点1.重点：垂径定理及其逆定理．2.难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教法与学法指导指导探索法．在老师的启发引导下,究出新知.通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣．教学准备多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课师：前面我们已学过了圆中的关于圆心角、弧、弦的定理，哪位同学能叙述一下.生：1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.练一练：如图，完成下列各题：（1）∵ »AB =¼''A B ∴∠AOB =＿＿＿＿，AB =＿＿＿＿. （2）∵ AB =A ′B ′ ∴∠AOB =＿＿＿＿，»AB =＿＿＿＿. （3）∵ ∠AOB =∠'''A B C ∴AB =__________，»AB =＿＿＿＿. 二、师生合作，探究新知师：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？生：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．师：我们是用什么方法研究了轴对称图形？生：折叠．师：今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．(说明：由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系.)下面我们一起来做一做：按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如图．师：老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)师：通过第一步，我们可以得到什么？学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．师：很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生：我发现了，AM =BM ，»»AC BC =，»»AD BD =． 师：为什么呢？生：因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析：如下图示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA =OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM =BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合， »AC 与»BC 重合，»AD 与»BD 重合．因此AM =BM ，»AC =»BC ，»AD =»BD ．师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？ 生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．师：同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA 、OB ，则OA =OB ．在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，∴AM =BM ．∴点A 和点B 关于CD 对称．∵⊙O 关于直径CD 对称，∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，»AC 与»BC 重合，»AD 与»BD 重合． ∴»AC =»BC ，»AD =»BD ． 师：为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足（1）过圆心；（2）垂直于弦，那么可推出：平分弦.即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：在⊙O 中，»»»AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎪⎩，是直径，于．下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：例：如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中»CD，点O 是»CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为»CD上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ，求这段弯路的半径．师生共析：要求弯路的半径，连结OC ，只要求出OC 的长便可以了．因为已知OE ⊥CD ，所以CF =12CD =300cm ，OF =OE -EF ，此时就得到了一个Rt △CFO ，哪位同学能口述一下如何求解？生:连结OC ，设弯路的半径为R m ，则OF =(R -90)m ，∵OE ⊥CD ，∴CF =12CD =12×600=300(m )． 据勾股定理，得OC 2=CF 2+OF 2，即R 2=3002+(R -90)2解这个方程，得R =545．∴这段弯路的半径为545m ．师：在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．下面我们来想一想如下图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．师:上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？生:它是轴对称图形，其对称轴是直径CD 所在的直线．师:很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？ 生:通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O ，作一条不是直径的弦AB ，将圆对折，使点A 与点B 重合，便得到一条折痕CD 与弦AB 交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，»AC=»BC，»AD=»BD．师：大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．生：如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA=OB，又AM=MB，即M 点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O 的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，»AC与»BC重合，»AD与»BD重合．师:在上述的探讨中，你会得出什么结论？生：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．师：为什么上述条件要强调“弦不是直径”？生：因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．师：我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．师：同学们，你能写出它的证明过程吗？生：如上图，连结OA、OB，则OA=OB．在等腰△OAB中，∵AM=MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，»AC与»BC重合，»AD与»BD重合．∴»AC=»BC，»AD=»BD．(通过这一过程培养学生思维的灵活，从而达到巩固双基，举一反三的目的．)三、随堂练习，巩固提高如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等．理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设»AF=»BF，»CF=»DF，用等量减等量差相等，得»AF-»CF=»BF-»DF，即»AC=»BD，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：（1）圆心在平行弦外，（2）在其中一条线弦上，（3）在平行弦内，但理由相同．（通过这一训练，让学生多层次，多角度认识问题，多种策略考虑问题，发展其创新意识和实践．）四、课堂小结，反思提高1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．（组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思.有困惑的学生，课后和老师交流）.五、达标检测，反馈矫正银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？[过程]:让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．如下图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE=12AB=30cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE=OF-EF=R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．(学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．)课堂小结1.对自己说，你有什么收获？2.对同学说，你有什么温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？。
垂径定理公开课教案
垂径定理公开课优秀教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生回顾圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 激发学生对垂径定理的好奇心，提高学习兴趣。
教学内容：1. 回顾圆的定义、性质及圆的基本运算。
2. 提问：你们知道什么是垂径定理吗？它有什么作用？教学方法：1. 采用提问、讨论的方式，引导学生回顾圆的知识。
2. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。
教学步骤：1. 复习圆的定义、性质及基本运算。
2. 提问：什么是垂径定理？它有什么作用？3. 引导学生讨论，总结垂径定理的含义。
4. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。
教学评价：1. 检查学生对圆的知识的掌握情况。
2. 观察学生在讨论中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探究垂径定理教学目标：1. 让学生通过实验、观察和推理，探究并证明垂径定理。
2. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 实验：用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。
2. 观察：观察垂线与圆的关系。
3. 推理：引导学生总结垂径定理的证明过程。
教学方法：1. 实验法：让学生亲自动手作垂线，观察垂线与圆的关系。
2. 引导法：引导学生通过观察、思考，总结垂径定理的证明过程。
教学步骤：1. 让学生用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。
2. 观察垂线与圆的关系，引导学生发现垂径定理的规律。
3. 引导学生总结垂径定理的证明过程。
教学评价：1. 检查学生对垂径定理的理解程度。
2. 观察学生在实验和推理过程中的表现，了解他们的动手能力和逻辑思维能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 让学生学会运用垂径定理解决实际问题。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 运用垂径定理解决实际问题。
2. 练习题：巩固垂径定理的应用。
1. 引导法：引导学生运用垂径定理解决实际问题。
2. 练习法：让学生通过练习题，巩固垂径定理的应用。
教学步骤：1. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题，展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。
引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。
通过示例，解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。
学生之间互相评价，分享解题经验和思路。
4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。
6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。
6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。
第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。
垂径定理 优秀教学设计(教案)
垂径定理重难点教学设计
A
B
O E C
D
弦（a ）半径（r ）弦心距（d ），弓高（h ） 四个量关系1、 2、 探究三：
垂径定理推论：平分非直径弦的直径_______，并且__________________。
数学语言：∵CD 是平分_____， CD 是⊙O______，
∴____=____,____=____，_____=______。
例4、已知: 在⊙O 中，弦AB 的长为24 cm ，C 为AB 中点，OC=5 cm ，求⊙O 的半径。
三、当堂训练：
1、已知圆的两条平行弦AB 、CD 长分别是 6cm 和8cm ，圆的半径为5cm ，求两条平行弦之间的距离。
2、
教师引导学生添加辅助线并分析使用方程思想，后学生到前展示答案，并简单讲解
学生复述推论内容，并总结学语言
巩固提高对定理的认
识。
直观引入定理，并上升到理论上。
能够应用。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径定理》说课稿
（1）通过探究垂径定理的证明过程，培养学生独立思考、合作交流的能力。
（2）通过解决实际问题，培养学生运用所学知识解决问题的能力。
（3）通过总结垂径定理的应用规律，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对几何学习的兴趣，培养良好的学习习惯和科学态度。
本节课所面向的学生为九年级学生，他们正处于青春期，具有以下特点：
1.年龄特征：九年级学生年龄大约在14-15岁，这个阶段的学生好奇心强，思维活跃，具备一定的抽象思维能力。
2.认知水平：经过两年的初中数学学习，学生已经具备了一定的几何知识基础，能够理解并运用一些基本的几何定理。
3.学习兴趣：学生对几何问题通常具有较强的兴趣，尤其是能够通过图形直观理解的问题。
1.师生互动：
-提问和回答：在讲解过程中，我会提出问题，鼓励学生积极回答，以检验他们对知识的理解和掌握。
-点评和反馈：在学生回答问题后，我会给予及时的点评和反馈，指导他们改进思维方法。
2.生生互动：
-小组讨论：我会将学生分成小组，让他们就垂径定理的证明和应用进行讨论，共同解决问题。
-小组报告：每个小组选派代表向全班展示讨论成果，促进学生之间的交流和合作。
（3）垂径定理的应用涉及到实际问题，需要学生能够灵活运用所学知识解决。
2.教学难点：垂径定理的证明过程和应用。
（1）垂径定理的证明过程需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力，是本节课的难点。
（2）垂径定理的应用需要学生能够将理论知识与实际问题相结合，对学生的综合能力要求较高。
二、学情分析
（一）学生特点
2.应用练习：提供一些实际问题，让学生运用垂径定理解决问题，提高他们的应用能力。
《垂径定理》教学设计教案完整版
圆的性质包括圆心到圆上任意一点 的距离都等于半径，以及圆上任意 两点间的弧长与这两点间所夹圆心 角的大小成正比。
直径、半径和弧的概念
直径是穿过圆心、连 接圆上任意两点的线 段，其长度等于两倍 的半径。
弧是圆上两点间的部 分，根据圆心角的大 小可分为优弧、劣弧 和半圆。
半径是从圆心到圆上 任意一点的线段，其 长度等于圆的半径。
分享交流探究成果
分享方式
每个小组选派一名代表， 向全班展示他们的探究 过程和成果，可以通过 口头报告、PPT演示、 板书等方式进行。
交流内容
包括问题背景、解决方 法、遇到的困难、取得 的成果以及心得体会等。
互动环节
其他小组可以提问、补 充或发表不同看法，促 进全班范围内的深入交 流和讨论。
教师点评与总结
布置适量练习题，让学生独立完 成，检验学生的学习效果。
课程引入（5分钟）
通过实例引入垂径定理的概念， 激发学生的学习兴趣。
课程总结（5分钟）
回顾本课所学内容，总结垂径定 理及其逆定理的应用方法，鼓励 学生课后继续探究相关问题。
02 基础知识回顾
圆的性质与定义
01
圆是平面上所有与定点（圆心）距 离等于定长（半径）的点的集合。
05 学生自主探究活动
分组探究垂径定理的应用
分组
将全班学生分成若干小组，每组4-6人，确保每组学生具有不同 的数学能力和背景。
探究任务
给每个小组分配一个与垂径定理相关的数学问题或应用场景，例 如求解圆的弦长、判断点与圆的位置关系等。
探究过程
学生小组内进行讨论、分析、尝试解决问题，并记录探究过程和 结果。
垂径定理的表述
在平面内，垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分 弦所对的两条弧。
垂径定理教案(2024)
23
课程重点与难点总结
课程重点
垂径定理的定义和性质
垂径定理的证明过程
2024/1/29
24
课程重点与难点总结
垂径定理在解决几何问题中的应用
课程难点
如何准确地理解和应用垂径定理
2024/1/29
25
课程重点与难点总结
在复杂几何图形中识别和应用 垂径定理
02
01
2024/1/29
垂径定理与其他几何知识的综合 应用
2024/1/29
具体来说，垂径定理指的是在平面内，如果一个直径垂直于一条弦， 那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4
课程目标与要求
01
知识目标
掌握垂径定理的内容、证明方 法及其推论。
2024/1/29
02
能力目标
能够运用垂径定理解决相关的 几何问题，如计算弦长、弧长
等。
03
情感态度与价值观
32
THANKS
2024/1/29
33
26
拓展延伸：垂径定理在其他领域的应用
物理学
在力学中，垂径定理可用于计算物体在圆形轨道上运动时的向心加速度 。
2024/1/29
在电磁学中，垂径定理可用于计算圆形电流环产生的磁场。
27
拓展延伸：垂径定理在其他领域的应用
工程学
在建筑设计中，垂径定理可用于计算圆形建筑物 的结构强度和稳定性。
在机械设计中，垂径定理可用于计算齿轮、轴承 等圆形零件的尺寸和配合精度。
弦
连接圆上任意两点的线段 。
9
圆的对称性与中心对称性
2024/1/29
圆的对称性
圆关于经过圆心的任意直线都是 对称的。
沪科版九年级下24.2圆的基本性质垂径定理课件
义门中心校 数学组
圆的相关概念的复习
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作A⌒B ,读作“弧
AB连”接. 圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
• 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).
B
m
A
●O
C
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
讲解 垂径定理的应用
例弦1AB的如长图为，8已cm知，在圆⊙心O中O到，A AB的距离为3cm，求⊙O的 半径。
E
B
.
O
解：连接OA，作OAEB于E. 1
AE=2AB=4 OA= AE2+OE2=5
再逛赵州石拱桥
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出
一、 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，圆是轴对称图形吗？若是，对 称轴是什么？ 可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
垂径定理教案
垂径定理教案垂径定理是初中数学重要的一条几何定理，它涉及到了线段、直线、垂直关系等多个概念。
下面是一个关于垂径定理的教案。
教学目标：1. 理解垂线和半径的概念；2. 掌握垂径定理的内容和应用方法；3. 能够用垂径定理解决实际问题。
教学重点：1. 垂线和半径的概念；2. 垂径定理的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备黑板、粉笔、直尺等教学工具；2. 学生预习垂径定理的概念和原理。
教学过程：一、导入（5分钟）教师出示一张圆形图案的图片，问学生对圆有什么了解？引导学生讨论圆的特征和性质。
然后，教师介绍垂线和半径的概念，并与圆相关联。
二、展示与引入（10分钟）教师在黑板上画出一个圆，并画出两条直径，引导学生思考：圆上任意一点和它的两个直径的关系是什么？进一步引出垂径定理的内容。
三、讲解与演示（10分钟）教师简明扼要地讲解垂径定理的内容和原理，并通过示意图进行演示。
同时，解释垂线和半径之间的关系以及垂心的概念。
四、练习与巩固（15分钟）1. 学生进行基本概念练习。
教师出示几个有关垂线和半径的问题，要求学生回答并解释其原理。
2. 学生进行综合应用练习。
教师给出一道实际问题，要求学生用垂径定理解答，并解释其思路和过程。
五、拓展与应用（15分钟）教师出示几个较难的问题，要求学生用垂径定理进行解答。
同时，学生也可以提出自己的问题，用垂径定理进行求解。
六、归纳与总结（5分钟）学生对垂径定理的要点进行归纳总结，并完成笔记。
七、作业布置（5分钟）布置有关垂径定理的练习题，要求学生认真完成，并把思路和过程写在纸上。
教学反思：通过本节课的教学，学生对垂线和半径的概念、垂径定理的内容和应用有了初步的了解，并能够运用垂径定理解决一些实际问题。
在教学中，教师通过图示、问题示例等方式，使学生更好地理解了垂径定理的原理和应用方法。
但是，由于时间的限制，学生对垂心等相关概念的理解还比较模糊，需要在以后的教学中加以强化。
同时，教师还需要不断提高教学方法，使学生对数学知识更加深入和全面的理解。
【教案】垂径定理
垂径定理教学目标：(1)知识与技能理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；(2)过程与方法进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；(3)情感态度与价值观通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．教学重点、难点：重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．难点：垂径定理的证明．教学学习活动设计：（一）实验活动，提出问题：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题. 通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．（二）垂径定理及证明：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB．证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B 点重合，AE和BE重合，因此，AE=BE．从而得到圆的一条重要性质．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB.为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.（三）应用和训练例1、已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝12AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．解：连结OA ，作OE ⊥AB 于E ． 则AE=EB ． ∵AB=8cm ，∴AE=4cm ． 又∵OE=3cm ，∴⊙O 的半径为5cm ．说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a 、圆半径r 、弦心距d 、弓形高h 关系：r=h+d ；r 2=d 2+(a/2)2 例2、 已知：在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．求证AC=BD ．（证明略）说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．练习1：教材练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流． 指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距. （四）小节与反思(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． （五）作业课时作业设计一、选择题．1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD(1) (2) (3) 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8BC BDC3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．D ．PO=PD 二、填空题1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．(4) (5)2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 三、综合提高题1．如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM•⊥CD ，•分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．2．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．AD BD BC BA3．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC 的度数． 答案:一、1．D 2．D 3．D 二、1．8 2．8 10 3．AB=CD三、1．AN=BM 理由：过点O 作OE ⊥CD 于点E ，则CE=DE ，且CN ∥OE ∥DM ． ∴ON=OM ，∴OA-ON=OB-OM ，∴AN=BM ．2．过O 作OF ⊥CD 于F ，如右图所示∵AE=2，EB=6，∴OE=2， ∴OF=1，连结OD，在Rt △ODF中，42=12+DF 2，，∴．3．（1）AC 、AD 在AB 的同旁，如右图所示:∵AB=16，AC=8，，∴AC=（AB ），∴∠CAB=60°， 同理可得∠DAB=30°，∴∠DAC=30°．（2）AC 、AD 在AB 的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．121212。
沪科版九年级下册24.2圆的基本性质教学设计(共六课时)
沪科版初中数学九年级第24章圆教学设计24.2圆的基本性质（共六课时）第一课时一．教学背景（一）教材分析：圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的一种特殊的曲线图形。
它是常见的几何图形之一，是初中几何中主要内容之一，《圆》这一章知识本身具有一定的高度和难度，是学生对所学几何知识的再一次综合与提升，是学生丰富对现实空间及图形的认识，建立初步空间观念的保证。
“圆的基本性质”是对已学过的旋转及轴对称等知识的巩固，也为本章即将探究的圆的性质，和圆与其他图形的位置、数量关系等知识打下基础。
（二）学情分析：九年级学生在过去的生活和学习中对圆的知识已经有了一些认识，初步体会到圆在生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面均广泛存在，这对进一步探究圆的定义及相关性质奠定了一定的基础。
但对圆的相关性质掌握较少，对知识的转化能力较差，所以重在要学生参与，主动探究，增加解决实际问题的能力。
二．教学目标1.通过观察、操作、归纳等理解圆的定义、弦、弧、直径、等圆、等弧等相关概念；探索并掌握点与圆的位置关系； 2．学会圆、弧、弦等的表示方法． 3．感受圆和实际生活的联系，培养学生用数形结合思想方法分析解决问题的能力。
三．教学重难点教学重点：1.理解与圆有关的概念并会用符号语言表示.2.理解和掌握点与圆的位置关系。
教学难点：圆的概念的理解及点与圆的位置关系。
四．教学方法分析及学习方法指导教学方法分析：充分确立学生在教学中的主体地位，贯彻师生合作，民主教学的精神，通过课前延伸，自主学习，合作探究，让学生积极参与知识回顾和技能的训练过程，通过观察和动手操作，充分调动已有知识，采用“迁移法”、“发生法”和“教师引导法”，强化学生的思考和探究意识，提高学生的思维品质。
学习方法指导：教师引导，学生在观察、操作、概括应用的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，进一步理解并运用由特殊到一般，数形结合和转化等数学思想方法解决问题。
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24.2.2 圆的基本性质之二
——垂径定理（第1课时）
教学目标：
1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；
2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；
3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。
教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件
教学过程： 一、复习引入
1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？
2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线）
3、观察并回答：
（1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？
（两条直径始终是互相平分的）
（2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？
二、新课
（一）猜想，证明，形成垂径定理 1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证） 2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。
3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：
如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦， 且AB ⊥CD ，垂足为M 。
求证：AE=BE 。
4、思考：直径CD 两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？
5、给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。
并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。
（二）分析垂径定理的条件和结论
1、引导学生说出定理的几何语言表达形式
① CD是直径、AB是弦
① AE=BE
②C D⊥③
2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。
例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？
3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
从而得到垂径定理的变式：
①经过圆心得到①平分弦
一条直线具有：
②垂直于弦②平分弦所对的劣（优）弧
（三）例题
例2 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O 的半径
分析：
答：⊙O的半径是5厘米。
在例2图形的基础上：
变式（1）即例3 已知：如图，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点。
求证：AC＝BD。
D
AC=BC
_AD_=_BD
（图1）
变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD
变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA ，OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。
变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC ，OD ，设OC=OD ， 求证：AC ＝BD 。
（图3） （图4）
三、课堂小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
垂径定理的条件和结论：
① 经过圆心 得到 ① 平分弦
一条直线具有：
② 垂直于弦 ② 平分弦所对的劣（优）弧
3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？
四、课外作业
A （图2）。