数字信号处理(理论算法与实现)第1章_1

如何 表达 p ( n)
k
(n k )
单位冲激信号（Drac 函数）





(t )dt 1
(t ) 0, t 0
x ( t ) ( t ) dt x ( )

脉冲串： p( n )
(n k )
k
直方图
2.有色噪声： Colored Noise 特点：频谱不是直线 3. 脉冲噪声 4. 工频噪声 （二）噪声与信号的关系：
x ( n) s ( n) u ( n)
加法性噪声 乘法性噪声
题去 ！除 噪 声 是 信 号 处 理 的 永 恒 话
x ( n) s ( n ) u ( n )
10
20
30
40
50
60
70
x(n)
1 0.5 0 -0.5 -1
0
10
20
30
40
50
60
70
例:
则
x ( t ) sin ( 2 0 0 t ) f 100 H z
T 0 . 01 s
则:
令
f s 400 H z
x ( n ) sin(200n / 400) sin(0.5n )
（一）噪声的种类： 频谱为一直线； 1.白噪声：
White Noise
自相关函数为

函数
各点之间互不相关
白噪声是信号处理中最常用的噪声模型！
均匀分布白噪声
1 0 .8
u(n)
0 .6 0 .4 0 .2 0 0 20 40 60 (a ) n= 1 --- 1 0 0 80 100
1500
histogram of u(n)
1.4 信号空间的基本概念
（一） 范数: Norm
|| x || max | x(t ) |, t ~ || x || max | x(n) |, n ~
|| x ||1 || x ||1

x(t ) dt
| x(n) |
n
j n
cos( n) j sin( n)
欧拉公式
u(n )

1 0
n 0 n0
则
x ( n ) x1 ( n )u ( n )
n0
a , | a | 1
n ~ 0 ~
|n|
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 70
n x (n)
x(n)
曲线 公式
例
信号
1 n 1 x1 (n) n 0 n 0

可求出： Ex1
1 n
n 1
2
6
能量信号
信号
1 n 1 x2 (n) n 0 n 0

可求出：
Ex2 1 n
n 1
不收敛，非 能量信号
或写为 p( n ) ={… , 1 , 1 , 1 , …}

冲激串：
p (t )
k
(t kT )
s

x(nTs ) x(t ) p (t ) x(t ) (t nTs )
n
将 nTs 用
n 来替换
x(nTs ) x(n)
离散 序列
x(t ) A sin(2 f t ) A sin(t )
2 || x ||2 x(t ) dt , || x ||2 | x( n) | n

2
1 2

1 2
范数的性质：
x 0, if
x 0, then
x
全零信号
x x
x y x y
三角不等式
（二） 信号空间定义
则周期
N 4
x ( n ) sin ( n ) x ( n ) sin (0 .0 1 n )
x ( n ) sin( 0 . 1 n )
2 / N
2 / N 0.01
N 200
2 / N 0.1
N 20
无周期
e e
j n
cos( n) j sin( n)
（三）两个信号之间的距离
d ( x, y ) || x y ||2 x(n) y (n) n 距离的性质：

2

1 2
0 d ( x, y ) if d ( x, y ) 0, then x ( n ), y (n ) ? d ( x, y ) d ( y , x ) d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z , y )
n 1
信号的离散表示 分解的基向量 分解的系数
1 , 2 , , N
1 , 2 , , N
由
x, 1 , 2 , , N
1 , 2 , , N
信号的分解，或信号的变换
1.2 信号的分类
1. 连续, 离散 2. 周期, 非周期 3. 功率信号, 能量信号
3. 卷积：
注 意 ： 时 刻 对 齐
·
y (n ) x1 ( n ) x2 ( n )
4. 信号的变换：Z，DFT, DCT
5. 信号时间尺度变化：
x (t )
x(t / a)
x( at )
0
t
0
t
a 1
0
t
离散信号时间尺度的伸缩
信号的抽取与插值
6. 信号的分解
N
x n n
“距离”的 应用：
d1
样本 x
if then
d2
d 2 d1 x 集合2
1 ：均值 1 ：方差矩阵
集合1
2 ：均值 2 ：方差矩阵
集合2
（四）内积
x , y x(t ) y (t )dt



x, y
如果

n
x ( n ) y ( n)
x ( n ) sin(n )
: ( , )
1 f ( ) 2
均匀分布的随机变量
5. 1-D, 2-D, 3-D 6. 单通道, 多通道
T
x ( n ) [ x1 ( n ), x2 ( n ), , xM ( n )]
1.3 噪声（Noise）
1
p (n )
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 70
指数信号
x (t ),
x (n )
5. Chirp 信号：
x (t ) e
j t 2 j n
2
x(n ) e
x(n)
1. 移位： y1 ( n ) x ( n k )
整个序 列移动
y2 (n ) x (n k )
k 3
n
nk
nk
: 当前时刻 : 过去时刻 :将来 是
x ( n 1) x ( n ) 的单位延迟
z
1
以后用
表示
2. 加, 减, 乘: x1 ( n ), x2 ( n )
y ( n ) x1 ( n ) x2 ( n )
y ( n ) x1 ( n ) x2 ( n )
1000
500
0
0
0 .2
0 .4 0 .6 (b ) b ins o f x a xis
0 .8
1
直方图
高斯分布白噪声
1 .5 1
u(n)
0 .5 0 -0 .5 -1 0 x 10
4
20
40 (a )
60
80
100
5
histogram of u(n)
4 3 2 1 0 -1 .5 -1 -0 .5 0 (b ) 0 .5 1 1 .5 2
Hale Waihona Puke Baidu
E | x (t ) | dt



2
E
| x(n) |
n
2
1 T 2 p lim | x (t ) | dt T T 2T N 1 2 p lim | x(n) | N 2 N 1 n N
4. 确定性信号, 随机信号 表格
( f : Hz; : rad/s; f s : 抽样频率, Hz )
x(n) x(t)|tnTs Asin(2 fn / fs )
定义： 2 f / f s
( rad )
x ( n ) A sin ( n )
x (t )
1 0.5 0 -0.5 -1
0
x, y
2

x, y 0
2
则
正交
2
x(n ) y (n )
n


n
x(n )

n
y (n )
许瓦兹不等式
空间的概念
线性空间： 即向量空间； 赋范线性空间：定义了范数的线性空间； 度量空间（Metric Space): 定义了距离的空间， 赋范线性空间也是度量空间； 内积空间： 定义并满足内积性质的空间；
第1章 离散时间信号与离散时间系统
一、 离散时间信号的基本概念； 二、信号的分类； 三、噪声； 四、信号空间的基本概念； 五、离散时间系统的基本概念； 六、 LSI系统输入、输出关系； 七、 LSI系统的频率响应； 八、确定性信号的相关函数
1.1离散时间信号的基本概念
（Kronecker 函数）
1 n 0 (n) 0 n 0 1 n k (n k ) 0 n k
L , l 空间： || x || 的 x 的集合
L1 , l1空间： || x ||1
的 的
x
的集合 的集合
L2 , l2 空间： || x ||2
x
x l2 : x (n ) 是能量信号

＋
整数的集合 正整数的集合 实数的集合

(
＋ )
正实数的集合 复数的集合
Hilbert空间： 完备的内积空间称为Hilbert空间