平均数、中位数、众数的区别与联系易错点剖析

统计中的常见错解示例

一、概念理解不透造成错解

例1．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表，

已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ） A. 80分 B.85分 C. 90分 D. 80分或90分

错解：根据该小组本次数学测验的平均分是85分，得70×1+80×3+90×x+100×1=85×（1+3+x+1），解得x=3.由于80分出现了3次，90分也出现了3次，所以这组数据的众数是21

（80+90）=85（分）.故本题答案选B.

错解分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据.若一组数据中，若干个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这若干个数据都是这组数据的众数.由此可见，一组数据中可以有不止一个众数.所以这组数据的众数是80分或90分，故应选D.造成这一错解的原因是：对众数的概念理解不透，并误用求平均数的方法来求众数.

正解：根据题意，如同前面所解，得x=3，所以在这组数据中80分出现了3次，90分出现了3次，所以该组数据的众数是80分或90分.故答案应选D.

例2.一组数据的方差为s 2,将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（ ）

A. 3

1

s 2 B. 2s 2 C. 9

1

s 2 D. 4s 2

错解：选A.

错解分析：错误的原因是由于对方差的概念没有深刻理解，误认为只要把原数据的方差也除以3就可得到新数据的方差.事实上，样本中各数据与样本平

均数差的平方的平均数才叫方差.通过相关计算可得，新数据的方差应是

9

1s2.

正解：设原数据为x1,x2,…,x n,其平均数为x，方差为s2.根据题意，则新数

据为1

3x1, 1

3

x2,…, 1

3

x n,其平均数为1

3

x.根据方差的定义可知，新数据的方差

为：

S2=1

m [(1

3

x1-1

3

x)2+(1

3

x2-1

3

x)2+…+(1

3

x n-1

3

x)2]= 1

9

×1

m

[( x1-x)2+( x2-x)2+…

+( x n-x)2]= 1

9

s2.所以，本题答案应选C.

例 3.在一次数学测试中，某班２５名男生的平均成绩是86分，23名女生的平均成绩是82分．求这些学生的平均成绩（结果精确到0.01分）．

错解：平均成绩为ｘ＝

282

86+＝84（分）．

错解分析：错解在求平均数时，混淆了算术平均数与加权平均数的计算公式．当数据中有些数据是重复的，要使用加权平均数公式计算．

正解：平均成绩为x-=86258223

48

⨯+⨯≈84.08（分）．

例 4.若一组数据ｘ１，ｘ２ｘ３，ｘ４，ｘ５的平均数为２，则３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，3ｘ５－２的平均数为________.

错解：数据３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，３ｘ５－２的平均数仍为２．

错解分析：设原数据ｘ１，ｘ２ｘ３，ｘ４，ｘ５…，ｘｎ的平均数为ｘ．直接代入平均数公式计算，可知新数据ｍｘ１＋ｋ，ｍｘ２＋ｋ，ｍｘ３＋ｋ，…，ｍｘｎ＋ｋ的平均数为ｍｘ＋ｋ。

正解：数据３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，３ｘ５－２的平均数＝４．

例5.求一组数据7,9,5,3,2,4,9,2,7,8的中位数.

错解：由于该组数据正中间的数是２，４，所以中位数为

24

2+=3.

错解分析：根据中位数的定义知，在求一组数据的中位数时，应先按大小顺序排列数据．然后观察数据的个数，若数据的个数为奇数，则最中间的

就是中位数；若数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数即为中位数．错解错在没有将原数据按大小顺序进行排列就进行了判断．

正解：先将这组数据按从小到大顺序排列:2,2,3,4,5,7,7,8,9,9. 正中间有两个数, 分别是5和7, 而它们的平均数是6, 所以此组数据的中位数是6.

例6.某乡镇企业生产部有技术工人15人.生产部为了合理制定工人的每月生产定额,统计了这15人某月的加工零件个数如表

(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数.

(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260,这个分析定额是否合理?为什么?

错解:(1)计算可知:平均数为260.中位数为240.众数为240.

(2)合理.因为平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,体现了这组数据的集中趋势.

错解分析：第(1)题解答正确.第(2)题解得不对, 原因在于,每月能完成260件的人一共是4人,还有11 人不能达到此定额.尽管260是平均数, 但若将其作

为生产定额,不利于调动多数工人的积极性. 若生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为240 件,比较合理, 因为240 既是中位数, 又是众数, 大多数人都能完成生产定额, 有利于调动多数工人的积极性.解略.

二、未作分类讨论造成漏解

例7.一组数据5,7,7,x 的中位数与平均数相等,求x 的值. 错解:由于平均数为4

775x

+++, 而中位数为

2

77+ =7,

所以

4

775x

+++=7，解得x=9.

错解分析：错解的错误在于习惯性地认为该组数据是从小到大排列的. 事实上,x 的大小可分三种情况:①x ≤5;②57.从而可知本题的中位数是不确定的,要分类讨论.

正解：①当x ≤5时,中位数为6,此时4775x

+++=6,解得x=5;

②当5

7x +,此时

4

775x

+++=2

7x +,解得x=5,不符合题意,舍

去；

③当x>7 时,中位数为7,此时4

775x

+++=7,解得x=9.

综上可知,x=5 或x=9.

例8.一组数据-1,0,3,5，x 的极差是7，那么x 的值可能有（ ） A. 1个 B.2个 C. 4个 D. 6个

错解：根据题意，由x-（-1）=7，解得x=6，所以x 的值有1个，故答案选A.

错解分析：根据极差的定义知，数据中最大数据与最小数据的差叫做极差.因为-1,0,3,5四个数中，最小数为-1，最大数为5，它们的差是6.而题目中的极差为7，所以x 可能是这组数据的最大数，或是最小数.错解中丢失了解.本题必须进行分类讨论才能求得正确答案.