关于几何最值问题解法的探讨
浅谈立体几何中最值问题
1 / 3立体几何中最值问题求解策略立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。
策略一 转化为求函数最值例1 已知正方形ABCD 、ABEF 所在平面互相垂直，2,M 为线段AC 上一动点，当M 在什么位置时，M 到直线BF 的距离最短？分析：本题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC 、BF 间距离。
可用代数中求最值的方法来解决。
解：作MH ⊥AB 于H,作HN ⊥BF 于N ,易知MH ⊥平面ABEF. 由三垂线定理可知，MN ⊥BF.设AM=x,则MH=AH=22222x ,HN=22HB=112x -则MN 2=MH 2+HN 2=2211(1)22x x +-=2322()433x -+所以当AM=23时，MN 6策略二 借助 均值不等式求最值例2 求半径为R 的球内接正三棱锥体积的最大值。
解：如右图所示，设正三棱锥高1O A =h, 底面边长为a 由正三棱锥性质可知1O B =33a ，又知OA=OB=R 则在Rt ABC ∆中，2223()()a R h R =-- ∴23(2)a h R h =-∴V=22133(2)34a h R h =-=3(2)22h hR h -322233h h R h ⎛⎫++- ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭=3327R (当且仅当22h R h =-，即43h R =时，取等号 ) CDEAFB MNHD AOBCO 12 / 3∴ 正三棱锥体积最大值为3327R策略三 借助最小角定理建立不等关系例3 l β∂--是直二面角，,,A B A β∈∂∈，B 不在l 上，设AB 与,β∂成的角分别是12,θθ，求 12θθ+的最大值。
解析：如图所示，过A 作L 垂线，垂足为C,易知AC β⊥过B 作L 垂线，垂足为D,易知BD ⊥∂.所以2,ABC θ∠= 1BAD θ∠=，在Rt ABD ∆中，122ABD DAB ππθ∠=-∠=-由最小角定理可知2122BAD ππθθ<-∠=-，所以122πθθ+<。
几何最值问题解题技巧
几何最值问题解题技巧
几何最值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在给定的几何形状中找到一个或多个点的最大或最小值。
解决这类问题需要一定的技巧和策略。
以下是一些解决几何最值问题的技巧：
1. 转化问题：将最值问题转化为几何问题，例如求点到直线的最短距离，可以转化为求点到直线的垂足。
2. 建立数学模型：根据问题的具体情况，建立适当的数学模型，例如利用勾股定理、三角函数等。
3. 寻找对称性：在几何图形中寻找对称性，例如利用轴对称、中心对称等性质，可以简化问题。
4. 利用基本不等式：利用基本不等式（如AM-GM不等式）可以求出某些量的最大或最小值。
5. 转化为一元函数：将问题转化为求一元函数的最大或最小值，然后利用导数等工具求解。
6. 构造辅助线：在几何图形中构造辅助线，可以改变问题的结构，从而更容易找到最值。
7. 尝试特殊情况：在某些情况下，尝试特殊情况（例如旋转、对称等）可以找到最值。
8. 逐步逼近：如果无法直接找到最值，可以尝试逐步逼近的方法，例如二分法等。
以上技巧并不是孤立的，有时候需要综合运用多种技巧来解决一个问题。
在解决几何最值问题时，需要灵活运用各种方法，不断尝试和调整，才能找到最合适的解决方案。
高中数学立体几何中的最值问题
高中数学立体几何中的最值问题在高中数学的学习中，立体几何一直是一个重点和难点，而其中的最值问题更是让许多同学感到头疼。
这类问题往往需要我们综合运用空间想象力、几何知识以及数学方法来求解。
接下来，让我们一起深入探讨立体几何中的最值问题。
一、常见类型及解法1、距离最值问题（1）两点间距离最值在立体几何中，求两点间距离的最值，常常需要我们将空间中的两点转化到同一平面内。
例如，在长方体中，求异面直线上两点的最短距离，就需要通过平移将其转化为共面直线，然后利用平面几何中的知识求解。
（2）点到直线距离最值求点到直线的距离最值时，通常要找到点在直线上的投影。
如果直线是某一平面的斜线，那么可以通过作垂线找到投影，再利用勾股定理计算距离。
（3）点到平面距离最值对于点到平面的距离最值，一般可以利用空间向量法。
先求出平面的法向量，然后通过向量的数量积来计算点到平面的距离。
2、面积最值问题（1）三角形面积最值在立体几何中，涉及三角形面积的最值问题，可能需要考虑三角形的边长关系或者角度大小。
例如，已知三角形的两边及其夹角，当夹角为直角时，面积最大。
（2）四边形面积最值对于四边形，如平行四边形，其面积可以表示为底边乘以高。
当底边长度固定时，高取得最大值时面积最大；或者当四边形的对角线相互垂直时，面积等于对角线乘积的一半。
3、体积最值问题（1）柱体体积最值对于柱体，如圆柱、棱柱，其体积等于底面积乘以高。
当底面积不变时，高最大则体积最大；反之，高最小时体积最小。
（2）锥体体积最值锥体体积为三分之一底面积乘以高。
在求解锥体体积最值时，需要关注底面积和高的变化。
二、例题分析例 1：在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱AB、BC 的中点，求点 A1 到直线 EF 的距离。
解：连接 A1C1、C1F、EF，因为 A1C1 平行于 EF，所以点 A1 到直线 EF 的距离等于点 A1 到直线 C1F 的距离。
几何最值问题解法探讨修改
几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的依据有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；方法：一般如果求一条线段的最值通常将所求线段转化到一个三角形中且另两边长度为定值（和为 定值）利用三角形三边关系确定最值或者是选择特殊位置或极端位置比如垂直，端点；如果是两条线段通常是将其中一条线段的位置进行转化。
比如做定点或动点的对称点（尤其注意一些常见的对称轴比如角平分线，菱形或正方形的对角线，矩形或正方形对边中点连线，坐标轴象限角平分线） ，全等转化等；其它的比如立体图形通过展开成平面图形解决1.如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=4，连接BD ，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 ．2. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A ．1 BC．55 D ．52 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是 .4.如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 为边AD 上一动点，AE ⊥BP ，垂足为E ，连DE ，DE 的最小值 ．5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中EF 的最小值为（ ）6.如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，D 是线段BC 上的一个动点，DE ⊥AB,DF ⊥AC 交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．7. 如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．则S 四边形AECF = ，S △AEF 的最小值是8.在Rt△POQ 中，OP=OQ=4,M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B ，△AOB 的周长最小值 。
几何中的最值问题的解决策略
几何中的最值问题的解决策略
在几何中，最值问题通常是要找到一个几何对象的最大值或最小值。
以下是几何中解决最值问题的一些常用策略：
1. 利用性质或定理：利用已知的几何性质或定理来推导出最值问题的解。
例如，利用三角形的角度和性质来证明某个角度或边长的最大值或最小值。
2. 利用几何画图法：通过绘制几何图形，并观察图形的性质来解决最值问题。
例如，通过绘制直角三角形来找到两条边长之和固定时，两条边长的乘积的最大值。
3. 利用代数方法：将几何问题转化为代数问题，并通过求导、求解方程等代数方法来求解最值问题。
例如，通过代数方法来证明一个函数的极值点是函数的最大值或最小值。
4. 利用不等式：通过建立合适的不等式关系来限制几何对象的取值范围，并通过求解不等式来解决最值问题。
例如，通过利用三角不等式来推导出三角函数的最值问题。
5. 利用等式的极值性质：利用等式的极值性质来解决最值问题。
例如，通过证明函数的取值范围，并找到函数在取值范围边界处的最大值或最小值。
综上所述，解决几何中的最值问题需要运用几何性质和定理，绘制几何图形观察性质，以及运用代数方法、不等式关系和极
值性质等。
同时，解决最值问题还需要对几何对象的性质有深刻的理解和运用。
解析几何中范围和最值问题的解法研究
．
ｌ Ｏ
’ 、
由 Ｄ在 ＡＢ上 ， ￣ ＇ ｌ ｆ Ｘ ｏ ＋２ ｋ ｘ ｏ ＝２ ， 得 知 一
所 以 一 一 １ ０
，
题意 Ｙ ， Ｙ ２ 不 同时为 ０ ，
’
． ．
上述条件等价 于 Ｙ 一 ２ ∞ｚ ； 一ｚ ； ∞（ １ ＋ ） （ ｚ ｌ ｚ ≠ｚ ２ ， ． ． 上述条件等价 于 ｚ １ ＋ ２ － － ０ ．
设 ＡＢ的中点 Ｎ 的坐标为（ Ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ， 则
Ｘ ｏ 一
】 ，
（ ｘｌ 十 ２ ） 一 一百 ， Ｙ ｏ 一 一 Ｘ Ｏ 十 ｍ・
．
、
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由Ｎ Ｅ ｌ ， 得 志＋ 一 一 寺＋ ６ ， 于 是６ 一 素＋ 优 ・
・
。 ＞一１
．
３ ２ ． ６ ＞ 熹一 １ 一 ，
。
间 的等量关 系实现 变量之 间的相互 转化 ， 从 而构造 关于 未知变量 的不等式 ， 即可求变量 的取值 范围或最 值．
这就是说 ， 可 以用 函数 的观点 、 方程 的观点 、 不 等式
的方程 分别 为 ｚ＋２ ｙ ＝２ ， 一尼 ｚ ） ．
即得 ｚ 在 Ｙ轴 上截距 的取值 范围是（ ， ＋。 。 ） ．
评析 ： 第（ ２ ） 题解 法 的 实质 是 建立 关 于纵截 距 ｂ的
函数 ， 从 而将 问题 转 化 为 求 函数 的值 域 ．
即相 应变量之间的等量关系与不等量关系． 若将 变量间的等量关系看 成 函数 关系 ， 则 可 以将 等 量关 系式转换成 函数关系式 ， 然后 可 以用求 函数 的值 域
一
、
故 ＝－ －Ｘ ｌ －
浅谈解析几何中最值问题的求法
浅谈解析几何中最值问题的求法【摘要】最值问题是解析几何中的一类重要题型，通常以圆锥曲线为载体，涉及的知识面较广，解法灵活多样，常用的方法有：函数法、基本不等式法、圆锥曲线定义转化法、数形结合法等.下面本人谈谈解析几何中的最值问题的几种常用求解方法.【关键词】解析几何;最值;求法（一）函数法把所求的最值表示为关于某个变量的函数，转化为函数（最常用的是二次函数）的最值问题进行求解.此法的关键是建立其函数关系式.例1 设f1，f2分别是椭圆x2[]4+y2=1的左、右焦点.若p是该椭圆上的一个动点，求pf1·pf2的最大值和最小值.解知a=2,b=1,c=3，所以f1(-3,0)，f2(3,0),设p（x,y)，则pf1·pf2=（-3-x,-y）,(3-x,-y)=x2+y2-3=x2+1-x2[]4-3=1[]4(3x2-8).因为x∈［-2,2］，故当x=0，即点p为椭圆短轴端点时，pf1·pf2有最小值-2；当x=±2，即点p为椭圆长轴端点时，pf1·pf2有最大值1.说明利用二次函数求最值时，首先要求出定义域，然后则要根据二次函数在其定义域内的单调性来判定.（二）基本不等式法利用基本不等式可以求函数（包括多元函数）的最值，但是要重视在利用基本不等式进行放缩的过程中，等号能否成立这一问题.例2 已知椭圆x2[]a2+y2=1(a为常数，且a>1)，向量m=(1,t)(t>0)，过点a(-a,0)且以m为方向向量的直线与椭圆交于点b，直线bo交椭圆于点c（o为坐标原点）.(1)用t表示△abc的面积s(t)；(2)若a=2，t∈1[]2,1，求s(t)的最大值.解 (1)直线ab的方程为y=t(x+a)，由y=t(x+a),x2[]a2+y2=1,得(a2t2+1)y2-2aty=0,∴y=0或y=2at[]a2t2+1,∴点b的纵坐标为y b=2at[]a2t2+1,∴s(t)=2s△oab=|oa|·y b=2a2t[]a2t2+1(t>0,a>1).(2)当a=2时，s(t)=8t[]4t2+1=8[]4t+1[]t.∵t∈1[]2,1，∴4t+1[]t≥24t·1[]t=4,当且仅当4t=1[]t,即t=1[]2时，上式等号成立.∴s(t)=8[]4t+1[]t≤8[]4=2,即s(t)的最大值等于2.说明应用基本不等式求函数的最值时，应注意使用不等式的条件、等号成立的条件等，否则容易出错.（三）定义法根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等.方法的关键是恰当应用圆锥曲线的定义.例3 已知a（3，2），b（-4，0），p是椭圆x2[]25+y2[]9=1上一点，则|pa|+|pb|的最大值为( ).a.10b.10-5c.10+5d.10+25解由椭圆方程得a=5,b=3,所以c=a2-b2=4,故b(-4,0)为椭圆的左焦点.因为32[]25+22[]9<1,所以点a在椭圆内.设椭圆的右焦点为e(4,0),根据椭圆的定义可得|pb|+|pe|=2a=10,故|pa|+|pb|=|pa|+10-|pe|=10+(|pa|-|pe|),当p,a,e三点不共线时，有|pa|-|pe|<|ae|,当p位于射线ae与椭圆的交点p1处时，有|pa|-|pe|=|ae|,当p位于射线ea与椭圆的交点p2处时，有|pa|-|pe|=-|ae|, 故有-|ae|≤|pa|-|pe|≤|ae|.而|ae|=（3-4）2+（2-0）2=5，所以|pa|+|pb|=10+（|pa|-|pe|）∈［10-5，10+5］.故选c.说明利用圆锥曲线的定义求最值，特别适合求与曲线上的点到焦点距离有关的问题，其依据就是椭圆或双曲线上的点到两焦点距离有着固定的规律，以及抛物线上任意一点到准线的距离与到焦点的距离相等.（四）平面几何法一个最值问题若能建立其几何模型，则可利用几何模型的几何特性，使问题获得解决.例4 已知点a(4,1),b(0,4)和直线l:3x－y－1=0，试在l上找一点p，使|pa|－|pb|最大，试求p点的坐标.解如图，设b关于l的对称点为b′(x′,y′),则bb′的中点x′[]2,y′+4[]2在l上，有3·x′[]2-y′+4[]2-1=0 ①.又 bb′⊥l，有y′-4[]x′=-1[]3②.由①②可得b′的坐标为(3,3),由a(4,1),b′(3,3)可得直线ab′的方程为2x+y－9=0.设ab′与l交于p点，易求得p的坐标为(2,5),在l上任取一点p′，由平面几何知识可知：|p′a|-|p′b|=|p′a|-|p′b′|≤|ab′|=|pa|-|pb|，故点p(2,5)为所求的点.说明采用平面几何中“三角形两边之差小于第三边”这一直观结论使问题获解，避免了代数形式的复杂运算.总之，最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及直线、圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系.解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.。
_中考数学--几何最值问题解法探讨
几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值： 典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A ．21B ．5C ．1455 5 D ．52例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。
例3、已知A（1，5），B（3，-1）两点，在x轴上取一点M，使AM-BM取得最大值时，则M的坐标为（）练习题：1.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_ ▲ ．2、（2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 .二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例4.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】A．1 B3 C． 2 D3＋1例5.（2012四川广元3分）如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】A.（0，0）B.（21-，21-） C.（22，22-） D.（22-，22-）例6. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．练习题：1. （2011浙江衢州3分）如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为【 】A 、1B 、2C 、3D 、42.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是BC 的中点．（1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．5.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P 从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例7. （2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．例8. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN 于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是▲。
初中几何图形中有关最值问题的解题思路分析
初中几何图形中有关最值问题的解题思路分析摘要：知名数学家哈曼威尔认为“数学是无限的科学。
”为此，当面对不计其数的数学问题时，我们不仅需要通过反复训练来培养解决问题的能力，而且必须在解决问题过程中总结经验，同时确定必要的数学方法，并得到特定的能力来解决这些问题。
知道解题方法之后，将有利于对解题环节进行科学、有效的决策从而保证解题的顺利。
因此，将最值作为出发点，可以反映出中学数学中的大多数知识点。
研究期间会涉及到许多数学思想和方法。
在探索过程中，学生的各方面能力，比如思维、实践、创新能力都可以得到提高。
关键词：最值问题；解决方法；应用引言：最值问题具有很强的应用性。
它也适用于自然学科，例如化学和物理。
我们还将以最值问题建模用作解决现实生活中问题的一种方式。
初中几何的最值问题是近几年中考的热点，这类问题涉及的知识面广，知识之间的联系紧密，题型也比较多样，灵活性强。
解决这类问题能力要求较高，也是难点，趋于考查学生用运动变化观点处理问题的能力，即考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，又考查学生运用这些核心素养处理问题的思辨能力，因此在中考具有一定难度。
一、利用垂线段最短求最值例1如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，P为线段AB上一动点，连接PC，线段PC的最小值为____.解析：当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，∴•AB•PC＝•AC•BC，∴PC＝.这是利用垂线段最短中“一动一定”的模型，即P点在AB上运动，当PC⊥AB时，垂线段最短。
变式1如图2，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，点F是AD上的动点，点E是AC上的动点，则CF+EF的最小值为__________.变式2如图3，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，点F是AD上的动点，则的最小值为__________.变式3变式2中条件不变，则13CF+5AF的最小值为__________.教学分析：变式1是“垂线段最短”中“两动一定”的问题，作点E关于AD对称点E′，如图5，当E′运动到CE′⊥AB交AD于点F，即CF+EF的值最小，转化为例1的问题.变式2将变式1中求两线段的和的最小值变式为线段与线段的倍数和的最小值，此时关键点是将转化为一条线段，构造以AF为斜边的直角三角形，过点F作AB的垂线交AB与点E（如图6），即，该问题转化为变式1的类型中“两动一定”，求CF+EF的最小值，又回归到例1，点到直线垂线段最短。
初中几何最值问题解法探究
初中几何最值问题解法探究发布时间：2022-09-30T07:04:08.838Z 来源：《中小学教育》2022年11期作者：王忠新[导读] 几何最值问题近年来颇受各地中考命题者所青睐，其向着多形式的题型发展，并有拓宽和加深的趋势。
王忠新广东省深圳市龙华中学 518109摘要：几何最值问题近年来颇受各地中考命题者所青睐，其向着多形式的题型发展，并有拓宽和加深的趋势。
这类问题涉及的知识面广，综合性强，要求解题者具有较强的数学转化能力和创新意识。
关键词：初中；几何最值问题；解法探究引言数学教育目前要求培养学生的核心素养。
在几何最值问题教学中，如何兼顾学生的答题能力和核心素养值得思考。
初中几何最值问题方法的探索要面向学生，面向学生的思维，有助于核心素养凸显重要能力的实现。
一、初中几何最值问题重要性在中学几何知识体系中，最值问题是一个重要的知识领域，它不仅涉及几何知识，而且涉及数学思维。
它不仅在课堂上清晰地体现出来，也是中考的重要组成部分。
因此，无论是学生还是老师，往往都关注几何学的最值问题。
在学生看来，学生往往不知道“最值”在哪里，所以做题时出现与其他类型问题的不同解法。
所以客观上也引起了学生解题时的心理紧张和混乱。
在解决这个问题的过程中，试图从几种方法的总结角度找到一种解决方法，从应试效果的角度起到一定的作用。
但是学生自身觉得其在学习数学技术方法，而不是完全理解几何最值的问题。
目前学生的数学核心素养，即符合学生终身发展和社会发展的必备品质、能力和精神，主要包括：严肃、认真、执着、务实的品质，数理抽象、逻辑推理、数学模型、直观想像、数学计算与统计分析的基本才能，以及科学探索、大胆创新的精神。
初中数学的核心素养是学生经过数学学习，形成对自己的基本认识、了解和处理身边事情的品质，是当人和环境之间产生互动时，所体现出来的思维方法和解决问题的策略。
其所面临的现象既可能是数学问题，也可以是非现实问题，而具有相当数理素质者既可以用数理的角度观察问题，又可以用数理的思维方式思考实际问题、以数理的思考方式解决问题。
【中考攻略】中考数学 专题8 几何最值问题解法探讨
【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A 1BC 5D ．52 【答案】A 。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。
DE=∴OD 1。
故选A 。
例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。
【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。
∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM ，∴△BME≌△BMN（SAS ）。
几何最值的解题方法
几何最值的解题方法1. 引言几何最值问题是数学中常见的一类问题，它涉及到在给定的几何形状或空间中寻找某个特定量的最大值或最小值。
在解决这类问题时，我们需要运用几何知识和数学分析方法，结合具体情境进行推理和计算。
本文将介绍几何最值问题的解题方法，并通过实例进行说明。
2. 几何最值问题的分类几何最值问题可以分为两类：平面几何中的最值问题和立体几何中的最值问题。
2.1 平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常需要求解线段、角度、面积等量的最大值或最小值。
例如，求一个给定周长的矩形的面积最大，或者求一个给定半径的圆形内接三角形的面积最大。
为了解决这类问题，我们可以使用以下方法：2.1.1 导数法当需要求解平面图形上某个量（如面积）取得极大或极小值时，我们可以通过对该量进行微分，并令导数等于零来求得临界点。
通过判断临界点处导数符号变化来确定极大或极小值。
例如，对于矩形的面积最大问题，我们可以设矩形的长为x，宽为y，则矩形的面积为S=xy。
根据周长固定的条件，可以得到2x+2y=常数。
将这个条件代入面积公式S=xy中，可以得到只含有一个变量x的函数表达式S(x)，然后对S(x)求导，并令导数等于零，即可求得临界点。
2.1.2 直观法直观法是一种通过观察和推理来解决几何最值问题的方法。
在解决一些简单的几何最值问题时，我们可以通过直观地找出一些特殊情况或者利用几何图形的性质来确定最值。
例如，在求解一个给定周长的矩形面积最大问题时，我们可以发现正方形是具有相同周长下面积最大的矩形，因而答案是正方形。
2.2 立体几何中的最值问题在立体几何中，我们常常需要求解体积、表面积等量的最大值或最小值。
例如，求一个给定表面积的圆柱体体积最大，或者求一个给定体积的圆柱体表面积最小。
为了解决这类问题，我们可以使用以下方法：2.2.1 导数法与平面几何中的导数法类似，我们可以通过对体积或表面积进行微分，并令导数等于零来求得临界点。
怎样求解立体几何最值问题
立体几何中的最值问题具有较强的综合性，对同学们的空间想象能力和运算能力有较高的要求.常见的立体几何最值问题有线段最值问题、面积最值问题以及体积最值问题.下面结合实例来谈一谈这三类立体几何最值问题的解法.一、线段最值问题立体几何中的线段最值问题比较常见，通常要求某条线段的最大值或最小值.求解立体几何中的线段最值问题，需先将该线段视为平面几何图形的一条边，然后根据平面几何图形的性质，如平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，确定该条边的最大、小值，或根据勾股定理、正余弦定理求得该线段的表达式，运用函数的性质、基本不等式求得最值.例1.如图1，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为等边三角形，PA =AB =2，点N 为BC 的中点.若点M 为△ABC 内一点，且∠MPA =30°，则MN 的最小值为____.图1图2分析：由于点A 为定点，点M 为动点，且∠MPA =30°，故AM 为定值，则可推断出点M 的轨迹为一段圆弧.将求MN 的最值问题转化为圆上的点到圆心的距离问题，根据圆的性质即可求出最值.解：如图2，连接AM ，AN ，∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥AM ，∵∠MPA =30°，PA =2，∴AM =，∴点M 的轨迹在以A 为圆心，AM 为半径的圆弧，∵△ABC 为等边三角形，AB =2，点N 为BC 的中点，∴AN =3,∴MN 的最小值为3-=.将点M 视为圆弧上的一点，将MN 看作圆内的一条线段，便可将立体几何中的线段问题转化为平面内的距离问题，利用平面几何图形的性质来解题.二、面积最值问题立体几何中的面积最值问题往往和截面有关，这类问题的求解思路为：①将已知的线段、角及其关系转化到截面上；②利用勾股定理、正余弦定理，求得在截面上的各条线段、角的大小；③根据平面几何图形的面积公式求得几何图形面积的表达式；④利用函数的性质、基本不等式等求得最值.例2.某圆锥的母线长为2，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为____.图3分析：首先作出截面△SMN ，如图3所示，然后对未知变量做出假设，设OP =x ，再根据三角形的面积公式求出截面的面积，利用二次函数的性质即可求得最值.解：由题意可知SB =2，设OP =x ()0≤x ≤3，在Rt△SOB 中，SO =SB 2-OB 2=1，在Rt△SOP 中，SP =SO 2+OP 2=1+x 2，连接OM ，如图3，则MN =2OM 2-OP 2=2()32-x2，故S △SMN =12MN ∙SP ×23-x 2=-()x 2-12+4，因此，当x =1时，△SMN 的面积最大，其值为2.三、体积最值问题立体几何中的体积最值问题较为复杂.要求得最值，需先根据题意确定变化的量，如动点、动直线、动平面，然后设出相应的参数，将其视为自变量，求出几何体体积的表达式，再根据函数的性质、基本不等式求得最值.还可以通过分析几何图形，找到几何体的体积取得最值时的情形，根据简单几何体的体积公式求得最值.方法集锦46思路探寻例3.如图4所示，在三棱锥P -ABC 中，BC ⊥平面PAC ，PA ⊥AB ，PA =AB =4，且E 为PB 的中点，AF ⊥PC 于F .当AC 变化时，三棱锥P -AEF 体积的最大值是_____.解：在三棱锥P -ABC 中，由BC ⊥平面PAC ，得BC ⊥AC ，∵AB =4，∴AC 2+BC 2=AB 2=16,∴V P -AEF =V E -PAF =13∙BC2∙S △PAF ，易知△PAF ~△PCA ，∴S △PAF S △PCA =PA 2PC 2=PA 2PA 2+AC 2，∵S △PAC =12AC ∙PA ，PA =4，∴S △PAF =32AC16+AC 2，∴V E -PAF =163∙AC ∙BC16+AC 2,设AC =a ，0<a <4，∴BC =16-a 2，∴V E -PAF =163∙，令m =a 2+16，易知16<m <32，∴V E -PAF =163∙，令x =1m ∈æèöø0,116，VE -PAF =163∙-512x 2+48x -1，由二次函数f ()x =-512x 2+48x -1性质可得，当x =364时，f ()x 有最大值18，∴VE -PAF 最大值为163×.由于AC 为动直线，故三棱锥P -AEF 体积也随之发生变化.需首先设出参数，根据已知条件和三棱锥的体积公式得到三棱锥P -AEF 的表达式，然后根据相似三角形的性质求出S △PAF 的表达式，再根据二次函数的性质求得最值.通过上述分析不难发现，大部分的立体几何最值问题都需借助平面几何知识来求解.因此求解立体几何最值问题时，可根据题意和几何图形的特点，将点、线、面及其关系转化到同一个平面内，然后利用平面几何知识列出关系式，再根据函数的性质、基本不等式求得最值.（作者单位：江苏省如皋市第一中学）求曲线的方程问题在圆锥曲线中比较常见.此类问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质以及一元二次方程的性质.求解曲线的方程问题的方法有很多种，如定义法、相关点法、消参法、数形结合法等.那么，如何选择合适的方法进行求解呢?下面结合实例加以说明.一、定义法运用定义法求解曲线的方程问题，主要是根据椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义来求解.这就要求同学们熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义，根据这些定义来建立关系式，求得曲线的方程.例1.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1()a >0,b >0的焦距为4，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点P 是双曲线在第一象限上的点，且 PF 1∙PF 2=0，|| PF 1∙|| PF 2=6，求双曲线的方程.解：由题意可得||F 1F 2=4,c =2，∵ PF 1∙ PF 2=0，∴PF 1⊥PF 2,||PF 12+||PF 22=16,由||PF 1-||PF 2=2a 可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2=4a 2，∵||PF 12+||PF 22=16，|| PF 1∙|| PF 2=6，图447。
解析几何最值问题
解析几何最值问题摘要：本文旨在介绍如何解析几何最值问题。
首先，我们将重点介绍几何最值问题的定义以及它所涉及到的基本概念。
然后，我们将介绍一些具体的解析方法，包括推理法、图形法、向量法、分类法等。
最后，我们通过几个实际示例来检验这些解析方法是否有效，并最终总结出解决几何最值问题的几点建议。
关键词：几何最值，推理法，图形法，向量法，分类法Introduction几何最值问题是几何学中的重要内容，在实际工作中也经常会遇到。
它可以简而言之，就是通过给定的条件限制，在几何图形空间中求出最小（或最大）值的问题。
本文将通过介绍几何最值问题的定义、基本概念以及几种具体的解析方法，来深入探讨解决几何最值问题的有效方法。
Definition and Basic Concepts定义：几何最值问题指的是在某几何图形中，给定限制条件，求出与该限制条件有关最小（或最大）值的问题。
为了解决几何最值问题，我们需要先了解一些基本概念，比如最低点、最高点、最小值、最大值、最小二乘法和最大拟合点等。
Methods解决几何最值问题的方法有很多，下面我们将介绍一些常见的解析方法。
推理法：推理法是通过观察几何图形中的一些规律，来判断几何最值问题的一种解析方法。
图形法：图形法是通过分析图形中的一些点，来推断几何最值问题的一种解析方法。
向量法：向量法是通过构建一组有关的向量，来推断几何最值问题的一种解析方法。
分类法：分类法是通过将几何最值问题拆分成特定类别，来推断几何最值问题的一种解析方法。
Examples下面我们将通过几个实例来检验这些解析方法的有效性。
1.理法：假设我们有一个几何图形G，它是一条直线，它的最小值就是它的最高点。
我们可以观察到，它的最高点A就是它的最小值。
2.形法：假设我们有一个几何图形H，它是一个圆，它的最小值就是圆心O处的点。
我们可以从图形中看出，它的最小值是圆心O处的点。
3.量法：假设我们有一个几何图形I，它是一个三角形，它的最小值就是0。
几何最值问题解法探讨
几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A．B．C．5D．A。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。
DE=，∴OD的最大值为：。
故选A。
例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲ 。
4。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。
∴ME=MN。
∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。
∵BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。
∴CM+MN的最小值是4。
例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲ 。
解析几何最值模型
解析几何最值模型
解析几何最值模型是一种常见的数学问题，可以通过多种方法进行求解。
下面是一些常见的解析几何最值模型及方法：
- 利用“垂线段最短”探究最值：根据切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理将问题转化为探究斜边长度的最小值，进而转化为探究直线外一点到直线上各点的最短距离，根据“垂线段最短”得到最小值。
- 利用轴对称性质和“两点之间线段最短”探究最值：对于已知条件可知的四边形，只要求出其中一条线段长度的最小值即可。
由于其中一个定点和动点在y轴上，所以可以根据“将军饮马”模型，作定点关于y轴的对称点，连接对称点和动点，此时得到的线段长度即为最小值。
- 利用“圆外一点到圆的最近（远）距离”探究最值：圆外一定点到一个定圆上动点的距离一定存在最大值，这个最大值就是定点与圆心的距离加上定圆的半径；圆外一定点到一个定圆上动点的距离也一定存在最小值，这个最小值就是定点与圆心的距离减去定圆的半径。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的方法，并进行相应的计算和推理，以求出最优解。
几何最值问题解法探讨
3.（2011河南省3分）如图，在四边形ABCD中， ∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD， ∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小 值为 ．
三、应用轴对称的性质求最值：
例1. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃 杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯 底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正 好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm．
几何最值问题解法探讨
解决平面几何最值问题的常用的方法有： （1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形 的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。
例1. （2012山东济南3分）如图∠MON=90°，矩 形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在 边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动 过程中，点D到点O的最大距离为【 A 】 A． 2 1 B． 5 C． 5 D．
4.（2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4， ∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的 动点，则DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B、4 C、 D、 5.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6， BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当 △AEF的周长最小时，则DF的长为【 】 A．1 B．2 C．3 D．4
例2. （2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中， ∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别 找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋ ∠ANM的度数为【 B 】 A．130° B．120° C．110° D．100°
例谈立体几何最值问题的几种解法
思路探寻立体几何最值问题侧重于考查同学们的空间想象、逻辑推理和数学运算等能力.常见的立体几何最值问题是求立体几何图形中某条线段、某个角、体积、表面积的最值，那么如何求解呢？一、利用函数思想在大多数情况下，我们可以把与动点有关的立体几何问题看作函数问题来求解.以其中某一个量，如动点的坐标、线段的长、角的大小为变量，建立关于该变量的关系式，并将其视为函数式，即可利用一次函数、二次函数、三角函数的性质和图象求得最值.例1.如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，若D1M⊥CP，则ΔBCM）.C.5D.2图1图2解：过M作MG⊥平面ABCD，垂足为G，作GH⊥BC于点H，连接MH，以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，可得D()0,0,0，C()0,1,0，A()1,0,0，P()1,0,12，D1(0,0,1)，B()1,1,0.设M()1,a,b，则D1M=()1,a,b-1，CP=()1,-1,12，∵D1M⊥CP，∴ D1M⋅ CP=12b-a+12=0，∴b=2a-1，∴CH=1-a，MG=2a-1，∴MH=()1-a2+()2a-12=5a2-6a+2，∴SΔBCM=12BC⋅MH=1=可知当a=35时，ΔBCM面积取最小值，为SΔBCM=12×=故选B.在建立空间直角坐标系后，设出点M的坐标，以a、b为变量，构建关于a的函数式SΔBCM=然后将5a2-6a+2看作二次函数式，对其配方，根据二次函数的性质即可知函数在a=35时取最小值.二、运用基本不等式在解答立体几何最值问题时，我们往往可以先根据立体几何中的性质、定义、定理求得目标式；然后将其进行合理的变形，采用拆项、凑系数、补一次项，去掉常数项等方式，配凑出两式的和或积，就可以直接运用基本不等式来求得最值.在运用基本不等式求最值时，要把握三个条件：一正、二定、三相等.例2.已知三棱锥P-ABC的4个顶点均在球心为O、直径为23的球面上，PA=2，且PA,PB,PC两两垂直.当PC+AB取最大值时，三棱锥O-PAB的体积为（）.A. C.6解：∵PA,PB,PC两两互相垂直，∴三棱锥P-ABC可补全为如图3所示的长方体.则长方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，∴PA2+PB2+PC2=()232=12，又PA=2，∴PB2+PC2=10，∵AB2=PA2+PB2=2+PB2，∴PC2+AB2=2+PB2+PC2=12，∴()PC+AB2-2PC⋅AB=12，又PC⋅AB≤()PC+AB22，∴12=()PC+AB2-2PC⋅AB≥()PC+AB2-2()PC+AB22=12()PC+AB2，当且仅当PC=AB时取等号，∴()PC+AB max=26，此时PC=AB=6，PB=图347思路探寻AB 2-PA 2=2，∴V O -PAB =12V C -PAB =16S △PAB ⋅PC =112PA ⋅PB⋅PC =112×2×2×6故选B.根据长方体的性质得到()PC +AB 2-2PC ⋅AB =10后，可发现该式中含有PC 、AB 的和与积，根据基本不等式a +b ≥2ab 求解，即可得到三棱锥O -PAB 的体积.三、转化法运用转化法求解立体几何最值问题有两种思路.一是将问题转化为平面几何问题.先将几何体的表面展开，或将几何体内部满足条件的某些面展开成平面；再在平面内利用平面几何知识，如正余弦定理、两点间的距离最短、三角形的两边之和大于第三边等求解，这样问题就变得十分直观，容易求解了.另一种思路是根据题意和几何图形中的点、线、面的位置关系，明确其中改变的量和不变的量及其关系，根据简单几何体的性质、表面积公式、体积公式，将问题转化为求某些线段或角的最值.再结合简单几何体的性质，几何图形中点、线、面的位置关系求得最值例3.如图4，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AB =2，D 在A 1C 上，E 是A 1B 的中点，则()AD +DE 2的最小值是（）.A.6-7 B.27 C.3+7 D.5+7图4图5解：将平面A 1BC 与平面A 1AC 翻折到同一平面上，连接AE ，如图5所示，设AE ⋂A 1C =F ．由题意可知A 1A =AC =BC =2，A 1C =A 1B =22，所以AA 21+AC 2=A 1C 2，所以AA 1⊥AC ，则∠AA 1C =45°，由余弦定理可得cos∠BA 1C =A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ⋅A 1C=8+8-42×22×22=34，则sin∠BA 1C =1-cos 2∠BA 1C =故cos∠AA 1B =cos ()∠AA 1C +∠BA 1C =cos ∠AA 1C cos ∠BA 1C -sin ∠AA 1C sin ∠BA 1C =32-148．因为E 是A 1B 的中点，所以A 1E =2，由余弦定理可得AE 2=AA 21+A 1E 2-2AA 1⋅A 1E cos∠BA 1A=4+2-2×2×2×32-148=3+7．因为D 在A 1C 上，所以AD +DE ≥AE ，当A 、E 、D 三点共线时，等号成立，则()AD +DE 2≥3+7.故选C .将平面A 1BC 与平面A 1AC 翻折到同一平面上，就可以把立体几何问题转化为平面几何问题，即可根据勾股定理和余弦定理求得A 1E 以及AE 的值.分析图形可知当A 、E 、D 三点共线时，AD +DE 取得最大值，再结合余弦定理求解即可.例4.已知球O 的表面积为60π，四面体P -ABC 内接于球O ，ΔABC 是边长为6的正三角形，平面PBC ⊥平面ABC ，则四面体P -ABC 体积的最大值为（）.A.18B.27C.32D.81解：因为球O 的表面积为60π，所以球的半径R ==15，由题意知四面体P -ABC 底面三角形的面积为定值，要使四面体的体积最大，只须使顶点P 到底面的距离最大，又因为平面PBC ⊥平面ABC ，所以当PB =PC 时，点P 到底面的距离最大，而ΔABC 外接圆的半径r =62sin60°=23，则O 到面ABC 的距离为d =R 2-r 2=3，且O 到面PBC 的距离为h =12r =3，设点P 到平面ABC 的距离为H ，则R 2=()H -d 2+h 2，解得H =33，此时体积最大值为V max =13×12×6×6×sin60°×33=27.故选B.解答本题，首先根据球的表面积求得球的半径；再根据题意和几何体的特征明确当PB =PC 时，点P 到底面的距离最大；最后根据外接圆的性质、勾股定理求出点P 到底面的距离，即可求出最大值.除了上述三种方法外，有时还可采用定义法、构造法来求立体几何最值问题的答案.总之，同学们在解题时，要先根据题意和几何体的结构特征寻找取得最值的情形，求得目标式；然后根据目标式的特征，选用合适的方法求最值.（作者单位：贵州省江口中学）48。
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几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A ．21+B ．5C ．1455 5 D ．52 【答案】A 。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。
DE=2222AD AE 112=+=+=，∴OD 的最大值为：21+。
故选A 。
例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。
【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。
∴ME=MN。
∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。
∵BC=42，∠ABC=45°，∴CE的最小值为42sin450=4。
∴CM+MN的最小值是4。
例4. （2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是▲ ．【答案】1＜AD＜4。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE。
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
∴CE=AB。
在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。
∴1＜AD＜4。
二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是▲ ．【答案】245。
【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC 时，BP 取得最小值。
设AP′=x，则由AB ＝AC ＝5得CP′=5－x ，又∵BC ＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得222222BP AB AP BP BC CP '=-''=-'，。
∴2222AB AP BC CP -'=-'，即()22225x 66x -=--，解得7x=5。
∴22757624BP 5==5255⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即BP 的最小值是245。
例11. （2012福建南平14分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合），①求CE 的最大值；②若△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】解：（1）AB=AC ；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形。
∴22AC BC 2222==⨯=。
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。
∴AD：AC=AE ：AD ，∴22AD AD AE AC 2==22AD 2= 。
当AD 最小时，AE 最小，此时AD⊥BC，AD=12BC=1。
∴AE 的最小值为 222122⨯=。
∴CE 的最大值= 22222-=。
②当AD=AE 时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。
∴点D 与B 重合，不合题意舍去。
当EA=ED 时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。
∴AD 平分∠BAC，∴AD 垂直平分BC 。
∴BD=1。
当DA=DE 时，如图2，∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE ：DC 。
∴DC=CA=2。
∴BD=BC－DC=2－2。
综上所述，当△ADE 是等腰三角形时，BD 的长的长为1或2－2。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。
【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC ；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C 得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD 。
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB 为等腰直角三角形，则22AC BC 2222==⨯=，由∠1=∠C ，∠DAE=∠CAD ，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD ，则有AD ：AC=AE ：AD ，即22AD AD AE AC 2==22AD 2=，当AD⊥BC，AD 最小，此时AE 最小，从而由CE=AC －AE 得到CE 的最大值。
②分当AD=AE ，，EA=ED ，DA=DE 三种情况讨论即可。
练习题：1. （2011浙江衢州3分）如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为【 】A、1B、2C、3D、42.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．3.（2011浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】A．13 B．5 C．3 D．24.（2011河南省3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为▲ ．5.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为▲ cm．【答案】15。
【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt△BCD 中，由勾股定理得2222BC DC BD 91215=+=+=。
∴AP＋PC=BP ＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm 。
例2. （2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为【 】A ．130° B．120° C．110° D．100°【答案】B 。
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
【分析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M ＋∠A″)即可得出答案：如图，作A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值。
作DA 延长线AH 。
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。