数值分析数学实验上机实验编程matlab源代码

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题目三：设��(��) = ��，在[-1,1]上用 Legendre 多项式作��(��)的 3 次最佳平方逼近多项式。 >> a=-1;b=1; >> n=3; >> syms x; >> fx=exp(x); >> exp(x); >> for k=3 F=x^k*fx; d(k+1)=int(F,a,b); end >> d=reshape(d,n+1,1); >> H=hilb(n+1); >Fra bibliotek a=H\d a=
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

数值分析上机作业(MATLAB)

代矩阵。根据迭代矩阵的不同算法，可分为雅各比迭代方法和高斯-赛德尔方法。（a）雅各比算法
将系数矩阵 A 分解为：A=L+U+D
Ax=b
⇔ (D + L +U)x = b ⇔ Dx = −(L + U )x + b ⇔ x = −D −1(L + U )x + D −1b x(k +1) = −D −1 (L + U ) x(k ) + D −1b
输入 A，b 和初始向量 x
迭代矩阵 BJ , BG
否
ρ(B) < 1?
按雅各比方法进行迭代
否
|| x (k+1) − x(k) ||< ε ?
按高斯-塞德尔法进行迭代
否
|| x(k+1) − x (k ) ||< ε ?
输出迭代结果
图 1 雅各布和高斯-赛德尔算法程序流程图
1.2 问题求解
按图 1 所示的程序流程，用 MATLAB 编写程序代码，具体见附录 1。解上述三个问题如下
16
-0.72723528355328
0.80813484897616
0.25249261987171
17
-0.72729617968010
0.80805513082418
0.25253982509100
18
-0.72726173942623
0.80809395746552
0.25251408253388
0.80756312717373
8
-0.72715363032573
0.80789064377799
9
-0.72718652854079

数值分析实验— MATLAB实现

数值分析实验——MATLAB实现姓名sumnat学号2013326600000班级13级应用数学2班指导老师2016年1月一、插值：拉格朗日插值 (1)1、代码： (1)2、示例： (1)二、函数逼近：最佳平方逼近 (2)1、代码： (2)2、示例： (2)三、数值积分：非反常积分的Romberg算法 (3)1、代码： (3)2、示例： (4)四、数值微分：5点法 (5)1、代码： (5)2、示例： (6)五、常微分方程：四阶龙格库塔及Adams加速法 (6)1、代码：四阶龙格库塔 (6)2、示例： (7)3、代码：Adams加速法 (7)4、示例： (8)六、方程求根：Aitken 迭代 (8)1、代码： (8)2、示例： (9)七、线性方程组直接法：三角分解 (9)1、代码： (9)2、示例： (10)八、线性方程组迭代法：Jacobi法及G-S法 (11)1、代码：Jacobi法 (11)2、示例： (12)3、代码：G-S法 (12)4、示例： (12)九、矩阵的特征值及特征向量：幂法 (13)1、代码： (13)2、示例： (13)一、插值：拉格朗日插值1、代码：function z=LGIP(x,y)%拉格朗日插值n=size(x);n=n(2);%计算点的个数syms a;u=0;%拉格朗日多项式f=1;%插值基函数for i=1:nfor j=1:nif j==if=f;elsef=f*(a-x(j))/(x(i)-x(j));endendu=u+y(i)*f;f=1;endz=expand(u);%展开2、示例：>> x=1:6;y1=x.^5+3*x.^2-6;y2=sin(x)+sqrt(x);>> f1=LGIP(x,y1)f1 =-6+3*a^2+a^5%可知多项式吻合得很好>> f2=vpa(LGIP(x,y2),3)f2 =.962e-1*a^4+1.38*a+.300*a^2+.504-.436*a^3-.616e-2*a^5二、函数逼近：最佳平方逼近1、代码：function z=BestF(u,a,b,n)%最佳平方逼近，用x^i逼近,n为逼近的次数n=n+1;syms xreal;old=findsym(u);u=subs(u,old,x); %将u中变量替换为xf=sym('');H=sym('');d=sym('');for i=1:n %生成函数系f(1,i)=x^(i-1);endfor i=1:n %生成内积Hfor j=1:nH(i,j)=int(f(1,i)*f(1,j),a,b);endendfor i=1:n %生成内积dd(i,1)=int(f(1,i)*u,a,b);enda=H\d;%解法方程Ha=dz=a'*f';2、示例：>> syms x>> f1=sqrt(x);>> f2=x^5+x^2;>> f3=exp(x);>> a=0 ;b=1;>> BestF(f1,a,b,5)ans =12/143+420/143*x-1120/143*x^2+2016/143*x^3-1800/143*x^4+56/13*x^5>> BestF(f2,a,b,5)ans =x^5+x^2>> BestF(f3,a,b,5)ans =-566826+208524*exp(1)+(16733010-6155730*exp(1))*x+(-115830120+42611520*exp(1))* x^2+(306348840-112699440*exp(1))*x^3+(-342469260+125987400*exp(1))*x^4+(136302012-5 0142708*exp(1))*x^5>> vpa(ans,3)ans =.1e4-.1e6*x-.1e7*x^3+.1e7*x^4三、数值积分：非反常积分的Romberg算法1、代码：function z=IntRom(f,a,b) %Romberg 算法e=1e-10;I{1}=linspace(a,b,2);%1等分I{2}=linspace(a,b,3);%2等分L=setdiff(I{2},I{1});%新得插值点h=b-a;T(1,1)=h/2*sum(subs(f,I{1}));T(2,1)=1/2*T(1,1)+h/2*sum(subs(f,L));T(2,2)=4/3*T(2,1)-1/3*T(1,1);k=2;while abs(T(k,k)-T(k-1,k-1))>e %精度要求k=k+1;I{k}=linspace(a,b,2^(k-1)+1);L=setdiff(I{k},I{k-1});%集合差运算，新得插值点h=h/2;T(k,1)=1/2*T(k-1,1)+h/2*sum(subs(f,L));%梯形for i=2:kT(k,i)=(4^(i-1)/(4^(i-1)-1))*T(k,i-1)-(1/(4^(i-1)-1))*T(k-1,i-1);%加速endEndz=T(k,k);2、示例：>> syms x>> f=x^4;>> a=-4;b=4;>> IntRom(f,a,b)T =1.0e+003 *2.04800000000000 0 0 01.02400000000000 0.68266666666667 0 00.57600000000000 0.42666666666667 0.40960000000000 00.45200000000000 0.41066666666667 0.40960000000000 0.40960000000000ans =4.096000000000000e+002>> vpa((int(f,a,b)-ans),3)ans =0.>> f=exp(x);>> a=0;b=1;>> IntRom(f,a,b)T =Columns 1 through 41.85914091422952 0 0 01.75393109246483 1.71886115187659 0 01.72722190455752 1.71831884192175 1.71828268792476 01.72051859216430 1.71828415469990 1.71828184221844 1.718281828794531.71884112857999 1.71828197405189 1.71828182867536 1.718281828460391.71842166031633 1.71828183756177 1.71828182846243 1.71828182845905Columns 5 through 60 00 00 00 01.71828182845908 01.71828182845905 1.71828182845905ans =1.71828182845905>> vpa((int(f,a,b)-ans),3)ans =0.四、数值微分：5点法1、代码：function z=VDiff(f,x0)%5点法求导数值e=1e-15;h=0.01;for i=0:4x(i+1)=x0+i*h;endy=subs(f,x);m(1)=(1/(12*h))*(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5));%5点导数公式h=h/2;for i=0:4x(i+1)=x0+i*h;endy=subs(f,x);m(2)=(1/(12*h))*(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5));h=h/2;for i=-0:4x(i+1)=x0+i*h;endy=subs(f,x);m(3)=(1/(12*h))*(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5));k=3;while abs(m(k)-m(k-1))<abs(m(k-1)-m(k-2)) & abs(m(k)-m(k-1))>e & (h/10)>0%控制收敛条件及精度要求及h非0h=h/2;k=k+1;for i=0:4x(i+1)=x0+i*h;endy=subs(f,x);m(k)=(1/(12*h))*(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5));ende=abs(m(k)-m(k-1));z=[m(k);e];2、示例：>> syms x>> f=exp(x);>> x0=2;>> VDiff(f,x0)ans =7.389056098949710.00000000002558五、常微分方程：四阶龙格库塔及Adams加速法1、代码：四阶龙格库塔function z=RGFour(f,y0,a,b)%4阶龙格库塔，f为函数句柄h=0.01;X=a:h:b;Y(1)=y0;n=size(X);n=n(2);for i=1:n-1K1=f([X(i) Y(i)]);K2=f([X(i)+h/2,Y(i)+h/2*K1]);K3=f([X(i)+h/2,Y(i)+h/2*K2]);K4=f([X(i)+h,Y(i)+h*K3]);Y(i+1)=Y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);endz=Y;plot(X,Y);2、示例：>> f=@(x)sin(x(1));>> y0=0;a=0;b=2*pi;>> figure(1);>> RGFour(f,y0,a,b);3、代码：Adams加速法function z=myAdams(f,y0,a,b)h=0.01;p(4)=1;c(4)=1;X=a:h:b;Y(1)=y0;n=size(X);n=n(2);for i=1:3K1=f([X(i) Y(i)]);K2=f([X(i)+h/2,Y(i)+h/2*K1]);K3=f([X(i)+h/2,Y(i)+h/2*K2]);K4=f([X(i)+h,Y(i)+h*K3]);Y(i+1)=Y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);endfor i=4:n-1p(i+1)=Y(i)+h/24*(55*f([X(i),Y(i)])-59*f([X(i-1),Y(i-1)])+37*f([X(i-2 ),Y(i-2)])-9*f([X(i-3),Y(i-3)]));m(i+1)=p(i+1)+251/720*(c(i)-p(i));m(i+1)=f([X(i+1),m(i+1)]);c(i+1)=Y(i)+h/24*(9*f([X(i+1),m(i+1)])+19*f([X(i),Y(i)])-5*f([X(i-1), Y(i-1)])+f([X(i-2),Y(i-2)]));Y(i+1)=c(i+1)-19/720*(c(i+1)-p(i+1));endz=Y;plot(X,Y);4、示例：>> f=@(x)exp(x(1));>> myAdams(f,0,0,2*pi);六、方程求根：Aitken 迭代1、代码：function z=myAitken(f,x0);%Aitken 迭代求方程的根e=1e-15;xu1=x0;xv1=subs(f,xu1);xv2=subs(f,xv1);if xv2-2*xv1+xu1==0%防止除0；xu2=xv2;elsexu2=xv2-(xv2-xv1)^2/(xv2-2*xv1+xu1);endwhile abs(xu2-xu1)>e%精度控制xu1=xu2;xv1=subs(f,xu1);xv2=subs(f,xv1);if xv2-2*xv1+xu1==0%防止除0；xu2=xv2;elsexu2=xv2-(xv2-xv1)^2/(xv2-2*xv1+xu1);%Aitken加速公式endendz=xu2;2、示例：>> syms x>> f=cos(x/2)+x;>> x0=3;>> myAitken(f,x0)ans =3.14159265358979>> f=x^2-2+x;>> x0=1;>> myAitken(f,x0)ans =1.41421356237309七、线性方程组直接法：三角分解1、代码：function z=myGuess(A,b);%线性方程组三角分解求根n=size(A);if n~=rank(A)z=['矩阵A线性相关，不符合要求'];return;endn=n(2);L=eye(n);for i=1:n-1for j=i+1:nL(j,i)=A(j,i)/A(i,i);A(j,:)=A(j,:)-L(j,i)*A(i,:);endendU=A;for i=1:n %解Ly=b，得ys=0;for j=1:i-1s=s+y(j)*L(i,j);endy(i)=(b(i)-s)/L(i,i);endfor i=n:-1:1 %解Ux=y，得xs=0;for j=i+1:ns=s+x(j)*U(i,j);endx(i)=(y(i)-s)/U(i,i);endLUz=x';2、示例：>> A=[1 2 3;2 1 5;11 17 21];>> b=[1 3 5]';>> myGuess(A,b)L =1.00000000000000 0 02.00000000000000 1.00000000000000 011.00000000000000 1.66666666666667 1.00000000000000U =1.000000000000002.000000000000003.000000000000000 -3.00000000000000 -1.000000000000000 0 -10.33333333333333ans =-0.06451612903226-0.580645161290320.74193548387097>> t=A\bt =-0.06451612903226-0.580645161290320.74193548387097八、线性方程组迭代法：Jacobi法及G-S法1、代码：Jacobi法function z=myJacobi(A,b)n=size(A);n=n(2);x{1}=zeros(n,1);%初始值e=1e-10;D=diag(diag(A));L=D-tril(A);U=D-triu(A);B=D\(L+U);f=D\b;Q=B'*B;[w,d]=eig(Q);p=max(abs(diag(d))) ; %谱半径if p>=1z=['迭代发散'];return;endx{2}=B*x{1}+f;k=2;while norm(x{k}-x{k-1})>ek=k+1;x{k}=B*x{k-1}+f;endz=x{k};2、示例：>> A=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];>> b=[20 33 36]';>> myJacobi(A,b)ans =3.000000000013402.000000000012610.999999999992373、代码：G-S法function z=myGS(A,b)n=size(A);n=n(2);x{1}=zeros(n,1);e=1e-10;D=diag(diag(A));L=D-tril(A);U=D-triu(A);B=(D-L)\U;f=(D-L)\b;Q=B'*B;[w,d]=eig(Q);p=max(abs(diag(d))) ; %谱半径if p>=1z=['迭代发散'];return;endx{2}=B*x{1}+f;k=2;while norm(x{k}-x{k-1})>ek=k+1;x{k}=B*x{k-1}+f;endz=x{k};4、示例：>> A=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];>> b=[20 33 36]';>> myGS(A,b)ans =3.000000000001351.999999999999160.99999999999954九、矩阵的特征值及特征向量：幂法1、代码：function z=myChar(A);%幂法求主特征值及对应的特征向量e=1e-10;n=size(A);n=n(2);v1=ones(n,1);u1=v1;v2=A*u1;a=min(v2);b=max(v2);if abs(a)>abs(b)c=a;elsec=b;endu2=v2/c;%规范化while norm(u2-u1)>eu1=u2;v2=A*u1;a=min(v2);b=max(v2);if abs(a)>abs(b)c=a;elsec=b;endu2=v2/c;%规范化endz{1}=c;z{2}=v2;2、示例：>> A=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];>> u=myChar(A)u =[14.00000000046956] [3x1 double]>> u{1}ans =14.00000000046956 >> u{2}ans =4.20000000191478 0.93333333198946 14.00000000046956。

数值分析实验报告Matlab仿真资料

数值分析实验报告学院：电气工程与自动化学院专业：控制理论与控制工程姓名：李亚学号：61201401622014 年 12 月24日实验一函数插值方法一、目的和意义1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。

二、实验原理1、 Lagrange 插值公式00,()n ni n k k i i k k i x x L x y x x ==≠⎛⎫-= ⎪-⎝⎭∑∏编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；三、实验要求对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。

试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。

数据如下：（1求五次Lagrange 多项式5L ()x ，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。

（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈）试构造Lagrange 多项式6，和分段三次插值多项式，计算的(1.8)f ,(6.15)f 值。

（提示：结果为(1.8)0.164762f ≈, (6.15)0.001266f ≈）四、实验过程1．进入matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序，程序如下所示，程序通过运用function 函数编写，生成.m文件。

调用时只需要在命令窗口调用y=Lagrange(A,input)就可以实现任意次数拉格朗日插值法求解。

function y=Lagrange(A,input)[a,b]=size(A);x=input;y=0;for j=1:aMj=1;Nj=1;for k=1:aif(k==j)continue;endMj=Mj*(x-A(k,1));Nj=Nj*(A(j,1)-A(k,1));endy=y+A(j,2)*Mj/Nj;end3．调试程序并运行程序；调用拉格朗日脚本文件对以上两个表格数据求解，表格一对应MATLAB向量A;表格二对应向量I。

数值分析的MATLAB程序

列主元法function lianzhuyuan(A,b)n=input('请输入n:') %选择阶数A=zeros(n,n); %系数矩阵Ab=zeros(n,1); %矩阵bX=zeros(n,1); %解Xfor i=1:nfor j=1:nA(i,j)=(1/(i+j-1)); %生成hilbert矩阵Aendb(i,1)=sum(A(i,:)); %生成矩阵bendfor i=1:n-1j=i;top=max(abs(A(i:n,j))); %列主元k=j;while abs(A(k,j))~=top %列主元所在行k=k+1;endfor z=1:n %交换主元所在行a1=A(i,z);A(i,z)=A(k,z);A(k,z)=a1;enda2=b(i,1);b(i,1)=b(k,1);b(k,1)=a2;for s=i+1:n %消去算法开始m=A(s,j)/A(i,j); %化简为上三角矩阵A(s,j)=0;for p=i+1:nA(s,p)=A(s,p)-m*A(i,p);endb(s,1)=b(s,1)-m*b(i,1);endendX(n,1)=b(n,1)/A(n,n); %回代开始for i=n-1:-1:1s=0; %初始化sfor j=i+1:ns=s+A(i,j)*X(j,1);endX(i,1)=(b(i,1)-s)/A(i,i);endX欧拉法clcclear% 欧拉法p=10; %贝塔的取值T=10; %t取值的上限y1=1; %y1的初值r1=1; %y2的初值%输入步长h的值h=input('欧拉法please input number(h=1 0.5 0.25 0.125 0.0625):h=') ; if h>1 or h<0breakendS1=0:T/h;S2=0:T/h;S3=0:T/h;S4=0:T/h;i=1;% 迭代过程for t=0:h:TY=(exp(-t));R=(1/(p-1))*exp(-t)+((p-2)/(p-1))*exp(-p*t);y=y1+h*(-y1);y1=y;r=r1+h*(y1-p*r1);r1=r;S1(i)=Y;S2(i)=R;S3(i)=y;S4(i)=r;i=i+1;endt=[0:h:T];% 红线为解析解，'x'为数值解plot(t,S1,'r',t,S3,'x')改进欧拉法clcclearp=10; %贝塔的取值T=10; %t取值的上限y1=1; %y1的初值r1=1; %y2的初值%输入步长h的值h=input('改进欧拉法please input number(h=1 0.5 0.25 0.125 0.0625):h=') ; if h>1 or h<0breakendS1=0:T/h;S2=0:T/h;S3=0:T/h;S4=0:T/h;i=1;% 迭代过程for t=0:h:TY=(exp(-t));R=(1/(p-1))*exp(-t)+((p-2)/(p-1))*exp(-p*t);k1=-y1;l1=y1-p*r1;k2=-(y1+h*k1);l2=y1+h*k1-p*(r1+h*l1);y=y1+h*(k1+k2)/2;r=r1+h*(k1+k2)/2;r1=r;y1=y;S1(i)=Y;S2(i)=R;S3(i)=y;S4(i)=r;i=i+1;endt=[0:h:T];% 红线为解析解，'x'为数值解plot(t,S1,'r',t,S3,'x')高斯-赛德尔function gaosisaideern=input('n='); %阶数tol=input('tol='); %迭代精度A=zeros(n,n);b=zeros(n,1); %生成b向量for i=1:n %给Hilbert矩阵和b向量赋值for j=1:nA(i,j)=(1/(i+j-1));endb(i,1)=sum(A(i,:));endy=zeros(n,1); %迭代解x1=zeros(n,1); %准确解for i=1:ny(i,1)=0; %迭代解赋初值x1(i,1)=1; %生成准确解endk=0;while norm(y-x1)>=tol %精度控制(采用自动步数控制) k=k+1;for i=1:n %迭代开始a1=0;a2=0;for j=1:i-1a1=a1+A(i,j)*y(j,1);endfor j=i+1:na2=a2+A(i,j)*y(j,1);endy(i,1)=(b(i,1)-a1-a2)/A(i,i);endenddisp('迭代步数k')kdisp(y) %显示yend最速下降法function gaosisaideern=input('阶数n='); %阶数tol=input('迭代精度tol='); %迭代精度eps=input('最速下降法eps=');A=zeros(n,n);b=zeros(n,1); %生成b向量for i=1:n %给Hilbert矩阵和b向量赋值for j=1:nA(i,j)=(1/(i+j-1));endb(i,1)=sum(A(i,:));endy=zeros(n,1); %迭代解x1=zeros(n,1); %准确解t=zeros(n,1);r=zeros(n,1);for i=1:ny(i,1)=0; %迭代解赋初值x1(i,1)=1; %生成准确解endr=b-A*y;while norm(r)>=eps; %先进行最速下降法求得进行赛德尔迭代的初始解yt=(r'*r)/(r'*A*r);s1=t*r;y=y+s1;r=b-A*y;endk=0;while norm(y-x1)>=tol %精度控制(采用自动步数控制)k=k+1;for i=1:n %迭代开始a1=0;a2=0;for j=1:i-1a1=a1+A(i,j)*y(j,1);endfor j=i+1:na2=a2+A(i,j)*y(j,1);endy(i,1)=(b(i,1)-a1-a2)/A(i,i);endenddisp('迭代步数k')disp(k)disp(y) %显示y四阶龙格-库塔法clcclearp=10; %贝塔的取值T=10; %t取值的上限y1=1; %y1的初值r1=1; %y2的初值%输入步长h的值h=input('四阶龙格please input number(h=1 0.5 0.25 0.125 0.0625):h=') ; if h>1 or h<0breakendS1=0:T/h;S2=0:T/h;S3=0:T/h;S4=0:T/h;i=1;% 迭代过程for t=0:h:TY=(exp(-t));R=(1/(p-1))*exp(-t)+((p-2)/(p-1))*exp(-p*t);k1=-y1;l1=y1-p*r1;k2=-(y1+h*k1/2);l2=y1+h*k1/2-p*(r1+h*l1/2);k3=-(y1+h*k2/2);l3=y1+h*k2/2-p*(r1+h*l2/2);k4=-(y1+h*k3);l4=y1+h*k3-p*(r1+h*l3);y=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;r=r1+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;r1=r;y1=y;S1(i)=Y;S2(i)=R;S3(i)=y;S4(i)=r;i=i+1;endt=[0:h:T];% 红线为解析解，'x'为数值解plot(t,S1,'r',t,S3,'x')。

matlab数学实验报告(含程序代码)

dT 0.1171828 103 H 6 0.704826 102 H 5 0.1548650 H 4 1.555868H 3 7.22847 H 2 13.56856 H 5.51977 dH
d 2T 0.7030968 103 H 5 0.3524130 101 H 4 0.6194600 H 3 4.667604 H 2 14.45694 H 13.56856 dH 2
2
1
图1 【实验准备】
优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中常遇到的一类问题。设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使结构总重最轻；公司要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券“下注” ，使收益最大，而风险最小。有些人习惯于依赖过去的经验解决面临的优化问题，认为这样切实可行，并且没有太大的风险，但是这种处理过程常常会融入决策者太多的主观因素，从而无法确认结果的最优性，也有些人习惯于作大量的试验反复比较，认为这样真实可靠，但是显然需要花费很多资金和人力，而且得到的最优结果基本上跑不出原来设计的试验范围。
T 0.167404 104 H 7 0.117471 102 H 6 0.309730 101 H 5 0.388967 H 4 2.40949 H 3 6.78428 H 2 5.51977 H 23.5000
因为所取数据点是在 0~27m 之间，同时由拟合曲线可以发现在其他区间内，确实与实际情况不符，故取区间为（0~30）。（2）利用拟合曲线求温度随深度变化最快的位置： dT d 2T 即求的最大值，进而可以转化为求二阶导数的极值即 0 ，对 dH dH 2 dT 应最大的极值点即为所求的位置。 dH

数值分析matlab代码

1、%用牛顿法求f(x)=x-sin x 的零点，e=10^(-6)disp('牛顿法');i=1;n0=180;p0=pi/3;tol=10^(-6);for i=1:n0p=p0-(p0-sin(p0))/(1-cos(p0));if abs(p-p0)<=10^(-6)disp('用牛顿法求得方程的根为')disp(p);disp('迭代次数为：')disp(i)break;endp0=p;endif i==n0&&~(abs(p-p0)<=10^(-6))disp(n0)disp('次牛顿迭代后无法求出方程的解')end2、disp('Steffensen加速');p0=pi/3;for i=1:n0p1=0.5*p0+0.5*cos(p0);p2=0.5*p1+0.5*cos(p1);p=p0-((p1-p0).^2)./(p2-2.*p1+p0);if abs(p-p0)<=10^(-6)disp('用Steffensen加速求得方程的根为')disp(p);disp('迭代次数为：')disp(i)break;endp0=p;endif i==n0&&~(abs(p-p0)<=10^(-6))disp(n0)disp('次Steffensen加速后无法求出方程的解')end1、%使用二分法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('二分法')a=0.2;b=0.26;tol=0.0001;n0=10;fa=600*(a.^4)-550*(a.^3)+200*(a.^2)-20*a-1;for i=1:n0p=(a+b)/2;fp=600*(p.^4)-550*(p.^3)+200*(p.^2)-20*p-1;if fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)disp('用二分法求得方程的根p=')disp(p)disp('二分迭代次数为：')disp(i)break;endif fa*fp>0a=p;else b=p;endendif i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)<tol))disp(n0)disp('次二分迭代后没有求出方程的根')end2、%使用牛顿法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('牛顿法')p0=0.3;for i=1:n0p=p0-(600*(p0.^4)-550*(p0.^3)+200*(p0.^2)-20*p0-1)./(2400*(p0.^3) -1650*p0.^2+400*p0-20);if(abs(p-p0)<tol)disp('用牛顿法求得方程的根p=')disp(p)disp('牛顿迭代次数为：')disp(i)break;endp0=p;endif i==n0&&~(abs(p-p0)<tol)disp(n0)disp('次牛顿迭代后没有求出方程的根')end3、%使用割线法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('割线法')p0=0.2;p1=0.25;q0=600*(p0.^4)-550*(p0.^3)+200*(p0.^2)-20*p0-1;q1=600*(p1.^4)-550*(p1.^3)+200*(p1.^2)-20*p1-1;for i=2:n0p=p1-q1*(p1-p0)/(q1-q0);if abs(p-p1)<toldisp('用割线法求得方程的根p=')disp(p)disp('割线法迭代次数为：')disp(i)break;endp0=p1;q0=q1;pp=p1;p1=p;q1=600*(p.^4)-550*(p.^3)+200*(p.^2)-20*p-1;endif i==n0&&~(abs(p-pp)<tol)disp(n0)disp('次割线法迭代后没有求出方程的根')end4、%使用试位法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('试位法')p0=0.2;p1=0.25;q0=600*(p0.^4)-550*(p0.^3)+200*(p0.^2)-20*p0-1;q1=600*(p1.^4)-550*(p1.^3)+200*(p1.^2)-20*p1-1;for i=2:n0p=p1-q1*(p1-p0)/(q1-q0);if abs(p-p1)<toldisp('用试位法求得方程的根p=')disp(p)disp('试位法迭代次数为：')disp(i)break;endq=600*(p.^4)-550*(p.^3)+200*(p.^2)-20*p-1;if q*q1<0p0=p1;q0=q1;endpp=p1;p1=p;q1=q;endif i==n0&&~(abs(p-pp)<tol)disp(n0)disp('次试位法迭代后没有求出方程的根')end5、%使用muller方法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('muller法')x0=0.1;x1=0.2;x2=0.25;h1=x1-x0;h2=x2-x1;d1=((600*(x1.^4)-550*(x1.^3)+200*(x1.^2)-20*x1-1)-(600*(x0.^4)-55 0*(x0.^3)+200*(x0.^2)-20*x0-1))/h1;d2=((600*(x2.^4)-550*(x2.^3)+200*(x2.^2)-20*x2-1)-(600*(x1.^4)-55 0*(x1.^3)+200*(x1.^2)-20*x1-1))/h2;d=(d2-d1)/(h2+h1);for i=3:n0b=d2+h2*d;D=(b*b-4*(600*(x2.^4)-550*(x2.^3)+200*(x2.^2)-20*x2-1)*d)^0.5;if(abs(d-D)<abs(d+D))E=b+D;else E=b-D;endh=-2*(600*(x2.^4)-550*(x2.^3)+200*(x2.^2)-20*x2-1)/E;p=x2+h;if abs(h)<toldisp('用muller方法求得方程的根p=')disp(p)disp('muller方法迭代次数为：')disp(i)break;endx0=x1;x1=x2;x2=p;h1=x1-x0;h2=x2-x1;d1=((600*(x1.^4)-550*(x1.^3)+200*(x1.^2)-20*x1-1)-(600*(x0.^4)-55 0*(x0.^3)+200*(x0.^2)-20*x0-1))/h1;d2=((600*(x2.^4)-550*(x2.^3)+200*(x2.^2)-20*x2-1)-(600*(x1.^4)-55 0*(x1.^3)+200*(x1.^2)-20*x1-1))/h2;d=(d2-d1)/(h2+h1);endif i==n0%条件有待商榷？！disp(n0)disp('次muller方法迭代后没有求出方程的根')end1、%观察Lagrange插值的Runge现象x=-1:0.05:1;y=1./(1+25.*x.*x);plot(x,y),grid on;n=5;x=-1:2/n:1;y=1./(1+25.*x.*x);for i=1:n+1q(1,i)=y(i);endh=0.05;z=-1:h:1;for k=1:2/h+1for i=2:n+1for j=2:iq(j,i)=((z(k)-x(i-j+1))*q(j-1,i)-(z(k)-x(i))*q(j-1,i-1))/(x(i)-x( i-j+1));endendw(k)=q(n+1,n+1);endhold on, plot(z,w,'r'),grid on;%**** n=10 ****n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+25.*x.*x);for i=1:n+1q(1,i)=y(i);endh=0.05;z=-1:h:1;for k=1:2/h+1for i=2:n+1for j=2:iq(j,i)=((z(k)-x(i-j+1))*q(j-1,i)-(z(k)-x(i))*q(j-1,i-1))/(x(i)-x( i-j+1));endendw(k)=q(n+1,n+1);endhold on,plot(z,w,'k'),grid on;legend ('原始图','n=5','n=10');2、%固支样条插植%********第一段********x=[1,2,5,6,7,8,10,13,17];a=[3,3.7,3.9,4.2,5.7,6.6,7.1,6.7,4.5];n=numel(a);for i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endA=[2*h(1),h(1),0,0,0,0,0,0,0;h(1),2*(h(1)+h(2)),h(2),0,0,0,0,0,0;0,h(2),2*(h(2)+h(3)),h(3),0,0,0,0,0;0,0,h(3),2*(h(3)+h(4)),h(4),0,0,0,0;0,0,0,h(4),2*(h(4)+h(5)),h(5),0,0,0;0,0,0,0,h(5),2*(h(5)+h(6)),h(6),0,0;0,0,0,0,0,h(6),2*(h(6)+h(7)),h(7),0;0,0,0,0,0,0,h(7),2*(h(7)+h(8)),h(8);0,0,0,0,0,0,0,h(8),2*h(8)];e=[3*(a(2)-a(1))/h(1)-3;3*(a(3)-a(2))/h(2)-3*(a(2)-a(1))/h(1);3*(a(4)-a(3))/h(3)-3*(a(3)-a(2))/h(2);3*(a(5)-a(4))/h(4)-3*(a(4)-a(3))/h(3);3*(a(6)-a(5))/h(5)-3*(a(5)-a(4))/h(4);3*(a(7)-a(6))/h(6)-3*(a(6)-a(5))/h(5);3*(a(8)-a(7))/h(7)-3*(a(7)-a(6))/h(6);3*(a(9)-a(8))/h(8)-3*(a(8)-a(7))/h(7);3*(-0.67)-3*(a(9)-a(8))/h(8)];c=inv(A)*e;for i=1:8b(i)=(a(i+1)-a(i))/h(i)-h(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3;d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*h(i));endfor i=1:8z=x(i):0.05:x(i+1);w=a(i)+b(i).*(z-x(i))+c(i).*(z-x(i)).^2+d(i).*(z-x(i)).^3; grid on, plot(z,w),hold on;end%********第二段********x=[17,20,23,24,25,27,27.7];a=[4.5,7,6.1,5.6,5.8,5.2,4.1];for i=1:6h(i)=x(i+1)-x(i);endA=[2*h(1),h(1),0,0,0,0,0;h(1),2*(h(1)+h(2)),h(2),0,0,0,0;0,h(2),2*(h(2)+h(3)),h(3),0,0,0;0,0,h(3),2*(h(3)+h(4)),h(4),0,0;0,0,0,h(4),2*(h(4)+h(5)),h(5),0;0,0,0,0,h(5),2*(h(5)+h(6)),h(6)0,0,0,0,0,h(6),2*h(6)];e=[3*(a(2)-a(1))/h(1)-3*3;3*(a(3)-a(2))/h(2)-3*(a(2)-a(1))/h(1);3*(a(4)-a(3))/h(3)-3*(a(3)-a(2))/h(2);3*(a(5)-a(4))/h(4)-3*(a(4)-a(3))/h(3);3*(a(6)-a(5))/h(5)-3*(a(5)-a(4))/h(4);3*(a(7)-a(6))/h(6)-3*(a(6)-a(5))/h(5);3*(-4)-3*(a(7)-a(6))/h(6)];c=inv(A)*e;for i=1:6b(i)=(a(i+1)-a(i))/h(i)-h(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3;d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*h(i));endfor i=1:6z=x(i):0.05:x(i+1);w=a(i)+b(i).*(z-x(i))+c(i).*(z-x(i)).^2+d(i).*(z-x(i)).^3; grid on, plot(z,w),hold on;end%********第三段********x=[27.7,28,29,30];a=[4.1,4.3,4.1,3];for i=1:3h(i)=x(i+1)-x(i);endA=[2*h(1),h(1),0,0;h(1),2*(h(1)+h(2)),h(2),0;0,h(2),2*(h(2)+h(3)),h(3);0,0,h(3),2*h(3)];e=[3*(a(2)-a(1))/h(1)-3*0.33;3*(a(3)-a(2))/h(2)-3*(a(2)-a(1))/h(1);3*(a(4)-a(3))/h(3)-3*(a(3)-a(2))/h(2);3*(-1.5)-3*(a(4)-a(3))/h(3)];c=inv(A)*e;for i=1:3b(i)=(a(i+1)-a(i))/h(i)-h(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3;d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*h(i));endfor i=1:3z=x(i):0.05:x(i+1);w=a(i)+b(i).*(z-x(i))+c(i).*(z-x(i)).^2+d(i).*(z-x(i)).^3; grid on, plot(z,w),hold on;endgrid on,title('注：横纵坐标的比例不一样！！！');1、%用不动点迭代法求方程 x-e^x+4=0的正根与负根，误差限是10^-6%disp('不动点迭代法');n0=100;p0=-5;for i=1:n0p=exp(p0)-4;if abs(p-p0)<=10^(-6)if p<0disp('|p-p0|=')disp(abs(p-p0))disp('不动点迭代法求得方程的负根为:')disp(p);break;elsedisp('不动点迭代法无法求出方程的负根.')endelsep0=p;endendif i==n0disp(n0)disp('次不动点迭代后无法求出方程的负根')endp1=1.7;for i=1:n0pp=exp(p1)-4;if abs(pp-p1)<=10^(-6)if pp>0disp('|p-p1|=')disp(abs(pp-p1))disp('用不动点迭代法求得方程的正根为')disp(pp);elsedisp('用不动点迭代法无法求出方程的正根');endbreak;elsep1=pp;endendif i==n0disp(n0)disp('次不动点迭代后无法求出方程的正根')end2、%用牛顿法求方程 x-e^x+4=0的正根与负根，误差限是10^-6 disp('牛顿法')n0=80;p0=1;for i=1:n0p=p0-(p0-exp(p0)+4)/(1-exp(p0));if abs(p-p0)<=10^(-6)disp('|p-p0|=')disp(abs(p-p0))disp('用牛顿法求得方程的正根为')disp(p);break;elsep0=p;endendif i==n0disp(n0)disp('次牛顿迭代后无法求出方程的解')endp1=-3;for i=1:n0p=p1-(p1-exp(p1)+4)/(1-exp(p1));if abs(p-p1)<=10^(-6)disp('|p-p1|=')disp(abs(p-p1))disp('用牛顿法求得方程的负根为')disp(p);break;elsep1=p;endendif i==n0disp(n0)disp('次牛顿迭代后无法求出方程的解')end1、使用欧拉法、改进欧拉法和四阶R-K方法求下列微分方程的解。

数值分析MATLAB代码

% LU分解% 算例A=[1 2 3;1 3 5;1 3 6]，b=[2 3 4]'function lufun(A,b)n=length(A);L=zeros(n);U=zeros(n);y=ones(n,1);x=ones(n,1);for i=1:nL(i,i)=1;endfor i=1:nfor j=1:nif i>jU(i,j)=0;L(j,i)=0;endendendfor i=1:nfor j=i:nU(i,j)=A(i,j);endfor j=i+1:nL(j,i)=A(j,i)/U(i,i);endfor j=i+1:nfor k=i+1:nA(j,k)=A(j,k)-L(j,i)*U(i,k);endendendfor k=1:ns=0;for j=1:k-1s=s+L(k,j)*y(j);endy(k)=b(k)-s;endfor k=n:(-1):1s=0;for j=k+1:ns=s+U(k,j)*x(j);endx(k)=(y(k)-s)/U(k,k);endL,U,y,x % 顺序Gauss消去法解线性方程组function x=gauss(A,b)n=length(b);for k=1:(n-1)m=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k);A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1);endx=zeros(n,1);x(n)=b(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k)end% Jacobi-迭代法% 系数矩阵，A=[5 2 1;-1 4 2;2 -3 10]% 常数向量，b=[-12;20;3]% 初值向量，x0=[-3;1;1]function Jacfun(A,b,x0)D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);F=D\b;format longn=1x=B*x0+Fwhile norm(x-x0)>=1e-3x0=x;n=n+1x=B*x0+Fif n>=500breakendend% SOR迭代法% A=[4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4];% b=[1;4;-3];% x0=[0 0 0]';function sorfun(A,b,x0)w=0.8;D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);n=1x=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U)*x0+w*inv(D-w*L)*bwhile norm(x-x0)>=1e-6x0=x;n=n+1x=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U)*x0+w*inv(D-w*L)*bif n>=500breakendend% GS-迭代法% 系数矩阵，A=[5 2 1;-1 4 2;2 -3 10]% 常数向量，b=[-12;20;3]% 初值向量，x0=[-3;1;1]function gsfun(A,b,x0)D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)\U;F=(D-L)\b;n=1x=B*x0+Fwhile norm(x-x0)>=1e-9x0=x;n=n+1x=B*x0+Fif n>=500breakendend% 乘幂法求主特征值特征向量% v特征值,u特征向量% m----最大特征值% 算例A=[-12 3 3;3 1 -2;3 -2 7]function cmfun(A)k=length(A);n=0;m1=0;u=ones(k,1);while n<=500n=n+1v=A*ufor i=1:n[m,i]=max(abs(v));endm=v(i);u=v/mif abs(m-m1)<1e-8breakendm1=m;end% QR分解% 算例A=[1 2 2;2 2/3 -1;2 1/3 -1]，求A的QR分解function qrfun(A)n=length(A);A0=A;s=0;for j=1:n-1for i=j:ns=s+A(i,j)^2;enda=sign(A(j,j))*sqrt(s);b=A(j,j)+a;u=A(j:n,j);u(1)=b;t=length(u);R1=eye(t)-u*u'/(a*b);H=blkdiag(eye(n-t),R1);A1=H*A;A=A1;s=0;endR=AQ=A0/REnd 用雅可比法求特征值和特征向量算例A=[1 1 0.5;1 1 0.25;0.5 0.25 2];function jcbfun(A)n=length(A);Q0=eye(n);I=1;J=1;for k=1:400B=triu(A,1)+tril(A,-1);% 求矩阵B中绝对值最大的元素及所在的行和列a=0;for i=1:nfor j=1:nif a<abs(B(i,j))I=i;J=j;a=abs(B(i,j));endendendI;J;a=B(I,J);% 求平面旋转变换矩阵的相位角tif A(I,I)==A(J,J)t=pi*sign(A(I,J))/4;elsed=-2*A(I,J)/(A(I,I)-A(J,J));t=atan(d)/2;end% 求平面旋转矩阵PP=eye(n);P(I,I)=cos( t);P(I,J)=sin( t);P(J,I)=-sin( t);P(J,J)=cos( t);kA1=P'*A*P;A=A1Q=Q0*PQ0=Q;B=triu(A,1)+tril(A,-1);if norm(B,'fro')<=1e-9breakendend% A为实对称矩阵时，则可约化为三对角矩阵% 算例A=[1 2 1 2;2 2 -1 1;1 -1 1 1;2 1 1 1];function sdjfun(A)a1=sign(A(2,1))*sqrt(A(2,1)^2+A(3,1)^2+A(4,1)^2);b1=A(2,1)+a1;u1=[b1;A(3,1);A(4,1)];R1=eye(3)-u1*u1'/(a1*b1);H1=blkdiag(eye(1),R1)A1=H1*A*H1A=A1;a2=sign(A(3,2))*sqrt(A(3,2)^2+A(4,2)^2);b2=A(3,2)+a2;u2=[b2;A(4,2)];R2=eye(2)-u2*u2'/(a2*b2);H2=blkdiag(eye(2),R2)A2=H2*A*H2H=H2*H1A=A2% 拉格朗日插值函数% 算例x=[-2 -0.8 0.4 1.2];y=[1 1.4 1.8 2.0];function lagfun(x,y)syms t;n=length(x);s=0;for i=1:nla=y(i);for j=1:nif j~=ila=la*(t-x(j))/(x(i)-x(j));endends=s+la;simplify(s);ends=subs(s,'t','x');s=collect(s);s=vpa(s,6)% 牛顿插值法% 算例x=[-1 0 1 2 3];y=[-2 1 3 4 8]; function newton(x,y)syms p;s=y(1);t=0;d=1;n=length(x);for i=1:n-1for j=i+1:nt(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endtemp(i)=t(i+1);d=d*(p-x(i));s=s+temp(i)*d;y=t;ends=subs(s,'p','x');y=simplify(s)龙贝格求积function romberg(a,b,f)tol=0.5e-5;n=1;h=b-a;delt=1;x=a;k=0;R=zeros(4,4);R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2;while delt>tolk=k+1h=h/2;s=0;for j=1:nx=a+h*(2*j-1);s=s+f(x);endR(k+1,1)=R(k,1)/2+h*s;n=2*n;for i=1:kR(k+1,i+1)=((4*i)*R(k+1,i)-R(k,i))/(4*i-1);enddelt=abs(R(k+1,k)-R(k+1,k+1)); s=R(k+1,k+1)endfunction z=f(x)z=@(x)4/(1+x^2); % 三次样条插值（第一类边界条件）% X为插值点，Y为插值点对应的函数值，dY为插值点两端点对应的一阶导数值% 算例X=[1 2 3];Y=[2 4 2];dY=[1 -1];function spline3(X,Y,dY)N=size(X,2);m=5;s0=dY(1); sN=dY(2);h=zeros(1,N-1);for i=1:N-1h(1,i)=X(i+1)-X(i);endd(1,1)=6*((Y(1,2)-Y(1,1))/h(1,1)-s0)/h(1,1);d(N,1)=6*(sN-(Y(1,N)-Y(1,N-1))/h(1,N-1))/h(1,N-1);for i=2:N-1d(i,1)=6*((Y(1,i+1)-Y(1,i))/h(1,i)-(Y(1,i)-Y(1,i-1))/h(1,i-1))/(h(1,i)+h(1,i-1));endmu=zeros(1,N-1);md=zeros(1,N-1);md(1,N-1)=1;mu(1,1)=1;for i=1:N-2u=h(1,i+1)/(h(1,i)+h(1,i+1));mu(1,i+1)=u;md(1,i)=1-u;endp(1,1)=2;q(1,1)=mu(1,1)/2;for i=2:N-1p(1,i)=2-md(1,i-1)*q(1,i-1);q(1,i)=mu(1,i)/p(1,i);endp(1,N)=2-md(1,N-1)*q(1,N-1);y=zeros(1,N);y(1,1)=d(1)/2;for i=2:Ny(1,i)=(d(i)-md(1,i-1)*y(1,i-1))/p(1,i);endx=zeros(1,N);x(1,N)=y(1,N);for i=N-1:-1:1x(1,i)=y(1,i)-q(1,i)*x(1,i+1);endM=x;syms t;digits (m);for i=1:N-1pp(i)=M(i)*(X(i+1)-t)^3/(6*h(i))+M(i+1)*(t-X(i))^3/(6*h(i))+(Y(i)-M(i)*h(i)^2/6)*(X(i+1)-t)/h(i)+(Y(i+1)-M(i+1)*h(i)^2/6)*(t-X(i))/h(i)pp(i)=simplify(pp(i));f=sym2poly(pp(i));if length(f)~=4tt=f(1:3); f(1:4)=0; f(2:4)=tt;ends=sym(f,'d');s=poly2sym(s,'t');fprintf('在区间[%f,%f]内',X(i),X(i+1));send% 四级四阶龙格库塔方法% 算例y'=1-y ,y(0)=0（0<=x<=1）,步长h=0.1% Runge_Kutta( 0, 0, 0.1, 20)function Runge_Kutta(x0, y0, h, n)x=zeros(n+1,1);y=zeros(n+1,1);x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:nx(i+1)=x(i)+h;k1=h*f(x(i),y(i));k2=h*f(x(i)+1/2*h,y(i)+1/2*k1);k3=h*f(x(i)+1/2*h,y(i)+1/2*k2);k4=h*f(x(i)+h,y(i)+k3);y(i+1)=y(i)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);endT=[x,y]% 显式欧拉法function E=Euler(x0,y0,xn,n)x=zeros(n+1,1);y=zeros(n+1,1);x(1)=x0;y(1)=y0;h=(xn-x0)/n;for i=1:nx(i+1)=x(i)+h;y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));endT=[x,y]。

数值分析与MATLAB课程实验程序

第二次实验内容：首先下载10.22.74.73网站下数值计算课程“实验内容”栏目里的第二章进行学习和实践（其中“二、矩阵的特殊参数运算；三、矩阵的分解；四、矩阵中的一些特殊处理函数”部分暂时不看），然后完成：1）定义-4pi<=x<=4pi ，y1=sinx/x, y2=2sin(x+0.4pi)/(x+0.4pi)，在同一坐标系中画出上面两条曲线，两条曲线用不同的颜色，不同的连线标记，不同的顶点标记来加以区分。

（提示：用plot 指令，可用help plot 学习MATLAB 的在线帮助）2）输入如下两个矩阵 A 和 B ，对矩阵 A 和 B 作关系运算，标识出两矩阵中元素相等的位置，元素值不等的位置，并标识出矩阵 A 中所有小于 0 的元素。

3) 对上面的矩阵 A 和 B 作逻辑“ 或”、“ 与”运算，并标识出矩阵 B 中所有大于 2并小于 5 的元素位置。

4) 利用矩阵的寻址方式，取出上面矩阵A 中第二行元素作为新矩阵的第一列，B 矩阵的第3列元素作为为新矩阵的第二列元素，取出矩阵A 的第一行，第三行元素作为新矩阵的第三列和第四列元素，1. x=-4*pi:0.1:4*pi; y1=sin(x)./x;y2=2*sin(x+0.4*pi)./(x+0.4*pi);//数组所以是用点除。

应该是数组和数组的运算用点 plot(x,y1,'-black')//作函数y1黑色- hold on//hold 住plot(x,y2,'red+') //作函数y2红色+ title('曲线')//标注 xlabel('x') ylabel('y')hold off//不用hold 了 2. A=[1 2 3;-2 1 3;-3 2 1]; B=[1 4 3;3 2 8;5 2 3];A==B//这是逻辑运算，符合1，不符合0 A~=B A<03. A=[1 2 3;-2 1 3;-3 2 1]; B=[1 4 3;3 2 8;5 2 3]; A|B A&B(B>2)&(B<5)4.A=[1 2 3;-2 1 3;-3 2 1]; B=[1 4 3;3 2 8;5 2 3];C=[(A(2,:))' B(:,3) (A(1,:))' (A(3,:))'] 运行结果：123213321A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦143328523B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.2. ans =1 0 1 0 0 0 0 1 0 ans =0 1 0 1 1 1 1 0 1 ans =0 0 0 1 0 0 1 0 0 3. ans =1 1 1 1 1 1 1 1 1 ans =1 1 1 1 1 1 1 1 1 ans =0 1 1 1 0 0 0 0 1 4. C =-2 3 1 -3 1 8 2 2 3 3 3 1 第二次实验内容：对于非线性方程2()sin 102x x π---=（1）编写M –File 函数用二分法求出其在区间［0，0.5］和［2.5，3］内的根，要求函数的最大循环次次为1000次，两个精度均为10-4。

《数值分析》上机实验报告

数值分析上机实验报告《数值分析》上机实验报告1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。

1.1 理论依据：设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件{}αϕ上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号在区间],[0)(3,2,1,0,)(')()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20)()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f ab c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==-==∈≤-≠>+令)9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>⋅''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f故以1.9为起点⎪⎩⎪⎨⎧='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。

当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。

本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。

1.2 C语言程序原代码：#include<stdio.h>#include<math.h>main(){double x2,f,f1;double x1=1.9; //取初值为1.9do{x2=x1;f=pow(x2,7)-28*pow(x2,4)+14;f1=7*pow(x2,6)-4*28*pow(x2,3);x1=x2-f/f1;}while(fabs(x1-x2)>=0.00001||x1<0.1); //限制循环次数printf("计算结果：x=%f\n",x1);}1.3 运行结果：1.4 MATLAB上机程序function y=Newton(f,df,x0,eps,M)d=0;for k=1:Mif feval(df,x0)==0d=2;breakelsex1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);ende=abs(x1-x0);x0=x1;if e<=eps&&abs(feval(f,x1))<=epsd=1;breakendendif d==1y=x1;elseif d==0y='迭代M次失败';elsey= '奇异'endfunction y=df(x)y=7*x^6-28*4*x^3;Endfunction y=f(x)y=x^7-28*x^4+14;End>> x0=1.9;>> eps=0.00001;>> M=100;>> x=Newton('f','df',x0,eps,M);>> vpa(x,7)1.5 问题讨论：1.使用此方法求方解，用误差来控制循环迭代次数，可以在误差允许的范围内得到比较理想的计算结果。

数值分析matlab数值试验

实验一：误差传播及算法稳定性实验1.21、试验程序：function charpt1_2% 误差传播及算法稳定性实验clc;clear all;promps={'请选择递推关系式，若选E1=1/e,En=1-nEn-1,请输入1，若选EN=0，En-1=(1-En)/n,请输入2：'};I=1;while Iresult=inputdlg(promps,'charpt1_2',1,{'1'});Nb=str2num(char(result));if ((Nb~=1)|(Nb~=2))I=0;endend%%%%%%%%%%%%%%%%%I=1;while Iresult=inputdlg('请输入递推步数 n>=1:','charpt1_2',1,{'10'});steps=str2num(char(result));if (steps>0)&(steps==fix(steps)) %% 如果steps大于0且为整数I=0;endend%%%%%%%%%%%%%%%%%result=inputdlg('请输入计算中所采用的有效数字位数n:','charpt1_2',1,{'5'});Sd=str2num(char(result));format long %% 设置显示精度result=zeros(1,steps); %% 存储计算结果err=result; %% 存储计算的绝对误差值func=result; %% 存储用quadl计算的近似值%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 用quadl计算积分近似值for n=1:stepsfun=@(x) x.^n.*exp(x-1);func(n)= quadl(fun,0,1);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 用自定义算法计算if(Nb==1)digits(Sd);result(1)=subs(vpa(1/exp(1)));for n=2:stepsresult(n)=subs(vpa(1-n*result(n-1)));enderr=abs(result-func);elseif(Nb==2)digits(Sd);result(steps)=0;for n=(steps-1):-1:1result(n)=subs(vpa((1-result(n+1))/(n+1)));enderr=abs(result-func);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 输出结果数值及图像clf;disp('库函数计算值:');disp(sprintf('%e ',func));disp('递推值:');disp(sprintf('%e ',result));disp('误差值:');disp(sprintf('%e ',err));if(Nb==1)plot([1:steps],result,'-rs',[1:steps],func,':k*',[1:steps],err,'-.bo' );elseif(Nb==2)plot([steps:-1:1],result,'-rs',[steps:-1:1],func,':k*',[steps:-1:1],e rr,'-.bo');endxlabel('第n步');ylabel('计算值');legend('自定义算法结果','库函数计算结果','误差值');grid on2、试验结果：选择递推关系式1，递推步数为10，有效数字为5位，计算结果如下：库函数计算值:3.678794e-001 2.642411e-001 2.072766e-001 1.708934e-001 1.455329e-0011.268024e-001 1.123836e-001 1.009323e-001 9.161229e-002 8.387707e-002递推值:3.678800e-001 2.642400e-001 2.072800e-001 1.708800e-001 1.456000e-0011.264000e-001 1.152000e-001 7.840000e-0022.944000e-001 -1.944000e+000误差值:5.588280e-007 1.117662e-006 3.352927e-006 1.341222e-0056.705713e-005 4.023702e-004 2.816427e-003 2.253226e-002 2.027877e-001 2.027877e+00012345678910第n 步计算值选择递推关系式2，递推步数为10，有效数字为5位，计算结果如下：库函数计算值:3.678794e-001 2.642411e-001 2.072766e-001 1.708934e-001 1.455329e-001 1.268024e-001 1.123836e-001 1.009323e-001 9.161229e-002 8.387707e-002 递推值:3.678800e-001 2.642400e-001 2.072800e-001 1.708900e-001 1.455300e-001 1.267900e-001 1.125000e-001 1.000000e-001 1.000000e-001 0.000000e+000 误差值:5.588280e-007 1.117662e-006 3.352927e-006 3.412224e-006 2.942873e-006 1.237016e-005 1.164270e-004 9.322618e-004 8.387707e-003 8.387707e-002第n 步计算值选择递推关系式1，递推步数为10，有效数字为6位，计算结果如下：库函数计算值:3.678794e-001 2.642411e-001 2.072766e-001 1.708934e-001 1.455329e-001 1.268024e-001 1.123836e-001 1.009323e-001 9.161229e-002 8.387707e-002 递推值:3.678790e-001 2.642420e-001 2.072740e-001 1.709040e-001 1.454800e-001 1.271200e-001 1.101600e-001 1.187200e-001 -6.848000e-002 1.684800e+000 误差值:4.411720e-007 8.823378e-007 2.647073e-006 1.058778e-0055.294287e-005 3.176298e-004 2.223573e-003 1.778774e-002 1.600923e-001 1.600923e+00012345678910第n 步计算值选择递推关系式2，递推步数为10，有效数字为6位，计算结果如下：库函数计算值:3.678794e-001 2.642411e-001 2.072766e-001 1.708934e-001 1.455329e-001 1.268024e-001 1.123836e-001 1.009323e-001 9.161229e-002 8.387707e-002 递推值:3.678800e-001 2.642410e-001 2.072770e-001 1.708930e-001 1.455360e-001 1.267860e-001 1.125000e-001 1.000000e-001 1.000000e-001 0.000000e+000 误差值:5.588280e-007 1.176622e-007 3.529274e-007 4.122239e-007 3.057127e-006 1.637016e-005 1.164270e-004 9.322618e-004 8.387707e-003 8.387707e-002第n 步计算值3、结果分析：很明显第二种递推式结果要比第一种好，式1在第七步后有明显误差，而式2在第三步后基本与近似解一致。

数值分析第二章MATLAB计算实验报告

数值分析MATLAB 计算实验报告姓名班级学号一、实验名称根据给定数据利用MATLAB 编程做出4次牛顿插值与三次样条插值的插值函数与被插值函数图形二、实验目的1．理解牛顿插值的定义并且编写出与其算法对应的MATLAB 程序代码；2．了解三次样条插值的构造方法并且编写出与其算法对应的MATLAB 程序代码； 3．体会利用MATLAB 软件进行数值计算。

三、实验内容已知函数在下列各点的值为：x i 0.2 0.4 0.6 0.8 1 .0 f(x i )0.980.920.810.640.38试用4次牛顿插值多项式P 4(x)及三样条函数S(x)（自然边界条件）对数据进行插值。

使用Matlab 软件用图给出{(x i ,y i ),x i =0.2+0.08i, i=0,1,11,10},P 4(x)及S(x) 四、算法描述 1.牛顿插值公式：P n (x)=f(x 0)+f[x 0,x 1](x-x 0)+f[x 0,x 1,x 2](x-x 0)(x-x 1)+… +f[x 0,x 1,…,x n ](x-x 0)…(x-x n-1)，当n=4时，将插值点x i 及插值点对应的函数值f(x i )带入上式可得4次牛顿插值多项式。

2.三次样条插值：使用三弯矩法，令n i x s M i i ,,2,1,0),( =''=，首先，以(x i ,M i ),(x i-1,M i-1)为结点作线性插值：i ii i i i M h x x M h x x x s 11)(---+--=''，其中h i =x i -x i-1紧接着，连续积分两次：213131)(6)(6)(c x c x x h M x x h M x s i ii i i i ++-+-=--再利用插值条件11)(,)(--==i i i i y x s y x s)()6()()6()(6)(6)(1113131-------+--+-+-=i i ii i i i i i i i i i i i i x x h M h y x x h Mh y x x h M x x h M x sn i x x x i i ,,2,1,1 =≤≤-然后利用s '(x)在内结点连续的条件求M i ，s '(x i -0)=s '(x i +0))6()6()(2)(2)(112121i i i i i i i i i i i i i i h Mh y h M h y x x h M x x h M x s -+---+--='----ii ii i i i i i i i i h y y M M h x x h M x x h M 112121)(6)(2)(2-----+---+--=ii x x x ≤≤-11111211211)(6)(2)(2)(++++++++-+---+--='i ii i i i i i i i i i h y y M M h x x h M x x h M x s1+≤≤i i x x xii i i i i i i h y y M h M h x s 1163)0(---++=-'1111163)0(+++++-+--=+'i ii i i i i i h y y M h M h x s得i i i i i i i h y y M h M h 1163---++1111163+++++-+--=i ii i i i i h y y M h M hii i i i i i i i i i i i h y y h y y M h M h h M h 11111116)33(6-+++++----=+++)(62111111111ii i i i i i i i i i i i i i i i h y y h y y h h M h h h M M h h h -++++++-+---+=++++1,,2,1,211-==+++-n i M M M i i i i i i βαγ最后，根据三条边界条件，求出的值。

数值分析数学实验上机实验编程matlab源代码

Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendif k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');ifstrcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0; elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解Gauss消元法源程序：cleara=input('输入系数阵：>>\n')b=input('输入列阵b：>>\n')n=length(b);A=[a b]x=zeros(n,1);%%%函数主体Yipusilong-1；for k=1:n-1;%%%是否进行主元选取if abs(A(k,k))<yipusilong;%事先给定的认为有必要选主元的小数yzhuyuan=1;elseyzhuyuan=0;endifyzhuyuan;%%%%选主元t=A(k,k);for r=k+1:n;if abs(A(r,k))>abs(t)p=r;else p=k;endend%%%交换元素if p~=k; for q=k:n+1;s=A(k,q);A(k,q)=A(p,q);A(p,q)=s;endendend%%%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重if abs(A(k,k))<yipusilongdisp(‘矩阵奇异，解可能不正确’)end%%%%计算消元,得三角阵for r=k+1:n;m=A(r,k)/A(k,k);for q=k:n+1;A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m;endendend%%%%求解xx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for k=n-1:-1:1;s=0;for r=k+1:n;s=s+A(k,r)*x(r);endt=(A(k,n+1)-s) x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k) end Lagrange插值源程序：n=input('将区间分为的等份数输入：\n');s=[-1+2/n*[0:n]];%%%给定的定点，Rf为给定的函数x=-1:0.01:1;f=0;for q=1:n+1;l=1;%求插值基函数for k=1:n+1;if k~=q;l=l.*(x-s(k))./(s(q)-s(k));elsel=l;endendf=f+Rf(s(q))*l;%求插值函数endplot(x,f,'r')%作出插值函数曲线grid onhold on分段线性插值源程序clearn=input('将区间分为的等份数输入：\n');s=[-1+2/n*[0:n]];%%%给定的定点，Rf为给定的函数m=0;hh=0.001;for x=-1:hh:1;ff=0;for k=1:n+1;%%%求插值基函数switch kcase 1if x<=s(2);l=(x-s(2))./(s(1)-s(2));elsel=0;endcase n+1if x>s(n);l=(x-s(n))./(s(n+1)-s(n)); elsel=0;endotherwiseif x>=s(k-1)&x<=s(k);l=(x-s(k-1))./(s(k)-s(k-1)); else if x>=s(k)&x<=s(k+1);l=(x-s(k+1))./(s(k)-s(k+1)); elsel=0;endendendff=ff+Rf(s(k))*l;%%求插值函数值endm=m+1;f(m)=ff;end%%%作出曲线x=-1:hh:1;plot(x,f,'r');grid onhold on三次样条插值源程序：（采用第一边界条件）clearn=input('将区间分为的等份数输入：\n');%%%插值区间a=-1;b=1;hh=0.001;%画图的步长s=[a+(b-a)/n*[0:n]];%%%给定的定点，Rf为给定的函数%%%%第一边界条件Rf"(-1),Rf"(1)v=5000*1/(1+25*a*a)^3-50/(1+25*a*a)^4;for k=1:n;%取出节点间距h(k)=s(k+1)-s(k);endfor k=1:n-1;%求出系数向量lamuda,miula(k)=h(k+1)/(h(k+1)+h(k));miu(k)=1-la(k);end%%%%赋值系数矩阵Afor k=1:n-1;for p=1:n-1;switch pcase kA(k,p)=2;case k-1A(k,p)=miu(p+1);case k+1A(k,p)=la(p-1);otherwiseA(k,p)=0;endendend%%%%求出d阵for k=1:n-1;switch kcase 1d(k)=6*f2c([s(k) s(k+1) s(k+2)])-miu(k)*v; case n-1d(k)=6*f2c([s(k) s(k+1) s(k+2)])-la(k)*v; otherwised(k)=6*f2c([s(k) s(k+1) s(k+2)]);endend %%%%求解M阵M=A\d';M=[v;M;v];%%%%m=0;f=0;for x=a:hh:b;if x==a;p=1;elsep=ceil((x-s(1))/((b-a)/n));endff1=0;ff2=0;ff3=0;ff4=0;m=m+1;ff1=1/h(p)*(s(p+1)-x)^3*M(p)/6;ff2=1/h(p)*(x-s(p))^3*M(p+1)/6;ff3=((Rf(s(p+1))-Rf(s(p)))/h(p)-h(p)*(M(p+1)-M(p))/6)*(x-s(p));ff4=Rf(s(p))-M(p)*h(p)*h(p)/6;f(m)=ff1+ff2+ff3+ff4 ;end%%%作出插值图形x=a:hh:b;plot(x,f,'k')hold on grid on 多项式最小二乘法源程序clear%%%给定测量数据点(s,f)s=[3 4 5 6 7 8 9];f=[2.01 2.98 3.50 5.02 5.47 6.02 7.05];%%%计算给定的数据点的数目n=length(f);%%%给定需要拟合的数据的最高次多项式的次数m=10;%%%程序主体for k=0:m;g=zeros(1,m+1);for j=0:m;t=0;for i=1:n;%计算内积(fai(si),fai(si))t=t+fai(s(i),j)*fai(s(i),k);endg(j+1)=t;endA(k+1,:)=g;%法方程的系数矩阵t=0;for i=1:n;%计算内积(f(si),fai(si))t=t+f(i)*fai(s(i),k);endb(k+1,1)=t;enda=A\b%求出多项式系数x=[s(1):0.01:s(n)]';y=0;fori=0:m;y=y+a(i+1)*fai(x,i);endplot(x,y)%作出拟合成的多项式的曲线grid onhold onplot(s,f,'rx') %在上图中标记给定的点表中，L10(x)为Lagrang e插值的10次多项式，S10(x)，S40(x)分别代表n=10，40的三次样条插值函数，X10(x)，X40(x)分别代表n=10，40的线性分段插值函数。

哈工大-数值分析上机实验报告

Emax= 0.70770085900503，0 此时由 Emax 可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引起的。当 10 20 时，不选主元和选主元的计算结果如下 NaN NaN NaN Emax=NaN, 0 不选主元时，程序报错： Warning: Divide by zero. 。这是因为机器计算的最小精度为 10-15，所以此时的 10 20 就认为是 0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象，而且由 Emax 可以看出选主元时的结果应该是精确解。
x3 x 1 0
x0=1； x0=0.45, x0=0.65；
( x 1) 2 (2 x 1) 0
当 x0=0.45 时，计算结果为 x= 0.49999999999983； f(x)= -8.362754932994584e-014； k=4；由 f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有 4 次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解 x=0.5。当 x0=0.65 时，计算结果为 x= 0.50000000000000； f(x)=0； k=9；由 f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解 x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取 x0〉0.68 时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明 Newton 法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。
实验报告
结果分析和讨论：例用最小二乘法处理下面的实验数据 . xi fi 3 2.01 4 2.98 5 3.50 6 5.02 7 5.47 8 6.02 9 7.05
Hale Waihona Puke 并作出 f ( x) 的近似分布图。分别采用一次，二次和五次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式为： y1=-0.38643+0.82750x ； y2=-1.03024+1.06893x-0.02012x2； y5=-50.75309+51.53527x-19.65947x2+3.66585x3-0.32886x4+0.01137x5；分别作出它们的曲线图，图中点划线为 y1 曲线，实线为 y2 曲线，虚线为 y5 曲线。’x’为给定的数据点。从图中可以看出并不是多项式次数越高越好，次数高了，曲线越能给定点处和实际吻合，但别的地方就很差了。因此，本例选用一次和两次的多项式拟合应该就可以了。

数值分析分段线性插值样条插值Runge函数Newton-Lagrange-Chebyshev插值多项式Runge现象matlab源程序代码

题目1：对Runge 函数R(x ) =1在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和1 + 25x 2R(x)的图像进行比较，并对结果进行分析。

= -1 + ih,h= 0.1,0 ≤ i≤ 20 绘出它的20 次Newton 插值(1)用等距节点xi多项式的图像。

分别画出在[-1，1]区间，[-0.7，0.7]区间和[-0.5，0.5]区间上的 Newton 插值多项式和Runge 函数的图像从图中可以看出： 1）在[-0.5，0.5]区间 Newton 插值多项式和 Runge 函数的图像偏差较小，这说明 Newton 插值多项式在此区间上可以较好的逼近 Runge 函数； 2）在边界（自变量 x=-1 和 x=1）附近，Newton 插值多项式和 Runge 函数的图像偏差很大，Newton 插值多项式出现了剧烈的震荡。

（Runge 现象） (2)用节点 x = cos(2i + 1π）（, i = 0，1,2，⋅ ⋅ ⋅ ，20），绘出它的 20 次 Lagrangei 42 插值多项式的图像。

画出在[-1，1]区间上的 Lagrange 插值多项式和 Runge 函数的图像从图中可以看出：使用 Chebyshev 多项式零点构造的 Lagrange 插值多项式和 Runge 函数的图像偏差较小，没有出现 Runge 现象。

(3)用等距节点 x i 的图像。

= -1 + ih ,h = 0.1,0 ≤ i ≤ 20 绘出它的分段线性插值函数画出在[-1，1]区间上分段线性插值函数和 Runge 函数的图像从图中可以看出：使用分段线性插值函数和 Runge 函数的图像偏差较小，也没有出现 Runge 现象，只在自变量 x=0 处有稍许偏差。

(4)用等距节点 x i 函数的图像。

= -1 + ih ,h = 0.1,0 ≤ i ≤ 20 绘出它的三次自然样条插值画出在[-1，1]区间上三次自然样条插值函数和 Runge 函数的图像从图中可以看出：使用三次自然样条插值函数和 Runge 函数的图像偏差较小，也没有出现 Runge 现象。

matlab数值分析实验报告

matlab数值分析实验报告Matlab数值分析实验报告引言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算和模拟的学科，它在科学计算、工程技术和金融等领域有着广泛的应用。

本次实验报告将介绍在Matlab环境下进行的数值分析实验，包括数值微分、数值积分和线性方程组求解等内容。

一、数值微分数值微分是通过数值方法计算函数的导数，常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。

在Matlab中，可以使用diff函数来计算函数的导数。

例如，对于函数f(x)=x^2，在Matlab中可以使用如下代码进行数值微分的计算：```matlabsyms x;f = x^2;df = diff(f, x);```二、数值积分数值积分是通过数值方法计算函数的定积分，常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格积分法。

在Matlab中，可以使用trapz、quad和integral等函数来进行数值积分的计算。

例如，对于函数f(x)=sin(x)，可以使用如下代码进行数值积分的计算：```matlabx = linspace(0, pi, 100);y = sin(x);integral_value = trapz(x, y);```三、线性方程组求解线性方程组求解是数值分析中的重要问题，常用的求解方法有高斯消元法和LU 分解法。

在Matlab中，可以使用\操作符来求解线性方程组。

例如，对于线性方程组Ax=b，可以使用如下代码进行求解：```matlabA = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = A\b;```四、实验结果与分析在本次实验中，我们分别使用Matlab进行了数值微分、数值积分和线性方程组求解的计算。

通过实验结果可以发现，Matlab提供了丰富的数值计算函数和工具，能够方便地进行数值分析的计算和求解。

数值微分的计算结果与解析解相比较，可以发现数值微分的误差随着步长的减小而减小，但是当步长过小时，数值微分的误差会受到舍入误差的影响。

清华大学研究生高等数值分析计算实验奇异值分解SVD以及图像压缩matlab源程序代码

第1部分方法介绍奇异值分解（SVD ）定理：设m n A R ⨯∈，则存在正交矩阵m m V R ⨯∈和n n U R ⨯∈，使得TO A V U O O ∑⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中12(,,,)r diag σσσ∑= ，而且120r σσσ≥≥≥> ，(1,2,,)i i r σ= 称为A 的奇异值，V 的第i 列称为A 的左奇异向量，U 的第i 列称为A 的右奇异向量。

注：不失一般性，可以假设m n ≥，（对于m n <的情况，可以先对A 转置，然后进行SVD 分解，最后对所得的SVD 分解式进行转置，就可以得到原来的SVD 分解式）方法1：传统的SVD 算法主要思想：设()m n A R m n ⨯∈≥，先将A 二对角化，即构造正交矩阵1U 和1V 使得110T B n U AV m n⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦其中1200n n B δγγδ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦然后，对三角矩阵T T B B =进行带Wilkinson 位移的对称QR 迭代得到:T B P BQ =。

当某个0i γ=时，B 具有形状12B O B O B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，此时可以将B 的奇异值问题分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题；而当某个0i δ=时，可以适当选取'Given s 变换，使得第i 行元素全为零的二对角阵，因此，此时也可以将B 约化为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题。

在实际计算时，当i B δε∞≤或者()1j j j γεδδ-≤+（这里ε是一个略大于机器精度的正数）时，就将i δ或者i γ视作零，就可以将B 分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题。

主要步骤：（1）输入()m n A R m n ⨯∈≥及允许误差ε（2）计算Householder 变换1,,,n P P ⋅⋅⋅，12,,n H H -⋅⋅⋅，使得112()()0Tn n B nP P A H H m n -⎡⎤⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎢⎥-⎣⎦其中1200n n B δγγδ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12:n U PP P =⋅⋅⋅，122:.n V H H H -=⋅⋅⋅ （3）收敛性检验：（i ）将所有满足()1j j j γεδδ-≤+的j γ置零；（ii ）如果0,2,,j j n γ== ，则输出有关信息结束；否则，1:0γ=，确定正整数p q <，使得10p q n γγγ+==⋅⋅⋅==，0j γ≠，p j q <≤；（iii ）如果存在i 满足1p i q ≤≤-使得i B δε∞≤，则:0i δ=，1:i x γ+=，1:i y δ+=，1:0i γ+=，:1l =，转步（iv ）；否则转步（4）（iv ）确定cos ,sin c s θθ==和σ使0c s x s c y σ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦这也相应于0Tc s y s c x σ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以可以直接调用'Given s 变换算法得到:i l δσ+=，:(,,)T U UG i i l θ=+这相当于(1:;,)(1:;,)(1:;,)Tc s c s U n i i l U n i i l U n i i l s c s c -⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（v ）如果l q i <-，则1:i l x s γ++=，11:i l i l c γγ++++=，1:i l y δ++=，:1l l =+转步（iv ），否则转步（i ）（4）构造正交阵P 和Q ，使12=T P B Q B 仍为上双对角阵，其中112100pp p p q q B δγδγγδ+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得121:=T B B P B Q =，:(,,)p n p q U Udiag I P I --=，:(,,)p n p q V Vdiag I Q I --=然后转步（3）。

数学实验简单MATLAB代码实现

一、编程求sum=1;for m=1:20s=1;for n=1:ms=s*n;endsum=sum+s;endsum二、一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下. 求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高?z=100;for n=1:10y=100*(0.5)^n;z=z+2*y;endz=z-y*2y201!nn =∑三、画出下列常见曲线的图形（1）高斯曲线（2）摆线（3）螺旋线（4）阿基米德螺线（1）x=-10:10;y=exp(-x.^2);plot(x,y)title('高斯曲线')（2）t=-2*pi:0.1:2*pi;x=t-sin(t);2.x y e -=sin ,2(1cos ).x t t y t =-=-cos ,2sin , 3.x t y t z t===.r θ=y=2*(1-cos(t));plot(x,y)title('摆线')（3）t=-2*pi:0.1:2*pi; x=cos(t);y=2*sin(t);z=3*t;plot3(x,y,z)title(‘螺旋线')（4）theta=-2*pi:0.1:2*pi; r=theta;polar(theta,r)title('阿基米德螺线)四、已知完成以下操作：（1）在同一坐标系下，用不同颜色和线型绘制三条曲线；（2）在同一图形窗口中，以子图的形式绘制三条曲线。

x=-1:0.1:1;y1=x.^2;y2=cos(x*2);y3=y1.*y2;plot(x,y1,'r',x,y2,'b',x,y3,'k')hold onsubplot(1,2,2)21,2cos(2),312, y x y x y y y ===⨯五、设绘制和曲线，并给图形添加图形标注（title （标题），xlabel （x 轴），ylabel （y 轴），text （在合适位置标注两曲线名），legend ，axis （指定范围），显示网格，不显示边框）x=0:0.1:2*pi;y1=0.5.*log(x+sin(x));y2=(0.5+3*sin(x)/(1+x.^2)).*cos(x);plot(x,y1,'r',x,y2,'k')title('ÇúÏß')text(y1(end),y2(end),' ');xlabel('X');ylabel('Y');legend('y1','y2');axis([0,2*pi,-5,5]);grid on ;0~2x π=10.5ln(sin )y x x =+23sin 20.5cos 1x y x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭。

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