自然坐标系中运动方程与轨迹方程的新形式及其应用
极坐标与极坐标方程
极坐标及极坐标方程的应用 1.极坐标概述 第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上 发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝 努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。 在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并 不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。 国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极坐标已应用到各个领域。 1.1极坐标系的建立 在平面内取一个定点0，叫作极点，引一条射线0X，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。 对于平面内任意一点M，用表示线段0M的长度，表示从0X到0M的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M , ?若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。
平抛运动
平抛运动 学习目的： （1）掌握平抛运动的定义和条件 （2）掌握平抛运动的性质、运动规律和公式，并能根据运动的独立性原理解决平抛问题。 （3）培养学生的实验观察能力，运用逻辑思维方式进行判断分析、解题的能力 学习内容： 一、平抛运动的特点 1、条件： （1）初速度v0≠0方向水平 （2）合外力ΣF=mg方向竖直向下a=g加速度恒定 既是一种加速度恒定的匀加速运动，又是一种曲线运动 ∴运动性质为匀变速曲线运动 仅知道特点，还不能进行完整的描述，所以要进行分解研究。 运动的形式决定于两个条件：①初速度v0②合外力ΣF。所以可根据平抛物体的这两个方面的方向从水平方向和竖直方向进行分解 2、分解方法 二、平抛运动的规律 分解为已知运动，分别表示速度v、位移S及合成量 速度位移 水平v x=v0S x=v0t 竖直v y=gt S y= gt2 合成v= S= 方向tanθ= tanφ= 分析： ①本套公式只适用于固定坐标系 ②tanθ=2tanφ而θ≠2φ ③速度v的方向始终与重力方向成一夹角，∴其始终为曲线运 动。随着时间t的增加，tanθ↑，θ↑，速度v与重力G的方向越来 越靠近，但永不能到达。
④形成图景：轨迹方程：y= x2，从轨迹方程可知，平抛运动物体的轨迹为一抛物线 ⑤相邻相等时间水平方向位移之比：1：1：1…… 竖直方向位移之比：1：3：5…… 例题分析： 例1、在高处平抛一小球，不计阻力。若1s末的速度方向成45°；落地时与水平方向成60°，则小球抛出的初速度为多少？抛出高度为多少？ 分析：（1）tan45°= =1 =1v0=gt=10m/s （2）末速度tan60°= v y=10 m/s 高度H= =15m 例2、如图所示，在倾角为37°的斜坡上，从A点水平抛出一个物体，物体落在斜坡的B点，测得A B两点间的距离是75m，求物体抛出时速度的大小，并求落到B点时的速度大小。 分析：（1）物体做的是平抛运动，以抛出点为原点，初速度方向和竖直方向为两条坐标轴建立坐标系。则物体的运动规律为 S x = cosα=v0t S y = sinα= gt2 代入数据有：75cos37°=v0t① 75sin37°= gt2②
《平抛运动》导学案
课时5.2平抛运动 1.知道什么是抛体运动,知道抛体运动是匀变速曲线运动,知道什么是平抛运动。 2.知道抛体运动的受力特点,会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动。 3.理解平抛运动的规律,知道平抛运动的轨迹是一条抛物线。 4.知道一般抛体运动的分析方法——运动的合成与分解。 5.学会确定平抛运动的速度。 1.抛体运动:以一定的①将物体抛出,在空气阻力可以忽略的情况下,物体只受重力所做的运动。 2.常见抛体运动形式 (1)平抛运动:初速度方向为②。 (2)斜抛运动:初速度方向为③或④。 (3)竖直上抛运动:初速度方向为⑤。 3.抛体运动的性质:因物体只受⑥作用,其加速度为⑦,均为⑧运动。 4.平抛运动 (1)特点:水平方向不受力,做⑨运动;竖直方向受⑩作用,做初速度为零、加速度为g的运动。 (2)研究方法:将平抛运动分解为水平方向的运动和竖直方向的运动。 (3)运动规律 位移:水平方向的分运动x=,竖直方向的分运动y=gt2。 轨迹:从以上两式中消去t,可得y=,它是平抛运动物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程,我们称之为平抛运动的轨迹方程。 速度:水平分速度v x=,竖直分速度v y=。根据运动的合成规律可知物体在某个时刻的速度(即合速度) 大小v==。设这个时刻物体的速度与水平方向的夹角为θ,则有tan θ==。 主题1:平抛运动概念 问题:阅读课本相关内容,回答下列问题。 (1)用手水平抛出的小钢球做什么运动?用手水平抛出的纸飞机的运动是平抛运动吗?根据平抛运动的定义,你认为物体在什么情况下才能做平抛运动? (2)物体做平抛运动时有何特点?根据平抛运动的轨迹和受力情况,分析平抛运动应属于什么性质的运动。 主题2:平抛运动的规律 问题:(1)做平抛运动的物体的位置,即横、纵坐标由哪些因素确定? (2)为什么说平抛物体的运动轨迹是一条抛物线? (3)平抛物体的速度随时间变化的规律是什么? 主题3:平抛运动的速度与位移的关系 问题:(1)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处,设其末速度方向与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为φ。请探究tan θ与tan φ之间的关系。 (2)平抛物体速度反向延长线有怎样的特点? 1.关于做平抛运动的物体,下列说法正确的是()。 A.速度始终不变 B.加速度始终不变 C.受力始终与运动方向垂直 D.受力始终与运动方向平行
平抛运动的知识点
平抛运动的规律与典型例题解析 一.平抛运动的条件 1.平抛运动的初始条件：物体具有水平初速度V0 2.平抛运动的受力特点：只受重力：F=mg（实际问题中阻力远远小于重力， 可以简化为只受重力） 3.平抛运动的加速度：mg=mα ,α=g ,方向竖直向下，与质量无关，与初速 度大小无关 4.平抛运动的理论推理：水平方向——x：物体不受外力，根据牛顿第一 定律，水平方向的运动状态保持不变，水平方向应做匀速直线运 动,V x=V0．竖直方向——y：初速度为0，只受重力，加速度为g，做 自由落体运动，V y=gt． 二.平抛运动的规律 如左图所示，以抛出点为坐标原点，沿初速度方向建立x轴，竖直向下为y轴．在时间t 时，加速度：α=g，方向竖直向下，与质量无关，与初速度大小无关； 平抛运动速度规律：速度方向与水平方向成θ角平抛运动位移规律：位移方向与水平方向成α角 平抛运动的轨迹方程：为抛物线 平抛运动在空中飞行时间：，与质量和初速度大小无关，只由高度决定
平抛运动的水平最大射程：由初速度和高度决定，与质量无关 三.平抛运动的考察知识点与典型例题 1. 平抛运动定义的考察 例题：飞机在高度为0.8km的上空，以2.5×102km/h的速度水平匀速飞行，为了使飞机上投下的炮弹落在指定的轰炸目标，应该在离轰炸目标的水平距离多远处投弹？ 解析：设炮弹离开飞机后做平抛运动，在空中飞行时间为：， 炮弹离开飞机后水平位移 答案：炮弹离开飞机后要在空中水平飞行0.9km，所以要在离轰炸目标0.9km处投弹 问题展开：轰炸定点目标；轰炸运动目标；飞车跨壕沟等问题研究方法相同 2.平抛运动中模型规律考察 例题：一架飞机水平匀速飞行从飞机上每隔一秒释放一个炮弹，不计空气阻力在它们落地之前，炮弹（） A、在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B、在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的 C、在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直直线，它们的落地点是等间距的 D、在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直直线，它们的落地点是不等间距的 解析：炮弹离开飞机时，具有和飞机共同的水平初速度，在空中做平抛运动．相对于地面，每一个炮弹在空中的轨迹为抛物线，但在空中的几个炮弹本身并不排成抛物线．由于它们与飞机的水平速度相同，所以相对于飞机，它们都做自由落体运动，总在飞机的正下方，排成竖直直线． 答案：C 3.平抛运动试验的考察
极坐标与参数方程知识点总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①． 方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周
极坐标系与极坐标方程
一、坐标系 1、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定。 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定。 二、平面直角坐标系的伸缩变换 定义：设P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>=>=). 0(')0(,':μμλλφy y x x ④的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ’（x ’，y ’），称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 三．例题讲解 例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 （1）2x+3y=0； （2）x 2+y 2=1 三、极坐标系 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到 OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫 做M 的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标 A （4，0） B （2 ） C （ ） D （ ） E （ ） F （ ） G （ ） 规定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 变式训练
研究平抛运动的规律
《研究平抛运动的规律》习题课教案 教学目标：1、平抛运动知识简析，是学生全面掌握平抛的知识。 2、处理平抛物体的运动时应注意： 3、平抛运动的速度变化和重要推论 4、平抛运动的拓展 重 点：平抛运动知识简析 平抛运动的拓展 一、平抛物体的运动 1、平抛运动：将物体沿水平方向抛出，其运动为平抛运动． （1）运动特点：a 、只受重力；b 、初速度与重力垂直．尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g ，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动 （2）平抛运动的处理方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性． （3）平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。 a x =0……① a y =0……④ 水平方向 v x =v 0 ……② 竖直方向 v y =gt ……⑤ x=v 0t ……③ y=?gt 2……⑥ ①平抛物体在时间t 内的位移S 可由③⑤两式推得s=()2 22021??? ??+gt t v =224042t g v t +， ②位移的方向与水平方向的夹角α由下式决定tg α=y/x=?gt 2/v 0t=gt/2v 0 ③平抛物体经时间t 时的瞬时速度v t 可由②⑤两式推得v t =()220gt v +， ④速度v t 的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tg β=v y /v x =gt/v 0 ⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t 而推得：y= 202v g ·x 2， 可见，平抛物体 运动的轨迹是一条抛物线． ⑥运动时间由高度决定，与v 0无关，所以t=g h /2，水平距离x ＝v 0t ＝v 0g h /2 ⑦Δt 时间内速度改变量相等，即△v ＝g Δt ，ΔV 方向是竖直向下的．说明平抛运动是匀变速曲线运动． 2、处理平抛物体的运动时应注意： ① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响——即垂直不相干关系； ② 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性，运动时间由高度决定，与v 0无关； ③ 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角，由上证明可知tg β=2tg α 【例1】 物块从光滑曲面上的P 点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q 点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图1－16所示，再把物块放到P 点自由滑下则 A.物块将仍落在Q 点 B.物块将会落在Q 点的左边 C.物块将会落在Q 点的右边 D.物块有可能落不到地面上
平抛运动与圆周运动经典练习
密 封 线 学校： 班级： 姓 名; 考号： 密 封 线 内 不 得 答 题 平抛运动与圆周运动经典练习 一、单选题(共15小题) 1.如图，在一半经为R 的球面顶端放一质量为m 的物块，现给物块一初速度v 0，，则（ ） A ． 若 ，则物块落地点离A 点 B ． 若球面是粗糙的，当时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离球面 C ． 若 ，则物块落地点离A 点为R D ． 若移 ，则物块落地点离A 点至少为2R 2.某游乐场开发了一个名为“翻天滚地”的游乐项目。原理图如图所示：一个3/4圆弧形光滑圆管轨道ABC ，放置在竖直平面内，轨道半径为R ，在A 点与水平地面AD 相接，地面与圆心O 等高， MN 是放在水平地面上长为3R ，厚度不计的减振垫，左端M 正好位于A 点．让游客进入一个中空的透明弹性球，人和球的总质量为m ，球的直径略小于圆管直径。将球（内装有参与者）从A 处管口正上方某处由静止释放后，游客将经历一个“翻天滚地”的刺激过程。不考虑空气阻力。那么以下说法中错误的是（ ） A ． 要使球能从C 点射出后能打到垫子上，则球经过C 点时的速度至少为 B ． 要使球能从 C 点射出后能打到垫子上，则球经过C 点时的速度至 C ． 若球从C 点射出后恰好能打到垫子的M 端，则球经过C 点时对管的作用力大小为 D ． 要使球能通过C 点落到垫子上，球离A 点的最大高度是 3.特战队员在进行素质训练时，抓住一端固定在同一水平高度的不同位置的绳索，从高度一定的平台由水 平状态无初速开始下摆，如图所示，在到达竖直状态时放开绳索，特战队员水平抛出直到落地。不计绳索质量和空气阻力，特战队员可看成质点。下列说法正确的是（ ） A ． 绳索越长，特战队员落地时的水平位移越大 B ． 绳索越长，特战队员在到达竖直状态时绳索拉力越大 C ． 绳索越长，特战队员落地时的水平速度越大 D ． 绳索越长，特战队员落地时的速度越大 4.如图所示为游乐园中的“空中飞椅”设施，游客乘坐飞椅从启动，匀速旋转，再到逐渐停止运动的过程中，下列说法正确的是（ ） A ． 当游客速率逐渐增加时，其所受合外力的方向一定与速度方向相同 B ． 当游客做匀速率圆周运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直 C ． 当游客做匀速率圆周运动时，其所受合外力的方向一定不变 D ． 当游客做速率减小的曲线运动时，其所受合外力的方向一定与速度方向相反 5.如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( )
一天中太阳的视运动轨迹和日影运动轨迹(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 太阳周日视运动图剖析 由于地球自西向东绕地轴自转，所以，太阳在天球上做自东向西的周日视运动。有关太阳周日视运动对于一般高中学生而言较难理解，因为学生缺乏空间想像能力，且在教材中几乎没有涉及，成为难点，也是重点。但只要把教材相关知识理解透彻，并有效整合，真正掌握其规律与原理，问题就迎刃而解了。 一、学习策略 1、要掌握太阳视运动知识，需要树立空间想像能力，并且多画图，多练习，在做题目的过程中领会太阳视运动的规律。 2、注意在训练的过程中总结解题规律。 二、太阳周日视运动重难点剖析 （一）太阳周日视运动图的特征 底面表示地平面，底面中心为观察者位置，底面外圈代表地平圈，竖立半圆圈代表天顶面，3条路线代表该观察点观察到的两分、两至日太阳周日视运动路线，3条路线与天顶面的交点表示上中天，3条路线与地平圈的两个交点分别代表该日的日出与日落，底面中心与日出点的连线和东西水平线的夹角表示太阳直射点的纬度，上中天点与底面中心点的连线与南北水平线的夹角表示正午太阳高度角。对任一地而言，不同日期太阳周日视运动轨迹都平行的。如图所示。 （二）不同纬度太阳的周日视运动 由于观测者所处的纬度不同，所以，运动 的轨迹也不同。 1、在南北极点，所有天体（包括太阳） 不升也不落，如图A。 2、在赤道，所有天体的出没都直升直落 （如图D）。
3、在南北半球任意纬度（除赤道与极点），太阳视运动轨迹与地平圈斜交，所有天体都斜落（如图B、C）。 4、极昼范围内太阳高度的日变化 在极昼的纬度范围内，不同纬度上，太阳高度的日变化是不一样的。极昼的纬度范围指出现极昼的最低纬度（不一定是极圈）到最高纬度（一定是极点）的区域。不同时间，极昼的最低纬度值不一样，二至日时纬度值最低，极昼范围最大；其他时间（除二分日外），在66034’－900之间。 （1）在极昼的最低纬度（极圈66034’）上，太阳高度的变化：一日开始时，太阳即位于当地地平线上，太阳高度角为00，之后逐渐增大，至当地下午时，达一日最大值，而后逐渐变小，至该日结束时，太阳又落于当地地平线上，太阳高度又变成00。 （2）在极昼的最高纬度――极点上，一日24小时，太阳始终位于天空中某一高度，（即一日的开始、正午及一日的结束，太阳高度角一样大）没有变化。 （3）在极昼的最低纬度与最高纬度之间时，一日开始时太阳已位于地平线上一定高度，高度值是多少呢？看与极昼的最低纬度的纬度差，纬度相差几度，一日开始时的太阳高度就是几度（例如，当极昼的最低纬度出现在700N上时，720N某地一日开始时的太阳高度就是20）。之后，太阳高度逐渐增大，至当地正午时达一日最大值，正午过后逐渐变小，一直到该地这一日结束时，太阳仍落于当地地平线上一定高度，太阳高度大小与这一日开始时一样大。 5、二分二至日，在不同纬度所观测到的太阳运行路径，可绘制成下列图示： （三）关于某日某地常见周日视运动图的说明 1、∠A表示北极星的仰角，北极星的仰角等于
平抛运动轨迹方程在解题中的应用(中国多媒体教学学报2011第五期)
平抛运动轨迹方程在解题中的应用 摘要：本文首先介绍了平抛运动的轨迹方程，然后以两道典型习题为例，通过运动合成分解与轨迹方程两种解法的对比，分析了利用平抛运动的轨迹方程解决平抛运动问题的优越性。对中学生应用数学工具解决物理问题有一定的参考价值。 关键字： 平抛运动 轨迹方程 运动合成与分解 平抛运动的迹方程是半支开口向下的抛物线。我们处理平抛运动的基本方法是将其分解为水平方向的匀速直线和竖直方向的自由落体两个运动分别研究。实际上，许多平抛运动的问题借助运动轨迹方程更容易求解。 一、平抛运动的轨迹方程 平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。两 个方向上的运动规律分别为t v x 0=和22 1gt y -=，负号表示物体竖直向下运动。两式联立，消掉t 可得2202x v g y -=。如果物体是从距离地面h 处抛出，且令 2202x v g a =，则 h ax y +-=2。此式就是平抛运动的轨迹方程，其中的二次项系 数a 由物体抛出时的速度v 0唯一确定。 二、轨迹方程在解题中的应用 利用得到的轨迹方程，我们可以将许多平抛运动的问题转化为数学问题轻松求解。下面举两个实例。 [例1]如图(1)所示，从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为2s ；在A 点正上方的高为2H 的B 点，以同方向平抛另一物体，其水平射程为s ，两物体在空中运行的轨道在同一竖直平面内，且都从同一屏的顶端擦过，求屏M 的高度？ 解析：利用运动合成与分解来分析：设屏幕的高度h ，它距物体抛出点的水平距
离为x , 物体从A 处抛出的速度v 1, 从B 处抛出速度v 2,根据平抛运动规律可得； 对A 处抛出的物体： H =gt 12/2 (1)， 2s =v 1t 1 (2) 对B 处抛出的物体； 2H =gt 22/2 (3)， s =v 2t 2 (4) 因为A 处抛出的物体擦过屏M 的顶端，所以 H-h = gt 32/2 (5) ，x =v 1t 3 (6) 同理，B 处抛出的物体也擦过屏M 的顶端， 2H -h = gt 42/2 (7) ，x =v 2t 4 (8) (1)(2)(3)(4) 联立解得 v 12/v 22=8， (5)(6)(7)(8) 联立解得 v 12/v 22 =(2H-h )/(H-h ) 所以 (2H-h )/(H-h )=8，h =6H /7。即屏幕的高度为h =6H /7 如果利用运动轨迹求解，我们只要建立图(2)中直角坐标系，使物体从A 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在y 轴上的抛物线。设两抛物线方程分别为： y=-a A x 2+H 和 y=-a B x 2+2H 把E （2s ，0）、F （s ，0）两点分别代入两个方程求解系数得：a A =H /4s 2, a B =2H /s 2；由此确定两个平抛运动的轨迹方程并联立： ??? ????+-=+-=H x s H y H x s H y 2242222 这个方程组的解的纵坐标y =6H /7即为屏的高度。 [例2]如图(3)所示，排球场的总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员在离网3m 的线上正对网前跳起将球水平击出(空气阻力不计)。(1)设击球点在3m 线正上方高度为2.5m 处，试问击球的速度在什么围内才能使球既不触网也不界．(2)若击球点在3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度(g 取10m/s 2)． 解析：利用运动的合成与分解求解:(1) 如图(4)所示，设球刚好触网而过，此过程球水平射程s 1=3m ，球下落高度 △h=h 2－h 1=0.5m ，根据平抛运动规律：
太阳视运动轨迹图解析
全球全年太阳视运动轨迹图解析 很多人都对太阳视运动轨迹不是很清晰，它牵涉到影子朝向、太阳高度角以 及地方时的计算等知识，所以为大家所关注，这里就对全球任何纬度上全年任何 时刻太阳视运动一天之内的轨迹图进行比较详细的解析，希望对大家的理解有所 帮助。同时如有不对之处请各位指正，不胜感激。 一、前提知识储备 太阳视运动轨迹跟太阳直射点的位置有直接的关系，所以要把太阳视运动轨 迹弄清楚，首先要把教材上二分二至日太阳照射图弄明白。 从上面三个图要清楚以下这些知识点： 1、与晨昏线相交的纬线上，日出日落时太阳高度角为零；反之没有与晨昏线相 交的纬线上，日出日落时太阳高度角不为零，如图 1 北极圈以北的纬线上， 图 3 南极圈以南的纬线上； 2、上面三个图既反映了地方时为 12 时的太阳高度角大小，也反映了地方时为 0 时的太阳高度角大小；换个角度说，上面三个图既反映了地方时为 12 时的太 阳视方位，也反映了地方时为 0 时的太阳视方位。其中地方时为 0 时的太阳 视方位和太阳高度角对于在极昼范围以内的地方有意义； 3、有人有这样的误区“既然太阳光为平行光线，所以全球任何地点的太阳视方 位是相同的。”，这个观点错在没有考虑“地球表面为曲面”的因素。 通过比较图 4 和图 5 ，相信可以走出上面提到的误区。 二、把握三种情况六个区域 由于太阳视运动轨迹跟太阳直射点的关系，所以我们只分析太阳直射赤道、 北半球、南半球这三种情况即可。 六个区域是根据太阳视运动轨迹的不同，把地球表面分为六个区域，分别是： 赤道、直射点与刚好出现极昼的纬线圈之间（为了方便，以下简称极昼圈，反之 简称极夜圈）、直射点与极夜圈之间、极昼圈、极昼圈与极点之间、极点。 N 图3
用抛物线方程解平抛运动问题
用抛物线方程解平抛运动问题 我们知道平抛物体运动的轨迹是一条抛物线，如果能够巧妙的运用抛物线方程来解平抛物体的运动问题，往往会使问题更简单。下面通过两例来说明这一问题： 例1 在《研究平抛运动》的实验中某同学用笔尖确定小球通过空中A 、B 、C 三点位置如右图1所示。以A 为坐标原点，设立图示坐标系。根据图中数据，可知小球平抛的初速度为多 少？做平抛运动的初始位置坐标为多少？ 【解析】平抛运动的轨迹是一条抛物线，抛物线方程的一般形式是 y=ax ＋bx ＋c 将A （0，0）、B （10，15）、C （30，75）三点坐标值代入方程y=ax 2＋bx ＋c 可确定 a=1 20 , b=1, c=0. 所以平抛运动的轨迹方程为 y=120 x 2＋x 其顶点坐标为 x 0= -b/2a= -1/(2×120 )= -10cm y 0=(4ac －b 2)/4a= -12/(4×120 )= -5cm 所以其初位置坐标为（-10cm ，-5cm ） 再求平抛初速度v 0。从抛出点到A 点，有位移方程 x 方向： 0－（-0.1）=v 0t y 方向： 0－（-0.05）= 12 gt 2 消去t 得 v 0=1m/s 例2 从离地面高为H 的A 点平抛一物体甲，其水平射程为2S 。 在A 点正上方且离地面高为2H 的B 点，以相同方向平抛另一物体乙，其水平射程为S 。两物体在空中的运动轨迹在同一竖直平面内，且都从同一个屏M 的顶端擦过。求屏的高度。 【解析】根据平抛运动知识作出甲、乙两物体的运动轨迹，并 建立直角坐标系，如右图2所示。 抛物线方程的一般形式为 y= ax 2＋bx ＋c 因两抛物线关于y 轴对称，所以b=0 将A (0,H)、F (2S ,0)和B （0，2H ）、E （S ，0）分别代入抛物线 方程y= ax 2＋c 可确定a 1=－S H 24 H c =1 S a H 222-= H c 22= 所以A 、B 的抛物线方程分别为 x S y H A 2 24?-=H 2+
平抛运动实验专题(高清图) (1)
平抛运动（第6讲）倾向于实验 1.如图所示，在研究平抛运动时，小球A 沿轨道滑下，离开轨道末端（末端 水平）时撞开轻质接触式开关S ，被电磁铁吸住的小球B 同时自由下落。改 变整个装置的高度做同样的实验，发现位于同一高度H 的A 、B 两球总是同 时落地或者在空中相碰。该实验现象说明了A 球在离开轨道后（ ） A.水平方向的分运动是匀速直线运动 B.水平方向的分运动是匀加速直线运动 C.竖直方向的分运动是自由落体运动 D.竖直方向的分运动是匀速直线运动 2.如图所示，C 点的坐标为（60,45），O 为水平抛出点，则平抛物体的初速度0v =________, B 点的速度为_____________________,A 、B 两点的坐标分别为_______, ________. 3.电磁铁对AB 两铁球实现同吸同放，两个相同的圆弧轨道末端水平，且末端在竖直方向齐平，断开开关后，B 球进入一个光滑的水平轨道，则B 球做_______运动，实验过程中观察到A 球正好砸在B 球上，由此说明___________________,若A 没有砸到B 又是何原因? 4.在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长l =1.25cm 。若小球在平 抛运动途中的几个位置如图中的a 、b 、c 所示，求：(取g=10m/s 2) (1)小球的初速度0v 0.75m/s (2)小球运动到b 点时的速度 1.25m/s (3)标出小球抛出点的位置O 5.如下图a 是研究小球在斜面上平抛运动的实验装置，每次将小球从弧型轨道同一位置静止释放，并逐渐 改变斜面与水平地面之间的夹角θ，获得不同的射程x ，最后作出了如图b 所示的x -tan θ图象，则：由图b 可知，小球在斜面顶端水平抛出时的初速度 。实验中发现θ超过60°后，小球将不会掉落在斜面上，则斜面的长度为 。 θ 图a 图b
点的运动轨迹
点的运动轨迹 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫 做满足该条件的点的轨迹. “动点路径”就是一个比较抽象的问题,但在高中解析几何中的学习就是非常有用的,也就是非常重要的。在研究动点问题时,可以在运动中寻找不变的量,即不变的数量关系或位置关系.如果动点的轨迹就是一条线段,那么其中不变的量便就是该动点到某条直线的距离始终保持不变;如果动点的轨迹就是一段圆弧,那么其中不变的量便就是该动点到某个定点的距离始终保持不变.因此,解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变的关系。 常用的基本轨迹: 1、如图,已知AB=10,P 就是线段AB 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 与△PDB,连接CD,设CD 的中点为G,当点P 从点A 运动到点B 时,则点G 移动路径的长就是______. 变式1、(2010桂林)如图:已知AB=10,点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2;P 就是线段CD 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 与等边△PFB,连接EF,设EF 的中点为G;当点P 从点C 运动到点D 时,则点G 移动路径的长就是______. 变式2、如图:已知AB=10,点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2;P 就是线段CD 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形APEF 与正方形PBGH,点O 1与O 2就是这两个正方形的中心,连接O 1O 2,设O 1O 2的中点为Q;当点P 从点C 运动到点D 时,则点Q 移动路径的长就是______. 2、 如 图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P 就是CD 上一动点,分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 与PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P 从点C 运动到点D 时,线段O1O2中点G 的运动路径的长就是_____. 母题:若3x t +=,5y t -=,则y 与x 之间的关系就是 _________ . 3、如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动,过点P 作PD ∥BC,交AB 于点D,连接PQ 分别从点A 、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t 秒(t ≥0). (1)直接用含t 的代数式分别表示:QB= _________ ,PD= _________ . (2)就是否存在t 的值,使四边形PDBQ 为菱形？若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q 的速度(匀速运动),使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形,求点Q 的速度; (3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.
平抛运动的知识点
平抛运动的知识点 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
平抛运动的规律与典型例题解析 一.平抛运动的条件 1.平抛运动的初始条件：物体具有水平初速度V 2.平抛运动的受力特点：只受重力：F=mg（实际问题中阻力远远小于重 力，可以简化为只受重力） 3.平抛运动的加速度：mg=mα ,α=g ,方向竖直向下，与质量无关，与初 速度大小无关 4.平抛运动的理论推理：水平方向——x ：物体不受外力，根据牛顿第一 定律，水平方向的运动状态保持不变，水平方向应做匀速直线运 动,V x =V ．竖直方向—— y：初速度为0，只受重力，加速度为g， 做自由落体运动，V y =gt ． 二.平抛运动的规律 如左图所示，以抛出点为坐标原点，沿初速度方向建立x轴，竖直向下为y轴．在时间t 时，加速度：α=g，方向竖直向下，与质量无关，与初速度大小无关； 平抛运动速度规律：速度方向与水平方向成θ角平抛运动位移规律：位移方向与水平方向成α角 平抛运动的轨迹方程：为抛物线 平抛运动在空中飞行时间：，与质量和初速度大小无关，只由高度决定 平抛运动的水平最大射程：由初速度和高度决定，与质量无关 三.平抛运动的考察知识点与典型例题 1. 平抛运动定义的考察 例题：飞机在高度为0.8km的上空，以2.5×102km/h的速度水平匀速飞行，为了使飞机上投下的炮弹落在指定的轰炸目标，应该在离轰炸目标的水平距离多远处投弹
解析：设炮弹离开飞机后做平抛运动，在空中飞行时间为：， 炮弹离开飞机后水平位移 答案：炮弹离开飞机后要在空中水平飞行0.9km，所以要在离轰炸目标0.9km处投弹 问题展开：轰炸定点目标；轰炸运动目标；飞车跨壕沟等问题研究方法相同 2.平抛运动中模型规律考察 例题：一架飞机水平匀速飞行从飞机上每隔一秒释放一个炮弹，不计空气阻力在它们落地之前，炮弹（） A、在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B、在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的 C、在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直直线，它们的落地点是等间距的 D、在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直直线，它们的落地点是不等间距的 解析：炮弹离开飞机时，具有和飞机共同的水平初速度，在空中做平抛运动．相对于地面，每一个炮弹在空中的轨迹为抛物线，但在空中的几个炮弹本身并不排成抛物线．由于它们与飞机的水平速度相同，所以相对于飞机，它们都做自由落体运动，总在飞机的正下方，排成竖直直线． 答案：C 3.平抛运动试验的考察 例题：怎样用平抛运动知识测量子弹的初速度 解析：子弹初速度相当大，水平射程相当远，如果测量实际水平射程很不方便，且由于空气阻力影响，将出现较大的测量误差．可以记录子弹的初始位置，如右图所示，在离枪口一定的距离上，竖直放一块厚纸板，用枪将子弹水平射出，测量枪口到地面的高度H、子弹在纸板上留下的弹孔到地面的距离h、枪口到纸板的水平距离x．将子弹在不太长时间内的运动看成是 平抛运动．则子弹竖直方向的位移为H-h，由自由落体运动关系水平位移联立求解得：
极坐标与极坐标方程精编版
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… M M 图1-2 图1-1 ，此时点的极坐标可以有两种表示方法：如图1-2M??????(1) ＞0，?，M?????，?，0(2) ＞M??????????，?，与同理，也是同一个点的坐标。???Zn?后都是和原角终边相同的角，所以一个点的 极坐标不唯又由于一个角加n2????????或0???2，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可一。但若限定，0?以一一对应了。曲线的极坐标方程1.2 ???????0，?来表示，这种方在极坐标系中，曲线可以用含有这两个变数的方程，程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤：????，的坐标为；1°建立适当的极坐标系，并设动点M的集合；2°写出适合条件的点M?????0列方程，?3°；4°化简所得方程；°证明得到的方程就是所求曲线的方程。5三种圆锥曲线统一的极坐标方程： 2 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… yMO 图1-3为极轴，，以焦点为极点，的反向 延长线过点作准线的垂线，垂足为FXFLKFFK????，M，垂，⊥建立极坐标系。设是曲线上任意一点，连结，作⊥FXMAMBMFL??MF. 足分别为．那么曲线就是集合BA，eM?p???MA????? COS?PMF??MAFK?P，由?BK，的距离到准线设焦点LF? 得e???cosp?ep?即??cos1?e时，方程表示椭 这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。其中当1e?0?方程表示开口向右的抛物线。是它的左准线。时，是它的左焦点，圆，定点定直线1e?LF是它的右准线。若允许时，方程只表示双曲线右支，定点是它的右焦点，定直线 1e?LF?，方程就表示整个双曲线。0?极坐标和直角坐标的互化1.3 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的把直角坐标系的原点作为极点，X??????，y x，，极坐标是长度单位，设是平面内任意一点，其直角坐标作， 从点MM????. ，由三角函数定义，得⊥sinx?cos，?y OXMN 3 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
太阳视运动轨迹图解析
全球全年太阳视运动轨迹图解析 很多人都对太阳视运动轨迹不是很清晰，它牵涉到影子朝向、太阳高度角以及地方时的计算等知识，所以为大家所关注，这里就对全球任何纬度上全年任何时刻太阳视运动一天之内的轨迹图进行比较详细的解析，希望对大家的理解有所帮助。同时如有不对之处请各位指正，不胜感激。 一、前提知识储备 太阳视运动轨迹跟太阳直射点的位置有直接的关系，所以要把太阳视运动轨迹弄清楚，首先要把教材上二分二至日太阳照射图弄明白。 图1图2 从上面三个图要清楚以下这些知识点： 1、与晨昏线相交的纬线上，日出日落时太阳高度角为零；反之没有与晨昏线相交的纬线上，日出日落时太阳高度角不为零，如图1北极圈以北的纬线上，图3南极圈以南的纬线上； 2、上面三个图既反映了地方时为12时的太阳高度角大小，也反映了地方时为0时的太阳高度角大小；换个角度说，上面三个图既反映了地方时为12时的太阳视方位，也反映了地方时为0时的太阳视方位。其中地方时为0时的太阳视方位和太阳高度角对于在极昼范围以内的地方有意义； 3、有人有这样的误区“既然太阳光为平行光线，所以全球任何地点的太阳视方位是相同的。”，这个观点错在没有考虑“地球表面为曲面”的因素。 图4 图5 通过比较图4和图5，相信可以走出上面提到的误区。 二、把握三种情况六个区域 由于太阳视运动轨迹跟太阳直射点的关系，所以我们只分析太阳直射赤道、北半球、南半球这三种情况即可。 六个区域是根据太阳视运动轨迹的不同，把地球表面分为六个区域，分别是：赤道、直射点与刚好出现极昼的纬线圈之间（为了方便，以下简称极昼圈，反之简称极夜圈）、直射点与极夜圈之间、极昼圈、极昼圈与极点之间、极点。
极坐标与参数方程题型及解题方法
一、复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为),(y x ，在极坐标系下的坐标为),(θρ，则有下列关系成立：ρ θx = cos ，ρ θy = sin ， 3、 参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x 表示什么曲线？ 4、 圆2 2 2 )()(r b y a x =-+- 的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设ρ=OP OP ，又θ=∠xOP . ρ和θ的值确定了，则P 点的 位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？ 二、题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化
(3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 22 2（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可 消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有42 2=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B. 练习1、与普通方程2 10x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数） 解析：所谓与方程2 10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于A 化为普通方程为[][]2 101101x y x y +-=∈-∈，，，，； 对于B 化为普通方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为2 10[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，， ，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，. 而已知方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B . 练习2、设P 是椭圆2 2 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 . 分析：注意到变量),(y x 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然),(y x 既满足2 2 2312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组 222312 2x y x y t ?+=? +=?的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一???==t y t x A 2cos sin ???-==t y t x B 2tan 1tan ???=-=t y t x C 1???==t y t x D 2sin cos