03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、
第3讲 圆周运动的角量描述
第四节圆周运动及其描述上一节学习了一般的平面曲线运动，本节学习一种特殊且常见的曲线运动――圆周运动。
1 圆周运动的线量描述回顾上一节，我们在自然坐标系下使用了位置、速度、加速度等量来描述曲线运动。
这些量称为线量，所以上一节对于曲线运动的描述称为线量描述。
由于圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而上一节关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。
所以可以把上一节的结论直接用于圆周运动的线量描述。
位置：s＝s(t)速度：dsdt v=τ加速度：22d sdtτ=aτ(1a)2nvR=a n(1b)(1b)式中的R就是圆的半径，而v则是质点做圆周运动的速率。
质点作圆周运动时，如果切向加速度为0，就是所谓的匀速圆周运动．．．．．．。
2 圆周运动的角量描述极坐标系2.1 角位移除了线量描述形式外，对于圆周运动还有一种常用的描述形式――角量描述。
如图1所示，以圆心为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了一个坐标系，称为极坐标系。
在极坐标系中，质点的位置所对应的矢径r与极轴的夹角θ称为质点的角位置，而dθ称为dt时间内的角位移。
注意：1，角位移．．．d．θ．既有大小，又有方向．．．．．．．．．(．但未必是矢量．．．．．．1)。
其方向由右手定则确定，即：伸出右手，使四指沿着质点旋转的方向弯曲，与四指垂直的拇指所指的方向1矢量的严格定义是：矢量是在空间中有一定的方向和数值，并遵从平行四边形加法法则的量。
即为d θ的正方向。
2，有限大小的角位移不是矢量(因为角位移的合成不符合交换律，比如翻一本书：先x->90，再y －>90，最后z －>90得到的结果，与先x->90，再z －>90，最后y －>90得到的结果不一样)，只有．．当△．．t ． ．0．时，角位移．．．．．d ．θ．才是矢量．．．．。
3，质点作圆周运动时，其角位移只有两种可能的方向，因此可以在标量前．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．加正号或者是负号来指明角位移的方向．．．．．．．．．．．．．．．．．。
第四章曲线运动第三节圆周运动的基本概念和规律
►
知识点二 匀速圆周运动
保持不变 的圆周运动． 1．定义：线速度大小____________ 2．性质：向心加速度大小不变，方向____________ 时刻变化 ，是 变加速曲线运动． 大小不变 ，方向始终与速度方向垂直 3．条件：合力____________ 且指向圆心．
2017/7/29
►
2017/7/29
变式题 如图 18－5 所示，两段长均为 L 的轻质线共同系 住一个质量为 m 的小球， 另一端分别固定在等高的 A、 B 两点， A、B 两点间距也为 L.现使小球在竖直平面内做圆周运动，当 小球到达最高点时速率为 v，两段线中张力恰好均为零；若小 球到达最高点时速率为 2v，则此时每段线中张力大小为( A．2 3mg B. 3mg C．3mg D．4mg )
2017/7/29
2017/7/29
[答案] C
[解析] 在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静 摩擦力及拉力的合力提供， 且静摩擦力均达到了最大静摩擦力． 因 为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度 ω 相同，设此时手 中的拉力为 F， 则对甲： fm－F＝mω2R 甲， 对乙： F＋fm＝mω2R 乙．当 松手时，F＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故 乙做离心运动，然后落入水中；甲所受的静摩擦力变小，直至与它 所需要的向心力相等， 故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动， 选项 C 正确．
2017/7/29
[点评] 解决圆周运动问题的基本步骤： (1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、 轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，并确定向心力的 来源； (4) 根据牛顿第二定律列方程； (5)求解，必要时进行讨论．
大学物理 --切向加速度和法向加速度1
r R 赤道
p
r R cos
P点速度的大小为
v r R cos 5 6 7.27 10 6.73 10 cos 2 4.65 10 cos (m / s)
方向：与过P点运动平面上半径为R的圆相切。 P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
2
2
kR k Rt
2 2
2 2
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
讨论下列几种运动情况：
1. a 0 , an 0 匀速直线运动；
2. a C , an 0
3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
有 即
dv dv dvn 0 n0 dt dt dt
a a 0 ann0
dv dvn an 其中： a dt dt a 由于速度大小变化产生的加速度； an 由于速度方向变化产生的加速度。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
ds v vt 0 dt 0
二. 圆周运动的角量描述
设质点在oxy平面内绕o 点、沿半径为R的轨道作圆 周运动，如图。以ox轴为参 考方向，则质点的
y
B：t+t A：t
o
x
角位置为 角位移为 规定反时针为正 平均角速度为 t d lim 角速度为 t 0
角加速度为
d d 2 dt dt
2
2
2
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速 率满足 v kRt ， k为常数，求：切向 加速度、法向加速度和加速度的大小。
dv a kR 解： 切向加速度 dt 2 2 ( kRt) v 2 2 法向加速度 a n k Rt R 2 2 加速度 a a an
2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度
a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b
《大学物理》课程教学大纲
《大学物理》课程教学大纲一、课程基本信息总学时136学时，讲课102学时，习题讨论课26学时，演示实验8三、课程教学的有关说明1、本课程课内外学时比例：1:2；平均周学时：4。
2、本课程是公共基础课，分连续两个学期完成。
3、在教学中注意把传统教学手段和现代化教学手段相结合，充分利用现代化教学手段进行教学。
四、对于能力培养的基本要求通过大学物理课程教学,应注意培养学生以下能力：1.独立获取知识的能力——逐步掌握科学的学习方法，阅读并理解相当于大学物理水平的物理类教材、参考书和科技文献，不断地扩展知识面，增强独立思考的能力，更新知识结构；能够写出条理清晰的读书笔记、小结或小论文。
2.科学观察和思维的能力——运用物理学的基本理论和基本观点，通过观察、分析、综合、演绎、归纳、科学抽象、类比联想、实验等方法培养学生发现问题和提出问题的能力，并对所涉问题有一定深度的理解，判断研究结果的合理性。
3．分析问题和解决问题的能力——根据物理问题的特征、性质以及实际情况，抓住主要矛盾，进行合理的简化，建立相应的物理模型，并用物理语言和基本数学方法进行描述，运用所学的物理理论和研究方法进行分析、研究。
五、对于素质培养的基本要求通过大学物理课程教学,应注重培养学生以下素质：1.求实精神——通过大学物理课程教学，培养学生追求真理的勇气、严谨求实的科学态度和刻苦钻研的作风。
2.创新意识——通过学习物理学的研究方法、物理学的发展历史以及物理学家的成长经历等，引导学生树立科学的世界观，激发学生的求知热情、探索精神、创新欲望，以及敢于向旧观念挑战的精神。
3.科学美感——引导学生认识物理学所具有的明快简洁、均衡对称、奇异相对、和谐统一等美学特征，培养学生的科学审美观，使学生学会用美学的观点欣赏和发掘科学的内在规律，逐步增强认识和掌握自然科学规律的自主能力。
六、教学内容及基本要求模块1力学:第一单元质点运动学第一讲质点运动的描述，第二讲圆周运动与一般平面曲线运动，第三讲相对运动基本要求：1、质点运动的描述(1)掌握：位矢、位移、速度、加速度等物理量的定义及表达式，能够从已知的运动方程求导得到速度、加速度；同时能够从已知的速度或加速度积分得出运动方程。
第 01章 2 次课 -- 加速度 圆周运动
(4)
7 /23
§1.2
圆周运动
(4)
v(t) r(t)
(4)式就是质点作圆周运动时的速率与角速度的关系. 质点作圆周运动时, 速度方向不断改变, 因此圆周运动是变速运动 ! 有加速度 ! 圆周运动的加速度有什么特点 ?
o
v2 et 2 v1 et1
r
三、圆周运动的切向加速度和法向加速度
at r
也是常数
法向加速度
加速度
an r 2
2
r
不是常数 (10)
a at an r et r 2 en
d dt
设t=0时, =0, =0; 则
d dt
d dt
0 t
2 2 02 2 ( 0 )
即
dy 由速度的定义得 v v0 e 1.0t dt
两边积分, 得
dy 0e1.0t dt
y
0
dy v0 e-1.0t dt
0
t
即
y v0[1 e
]
y
代入初速度, 得
y 10[1 e1.0t ]
上海师范大学
2 /23
§1.1
质点运动的描述
v v0e
为小球已停止运动; （2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
解：如图建立坐标系.
由加速度定义得
v
a
t dv 两边积分, 得 1.0 dt v0 v 0
d 1.0 dt
即
d 1.0dt
1.0t
o
v0
-1.0t
即
lnv - ln0 1.0t
化简得
自然坐标系
1 2 βt 2
****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 θ = θ 0 + ωt x = x0 + Vt 匀变速圆周运动 匀加速直线运动 ω = ω 0 + βt V = V0 + at 1 1 θ − θ 0 = ω 0t + βt 2 x − x0 = V0 t + at 2 2 2 2 2 2 2 ω − ω 0 = 2 β (θ − θ 0 ) V − V0 = 2 a ( x − x 0 ) ******************************************************
4
V2
V2 ⇒ρ= ：计算曲率半径 （4） a n = ρ an 例： R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始，
速率均匀增加， t =3（分） ， V =20m/s r ， a ， at ， a n 求： t =2（分） 解：设 V = kt ，t=3（分）=180s， V =20m/s
k =20/180=1/9， V = t /9 dV at = = 1 / 9 = 0.111(m / s 2 ) dt t =2（分）=120s， V =120/9(m/s) V2 = 0.222m / s 2 an = R
at
α
an R
O
r a
2 a = at2 + a n = 0.248m / s 2 ， tgα = a n / at =2， α = 63.4 o
第5节
P
相对运动
S ′ 相对于 S 作平动运动 r r r r = r ′ + r0 r r r ∆r = ∆r ′ + ∆r0 r r r dr dr ′ dr0 = + dt dt dt
运动学中的圆周运动与角速度分析
航空器稳定系统
准确的角速 度控制
提高飞行稳 定性
电动车转向系统
01 转向控制
依赖角速度传感器
02 转向灵活性
提高效果
03
摆锤动力学
周期关系
与角速度密切相关
优化运动轨迹
通过角速度分析实现
总结
角速度分析在工程设计中起着重要作用，无论是 汽车倒车雷达、航空器稳定系统、电动车转向系 统还是摆锤动力学，都能通过角速度分析实现更 高的性能和精度。
感谢观看
THANKS
未来展望
智能制造
角速度技术在智能制造中 的应用
医疗领域
角速度分析在医疗设备中 的创新应用
交通运输
角速度在交通运输中的重 要性
军事应用
角速度分析在军事设备中 的应用前景
角速度分析
创新技术
角速度分析的新 技术发展
数据分析
使用角速度数据 进行分析
效率提升
角速度分析对工 程效率的提升
实践应用
角速度分析在实 际工程中的应用
螺旋桨设计
推进效率
螺旋桨设计需考虑不同角 速度下的推进效率 高效的角速度分析有助于 提高螺旋桨的推进效率
形状设计
角速度分析可以帮助设计 出符合要求的螺旋桨形状 不同角速度下的螺旋桨形 状对推进效率有显著影响
性能优化
优化螺旋桨设计和角速度 控制有助于提升飞行器的 性能 更高效的推进系统能够提 高整体性能水平
角速度规律
角速度与圆周运 动的关系
角速度分析
角速度分析的重 要性
角速度分析应用
角速度分析在工程设 计中扮演着至关重要 的角色。无论是机械 设计、航空航天、建 筑工程还是电子产品 制造，角速度的合理 应用都能带来更高效 和更安全的设计方案。 未来随着科技的不断 发展，我们可以预见 角速度分析将在更多 领域得到应用，并为 各行各业带来更多创
曲线运动的法向和切向加速度
x
an
a
y
2
g
2
dv gt a 2 dt v0 g 2 t 2
与速度同向
an g a
2
v0 g v0 g 2 t 2
2
与切向加速度垂直
圆周运动的角量描述
v2
v B 1 A s R
O
A t t t B
X
角位置 角位移
沿逆时针转动，角位移取正值 沿顺时针转动，角位移取负值
两类运动学问题
1、已知运动方程，求速度、加速度 求导数 2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程 运用积分方法 注意 讨论问题一定要选取坐标系 注意矢量的书写
r r r r dr , ds, dv , dt 与Vr ,Vs,Vv ,Vt 的物理含义
• 1.自然坐标系：就是将坐标原点固定在运动 质点上，取质点的速度方向（曲线的切线方 向）为一个坐标轴（切向轴）的正方向，其 单位矢量用 表示，取与切向正交、且指向 曲线的凹侧的法线方向为另一个坐标轴（法 向轴）的正方向，其单位矢量用 n 表示。由 于这种坐标系的切向坐标轴和法向坐标轴会 随着质点的运动自然变换方向，故叫做自然 坐标系。
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
解：(1)
x v0 t 1 2 y gt 2
o
v0
x
an
a
1x g y 2 2 v0
2
y
g
(2)
vx v0 , v y gt
v v x v y v0 g t
gt arctg v0
2 2 2 2 2
o
v0
dv v a n dt R
1-2圆周运动
s ′
A
加速度不同, 各点的速度 加速度不同,用以往的速度加速 度描述不便,为此引入角量描述. 度描述不便,为此引入角量描述.
先要规定参考方向) (1)角位置 角坐标) (1)角位置 θ(角坐标) (先要规定参考方向) 圆心到质点 所在位置 b 的连线与参考方向之间 X θ 的夹角 O
y
v0
22.5 70 m
o
0
θ
vx
x
vy v ( 1) 若以摩托车和人作为一质点 , 则其运 ) 若以摩托车和人作为一质点, 动方程为 x = (v0 cosθ 0 )t 1 2 y = y0 + (v0 sinθ 0 )t 2 gt
v x = v0 cosθ 0 运动速度为 v y = v0 sinθ 0 gt
dθ = π + 2π t 所以质点的角速度为 ω = dt dω 质点的角加速度为 β = = 2π dt 质点的切向加速度为 aτ = Rβ = 2πR
2
解 因为θ = π t + π t 2
质点的法向加速度为 an = ω R = (π + 2π t ) R
2
3.已知某质点的运动方程为 已知某质点的运动方程为 r = (a + b cosω t )i + (c + d sinω t ) j 取SI制,其中 ,b,c,d,ω 均为常量. 制 其中a, , , , 均为常量. (1)试证明质点的运动轨迹为一椭圆; )试证明质点的运动轨迹为一椭圆; (2)试证明质点的加速度恒指向椭圆中心; )试证明质点的加速度恒指向椭圆中心; (3)试说明质点在通过如图中给定点 时, )试说明质点在通过如图中给定点P 其速率是增大还是减小? 其速率是增大还是减小?
自然坐标系
v 2 (t ) an R
ˆ v v(t )
3 一般平面曲线运动
dv v 2 a n dt
曲线变化缓慢大 曲线变化急大
详细推导
ˆ v v
ˆ dv dv d ˆ a v dt dt dt
ˆ d的大小为 d 1
• 随质点一起运动，自然变换位置和方向。
举例：圆周运动 1 匀速圆周运动 速度 大小：v=衡量
ˆ n
ˆ
方向：切向
ˆ v v
v ˆ ˆ a an n n R
2
a 加速度 大小： n v / R
2
方向：指向圆心
2 变速率圆周运动 速度 加速度
ˆ ˆ a a an a an n
dv a dt 2 v an
a
a a
a 2 an 2
2 2 2
dv v dt
a tg an
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正是加速 度的法向分量改变了质点的运动方向。
1.3 角量描述
v2 B v1
§1.2 自然坐标系
• 自然坐标中的位置、路程和速度
（1）自然坐标
s st
ˆ
s st
ˆ ˆ (2) 自然坐标系n,
P
ˆ n
Q
O
ˆ n
ˆ
ˆ 切向单位矢量
ˆ ˆ n 1
（沿轨道法向并指向轨道凹侧。）
（沿轨道切向并指向质点前进的方向。）
ˆ 法向单位矢量 n
自然坐标的特点
ˆ 方向为n
dˆ d d dr v ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n dt dt dt dt
[精品]掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤
![[精品]掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤](https://img.taocdn.com/s3/m/08ccb10d5901020207409c3a.png)
方法二：直角坐标法 ①列动点的运动方程。 建立直角坐标系Oxy，如图所示。 图示几何关系：x=Rsin2φ y=Rcos2φ y 故点M的运动方程为 O' x=Rsin2ωt a 2 a y=Rcos2ωt O ②求点的速度。 vx= dx/dt = 2Rωcos2ωt vy= dy/dt =-2Rωsin2ωt A 点M速度的大小为： v =√vx2+vy2 = 2Rω 速度的方向余弦： cos（v，i）= vx/v= cos2ωt=cos2φ
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得 v = v0 + at s = s0+ v0t +at² /2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0） 4、匀变速曲线运动 an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt² /2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆 与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。 方法一：自然坐标法 ①分析动点的运动、建立弧坐标轴。 动点套环M的轨迹为沿固定圆环 的圆周运动。以圆环上的O′点 为弧坐标原点，顺时针为弧坐标 正向，建立弧坐标轴。 ②列动点的运动方程。 图示几何关系：s = R（2φ） 故有： s= 2Rωt
③求点的速度、加速度。 由v = ds/dt得 v = d（2Rωt）/dt=2Rω 速度v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。 由an = v2/ρ，aτ=dv/dt得 aτ=dv/dt=0，an = v2/ρ=4Rω2 即点M的全加速度为：a=an=4Rω2 a的方向即 an的方向，自M点半径指向圆心。 （套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。）
2020年高考物理总复习：圆周运动
第3节圆周运动1. 匀速圆周运动(1) 定义：做圆周运动的物体 ，若在相等的时间内通过的圆弧长 相等 ，就是匀速圆周运动.(2) 特点：加速度大小 不变__,方向始终指向 圆心，是变加速运动.(3) 条件：合外力大小 不变 、方向始终与 线速度 方向垂直且指向圆心.2. 描述圆周运动的物理量常用的有：线速度、角速度、周期、转速、频率、向心加速度等.它们的比较见下表：定义、意义公式、单位 线 速 度1•描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)2.是矢量，方向和半径垂直，和圆 周上每点切线方向相同 △ l 2 n r 1 v = 一 △ t T 2.单位：m/s角 速 度1•描述物体绕圆心运动快慢的 物理量(w )2 .是矢量，在中学阶段不研究其方 向 △ 0 2 n 1. G= . = T△ t — T — 2.单位：rad/s 周期和频率1•周期是物体沿圆周运动一周的时间(T)2.频率是物体单位时间转过的__圈数⑴2 n r 卒/亠1.T = ;单位：s v2. f = T ；单位：Hz向心加速度1•描述线速度—方向一变化快慢的 物理量(a) 2.方向指向圆心2彳 v r 21.a = = r wr22.单位：m/s公式 相互 关系1.v = r wv 一 24 n r2. a = = r w= wv= _2rT23.对公式v = r 3和a = * = r w 2的理解r 一定时v 与w 成正比(1) v = r w w —定时v 与r 成正比v 一定时w 与r 成反比v22 v 一定时a 与r 成反比(2) a = —= r w cr w —定时a 与 r 成正比考点勒 匀速圆周运动的运动学问题【P 】夯实基础4.几种常见的传动装置（1）传动装置的分类主要有四种：①共轴传动（图甲）;②皮带传动（图乙）;③齿轮传动（图丙）;④摩擦传动（图 丁）•（2）传动装置的特点传动问题包括皮带传动（链条传动、齿轮传动、摩擦传动 ）和同轴传动两类，其中运动学物理量遵循下列规律.① 共轴转动的轮子或同一轮子上的各点的角速度大小 ② 皮带传动的两轮，皮带不打滑时，皮带接触处的线速度大小 相等__.链条传动、摩 擦传动也一样.③ 齿轮的齿数与半径成正比 ，即周长=齿数X 齿间距（大小齿轮的齿间距相等）.④ 在齿轮传动中，大、小齿轮的转速跟它们的齿数成例1自行车运动是治疗帕金森病有效、 廉价的方法 衡能力和协调能力，缓解焦虑和抑郁等都有重要作用. 大齿轮、小齿轮、后轮的半径分别为 R i 、R 2、R 3, A 、B 、C分别是三个轮子边缘上的点. 三个轮子在踏板杆的带动下一起转动时 ，下列说法中正确的是（）【解析】大齿轮边缘的A 点和小齿轮边缘上的 B 点线速度的大小相等，根据v = wR 可 知R i w i = R 2W 2,所以—*"= R , A 错误；小齿轮边缘的 B 点和后轮边缘的 C 点共轴，所以转W 2 R i2 n2 nW 3= W 2,根据T =—.所以B 与C 的周期相等，即T 2= T 3；根据T =w w相等反比 ,对提高患者总体健康状况、 图示是某自行车的部分传动装置 改善平,其 当A .B .C . 小齿轮B 两点的角速度大小之比为 1 :C 两点的周期之比为 R i : R 2C 两点的向心加速度大小之比为 C 两点的向心加速度大小之比为R : R 22R 2 : (R I R 3)动的角速度相等即则A 与B 的周期之比:* =加至所以A、C 两点的周期之比为口T 3 R i ，B 正确；小齿1大由伦JH 轮轮边缘的B点和后轮边缘的C点共轴，所以转动的角速度相等，根据a= w2r,可知B、C 两点的向心速度大小之比为a2：83= R2R3, C错误；大齿轮边缘的A点和小齿轮边缘上的B2 2点线速度的大小相等 ，根据a =—,所以a i ：2= R 2 R i .所以~ = — = _ _ =, D 正确.r a 3 R 3 R 1R 3 R 1R 3【答案】BD针对训练1.如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的 一半，则轮1边缘的a 点和轮4边缘的c 点相比（D ）A .线速度之比为1 : 4 B. 角速度之比为4 ： 1 C. 向心加速度之比为 8 : 1 D .向心加速度之比为1 : 8由题意知2V a = 2V 3= V 2= V c ,其中V 、V 为轮2和轮3边缘的线速度，所以V a ：V a V a2.如图所示,质量相等的A 、B 两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动 ，且与圆筒保持相对静止，下列说法中正确的是（D ）A. 线速度V A >V BB. 运动周期T A >T BC. 筒壁对它们的弹力 N A = N B D .它们受到的摩擦力f A = f B【解析】A 和B 共轴转动，角速度相等即周期相等，由V = r 3知，A 转动【解V c = 1 : 2, A 错.设轮87=8a c ,即 aa ：a c = 1 : 8, C 错,.3aD 对.一= 3cr a =空=1V c 2V a 4,B 错. ，由 N = mr 32 知,则摩擦力相等，即24的半径为r ,贝U a a = ¥的半径较小则A的线速度较小，故A、B错误.A和B做圆周运动靠弹力提供向心力A的半径小，则N A<N B,竖直方向上重力和静摩擦力平衡，重力相等，f A = f B ,故C 错误，D 正确.3•半径为R 的水平圆盘绕过圆心 0的竖直轴匀速转动，A 为圆盘边缘上一点，在0 的正上方有一个可视为质点的小球以初速度 v 水平抛出，半径0A 恰好与v 的方向相同，如图所示.若要使小球与圆盘只碰一次，且落在A 处，已知重力加速度为g ，则圆盘转动的角速度可能为(C)C.【解析】小球做平抛运动，小球在水平方向上做匀速直线运动，则运动的时间为：t 弋,2n n 2n n v根据小球与圆盘只碰一次 ,且落在 A 得：3 = 2n n;得：w== (n = 1、2、3…)；与四个选项比较可知，只有C 选项正确.A.n v2RB. n v■R "D.考点2匀速圆周运动的一般动力学问题【P 66】夯实基础3. 几种常见的匀速圆周运动的实例(1)火车转弯问题在平直轨道上匀速行驶的火车 ，所受合外力为零，在火车转弯时，什么力提供向心力呢？ 在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供. 若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供 ，而这样对车轨会造成损坏. 车速大时，容易出事故.设车轨间距为L ,两轨高度差为h ,车转弯半径为 R ,质量为M 的火车运行时应当有多 大的速度？ 根据三角形边角关系知前心h，对火车的受力情况分析得tane=需一L 2\h 2匚因为e角很小，粗略处理时,取sin 貝tan e,故L = Mg ，所以向心力 为F =詈,所以车速v h ,；乎.(2)圆锥摆4.离心运动⑴定义：做圆周运动的物体 ，在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周运动所需向 心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动.⑵本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性总有沿着圆周切线飞出去的倾向. (3) 受力特点① 当Fn = m w 2r 时，物体做圆周运动.② 当F n = 0时，物体沿切线方向飞出.③ 当F n <m w 2r 时，物体逐渐远离圆心，做离心运动. ④ 当F n >m w 2r 时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动.F =flMg ,又因圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动,此类模型的特点是:① 运动特点：物体做匀速圆周运动 ② 受力特点：物体所受的重力与弹力 ,轨迹和圆心在水平面内；(拉力或支持力)的合力充当向心力 ,合力的方向是 水平指向圆心的，F = mgtan a .③周期特点：mgtan a = m w 2htanL 为圆锥摆的摆长.摆长不同的圆锥摆,只要圆锥高度相同，周期就相同.例2如图所示，光滑杆O' A的O'端固定一根劲度系数为k= 10 N/m ,原长为1 m的轻弹簧，质量为m= 1 kg的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接，0' 0为过0点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为0= 30° ,开始杆是静止的，当杆以O O为轴转动时，角速度从零开始缓慢增加，直至弹簧伸长量为0.5 m , g取10 m/s1 2 3,下列说法正确的是（）A .杆保持静止状态时，弹簧的长度为0.5 mB. 当弹簧恢复原长时，杆转动的角速度为亠2° rad/sD .在此过程中，杆对小球做功为C. 当弹簧伸长量为0.5 m时，杆转动的角速度为4^5rad/s【解析】当杆静止时，小球受力平衡，根据力的平衡条件可得：mgsin 30°=kx,代入数据解得：x= 0.5 m，所以弹簧的长度为：l i = I。
大学物理12圆周运动
基本参考系
S'系(O' x' y' z')
运动参考系
u是S’系相对S系
运动的速度
1-3 相对运动
yy'
P P'
*
oo'
xx'
t0
y
o
P
y'
D
r
P'
uQ
r'
xx'
ut o' t t
第一章 质点运动学
22
物理学
第五版
位移关系
r r'D 或 r r'ut
速度变换
r r' u t t v v'u
理解伽利略速度变换式, 并会用它求简 单的质点相对运动问题．
第一章 质点运动学
2
物理学
第五版
质点运动的自然坐标描述
自然坐标系 —— 坐标原点固接 于质点, 坐标轴沿质点运动轨道
1-2 圆周ev运t 动 evt B
的切向和法向的坐标系，叫做自
然坐标系。切向以质点前进方向 A
为 侧正方，向记 为做 正，ev记t ，做法ev向n以。曲线凹
y
A
r
二 圆周运动的角速度
❖ 角坐标 (t)
o
❖角位移
y
xx
B
❖ 角速度
lim
d
t0 t dt
r A
o
x
单位：rad·s-1
第一章 质点运动学
4
物理学
第五版
1-2 圆周运动
❖ 速率 v lim Δs r lim Δθ
Δt0 Δt
Δt0 Δt
2自然坐标系--切向加速度和法向加速度
第二节 自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系 •问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看 出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
2. a C , an 0
3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例
解：
vห้องสมุดไป่ตู้
a
g
an
v
想一想：何处 曲率半径最大？ 何处最小？
dv a kR 解： 切向加速度 dt 2 2 ( kRt) v 2 2 法向加速度 a n k Rt R 2 2 加速度 a a an
kR k Rt
2 2
2 2
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
讨论下列几种运动情况：
1. a 0 , an 0 匀速直线运动；
v v 0 vnn0 （1）
v A n B v vB τ 其中 v 为速度增量在切线方向的分量；
vn
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0
vA
vA
法线方向的单位矢量。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
1-2 质点运动学 (角速度 角加速度 相对运动)
在自然坐标系中的质点加速度：
a
d
dv d
dt dt
d
n
(v) dv
dt
d
d
n
v d
dt d ds
dv
dt
n
1
vn
v2
n
dt dt ds dt
ds
v
d
5
a
dv
d
(v)
dv
v2
n
dt dt
dt
切向加速度
a
a
反映速度大小变化
法向加速度
an
v2
n
反映速度方向变化
角加速度
lim d d 2
t0 t dt dt 2
单位：rad/s2
角加速度等于质点的角速度对时间的一阶导数
考虑矢量性 质点的 角d坐标对时间的二阶导数
加速转动
dt
方向一致
减速转动
方向相反
11
角量之间的关系：
匀速圆周运动 是恒量
d dt
d
t dt
0
0
0 t
匀角变速圆周运动
§1-3 自然坐标系 圆周运动
一、自然坐标系
物体的运动状态的物理量：位矢、位移、速度和加速 度。通常建立直角坐标系进行描述。
但直角坐标系统并非总是很方便。例如：汽车在公路 上行使；运动员沿操场跑道跑步；物体沿圆周运动。
通常做法是：是选取一个起点，然后用路程、速度和 加速度描述其运动。
当质点做曲线运动，且运动的轨道已知时，选取一 个起点，然后用路程、速度和加速度描述其运动。
质点作变速直线运动 质点作匀速圆周运动 质点作任意圆周运动
13
自然坐标系中的速度、加速度
速度的矢量表示
总结词
速度的矢量表示包括大小和方向两个方 面，通常用箭头表示方向，用绝对值表 示大小。
VS
详细描述
矢量表示法是速度最常用的表示方法，它 能够完整地描述速度的大小和方向。在自 然坐标系中，速度的大小由箭头的长度表 示，箭头的指向代表速度的方向。
速度的标量表示
总结词
速度的标量表示只考虑速度的大小，忽略方向，通常用绝对值表示。
特点
自然坐标系与质点运动的具体轨迹相 关，可以直观地描述速度和加速度的 方向和大小。
自然坐标系的应用
描述曲线运动
自然坐标系常用于描述质点在曲线上 的运动，如行星绕太阳的椭圆轨道运 动。
分析动力学
在分析力学中，自然坐标系用于描述 质点的速度和加速度，进而研究其动 力学行为。
自然坐标系与直角坐标系的区别与联系
02
03
健康管理
在健康管理中，个人的速度和加速度 可以用来监测身体的运动状态，从而 进行科学的健身计划和健康管理。
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定义法
根据加速度的定义式计算，即加速度等于速度的变化量除以时间的变化量。
公式法
根据加速度的公式计算，即加速度等于速度的导数或切向加速度。
02
速度在自然坐标系中的 表示
速度的定义
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度是矢量，具有大小和方向，通常用符号"v"表示。在自然坐标系中，速度的 大小等于物体在单位时间内通过的直线距离，方向则与物体位移的方向相同。
详细描述
匀速直线运动是指物体在直线轨道上以恒定速度进行的运动，其方程为 $s = v_0t$，其中 $s$ 是位移， $v_0$ 是初始速度，$t$ 是时间。
自然坐标系中的速度加速度
即定义了一个矢量
3）角速度
a）平均角速度
定义：
t
2
1
注意：平均角速度不是矢量
b）瞬时角速度
定义：
d
O
注意 ： dt
O
1） 与转动方向成右手缧 旋关系
2020/5/22
通常是画在坐标原点处。
注意 ：
1） 与转动方向成右手缧 旋关系
通常是画在坐标原点处。
2）单位 [] [ ] S 1
其质点运动方程为：s s(t)
为表示矢量建立切向单位矢和法向单位矢 ˆ, nˆ 2020/5/22
三）平面自然坐标系中的速度
s
ˆ s
c r
s O’
运动方程为
r lim s dss(为t)瞬时速率
lim O
dt dr
v
dt
r
v
lim 2020/5/22
t0 t
lim r s s t
lim s lim r t s
a
a an a
v2 nˆ dv ˆ
a
讨论：
dt
S a a 0,
0 ,
2
v
a 0, 90, v const
2020/5/22
a 0,
,
2
v
讨论： A):直线运动中 ( )
a
X
an
a
又若
v2
a
dv
0；
dv dt
0；
a
dv dt
ˆ ；
v cinst
4）角加速度
A）定平义均：角加 速度（
[t ]
）
t
1
2
T+t
2 1
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
方向在圆周的切线方向上。
5
同样可以得到加速度：
d d d aR ( sin i cos j ) R ( cos i sin j) dt dt dt
2 R ( sin i cosj ) R (cosi sin j )
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
这时加速度可以表示为 a aτ t an n
6
由于τ与n相互垂直，加速度a的大小与aτ 、an的 关系为 2 2
a a an
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。 解：ω=3t2+3
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
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α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
α等于恒量时作匀角加速度运动。
3
对匀角加速运动有： ω=ω0+ α t
1 2 0 0t t 2
0 ( 0 )t
2 2 0 2 ( 0 )
1 2
4
2 线量与角量的关系：质点做圆周运动时也可以用速 度、加速度来描述。 由于位置矢量可以表示为 r xi yj R cosi R sin j
t=2s时
α =6t
ω=3×22+3=15(rad/s)
α=6×2=12(rad/s2)
aτ =R αห้องสมุดไป่ตู้=0.5×12=6(m/s2)
an=Rω2=0.5×152=112.5(m/s2)
7
3 用自然坐标系描述平面曲线运动的速度与加速度 自然坐标系将质点的运动轨迹 作为坐标的一个轴，在质点运 动轨道上任取一点作为坐标原 点O ，运动函数为：S=S(t) 质点在P点的坐标轴的方向由 沿S的切向及法向矢量构成。
10
例2、以仰角θ=450、初速v0=20m/s抛出 一物体。求抛出后第2秒末物体的切向加 速度、法向加速度、和轨道的曲率半径。
Vx=V0cosθ=20cos450=14.14m/s
vy
an
vx
Vy=V0sinθ-gt= -5.46m/s
V V V 15 .13m / s
g
at
v
2 x
2 y
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、 a、s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
△τ=1× △ θ 当△t→0时， dτ=1× d θ、方向指向曲率中 心（即法向）。 d d n dt dt
dv d n 得：a v dt dt
切向加速度分量 法向加速度分量
dv a dt
d v d v ds v 2 an v dt dt dt
速度大小为 v=Rω
方向在圆周的切线方向上。
5
同样可以得到加速度：
d d d aR ( sini cosj ) R ( cos i sin j) dt dt dt 2 R ( sini cosj ) R (cosi sinj )
d lim t 0 t dt
2
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
dr d d v R sin i R cos j R d ( sini cos ) j dt dt dt dt
Y
V
r
d R [cos( )i sin( ) j ] dt 2 2
X
括号中的项是与r垂直的单位矢量
将沿S的切向指向弧坐标正向的单位矢量记为τ（切向单位矢量）。
沿S的法向且指向曲率中心的单位矢量记为n（法向单位矢量）。
ds v v 质点在P点的速度 dt dv d a v 质点在P点的加速度 dt dt
8
c
τ'
ρ
τ' τ
dv 其方向沿轨道的切向，称为切向 由于 dt 加速度。 d ? 再看 dt
d r dr d er er r 质点的运动速度： dt dt dt 其中 dr/dt 表示矢量 r 的模的变化率。 与圆周运动的情况比较：er r0
可以证明平面
位置矢量为：
r rer
极坐标的速度为
d r dr d er r e dt dt dt
第一章 质点运动学
1
§1-3 圆周运动
1 圆周运动的角量描述：质点做圆周运动时，轨道上 的任意点到圆心距离为R,用一个变量θ即可描述其运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
X
θ=θ(t)
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
令： τ为圆周的切向上的单位矢量
sini cosj
切向加速度为 a R R d d ( R ) dv
dt dt
n为圆周法向上的单位矢量
法向加速度为
dt n (cosi sinj )
( R ) 2 v 2 an R 2 R R
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
这时加速度可以表示为 a aτ an n t
6
由于τ与n相互垂直，加速度a的大小与aτ 、an的 关系为 2 2
a a an
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。 解：ω=3t2+3