自然坐标系中的描述及相对运动

v v vn
t 0 0,OFD 2
vvn
沿A点的切线方向(平行)
沿A点的法线方向(平行 n)
a lim v lim v lim vn
t0 t t0 t t0 t
O
t 0
vv21Dv•nvF
v
E
v v
lim v
t0 t
dv dt
=a
切向加速度
an
lim
t 0
vn t
法向加速度
口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射
时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
解：(1) x v0t
y 1 gt 2 2
o
v0
x
1 x2g
y 2
v
2 0
an
a
y
g
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2-2 圆周运动 角量
1、圆周运动中的切向加速度和法向加速度
曲率半径是恒量 a dv v2 n
dt R
匀速圆周运动v c a v2 n 向心加速度
R
2、圆周运动的角量描述
t A
角位置
t t B 角位移
v2 B v1
R s A
沿逆时针转动，角位移取正值
O
X
沿顺时针转动，角位移取负值
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
运动方程
消去时间t
av
d 2rv dt 2
d2x dt 2
v i
d2y dt 2
v j
轨迹方程
两类问题： r r(t) v or a (x x(t) vx or ax )
a a(t) v or r (ax ax (t) vx or x)
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例2：手球运动员以初速度v0与水平方向成α0 角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，与水 平线夹角为θ，求(1)球在M点速度的大小；(2)球 在M点处的切向加速度和法向加速度大小；(3)M 点处的曲率半径。
解:(1)水平方向
v
vx v0 cos v cos
4. 加速度
A v1
n B
C
v2
A：v1 t B：v2
速 度Ov增量vv21Dvv•nvvFvEv2vn v1
取
DE FD
O由由D于于速速v度1度方大向小改不变同而而D引引E起起的的v速2速度度v变1变化化vvvn
a
lim
v
lim v lim vn
t 0 t
t0 t t0 t
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
A v1
n B
C
v2
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
a
a
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dv dt
v2
n
a
an
a
a a a 2 an 2
dv dt
2
v2
2
tg a
an
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正 是加速度的法向分量改变了质点的运动方向。
2）作曲线运动的质点an 不能为零。 恒 ×
3） a恒等于零的运动是匀速率运动。
4）作变速率运动的质点 a不能为零。 小结：
√ 恒
×
(1) a 0 匀速率运动； a 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动; an 0 曲线运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例1.由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪
v v0 cos cos
v0
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) 将g分解可得：
a g sin
an g cos
(3) 因为
an
v2
故有：
v2 v02 cos2 an g cos3
v0
a
v
an g
想一想：何处曲率半径 最大？何处最小？
试一试：用其它方法求 曲率半径？
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
试一试：另一种推导法：
v v a dv dv v d
dt dt dt
讨论
dv dv ? dt dt
a
a
？？
vA
v
vB
v
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
思考： 判断下列说法是否正确？
1）an恒等于零的运动是匀速率直线运动。 ×
2-1. 在自然坐标中描述质点的运动
1. 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O的路程 长度 s，可唯一确定质点的位置。位置 s有正负之分
2. 位置变化: s
3. 速度： 沿切线方向。
v dr ds dt dt
v p
p s
s
n
v v ds
o
dt
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
定义角速度 lim d t0 t dt
单位：rad/s
角速度等于角位置对时间的一阶导数
定义角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
单位：rad/s2
角加速度等于角速度对时间的一阶导数
或角位置对时间的二阶导数
匀速圆周运动 是恒量 0
t
t
d dt
0 d 0 dt
由于速度大小变化而 产生的，沿切线方向
由于速度方向变化而 产生的，沿法线方向
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
t 0 vn vn
an
lim
t 0
vn t
lim
t 0
v
t
n
v
d
dt
n
d d ds v d dt ds dt ds
ds d
an
v2
n
O
vv21Dv•nvF
v
E
2-0 回顾
相对性：参照系、坐标系
矢量性 瞬时性
r
r(t)
rv(t) rv(t t) rv(t) t 0 rv drv
v
dr dt
a d 2r dt 2
叠加性 直角坐标
r
r(t)
x(t)i
y(t)
j
vv
drv
dx
v i
dy
v j
dt dt dt
x
y
x(t) y(t)
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
讨论：一物体做抛体运动,已知 v0 , 讨论：
v0
Ag
n
B
g
n
C
ng
A
a
g
a g sin
an
g cos
v
2 0
gcos
B
g
0
g
v02cos 2
g
C g
g sin
g cos
v
2 0
gcos
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) vx v0 , v y gt
o v0
x
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2
tan1( gt )
v0
y
an
a
g
切向加速度
at
dv dt
g2t v02 g2t 2
与速度同向
总加速度总是竖直向下的重力加速度 g
法向
an
g2 at2
v0 g 与切向加速度垂直 v02 g2t 2