第二章曹雪虹习题答案

2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，

()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，

()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。 解：状态图如下

状态转移矩阵为：

1/21/2

01/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3

由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231

112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩

计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪

=⎨⎪

⎪

=⎪⎩

2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，

(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。

画出状态图，并计算各状态的稳态概率。

解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)p p

== (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)

p p

==

于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20

0000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

状态图为：

设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有

41

1i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 131

132

24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到1234514171

75

14W W W W ⎧=⎪⎪

⎪=⎪⎨

⎪=⎪⎪⎪=

⎩

2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：

(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；

(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。 解：

(1)

bit x p x I x p i i i 170.418

1

log

)(log )(181

61616161)(=-=-==

⨯+⨯=

(2)

bit x p x I x p i i i 170.536

1

log

)(log )(361

6161)(=-=-==

⨯=

(3)

两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61

62

63

64

65

66

共有21种组合：

其中11，22，33，44，55，66的概率是36

1

6161=

⨯ 其他15个组合的概率是18

161612=⨯⨯

symbol bit x p x p X H i

i i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛

⨯+⨯-=-=∑

(4)

参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：

sym bol

bit x p x p X H X P X i

i i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 36

12 )

(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=⎪

⎭⎫ ⎝⎛

+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨

⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑(5)

bit

x p x I x p i i i 710.136

11

log )(log )(36

11116161)(=-=-==

⨯⨯=

2-4

2.5 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：

设随机变量X 代表女孩子学历

X x 1（是大学生） x 2（不是大学生）

P(X)

0.25

0.75

设随机变量Y 代表女孩子身高 Y y 1（身高>160cm ）

y 2（身高<160cm ）

P(Y)

0.5

0.5

已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即：bit x y p 75.0)/(11=

求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即：bit y p x y p x p y x p y x I 415.15

.075

.025.0log )()/()(log

)/(log )/(11111111=⨯-=-=-=

2.6 掷两颗骰子，当其向上的面的小圆点之和是3时，该消息包含的信息量是多少？当小圆点之和是7时，该消息所包含的信息量又是多少？ 解：

1）因圆点之和为3的概率1()(1,2)(2,1)18

p x p p =+=

该消息自信息量()log ()log18 4.170I x p x bit =-== 2）因圆点之和为7的概率

1()(1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3)6

p x p p p p p p =+++++=

该消息自信息量()log ()log 6 2.585I x p x bit =-==

2.7 设有一离散无记忆信源，其概率空间为123401233/8

1/41/41/8X x x x x P ====⎛⎫⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（1）求每个符号的自信息量

（2）信源发出一消息符号序列为{202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210}，求该序列的自信息量和平均每个符号携带的信息量 解：12

2118

()log log 1.415()3

I x bit p x === 同理可以求得233()2,()2,()3I x bit I x bit I x bit ===