二次函数与几何面积

合集下载

《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》教学反思

《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问
题》的教学反思
《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十二章第三节第一课时的内容。

首先以一般式为例复习二次函数的图象与性质，然后以现实中很多抛掷球类问题可以用二次函数来表示引入新课。

探究一中，学生通过建立平面直角坐标系、求解析式、确定图象与x轴的交点坐标得出小球运动时间和特定时刻的高度。

随之，教师引导学生及时归纳总结最值问题及表达形式。

探究二中，学生通过列实际问题的二次函数解析式，逐步探究熟悉的围篱笆问题，重点研究自变量的取值范围和最值问题。

同时也夯实了学生们心中的疑惑，因为之前学生掌握的一条规律，但又不知道为什么。

在周长一定的情况下，围成什么形状时，面积更大。

九年级数学上册：动态几何中面积问题与二次函数结合

在九年级数学上册中，动态几何和二次函数是两个重要的内容，它们在数学中都占据着重要的地位。

而将动态几何中的面积问题与二次函数结合起来，则能够更深入地理解这两个内容，并发现它们之间的联系和应用。

接下来，我将以从简到繁、由浅入深的方式，探讨九年级数学上册中动态几何中面积问题与二次函数的结合。

1. 动态几何中的面积问题动态几何是指随着图形形状的变化而变化的几何学问题。

在九年级数学上册中，我们学习了一些常见的动态几何问题，比如图形的变化规律、面积的变化等。

在动态几何中，面积问题是一个重要的内容，我们常常需要根据图形的形状变化来求解图形的面积。

2. 二次函数的基本概念二次函数是数学中的重要内容之一，它的图像是一个抛物线。

在九年级数学上册中，我们学习了二次函数的基本概念，包括二次函数的一般式和顶点式等。

了解二次函数的基本概念，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。

3. 面积问题与二次函数的结合将动态几何中的面积问题与二次函数结合起来，可以帮助我们更深入地理解这两个内容，并发现它们之间的联系和应用。

在实际问题中，常常会遇到需要求解动态几何图形的面积，而这时候可以借助二次函数的知识来求解。

4. 个人观点和理解我认为，动态几何中的面积问题与二次函数的结合，不仅能够帮助我们更深入地理解这两个内容，而且还能够拓展我们的数学思维，提高我们的数学应用能力。

通过综合运用动态几何和二次函数的知识，可以更好地解决实际生活中的问题，并培养我们的创新意识和解决问题的能力。

总结在九年级数学上册中，动态几何中的面积问题与二次函数的结合，是一个重要而有价值的内容。

通过学习和掌握这个内容，可以帮助我们更好地理解动态几何和二次函数，并且提高我们的数学应用能力和创新意识。

期待通过文章的阐述，你能更全面、深刻和灵活地理解这个主题。

通过这篇文章，我希望你能够更深入地理解九年级数学上册中动态几何中面积问题与二次函数的结合，并且能够在实际问题中灵活运用这些知识。

第二章二次函数-二次函数与几何综合(教案)

5.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论和问题探究，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图像的几何变换：重点理解图像的平移、伸缩、对称等几何变换的规律及其对函数表达式的影响。
-平移变换：掌握二次函数图像向左、向右、向上、向下平移的规律，理解平移变换对函数解析式中常数项的影响。
-难点举例：在图像的平移、伸缩、对称变换中，如何正确调整函数解析式中的常数项和系数。
-解决方法：通过动态演示和实际操作，帮助学生直观地理解图像变换规律，并学会应用于实际问题。
（2）二次函数与几何关系的综合应用：学生对二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点的理解可能不深刻。
-难点举例：如何确定二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点，以及如何利用这些交点解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与几何综合》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算抛物线与坐标轴围成图形面积的情况？”（如篮球投篮的抛物线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与几何综合的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与几何综合在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决方法：通过典型例题的分析和讲解，使学生掌握求解交点的方法，并运用这些交点解决几何问题。

第22章二次函数知识点过关练习题二次函数与几何图形面积问题2021-2022人教九年级上册数学

人教版九年级上册数学《二次函数》知识点过关精准练（二次函数与几何图形面积问题）知识储备：1.对于二次函数y=-2x2+4x-5,当x=______时,y有最_______值,最_______值是_______.2.应用二次函数解决面积最值问题的步骤1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.2.找出等量关系,建立函数模型.3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.知识点过关精准练一、选择题。

1.用长40 m的篱笆围成一个矩形菜园,则围成的菜园的最大面积为( )A.400 m2B.300 m2C.200 m2D.100 m22. 如图,小明想用长为12 m的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( )A.16 m2B.18 m2C.20 m2D.24 m23.已知在直角三角形中两条直角边的和为18,则当三角形的面积最大时,其中一条直角边长为( )A.8B.9C.10D.124.如图所示,在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H(不与A,B,C,D各点重合),使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是( )A.1 350B.1 300C.1 250D.1 2005. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为( )A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定6.如图,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm.点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s 的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时则另一个动点也停止运动,则△APQ 的最大面积是( )A.0 cm2B.8 cm2C.16 cm2D.24 cm27. 用长为12 m的篱笆,一边利用足够长的墙围出一块苗圃.如图,围出的苗圃是五边形ABCDE,AE⊥AB,BC⊥AB,∠C=∠D=∠E.设CD=DE=x m,五边形ABCDE的面积为S m2.则S的最大值为 ( )A.12√3 m2B.12 m2C.24√3 m2D.没有最大值二、填空题。

人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(几何面积最值问题)课件

解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解：矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)

二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件

根据几何图形的特性，选择合适的二次函数模型来表示面积。
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数的变量，然后根据二次函数的性质，找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量，利用二次函数的性质求圆的最大面积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量，然后根据二次函数的性质，找到使面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现在二次函数最值处，可以通过求导数或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所

二次函数的几何面积周长

二次函数与几何图形结合---探究面积数量关系问题〖方法总结〗：在解答面积数量关系问题时，具体方法如下：①假设结论成立；②设出所求点的坐标，分别用所设出的点坐标表示出两个所求图形的面积，根据面积倍数关系列出关系式，求出点坐标；③根据所求点的不确定性和函数图像的性质，分情况讨论，当点在x轴左边和y轴下方时，yx,别取负值求解；当点在x轴右边和y轴上方时，yx,分别取正值求解。

〖例题精讲〗（2014.南充）如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x－1交于A、B两点.点A的横坐标为－3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D.(1)求抛物线的解析式；(2)当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD(3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.1.如图，二次函数Y=ax²+bx+c的图象与X轴交于A.B两点其中A点的坐标为（-1,0）点C（0,5）,D（1,8）在抛物上,M为抛物线的顶点(1)求抛物线的函数表达式;（2）求△MCB的面积（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。

2.（绵阳模拟）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的解析式，并求出顶点M的坐标；（2）若C点关于该抛物线对称轴对称的点为/C,求直线A/C的解析式；（3）在该抛物线位于第四象限内是否存在一个点P，使得△PAB的面积等于△MAB面积的一半？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

（2014昆明）（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.（1）.求抛物线的解析式；（2）.点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使，求K点坐标.二次函数与几何图形结合---探究直角三角形存在性问题〖方法总结〗：在解答直角三角形存在性问题时，具体方法如下：①假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；②找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：1.当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；2.当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径做圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；3.计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号），再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。

人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计

人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要介绍了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形面积的关系，让学生进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。

本节内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点，对于学生来说，理解并掌握二次函数与图形面积问题的解决方法具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对于二次函数的解析式、顶点坐标、开口方向等概念有了一定的了解。

但是，将二次函数与几何图形的面积联系起来，可能会对学生造成一定的困扰。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次函数知识与新的面积问题相结合，通过实例分析，让学生体会二次函数与图形面积问题的联系。

三. 教学目标1.理解二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.学会利用二次函数解决实际面积问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.难点：如何将二次函数与实际面积问题相结合，找出解决问题的方法。

五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生观察二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的数学思维能力。

3.小组合作法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例，以便在课堂上进行分析。

2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练。

3.准备多媒体教学设备，以便进行图象展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示一些实际的面积问题，让学生观察并思考这些问题与二次函数图象之间的关系。

3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试利用已知的二次函数知识解决呈现的面积问题。

初中数学上海中考压轴题中二次函数与几何面积问题的方法和题型总结

24题-- 二次函数与面积问题求解方法总结刘国杰前言：关于二次函数与几何图形面积问题，上海中考一模或者二模24题压轴题，每年都会有1-2个区（郊区为主）会考察。

所占比例不高，主要原因就是这类问题难度不大，玩不出高深的技巧。

我们用神的视角来看，首先从考察的图形来分析，要么是求三角形面积，要么求四边形面积，都是不规则的图形，当然三角形会更多一点；其次从图形的形成特点来分，有这么几种：固定形状的、由动点产生的面积、由动线产生的面积、由动图形产生的面积。

虽然看似不同，变化多端，但不管如何变化，归纳总结之后，大多考察的形式就分为以下3点：1、求面积最大值问题；2、已知面积大小求其它条件；3、已知面积比求其它条件。

那么我们只要牢牢掌握这三类问题的解决方法，顺应题型和条件灵活调整，就可视它为蝼蚁，轻松碾压。

牛逼吹过了，来看看解决的方法，两大主要思想是：直接根据面积公式代入求值和割补法。

【题型一】：求面积最大值问题【典型例题】如图，已知抛物线经过点(1,0)C三点．A-，(3,0)B，(0,3)（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作//MN y轴交抛物线于N点，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，当m为何值时，BNC∆的面积最大．【典型例题】如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使QMB ∆与PMB ∆的面积相等？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使RPM ∆与RMB ∆的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．【典型例题】1．已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标；2．在平面直角坐标系中，过点(3,4)A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S ∆∆=时，求点P 的坐标．3．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC ∆沿BC 所在的直线翻折，得到DBC ∆，连接OD ．（1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）设OBD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，若1223S S =，求a 的值．。

九上数学二次函数几何图形的最大面积

A、B同时出发，那么经过3
秒，四边形APQC的面积最小.
3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
45．
O
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小
h= 30t - 5t 2
12 34 56
t/s
球运动中的最大高度是 45 m．
典例精析
例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是
多少？
h/m
可以出，这个函数的图象是一
40
条抛物看线的一部分，这条抛物
h= 30t - 5t 2
线的顶点是这个函数的图象的最 20
高点.
也就是说，当t取顶点的横坐 O 1 2 3 4 5 6
t/s
标时，这个函数有最大值.
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一
边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s
解:根据题意得
S=l(30-l), 200
即 S=-l2+30l (0<l<30).
100
因此，当 l b 30 15 2a 2 (1)

二次函数与几何综合-面积问题(解析版)

专项11 二次函数与几何综合-面积问题【方法1直接法】一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边【方法2 铅锤法】铅锤高水平宽⨯=21S 【方法3 其他面积方法】如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【方法4 利用相似性质】利用相似图形，面积比等于相似比的平方。

【方法1 铅锤法求面积】【典例1】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8 （2）【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠OCB，∴Rt△PFD∽Rt△BCO，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝【变式1-1】（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3 （2）①﹣m2+m+3 ②【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①当点P在第三象限时，设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②当点P在第四象限时，设PD交y轴于点M，同理可得：S△POD＝×OM（x D﹣x P）＝﹣m2+m+3，综上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；【变式1-2】（2021秋•龙江县校级期末）综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是（，）；（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），设BC的解析式为y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；（2）如图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，连接BC交直线x＝于点P，连接P A，此时P A+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∴x＝时，y＝﹣+4＝，∴此时P（，）．故答案为：（，）；（3）设Q（m，﹣m2+3m+4）过Q作QD⊥x轴，交BC于点D，则D（m，﹣m+4），∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∵B（4，0），∴OB＝4，，当m＝2时，S△BCQ取最大值，最大值为8，∴△BCQ面积的最大值为8；【变式1-2】（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，设BC的直线解析式y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；【方法2 其他方法】【典例2】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，函数的对称轴为：x＝1；（2）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．【变式2-1】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6 （2）P（，）【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，∴C（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，∴PD：DE＝1：2，∴PE：DE＝3：2，∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），解得，m2＝6（舍去），∴P（，）；【典例3】（淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（2）G的坐标为（0，）或（﹣15，﹣45）．【解答】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（2）存在点G，当点G在x轴的上方时，设直线DG交x轴于P，设P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．由题意：AE：BF＝3：5，∵BF∥AE，∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，解得t＝﹣15，∴直线DG的解析式为y＝x+，由，解得或，∴G（0，）．当点G在x轴下方时，如图2所示，∵AO：OB＝3：5∴当点G在DO的延长线上时，存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx，将点D代入得k＝3，故y＝3x，则有整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，得x1＝1（舍去），x2＝﹣15当x＝﹣15时，y＝﹣45，故点G为（﹣15，﹣45）．综上所述，点G的坐标为（0，）或（﹣15，﹣45）．【变式3】（2021秋•南阳）如图，对称轴为x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的解析式．②若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）点B的坐标为（1，0）（2）①y＝x2+2x﹣3②点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a＝1时，∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，∴＝﹣1，解得b＝2，将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；②∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×OC×|x|＝4××OC×OB，即×3×|x|＝4××3×1，∴|x|＝4，解得x＝±4，当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5，∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；1.（2021秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9）；（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，∴C（0，5），过点M作ME⊥y轴于点E，∴S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；2．（2022•东方二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为A，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设直线BC的解析式为y＝kx+m，将B，C两点的坐标代入得：，解得：，∴直线BC的解解析式为y＝x﹣3，设点F（x，x﹣3），点E（x，x2﹣2x﹣3），∴EF＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x，∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF•OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，且0＜x＜3，∴当x＝时，S△CBE有最大值，最大值是，此时E点坐标为（，﹣）；3．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B 两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设P（m，0），则P A＝1﹣m，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴C（﹣1，﹣4），∴CF＝4，∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，∴，即，∴QE＝1﹣m，∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA＝P A•CF﹣P A•QE＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）＝﹣（m+1）2+2，∵﹣3≤m≤1，∴当m＝﹣1时S△CPQ有最大值2，∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．4．（2022春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y 轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB 交于点M．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；【解答】解：（1）∵点A（0，5），B（5，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）如图，∵A（0，5），B（5，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，∵点M是抛物线的对称轴与直线AB的交点，∴M（2，3），由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5，过点P作PH∥y轴交AB于H，设P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），∴H（m，﹣m+5），∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，∴S△PMB＝PH（x B﹣x M）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，S△PMB最大＝，即△PMB面积的最大值为；5．（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，设BC的直线解析式y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；6．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），∴BM＝|3﹣t|，∵S△MNB＝BM•DN＝，即•|3﹣t|•2t＝，当t＜3时，•（3﹣t）•2t＝，化简得：4t2﹣12t+15＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，∴方程无解；当t＞3时，•（t﹣3）•2t＝，解得t1＝，t2＝（舍），∴DN＝2t＝3+2，∴点M的坐标为（，0），点N的坐标为（1，3+2）；7．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S 的最大值及此时D点的坐标；【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，S最大＝，当m＝﹣时，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；。

中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型二

设 M(0，m)，直线 BM 的解析式为 y＝k2x＋b2，将点 M，B 代入，得m0＝＝b－2，2k2＋b2，解得kb22＝＝m2m.，
m ∴直线 BM 的解析式为 y＝2x＋m，∵点 P为直线 BM 与抛物线的交点，
m y＝2x＋m， ∴联立方程组得y＝－14x2＋32x＋4，化简得(x＋2)(x－8＋2m)＝0，
∵S△ACD＝3，∴－32t2－92t＝3，解得 t1＝－1，t2＝－2.
当 t＝－1 时，点 D 的坐标为(－1，－4)，当 t＝－2 时，点 D 的坐标为(－2，－3)．综上所述，满足条件的点 D 的坐标为(－1，－4)或(－2，－3)．
【思路点拨】第一步：设点 D 的横坐标为 t, 用含 t 的式子表示△ACD 的面积；第二步：利用面积关系 S△ACD＝3，列关于 t 的方程求解，进而得出点 D 的坐标．
(4)如图，已知点 P 是直线 AC 下方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，求四边形 APCO 面积的最大值；
解：由(1)(3)可知点 A(－3，0)，C(0，－3)， lAC：y＝－x－3，设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，则点 P 的坐标为(m，m2＋2m－3)，点 F 的坐标为(m，－m－3)．则 PF＝－m－3－(m2＋2m－3)＝－m2－3m.
∴S 四边形 APCO＝S△ACP＋S△ACO＝12OA·PF＋12OA·OC＝12×3×(－m2－3m＋3) ＝－32(m2＋3m)＋92＝－32m＋322＋683.
由题意可知，－3＜m＜0，
3
63
∴当 m＝－2时，S 四边形 APCO 最大值为 8 .
【思路点拨】第一步：设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，用含 m 的式子表示出 PF 的长；第二步：由 S 四边形＝S ＋S APCO △ACP △ACO 列出式子，即可得到最大值．

(word完整版)二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合—-面积问题➢ 知识点睛1.“函数与几何综合"问题的处理原则：_________________，__________________．2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．② ___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积—-铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ , 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 例题示范例1:如图，抛物线y =ax 2+2ax —3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OA =OC ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式．(2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点,求△ACP 面积的最大值．(3）若点E 在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F ,使以A，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标;若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A （—3,0），B （1，0）,对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ,可得C （0，—3)，代入表达式,即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形,发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解:（1)由223y ax ax a =+-(3)(1)a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =，∴(03)C -，, 将(03)C -，代入223y ax ax a =+-，第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征:由所求的目标入手分析,目标为S △ACP 的最大值，分析A ,C 为定点,P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动,即-3〈x P <0；（2）设计方案：1()2APBB A S PM x x =⋅⋅-△注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ．【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ,易得:3AC l y x =--设点P 的横坐标为t ，则2(23)P t t t +-，, ∵PQ ∥y 轴， ∴(3)Q t t --，，∴223(23)3(30)Q P PQ y y t t t t t t =-=---+-=---<<， ∴2139()(30)222ACP C A S PQ x x t t t =⋅-=---<<△ ∵302-<， ∴抛物线开口向下,且对称轴为直线32t =-， ∴当32t =-时，ACP S △最大，为278．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特征：以A ，B ,E ，F 为顶点的四边形中，A ,B 为定点，E ，F 为动点,定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用,四个顶点用逗号隔开,位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线．画图求解:先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时,依据平行四边形的判定，需满足EF ∥AB 且EF =AB ，要找EF ，可借助平移．点E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB 拿出来沿对称轴上下方向平移,确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点F ．注意:在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB ，EF 互相平分，先找到定线段AB 的中点,在旋转过程中找到EF 恰好被AB 中点平分的位置，因为E 和AB 中点都在抛物线对称轴上，说明EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F 点坐标．结果验证：画图或推理,根据运动范围考虑是否找全各种情形．【过程示范】(3）①当AB 为边时，AB ∥EF 且AB =EF , 如图所示，设E 点坐标为（—1，m ),当四边形是□ABFE 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F 1代入抛物线解析式，可得,m =12， ∴F 1(3，12)；当四边形是□ABEF 时,由(30)A -，，(10)B ，可知,F 2（—5，m ）可得,m =12， ∴F 2(—5，12）．②当AB 为对角线时，AB 与EF 互相平分，AB 的中点D (—1，0)，设E (—1，m )，则F （—1,—m ），代入抛物线解析式,可得,m =4， ∴F 3(—1，-4）．综上：F 1(3，12)，F 2（—5，12)，F 3(—1，—4)．精讲精练1.如图,抛物线经过A （—1，0），B （3，0),C （0，3）三点．（1)求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下,连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC 的最大面积;若不存在,2.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ,D在y 轴上且OB =OC =3,OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ,B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ． (1）求这条抛物线的解析式；（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3)在直线AD 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AEG S =△？如果存在,求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）已知点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上,Q 的坐标．3.如图，已知抛物线y =ax 2-2ax -b （a 〉0）与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧,且点B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC ，CD ，∠ACD =90°． (1）求抛物线的解析式；（2）若点M 在抛物线上,且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12,设M 的横坐标为m ，求m 的值．(3）已知点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上,且以A ,B ，E ,F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标．4.如图，抛物线254y ax ax =-+（0a <)经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上,且AC =BC ．（1）求抛物线的解析式；(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为点D ，在抛物线上是否存在异于点B 的一点Q ，使△CDQ 的面积与△CDB 的面积相等？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F 是抛物线上的动点，点E 是直线y =—x 上的动点，且以O ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的横坐标．。

二次函数应用几何图形的最大面积问题课件

对未来学习的思考和展望
深入学习二次函数和几何图形的基础知识，掌握更多解决实际问题的技巧和方法。
拓展学习领域，了解更多与数学相关的学科知识，如线性代数、微积分等，为解决更复杂的问题提供支持。
关注数学在实际生活中的应用，了解数学与其他学科的交叉点，培养跨学科解决问题的能力。
THANKS
的最大面积。
03
几何图形面积的最大值问题
几何图形面积最大值的求解方法
03
代数法
几何法
参数法
通过代数运算和不等式性质，求出几何图形面积的最大值。
利用几何图形的性质和特点，通过作图和观察，求出面积最大值。
引入参数表示几何图形，通过参数的变化和约束条件，求出面积的最大值。
面积最大值在二次函数中的应用
二次函数应用几何图形的最大面积问题课件
目录
• 二次函数与几何图形的关系 • 二次函数的最值问题 • 几何图形面积的最大值问题 • 实际应用案例分析 • 总结与思考
01
二次函数与几何图形的关系
二次函数图像的几何意义
01
二次函数图像是抛物线，其顶点是函数的极值点。
02
二次函数图像的对称轴是x=h ，顶点的纵坐标是k。
二次函数与几何图形面积最大值问题紧密相关，通过合理设定函数参数，可以找到几何图形面积的最大值。
在解决实际问题时，需要综合考虑多种因素，如几何图形的形状、大小和位置等，以及二次函数的参数和约束条件。
二次函数开口方向和顶点位置对几何图形面积的影响是关键，需要根据实际情况调整函数表达式，以获得最佳效果。
01
总结词
02
详细描述
矩形面积最大化
在给定长和宽的条件下，利用二次函数求矩形的最大面积。通过设定长和宽为二次函数的形式，并利用求导数的方法找到面积的最大值。

以几何图形为载体的二次函数问题

以几何图形为载体的二次函数问题以几何图形为载体的二次函数问题函数是初中数学的核心内容,是刻画变量与变量之间依赖关系的数学模型. 作为函数中的重要成员，二次函数在现实世界中有着广泛的应用 .在此，我们只对以几何图形为载体的二次函数问题加以简单阐述，希望对同学们有所帮助.利用三角形、四边形的有关性质以及图形之间的相互关系，可以构建图形面积和相关线段长、线段长与线段长之间的二次函数关系.一、有关面积的二次函数问题与面积有关的二次函数问题较为常见，一般以图形中某一动线段的长为未知数，结合三角形、特殊四边形等的面积计算公式建立二次函数模型.例1 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图（1）所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图（2）所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．（1）判断图（2）中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；（2）E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？点评：本题是一道典型的描述面积与相关线段长之间的二次函数问题，主要通过直角三角形、正方形的性质和其各自的面积计算公式来连接线段与面积之间的关系.二、有关线段与线段之间关系的二次函数问题利用线段与线段之间的关系构建二次函数模型，在数学中考试题中并不多见，这是特殊图形中蕴涵的特殊关系，解答这类问题，需要挖掘图形的内在特点和规律.例2 如图，在等边三角形ABC 中，AB=2，点D 、E分别在线段BC 、AC 上（点D 与点B 、C 不重合），且∠ADE=600. 设BD=x,CE=y.（1）求y 与x 的函数表达式；（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？点评：本题以点动为背景，以动线段、定线段为条件，利用相似三角形的判定和性质为桥梁，建立了二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题.总之，二次函数以其表达形式简单、内涵丰富而广受命题者青睐.但编拟一个题干优美、符合考查目标的以几何图形为载体的二次函数试题，需要我们从生活和实践中不断地进行探索和研究.(2) A D F B EC (1) E F G HAB DC C ED B A。

初中复习方略数学微专题四二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值

抛物线对称轴为直线 x＝－ 2
＝1，
2×（－1）
3k＋c＝0
设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋c，将 A(3，0)，C(0，3)代入，得：
，
c＝3
k＝－1
解得：
，
c＝3
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，∴P(1，2)；
(3)存在．设 P(1，t)，①以 AC 为边时，如图 2，∵四边形 ACPQ 是菱形， ∴CP＝CA， ∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3± 17 ， ∴P1(1，3－ 17 )，P2(1，3＋ 17 )， ∴Q1(4，－ 17 )，Q2(4， 17 )，
1．(2021·天津中考)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，－ 1)，顶点为 D. (1)当 a＝1 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当 a＞0 时，点 E(0，1＋a)，若 DE＝2 2 DC，求该抛物线的解析式； (3)当 a＜－1 时，点 F(0，1－a)，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，M(m，0)是 x 轴上的动点，N(m＋3，－1)是直线 l 上的动点．当 a 为何值时，FM＋DN 的最小值为 2 10 ，并求此时点 M，N 的坐标．
(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的 AB 边与 y 轴交于 E 点，F 是 AD 的中点，B、C、D 的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13， 10). (1)求过 B、E、C 三点的抛物线的解析式； (2)试判断抛物线的顶点是否在直线 EF 上； (3)设过 F 作与 AB 平行的直线交 y 轴于 Q，M 是线段 EQ 之间的动点，射线 BM 与抛物线交于另一点 P，当△PBQ 的面积最大时，求 P 的坐标．