二次函数与面积专题

实用文案级九上数学专题训练三2019重庆市巴川中学初

二次函数与面积问题——________

等级班级______姓名_______

题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）．2x与P在抛物线上（点P+bx+c(a≠0)与，轴交于AB两点，点y=ax1，抛物线例1、定义：如图2222+bx+c(a≠0)y=ax，则称点P=AB为抛物线，AB两点不重合），如果△ABP的三边满足AP+BP

的勾股点．2 1）直接写出抛物线+1y=-x的勾股点的坐标；（23x的)是抛物线与轴交于A，B两点，点CP(1,+bx(a≠0)y=axC：2（2）如图，已知抛物线勾股点，求抛物线C的函数表达式；）的的点SQ（异于点P＝C2（3）在（）的条件下，点Q在抛物线上，求满足条件S ABPABQ△△坐

标．

2

图1 图

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23??2xy??xx y BC连接CB，与，轴交于点与轴交于点A如图，练习1. 已知抛物线和点是抛物线的顶点．交抛物线的对称轴于点E,D S；、D的坐标，并求出C（1）直接写出点A、B、ABD△的解析式；2）求出直线BC（P点坐标．4SP在第一象限内的抛物线上，且S＝，求3（）若点COE

△△ABP

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题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大

2+bx-3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，2.例如图，已知抛物线y=ax 其中A点的坐标是(-1,0)，C点坐标是(-4,-3)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E是位于直线AC的上方抛物线上的一动点，试求△ACE的最大面积及E点的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点E的P点，使S＝S，若存在，求EAC△PAC△出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

变式：在抛物线上是否存在点P，使S＝S，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请ABCPAC△△说明理由．

y

O B x

A

C

y

O B x

A

C

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12x+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A已知抛物线[练习]1.如图, y=的坐标为2. -1）的坐标为（0，（2，0），点C ）求抛物线的解析式；（1的面积最大时，DCE当△D，连结DC，DE点）E是线段AC上一动点，过点E作⊥x轴于点（2 的坐标；求点D的坐标，若不存为等腰三角形，若存在，求点PP，使△ACP（3）在直线BC上是否存在一点. 在，说明理由

y

D o x AB EC

题图26

y

D o xAB EC

题图26

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2+k的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如：抛物线2．在平面直角坐标系xoy中，规定：抛物线y=a(x-h)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3，即y=2(x+1)y=2x-1

2-4的顶点为.伴随直线为（1）在上面规定下，抛物线y=(x+1) ；抛物线

2-4与其伴随直线的交点坐标为和y=(x+1) ；

2-4m与其伴随直线相交于点A,B (点）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)A在点B（2x轴交于点C，D．的右侧)与

m的值；90°CAB＝求①若∠27 S 当取得最大值△PBC的面积记为S，BC②如果点P(x,y)是直线上方抛物线的一个动点，4. 时，求m的值

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2+bx+3A(1,0)B(5,0)3.y=ax ．抛物线经过点和点1 ）求该抛物线所对应的函数解析式；

（22y=0.6x+3CDPx轴下方，相交于两点，点、（是抛物线上的动点且位于）该抛物线与直线PM ∥yxCDMN,PCPDP△PCD运动过程中，交于点，、轴和直线连结直线在点分别与轴，、P 的坐标；若不存在，说明理由；的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及32QS=SQ的坐）的条件下，在抛物线上是否存在点）在（，若存在，求出点，使（PCD△QCD△标，若不存在，请说

明理由．

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2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，

求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．

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题型三：抛物线中，以面积为条件的几何问题

2+bx（a＜0）过点E（10，0）例3.如图，抛物线y=ax，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

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2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，练习3:1.如图，二次函数y=﹣xOB=OC=3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b，c的值；

（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理

由．