平面曲线的切线与法线

2. 曲线 F(x, y)=0 在点(x0, y0) 处的切线与法线
Fx ( x0 , y0 ) 切线斜率：kT y( x0 ) Fy ( x0 , y0 )
切线方程： y y0
y( x0 )( x x0 )
Fx ( x0 , y0 ) y y0 ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 )
Mar, 2008 四川大学数学学院 徐小湛
x(t0 ) 法线斜率： kn y(t0 )
x(t0 ) ( x x0 ) 法线方程： y y0 y(t0 )
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) 0
Mar, 2008
四川大学数学学院 徐小湛
F ( x, y) 0
切线
P
法线
x0
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3. 参数曲线 x=x(t), y=y(t) 在点(x0, y0) 处的切线 与法线 (其中 x0=x(t0), y0=y(t0) )
y(t0 ) 切线斜率： kT y( x0 ) x(t0 ) 切线方程： y y0 y( x0 )( x x0 ) y(t0 ) y y0 ( x x0 ) x(t0 ) x x0 y y0 x(t0 ) y(t0 )
dy Fx 切向量 s {1, } dy dx F(x, y) = 0 Fx dx Fy {1, } Fy s { Fy , Fx } 切向量 s { Fy , Fx }
n {Fx , Fy } F
( x0 , y0 )
法向量
F ( x, y) 0
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Fx ( x0 , y0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 )( y y0 ) 0
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法线斜率： k
n

Fy ( x0 , y0 ) Fx ( x0 , y0 )
法线方程：
y y0
Fy ( x0 , y0 ) Fx ( x0 , y0 )
Fx dy 曲线 F(x, y) = 0 dx Fy Fx dx Fy dy 0
{Fx , Fy } {dx, dy}来自百度文库 0
法向量
s {dx, dy}
n {Fx , Fy }
n {Fx , Fy }
切向量
( x0 , y0 )
s {dx, dy}
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平面曲线的切线与法线方程
Mar, 2008
四川大学数学学院 徐小湛
平面曲线可以用三种方式表示：
1. 函数方程 y=f(x) （显函数曲线）
2. 二元方程 F(x, y)=0（隐函数曲线）
3. 参数方程 x=x(t), y=y(t) （参数曲线）
这也是表示函数的三种方式。
因此，平面曲线的切线与法线也有三种形式。
x x0 y y0 切线方程： x(t0 ) y(t0 )
对称式
法线方程： x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) 0 点法式
x x(t ) y y(t )
P
切线
法线
x0
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曲线 F(x, y)=0 的切向量与法向量
F ( x, y) 0
四川大学数学学院 徐小湛
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1. 曲线 y=f(x) 在点(x0, y0)处的切线与法线
f ( x0 ) 1 法线斜率：k n f ( x0 )
切线斜率：k
T
切线方程： y
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
1 法线方程： y f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 )
Mar, 2008 四川大学数学学院 徐小湛
切线方程： y
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
1 法线方程： y f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 )
法线
y f ( x)
切线
P
f ( x0 )
x0
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( x x0 )
x x0 y y0 Fx ( x0 , y0 ) Fy ( x0 , y0 )
Mar, 2008 四川大学数学学院 徐小湛
切线方程：
点法式
Fx ( x0 , y0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 )( y y0 ) 0 x x0 y y0 对称式 法线方程： Fx ( x0 , y0 ) Fy ( x0 , y0 )