空间角曲线的切线与法向量

T
M

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高等数学
主讲人： 苏本堂
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
时, 令
F ( x, y, z ) f ( x, y) z
则在点 ( x, y, z ), 故当函数 切平面方程 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
法平面方程 R x k ( z k)0 2
即
o
Rxk
z
2
k 0
2
x
y
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向 量为T((t0) (t0) (t0)) 讨论: 1. 若曲线的方程为y(x)z(x)则切向量T? 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量 T?
Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n
n ( 2,1, 4 ) {2 x , 2 y , 1} ( 2,1,4 ) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) ( z 4) 0,
4 x 2 y z 6 0,
x 2 y 1 z 4 . 4 2 1
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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t) y(t) z(t) 这里假定(t), (t), (t)都在[ ]上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方 程为 x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 ) 向量T((t0)(t0)(t0))称为曲线在点M0的切向量. 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线 在点M0处的法 平面, 其法平面方程为 (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
即
16 x 9 y z 24 0
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作业：p-45 习题8-6
2，3，4，5，8
n1 (2 x 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) (1, 2 , 2 )
n 2 (2 , 3 , 5 )
因此切线的方向向量为 l n1 n 2 (16 , 9 , 1) x 1 y 1 z 1 由此得切线:
16
9
1
法平面: 16( x 1) 9( y 1) ( z 1) 0
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例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 k z yR x 2 切线方程 0 R k
即
M 0 (0 , R , k) 2 z
k x Rz Rk 0 2 yR0
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一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.

M
T

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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在[ ]上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上的 点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z) 作曲线的割线MM0, 其方程为 x y z x y z x x0x0 y y0y0 z z0z0 x x0x0 y y0y0 z z0z0 或 y z 或 x y z x x y z x y z t t t t t t 当MM0, 即t0时, 得曲线在点M0处的切线方程为 x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面.
下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
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证:
在 上,
F ( (t ) , (t ) , (t ) ) 0
T
M
两边在 t t0 处求导,注意 t t0 对应点M ,
得

Fx ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) (t0 )
即
xz 0山东农业大学Fra bibliotek高等数学
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二、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面 通过其上定点 任意引一条光滑曲线 不全为0 . 则 在
设 t t0 对应点 M, 且
点 M 的切向量为
T
M

T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 )
法线方程为
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例5. 确定正数 使曲面 x y z 与球面 在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 相切. 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
n2 ( x0 , y0 , z0 )
二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有 x0 y0 z0 x0 y0 z0 x0 y0 z0 2 x0 y02 z02
由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量
的平面上 , 从而切平面存在 .
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曲面 在点 M 的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
y x 1 1 x y y z yz 1 1
(1, 0 , 1)
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0 , 1)
切线方程
即 法平面方程 1 ( x 1) 0 ( y 2) (1) ( z 1) 0
法线方程
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用
向上,
表示法向量的方向角, 并假定法向量方向
法向量 n ( f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) , 1)
将 f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) 分别记为 f x , f y , 则
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2 2 2 例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解. 方程组两边对 x 求导, 得
x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dy dz 切向量 T , 1, dx M dx M
2( x 1) 8( y 2) 18( z 3) 0
x 1 y 2 z 3 4 1 9
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例4求旋转抛物面 z x2 y 2 1, 在点(2,1,4)
处的切平面及法线方程. 解
f ( x, y ) x 2 y 2 1,
提示:
1. 曲线的参数方程可视为: xxy(x)z(x) 切向量为T (1(x)(x)) 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x)z(x) 切向量为T (1(x)(x))而(x)(x)要通过解方程 组得到.
法向量的方向余弦：
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例3. 求椭球面 x 2 2 y 2 3z 2 36 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令
法向量
n (2 x, 4 y, 6 z )
n
(1, 2, 3 )
(2 , 8 , 18)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程 x x0
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
又点 M 在球面上,
于是有
a3 x0 y0 z0 3 3
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x 2 y 2 z 2 3x 0 例6. 求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0 与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为