信号与系统第四章拉普拉斯变换连续时间系统的s域分析

jω
收敛轴
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
第
例题及说明
12
页
1.满足 lim t
f
(t) e t
0σ
σ0
的信号称为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3.lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
变 换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
主要内容
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从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛域 一些常用函数的拉氏变换
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
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1．拉普拉斯正变换
信号 f (t),乘以衰减因子 e t (为任意实数)后容易满足
绝对可积条件,依傅氏变换定义 :
1
全s域平面收敛
L t t0
0
t t0
estd t est0
4．tnu(t)
L tn
t n estd t
0
tn s
est
0
n s
t n1 estd t
0
n t n1 estd t
s0
所以 L tn n L tn1 s n 1
Lt t estd t 0
1 t de st
s 0
第 14
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1 s
t
est
0
0
e
std
t
1 s
1 s
est
0
1 s2
n2
L t 2
2 s
Lt
2 s
1 s2
2 s3
n3
L t 3
3 Lt2 s
3 s
2 s3
6 s4
所以
L
t n
n! s n 1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
4.3 拉普拉斯变换的基本 性质
些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析
受到限制；
•
f t d t
•另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的
无穷积分求解困难。
f (t) 1
2
F
ω e j
t
d
ω
F
1
F
ω
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为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引 入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利 用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 •优点：
f
(0 )
f
t
e std t
f
0
t
e st
0
sf
0
t
e
st
d
t
推广：
f 0 sF ( s )
L
d
f 2(t)
dt
sF s
f
0
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
L d
f n(t)
dt
F1 F f (t) e t
f (t) e t
ej td t
f (t) e( j )td t F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲, 称为复频率。
则
Fs f tes t dt
第
2．拉氏逆变换
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F j f te j t dt Fs f tes t dt
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
4.1 引言
作业： 4-1(1)(3)(5)(7), 4-3(2)(4), 4-4(1-5),4-5, 4-24(a),4-27,4-33.
第 2
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•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它
给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，
傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
三．一些常用函数的拉氏变换
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1.阶跃函数
L u(t)
1
estd
t
1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
L eα t eα testd t
eα st
1
0
α s αs
3.单位冲激信号
0
σ α
L
t
0
t
estd
t
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
一.积分微分方程拉氏变换的步骤
取
y(t)的微分方程 拉
初始条件
氏 变
换
Y(s)的代数方程
经典法求解
微分方程的解
解方程
取 拉 氏
反 Y(s)的函数
2π j j
第
3．拉氏变换对
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F
s
L
f
t
f
tes
t dt
正
f
t
L1
F
s
1
2
j
j
F
s
es tds
j
逆
记作: f t Fs f t称为原函数，Fs称为象函数。
考虑到实际信号都是有起因信号：
所以
F s f t es td t 0
采用0系统, 相应的单边拉氏变换为
F s
则f t e t 是F j 的傅里叶逆变换
f te t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以 e t
f t 1
F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
本章内容及学习方法
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本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
L f t
0
f te s td t
f
t
L1F s
1 2π
j
σ j
σ j
F se s
td
s
二．拉氏变换的收敛
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收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。
记为：ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t) eσt 0
t
σ σ0
例题
f (t) cos(ωt) 1 ejω t ejω t 2
已知
L eα t 1 s α
则 同理
L cosω t
1
2
1 s jω
1
s
j
ω
s2
s ω2
Lsinω
t
s2
ω ω2
二．原函数微分
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若L f (t)
证明：
F
(
s),
则L d
f d
(t t
)
sF (s)
主要内容
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线性 原函数积分 s域平移 初值 卷积 对s域积分
原函数微分 延时（时域平移） 尺度变换 终值 对s域微分
一．线性
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若
L f1(t) F1(s),
L
f2
(t
)
F2
(s),
K1
,
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K
为常数，
2
则 L K1 f1(t) K2 f2(t) K1F1(s) K2F2(s)