二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵

第３ ｌ卷
『 ｅ ＿ ｎ
ｔ‘ ｅ ¨
］
ｌ
ｒ ｅｃｓ ０
。
业 Ｉ ｏ
ｅｓ ｃｉ ａｎ ］
（ ） ａ： ｖ 当 ≠０且Ａ ， 为共 轭复根 时 ， Ａ 方程 组 （ ） １ 的基解 矩 阵为
ｌ． 。
证 明 若 ａ ０ 则 方程 组变 为 。 ， ＝
ｒ １ ＝ 口ｌ １ １
．
垦 Ｉ 。
（） ２
Ｉ ＝ ＋２ 。 二 口 ２ ２ ２
由第一个方程解得 ＝ 代入第二个方程中得 Ｃｅ ， ｑ
２ ＝ ａ ２ ２＋ Ｃ１ ２ｅ ， ２ｘ ａ１。
这是一 阶线 性微 分方 程 ， 解为 通
ｚ ＝ ｅ
（ ｅｅ２＋） ｅ ｃ ｎ ｄ ｃ： ｆ ａ－ ＝ （ ： 一 ２ １ｔ 出 ｌ ｌ ＋） 。
的另一 种方法 。
考 虑二元 常 系数齐 次线 性微 分方 程组
㈡， 其
（） 当 ａ： ０，ａ ＝ ２ ，方程 组 （ ） 的基解 矩 阵为 ｉ ＝ ａ２ 时 １
ａ ｌ
㈩
定理 设 Ａ ，Ａ 为方程 组 （ ） 的系 数矩 阵 Ａ 的特征 根 ，则 ： １
（ ￡ １ｔ １。 ）：ｆ２ ｅ
㈡ ＝
从 而 可得结 论 （ ） （ｉ 。 ｉ和 ｉ ）
＝
一 。＋ ｃ ．ｃ （１２ ｅ （ ｌ ｆ ｅ ］
若 。 ≠ｏ， 方程 组 （ ） 变换一 ， 中 ： 对 １作 Ｘ＝ 其
（＝，［ ］ 。 ： （＝ ） 一 ， １ ） ，） Ｐ。 。 Ｐ ～ ＝
一
般 的教材 中 ，求 常系数 齐次 线性 微分 方程 组 的基解 矩 阵 的方法 大致 有 ： （ ） 求基 解 矩 阵 ｅ （ ） １ ｍ； ２
利用 系数矩 阵 的特征 根 和特征 向量 求基解 矩 阵 ； （ ） 利 用若 尔 当标 准 形 计算 基 解 矩 阵 ； （ ３ ４）利 用 哈 密顿 一凯莱 定理 计算基 解 矩阵 ｅ． 其 中常用 的是第 二种 方法 。
第３ １卷 第 ３期 ２ １ 年 ９ 月 ００
渤海大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｏ ａ Ｕ ｉｅｓｙ （ ａ ｒ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖｒ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｂ ｉ ｕｌ ｅ ｉ
Ｖ０ ． ３１ Ｎｏ ３ １ ． Ｓｅ ｐ． ２ ０ ０１
方程组（ ） ４ 等价于下面的二阶常系数齐次线性微分方程
（ ＋口 ）
（） ５
第 ３期
宋 燕 ： 兀 帘 系数 于 次 线 性 微 分 乃程 组 的 筌 肝 祀 Ｉ 二 ｔ １ 牛
２３ ４
方程（ ） ５ 的特征方程为Ａ 一（ ＋ ２ Ａ ＋ 口 。 口 口 ）＝ ， ０ ａ） ， ２ （ 。 一 ： ０ 特征根为 Ａ ， ｚＡ ， ：， Ａ （ ｔＡ 也是矩阵 Ａ的
（） ３ （） ４
于是 方程 组 （ ） １ 化为
丢 ＝￣ （ ：口 口 （ ， （ Ｐ尸 。 ： ） ） －ｙ 一。 １ ： Ａ ：０ ） 。 ＋
，
ｆ 玺＝， ｌ （口 ＝ｎ
一
ｎ
ｙ （ ： ｌ ） ＋ ） ， ２
＋（ 。 ： 。 ＿０ ０
二 元 常 系数齐 次 线 性 微 分 方 程 组 的基 解 矩 阵
宋 燕
（ 渤海大学 数学系 ，辽宁 锦州 １ １ １ ） ２ Baidu Nhomakorabea ３
摘
要 ：利 用方程组 系数矩阵的特征根 ，给 出二元常系数 齐次线性微分方程组的基解矩
阵 的表 达 式 ， 同时也 给 出求二 元 常 系数 齐次线性 微 分方程 组 的基 解矩 阵的另 一种方 法 。 关键 词 ：常 系数 ； 齐次线性微 分 方程 组 ；基 解矩 阵
Ｌａ
ｅ Ｊ 。
ｕ１ 。
（ｉ 当 ａ ＝ ，ａ ≠ａ ｉ ） ０ 。 时 ，方程 组 （ ） 的基 解矩 阵为 １
（） ＝
［
（ｉ 当 ａ： ，且 Ａ ｉ） ｉ ≠０ ，Ａ 为 不等 的实 根时 ，方 程组 （ ） 的基 解 矩 阵为 。 １
，
车 ］ 。
中图分 类号 ： ７ ． ０１５ １ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ ３— ５ ９ ２ １ ） ３— ２ １一 ４ １７ ０ ６ （ ０ ０ ０ ０ ４ ｏ
众所周 知 ，若 知道 常系数 齐次 线性 微分 方程 组 的基解 矩 阵 ，则 方 程组 的通 解就 可 以表达 出来 。在
本文讨论 的是二元常系数齐次线性微分方程组 ，我们给出一种变换 ，将二元常系数齐次线性微分 方 程组 化为 一个 与之 等价 的二 阶常 系数齐 次 线性微 分 方程 ，然后 利用 矩 阵 Ａ的特征 根 给 出二 元 常系 数
齐次线性微分方程组的基解矩阵的表达式 ，同时也给出求二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵
￣１为等实，，：‘２ 方（ 两线无的， （ 。 ：， 不的根 ） ）＝是程 ） 个性关解 以ｅ Ａ２ Ａ 则 ，） （ ，ｅ ５ １ ） （ 的 所 Ａ） Ａ， １ ｔ
口１：口２ ｌ ２
。／
ｆ。 ｃ 口ｌ ｅ （ １２ ＋ｃ ） ２，
（ 、 ａ
ｌ — ａ２ ｌ ２
．ｌ２ ｃ， ｅ－ｔ ２ （ａ ＋ １ ａ２ ｌ）
≠ 口 。
于是 方程 组 （ ） ２ 的通解 为
ａ０ ：） 。１＋） ｅ） ‘ ｌ， （＝ 。 ｃ ＝口。 ｃ １ １２ （ Ｃ ： ｃ： （） ￣时 ｃｔ （ ＋ ， ２ 。ｅ ａ 。 ｌ 。 ａ ０ ｌ ｔ
收稿 日期 ：２ １ ０ ３ ． ０ ０— ４— ０ 基 金项 目 ：辽 宁 省教 育 厅 高 校 科 研 基 金 资 助 项 目 （ ｏ ０ ８０ ） Ｎ ：２ ００ ９ ． 作者简介 ：宋 燕 （９ ２一 ，女 ，教授 ，硕士 ，从事常微分方程定性理论研究工作 １６ ）
２２ ４
渤 海大 学学报 （自然科 学版 ）