0是方阵A 的特征值；
=-A A
行
列式
行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．
行列式的性质
【例】：已知531，252，234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明522
353124
也是
9的倍数。
解答：522
3
53124231321010r r ,r r ++522
35353125223413
9r 522
9353582726
【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？
解答：设原行列式为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n A αα 1det ，则新的行列式为⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=-113
221det ααααααααn n n B
， ()00,,3,2det 11321113221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--ααααααααααααααn n n i n n n n i r r B
特殊行列式
1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式
11
11
11111122
112222
111
11
11
n
ii
i nn
nn
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a ===
=∏
2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式
()
()12
1111
1121221
2121
1
1
1
1
1
1n n n n
n n n
,n ,n ,n ,n ii
i n n,n nn
n n a a a a a a a a a a a
a a a a a ----=-===-∏
3、分块三角行列式 形式简记为：
*=
=⨯*
A O A A
B B
O B
，
()
1k n
⨯*=
=-⨯*
O A A
A B B
B O
4、范德蒙德行列式
()2111121
1
212
222
2221
2121211111
1
1
1
2
1
121111111,,
,11n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x --------------==
()()121
,,,n i
j
n i j f x x x x x ≥>≥=-∏ ()()()
()()121
3
21121
21
11
,,
,n n
j n j j j n j n j j j f x x x x
x x
x x
x x x --≥≥-≥≥≥≥≥≥=
-⋅
---∏∏∏∏
()()
()()1221n n n n n n x x x x x x x x --=----
()()()()
()()()
12131211323121n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -------------
认识范德蒙德行列式
可以将n 阶范德蒙德行列式看成式关于n 个变量12,,,n x x x 的函数，即()12,,,n n D f x x x =。此
种类型行列式具有如下三个特点：
○1从列的角度看：第j 列元素从上到下依次为同一个变量j
x 的零次幂、1次幂、…、n －1次幂，1,2,,j n =；
○2从行的角度看：第i 行元素是从左往右依次为12,,,n x x x 的i －1次幂，1,2,
,i n =
○3从结果看：()()12
1
,,,n i
j
n i j f x x x x x ≥>≥=
-∏是关于变量1
2
,,
,n x x x 的()1
12
n n -次齐次函数；而
且该齐次函数可以分解为
()1
12
n n -个一次因式()i j x x -之积，其中1n i j ≥>≥，即脚标大者与脚标小者之差。（说明：i 可以取值为1,2,,n ，例当i 取值为4时，j 只可以取值为3、2、1，即区间
[]1,1i -中的每一个整数）
当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。 参见“范德蒙德行列式专辑”
认识余子式（Minor ）和代数余子式（Algebraic Minor ），及其之间的关系
()ij det a 的()i,j 元ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A ，仅与位置()i,j 有关，ij a 的取值如何并不影响
其余子式ij M 和代数余子式ij A 的取值。()
1i j
ij ij +=-A M ，代数余子式即为带符号的余子式。
利用教材P21例13深入理解余子式和代数余子式及其关系。
【例】：已知4阶行列式D 中，第一行元素分别为1，2，0，-4；第三行的4个元素的余子式分别为：313233346192M ,M x,M ,M ====。求x 的值。
解答：11311232133314340a A a A a A a A +++=，所以有313234240M M M -+=，
62420x -+⨯=，所以7x =。
【例】：
