初中数学规律探索三

初中数学规律探索三 初中数学规律探索三
33、比较下面两列算式结果的大小： （在横线上选填“>”“<”“=” 、 、 ）
…… （2000 安徽） 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。

34、 （1）如表，方程 1，方程 2，方程 3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程 1，并将它的解 填在表中的空白处； 序号 方程 方程的解
1
______
2
3
┆
┆
┆
┆
（2）若方程
的解是
，
，求 a、b 的值，该方程是不是（1）中所给出
的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ （3）请写出这列方程中的第 n 个方程和它的解，并验证所写出的解适合第 n 个方程。

（2000 山东） 5、探索 ⑴如表，方程 1，方程 2，方程 3，…是按照一定规律安排的一列方程，解方程 3，并将它填在表中的空白 处； 序号 1 2 3 …
2
方程
x − 2x − 3 = 0
方程的解
x1 = −1
x1 = −2
x2 = 3
x2 = 6
x2 =
x − 4 x − 12 = 0
2
x − 6 x − 27 = 0
2
x1 =
…
…
…
⑵ x1 = 10, x2 = 30 是不是⑴中所给一列方程中的一个方程的两个根？ ⑶请写出这列方程中第 k 个方程 ⑷用你探究的规律，解答下列两个方程。

x 2 − 102 x − 36 × 18 = 0 ， x 2 − 9 x − 324 = 0


17、将正偶数按下表排成五列: 第1列 第1行 第2行 第3行 …… A. 第 125 行第 1 列 16 第2列 2 14 18 …… 第3列 4 12 20 28 第4列 6 10 22 26 ) （01 荆州） C.第 250 行第 1 列 D.第 250 行第 2 列 a c b d 利用等式表示 24 第5列 8
根据上面排列规律,则 2000 应在(
B.第 125 行第 2 列
54、如图是 2004 年 5 月份的日历，现用一个矩形在日历中任意框出 4 个日期， a、b、c、d 之间的关系为 日 4 11 18 25 一 5 12 19 26 二 6 13 20 27 三 7 14 21 28 四 1 8 15 22 29 五 2 9 16 23 30 六 3 10 17 24 31 。

35、某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量 x 与售价 y 的关系如下表：
数量 x（千克） 1
2
3
4
5
售价 y（元）
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
写出用 x 表示 y 的公式是_____________________。

（2000 海南）
36、观察下列各式(x-1)(x+1)=x -1，(x-1)(x +x+1)=x -1,(x-1)(x +x +x+1)=x -1，根据前面各式的规律可 得(x-1)(x +x +...+x+1)=______。

（2001 武汉）
n n-1
2
2
3
3
2
4
15．有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原 数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶位数字的个数，十位数字是原数中奇数数 字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直 至这个数不再变化为止。

不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的。

最后这个相同的数就叫它为“黑 洞数” 。

请你以 2004 为例尝试一下（可自选另一个自然数作检验，不必写出检验过程） ： ，再变为 ，再变为 ，…， “黑洞数”是 。

（04 嘉兴） 2004，一步之后变为 20．自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其


各位数字求和，再将其和乘以 3 后加上 1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的 数 R，它会掉入一个数字“陷井” ，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌” ．那么最终掉 入“陷井”的这个固定不变的数 R＝____． （04 北碚区） 38、探究数字“黑洞”“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那 ： 里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞” ，满足某种条件的所有数，通过一种运算， 都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每一个数位 上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重 复运算下去，就能得到一个固定的数 T＝ ，我们称它为数字“黑洞” ． T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！ （03 青岛）
21．如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第 n 个图形中需用黑 色瓷砖__________块． （用含 n 的代数式表示） （04 北碚区）
39 、 九 年 义 务 教 育 三 年 制 初 级 中 学 教 科 书 《 代 数 》 第 三 册 第 52 页 的 例 2 是 这 样 的 ： 解 方 程 “ ． 根据该方程的特点， 它的解法通常是： x 2 ＝y， 设 那么 x 4 ＝ y 2 ， x 4 − 6 x 2 + 5 = 0 ” 这是一个一元四次方程， 于是原方程可变为 y 2 − 6 y + 5 = 0 ……①，解这个方程得：y1＝1，y2＝5．当 y＝1 时， x 2 ＝1，∴ x＝ ± 1 ； 当 y＝5 时， x 2 ＝5，∴ x＝ ± 5 。

所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝ 5 ，x4＝－ 5 。

⑴ 在由原方程得到方程①的过程中，利用 ⑵ 解方程 x 2 − x 法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． ． （03 青岛）
(
)
2
2 − 4 x 2 − x − 12 = 0 时，若设 y＝ x − x ，则原方程可化为
(
)
40、古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第 24 个三角 形数与第 22 个三角形数的差为 。

（03 丹州） 41、 清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很有兴趣的帝王。

近日，西安发现了他的数学专著，其中有一 文《积求勾股法》 ，它对“三边长为 3、4、5 的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解 法： “若所设者为积数（面积） ，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数。

” 用现在的数学语言表述是： “若直角三角形的三边长分别为 3、4、5 的整数倍，设其面积为 S，则 第一步： 第二步： ； ；
第三步：分别用 3、4、5 乘以 k，得三边长。

” （1）当面积 S 等于 150 时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； （2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程。

（03 西城） 17.（05 海南） 用火柴棒按如图 7 所示的方式摆图形， 按照这样的规律继续摆下去， 4 个图形需要 第 火柴棒，第 n 个图形需要 根火柴棒（用含 n 的代数式表示）. 根
…… (1) (2) 图7 (3)


42、学校阅览室有能坐 4 人的方桌，如果多于 4 人，就把方桌拼成一行，2 张方桌拼成一行能坐 6 人（如 图所示） ．
按照这种规定填写下表的空格：
43、今年 5 月，我市某社区居民得知“法轮动”练习者关淑云为求“圆满” ，竞当众掐死自己 9 岁亲生女儿 戴楠的消息后，自发地聚集在一起签名声讨“法轮功” 。

他们在广场上摆放了一些长桌子用于签名，每张长 桌单独摆放时，可容纳 6 人同时签名（如图 1，每个小半圆代表 1 个签名位置） ，并排摆放两张长桌时可容 纳 10 人时签名（如图 2）若按这种方式摆放 10 张长桌（如图 3） ，可同时容纳的签名人数是( 宜昌） )（02
(A) 42 需要火柴
(B) 84 根.
(C) 60
(D)82
19、 （05 泰州 06 鄂尔多斯）如下图是小明用火柴搭的 1 条、2 条、3 条“金鱼”……，则搭 n 条“金鱼”
…… 1条 2条 3条
43、下表是某月的月历（1）阴影方框中的 9 个数之和与方框正中间的数、有什么关系？（2）这个关系对 其他方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？（3）这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？ 1 6 13 20 27 7 14 21 28 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 4 11 18 25 5 12 19 26
44、观察下列各式填空： 1=1 ， 1+3=2 （1） （2）
2 2
1+3+5=3
2
1+3+5+7=4
2
1+3+5+7+9=5 ……
2
1+3+5+……+99 =___________ 若 1+3+……+n=100, 则 n=___________。

。

（其中 n 为自然数）
（3） 1+3+5+7+9+……+（2n+1）=


11．观察下列等式： 9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映出自然数间的某种规律．设 n 表示 自然数，用关于 n 的等式表示出来：________________． （01 河南）
10 、 设 项。

1
∑x
i
i
= x1 , ∑ xi = x1 + x2 , ∑ xi = x1 + x2 + x3 ,⋯⋯ ， 则 乘 积 ( ∑ xi ) ⋅ (∑ xi ) 的 结 果 中 ， 最 多 有
i i
2
3
n i
m i
12、已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数。

解：不妨设这两个正整数为 a、b，且 a≤b。

由题意，得 ab=a+b，……………………………………（*） 则 ab=a+b≤b+b=2b，所以 a≤2。

因为 a 为正整数，所以 a=1 或 2。

①当 a=1 时，代入等式（*） ，得 ②当 a=2 时，代入等式（*） ，得 所以这两个正整数为 2 和 2。

仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等？ 试说明你的理由。

1 ⋅ b = 1 + b ，b 不存在； 2 ⋅ b = 2 + b ，b=2。

。