分期付款中的数学计算原理以及若干问题的讨论
“分期付款问题”教学案例及反思
“分期付款问题”教学案例及反思作者：李海鸥来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第02期摘要：分期付款是日常问题，也是研究性学习课题之一，可以利用数列、算法等知识加以解决.教学时，为了激发学生的学习兴趣，课前可以让他们到相关单位了解、获得分期付款的相关知识，课堂上汇报成果，并用获得成果解决实际问题. 本文是对分期付款问题的课堂实录及反思.关键词：分期付款；数列；单利；复利中国放开商品房买卖后，分期付款渐渐开始流行，2003年颁发的《全日制普通高级中学课程计划（试验修订稿）》新增研究性学习内容，研究性学习是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定研究专题，主动地获取知识、应用知识、解决问题的活动. 分期付款问题就是研究性课题之一. 苏教版教材必修5又将分期付款作为背景，将之作为数列部分的一道例题，在研究该例题时，笔者发现该例题具有研究性和应用性的特点. 在本节教学时，为了激发学生的学习兴趣，笔者课前让他们到相关单位了解、获得分期付款的相关知识，课堂上汇报成果，并用获得成果，解决实际问题，取得理想的教学效果.现整理如下，供同行们参考.学生12：每次期末需要付款元.教师：我们计算等额本息还款的公式出现了. 其实分期付款是一种消费模式，大家课后可以思考这种消费模式利与弊.教后反思1. 分期付款问题具有研究性和应用性特点，分期付款是日常生活中的常见问题，作为一个高中生，有必要了解分期付款模式，研究分析分期付款的计算公式，探索其中的数学奥秘，从而认识到分期付款的实质，形成正确的消费观.2. 在探究问题的过程中，首先必须引导学生参与初步资料的搜集和整理，激发学生学习兴趣；然后师生互动，让学生了解单利、复利、等额本金还款、等额本息还款等概念，并让学生运用数列知识来描述这些问题，将实际问题转化为数学问题. 但在用等比数列知识解决问题时，方法比较生硬，学生感觉难以将方法内化为自觉行为，第一次探索分期付款问题只是解决了基本概念，但没有能从数学的角度彻底解决问题，留下悬念. 再次遇到相近知识时，学生的思维进入“最近发展区”，学生的思维潜能得到爆发，从而得到第二个方法，这个方法比较自然，学生比较容易接受，但还是没有能彻底解决问题，如何合理解释第一个方法，仍然是悬念，更加激发学生解决问题的热情. 第三次遇到相近知识的时候，思维终于大爆发，提出第三个解法，并通过等式变形很好地解释了第一种方法，同时通过公式变形提出第四种方法，最后得出一般的公式.3. 从整个过程来看，限于学生的知识储备和能力限制，不能一次彻底解决问题，这需要教师引导启发，同时也要激发学生的探索热情，最后才能彻底解决问题，学生在掌握知识和提升思维能力的同时也享受到成功的喜悦. 从整体效果来看，应该是非常成功的.4. 新课标将数学拆分成模块，很多知识被分散在各种模块中，教师在讲授同一知识时很难拓宽和加深，这节课将算法中的秦九韶算法板书给学生，给学生以启发，最终由学生自己解决问题. 教师必须改变观念，提高自身能力，重视整体知识结构，打通各模块的联系，不能指望一次性解决某个数学问题，需要将同一知识不停巩固，不断加深，达到提升学生思维能力和分析解决问题的目的，探索出有效教学模式，建设高效课堂，为数学推广和普及作出自己的贡献.。
分期付款中的数学问题
2014-06课堂内外随着我国国民经济的发展和人们对高品质生活的追求，消费信贷（包括个人消费贷款、旅游贷款、国家助学贷款、汽车消费贷款、住房按揭贷款等）日益广泛。
分期付款的消费方式为越来越多的消费者所接受。
一方面就消费者而言，只需要支付少量首付款，通过向银行先借款，就可以得到价值高于首付款的商品，然后再以分期付款的方式来还款。
方便了顾客购物和付款，解决了消费者的需求与实际购买力之间的矛盾，刺激了消费者的购买欲望，提高了购买力；另一方面，就销售者而言，由于消费者购买力的增强，商品的销售量大大提高，也因此获得更大的经济效益。
可见分期付款对买方和卖方皆有益处。
消费者购买力的增强和销售者销售量的提高，必然会极大地促进市场的繁荣，从而促进整个社会经济的发展。
本文来探讨如何确定分期付款金额，并理解其经济学意义。
分期付款方式主要有等额还款和等本金还款两种。
现举例说明每期的还款额确定。
一、等额还款方式案例1：购买一件售价为10000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后第二月月初开始付款，每月1次，分12个月还清，如果按月利率0.5%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少。
分析：本题可通过逐月计算剩余欠款额，根据题意第12个月后的欠款数为零，据此可得等量关系。
设每期等额还款额为A，贷款数额为B=10000，则：第1月后剩余欠款额B（1.005）-A第2月后剩余欠款额{B（1.005-A）}（1.005）-A第3月后剩余欠款额{{B（1.005-A）}（1.005）-A}（1.005）-A第12月后剩余欠款额{{…{{B（1.005-A）}（1.005）-A}…}}（1.005）-A=0共12层括号。
通过移项转化为如下：B=A1.005+A1.0052+A1.0053...A1.00512 (1)或B1.00512=A+A1.005+A1.0052+A1.0053...A1.00511 (2)对于上述二式，由等比数列知识均可得出：A=B1.005120.0051.00512-1本题曾作为“北京首届‘方正杯’中学生数学知识应用竞赛”试题，同时也是高中数学中的探究题，其推理过程比较复杂，学生理解有一定难度。
分期付款的数学原理及计算方法
本金
利息
不足，污水处理补贴不足以弥补实际运行成本，结果运行时间 2012；38
越长亏损越多，而减亏的唯一办法就是建成的污水处理厂不
7. 柳 丽 红.浅 析 建 设 工 程 全 寿 命 周 期 成 本 的 控 制.科 技 资
投入使用。
讯 ，2011；10
2012． 12 中旬·55·□
□财会月刊·全国优秀经济期刊
增，投资在全寿命周期内无法收回，长此以往污水处理厂将难 闽建科［2007］79 号文，2007-08-21
以维持经营。而且，如果污水处理厂是采用 BOT 或者TOT
4. 李伟民等. 城镇污水处理厂可行性研究报告 评 审 标 准
方式运营的，则根据低估的运行成本确定的污水处理价格将 的探讨.重庆建筑大学学报，2002；24
一、分期付款的两种还款方式活密切相关。人们不
二者相比，贷款期限、在贷款金额和利率相同的情况下，
仅用分期付款方式来买房、买车，还可以购买电脑、手机等。目 在还款初期，等额本金还款方式每月归还的金额要大于等额
前分期付款常见的还款方式有等额本息和等额本金两种还款 本息还款法。但是按照整个还款期计算，等额本金还款方式会
方法。等额本息还款法是在还款期内每月偿还同等数额的贷 节省贷款利息的支出。总体来讲，等额本金还款方式适合有一
款（包括本金和利息）。等额本息还款法本金逐月递增，利息逐 定经济基础、能承担前期较大还款压力且有提前还款计划的
月递减，月还款数不变。其相对于等额本金还款法的劣势在于 借款人。等额本息还款方式因每月归还相同的款项，方便安排
先介绍等额本息还款的数学原理。假设某人贷款总额为
少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数 D 元，贷款分 n 个月偿还，每个月的月末还款为 P 元，月利率
高一数学分期付款中的有关计算
装修费应该怎么付
除了购买商品房之外，家庭装修恐怕是开销最大的了。这笔为数可观的装修费，一般都 要分几次来付。为了吸引消费者来装修，许多装饰公司在付款方面推出了许多促销措施。但 其中也有许多诀窍。 ——分期付款的比例安排。 按照装饰行业的惯例，装修费的首款是比例最大的，一般都要超过装修费总额的50%。这 笔费用主要用来购买装饰材料，支付施工队的首期工费。在付款之前，您首先要与装饰公司 签订有效的“家庭装饰工程施工合同”。1998年，新出台的《北京市家庭居室装饰工程施工 合同》（参考本）。这份标准合同文本，由北京市装饰行业协会提供给所有装饰公司，您可 要求装饰公司使用这份标准合同文本。首期装修款付过之后，施工队就进驻工地，开始施工 了。 由于各装饰公司的经营、管理方式不同，所以要求户主支付的比例也有很大差别，从50% 到70%、75%的都有。三鸣博雅装饰公司的吴献民先生说：“本公司要求户主付70%的首款。 首期款中包含户主对装饰公司的信任，户主经多方考察后才会付款。公司为了回报消费者的 信任，在施工量超过80%时，才要求户主付二期款。” 在工程进行过半之后，经过第一次的质量验收，户主就要付25%到30%的二期款付给装饰 公司。在付款之前，装饰公司一定要保证解决所有的质量问题。您在确定没有质量问题后， 才可以支付二期款。
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为方便广大用户购买小灵通手机，焦作电信公司特推出小灵通分期付款购机入网业务，具体内容如下： 一、活动时间：2001年6月1日－2001年6月30日 二、分期付款具体办法如下：
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2020届高考数学例解：分期付款中的有关计算
2020届高考数学例解：分期付款中的有关计算【例1】小芳同学假设将每月省下的零花钞票5元在月末存成月利按复利运算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利运算，年利为6%，咨询三年后取出本利共多少元(保留到个位)？解析先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情形如下：第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2；……第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11．因此每一年中各月的存款与利息的本利和为A，A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11=5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)第一年的A元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；第二年的A元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．三年后，取出的本利和为：A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A．解：设每存一年的本利和为A，那么A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)三年后取出的本利为y，那么y=A＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2=A(1＋1.06＋1.062)=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062)=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212--..≈193(元)答：三年后取出本利共193元．讲明 这是应用咨询题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．【例2】 某企业年初有资金1000万元，假如该企业通过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现通过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？解 第一年余下的基金为1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232(1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x依此类推，得a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x xa =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x为了通过5年使资金达到2000万元，令 a5=2000因此得关于消费基金x 的方程：1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥解那个方程，得3211323222433225554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32x =10002000x =1000·×－×211 16179 3216 21117932x=1000x=1000×∴××x≈424答：每年约扣除消费基金424万元。
研究性学习(数学)分期付款问题
词条概念分期付款（Pay by Instalments）大多用在一些生产周期长、成本费用高的产品交易上。
如成套设备、大型交通工具、重型机械设备等产品的出口。
分期付款的做法是在进出口合同签订后，进口人先交付一小部分货款作为订金给出口人，其余大部分货款在产品部分或全部生产完毕装船付运后，或在货到安装、试车、投入以及质量保证期满时分期偿付。
购买商品和劳务的一种付款方式。
买卖双方在成交时签订契约，买方对所购买的商品和劳务在一定时期内分期向卖方交付货款。
每次交付货款的日期和金额均事先在契约中写明。
发展历史分期付款方式是在第二次世界大战以后发展起来的。
开始时只局限于一般日用商品或劳务的购买。
后来，随着生产力的迅速发展，工、农业生产的规模日益扩大，所需费用增大，加之银行信用的发展，分期付款的领域扩大到企业购买大型机器设备和原材料上。
伴随着中国金融服务的完善以及人们消费习惯的改变，在国外流行的分期付款消费被引入国内，并迅速得到国内消费者的认可。
采用分期付款方式消费的通常是目前支付能力较差，但有消费需求的年轻人。
其消费的产品通常是笔记本电脑、手机、数码产品等。
分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供。
银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款，消费者用贷款向供应商支付货款，同时供应商为消费者提供担保，承担不可撤消的债务连带责任。
使用分期付款方式消费的年轻人通常被称为“分期族”。
市场含意分期付款实际上是卖方向买方提供的一种贷款，卖方是债权人，买方是债务人。
买方在只支付一小部分货款后就可以获得所需的商品或劳务，但是因为以后的分期付款中包括有利息，所以用分期付款方式购买同一商品或劳务，所支付的金额要比一次性支付的货款多一些。
分期付款的方式一方面可以使卖方完成促销活动，另一方面也给买方提供了便利。
计算方法利用数列知识有分期付款公式: x=a(1+p)^m[(1+p)^m/n -1] /[(1+p)^m -1] 其中为a本金, p为月利率, m月份数, n次数. x为每次付款额.一般的m=n 那么付出的利息应为: mx-a例如按揭7万元, 5年.此时a=70000, p=0.oo8 m=60 n=60 代入得x=?.付利息60×?—70000=........分期付款买房第一次购买商品房首付最低20%，利率享受七折。
分期付款的应用了哪些原理
分期付款的应用了哪些原理1. 什么是分期付款分期付款是一种购买商品或服务时，将支付金额分成若干期进行还款的方式。
这种付款方式可以帮助消费者分担一次性支付巨额金额的负担，同时也能帮助商家促进销售。
2. 分期付款的原理分期付款的应用涉及了多个原理，下面我们将详细介绍其中的几个关键原理。
2.1. 赊销原理分期付款的一种常用原理是赊销原理，即商家在出售商品或服务时，允许消费者先取得商品并使用，然后按照约定的时间和金额进行分期还款。
赊销原理一般要求消费者提供信用证明，如信用卡、个人银行信用报告等，以评估消费者的偿还能力。
2.2. 利息计算原理在分期付款中，商家通常会收取利息作为分期还款的一部分。
利息的计算原理可以采用不同的方法，如等额本息法或等额本金法。
等额本息法要求每期还款金额相同，其中包括本金和利息；等额本金法则要求每期还款的本金相同，而利息则逐期减少。
2.3. 风险管理原理分期付款涉及一定的风险管理。
商家需要评估消费者的信用状况，确定其有能力按时偿还分期付款。
为此，商家可能会要求消费者提供担保或抵押物，以降低违约风险。
此外，商家还可以通过信用评分模型、追踪消费者的消费行为等方式来管理风险。
2.4. 第三方支付原理分期付款中经常使用第三方支付平台来处理分期还款的交易。
第三方支付平台通过与商家和消费者建立信任关系，并提供安全、便捷的支付环境来促进分期付款的实施。
消费者可以通过此类支付平台进行分期付款的申请、审批和还款。
3. 分期付款的应用领域分期付款的应用已经渗透到各个领域，以下列举了一些常见的应用场景：•电子商务：许多电商平台允许消费者在购买商品时选择分期付款，从而促进了商品的销售。
•金融服务：银行和其他金融机构提供各种分期付款服务，如信用卡分期付款、车贷、房贷等。
•教育和培训：一些教育机构和培训机构为学生提供分期付款的选项，使得教育更加普惠。
•医疗服务：医院和私人医疗机构可以为患者提供分期付款的方案，降低医疗费用的负担。
高一数学-研究性课题：分期付款中的有关计算的教学实
高一数学新编教材（试验修订本）编入了“研究性课题：分期付款中的计算”.它的出现，不仅是为了解决数列的应用问题，更重要的是我们转变传统的教学观念，改进原有的教学方法和方式.为此，对这一课题的教学，我们进行了大胆的尝试.这一课题具有探究性和应用性的特点，我们紧紧把握教材的这一特点，将教学过程分成四个部分实施.1.课堂探究［师］在日常生活中，商家为了促销，便于顾客购买一些售价较高的商品，常采用分期付款的方式出售.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款，商家要求，在一年内将款全部付清，同时，又提供了下表中的几种付款方案，供顾客选择.注：规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算.（此表可制作成投影片）下面我们对每期的付款额和付款总额进行探究，表中要求，每月利息按复利计算，复利计算是指什么？［生］是指上月的利息，要计入下月本金.［师］请以本金为a元，月利率为0.8%，说明复利计算的含义.［生］本金a元过一个月，就增值为a（1+0.008）=1.008a（元），再过一个月，本金由1.008a元，增值为1.0082a（元）等等.［师］若顾客选择付款方案2，每期应付款多少元？这是一个列方程解应用题的问题，每期应付款可设为x 元，那么到底以什么建立等量关系，布列方程呢？［生］由顾客的分期付款总额与商家的收款额相等列方程. ［师］顾客的分期付款总额怎么计算呢？ ［生］求每期付款额的和. ［师］是6x 吗？为什么？［生］不是，因为每期付款的x 元到款付清时，应增值.［师］为了好理解，我们可按第6期、第5期，…，第1期的顺序，去找每期付款x 元到款付清时的表达式.第6期付款（最后一次付款）为x 元，这时款全部付清，这x 元增值吗？为什么？［生］不增值，因为这x 元相当于银行即存即取.［师］第5期付款的x 元到款全部付清时，是否增值？表达式是什么？第4期，…，第1期呢？［生］第5期付款的x 元要增值，增值为x （1+0.008）2,第4期，…，第1期付款的x 元都要增值，分别增值为x （1+0.008）4,…,x （1+0.008）10.［师］到此，所需方程能列出吗？方程是什么？［生］能列出，方程是x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000.［师］所列方程正确吗？商品当时的售价为5000元，一年后这5000元是否还是5000元呢？正确方程是什么？［生］方程不正确，这5000元同样也应增值，增值为5000×1.00812（元）.正确方程是：x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000×1.00812.［师］观察上述方程，等号左边有何特点，方程怎么解？x 等于多少？［生］等号左边是一个首项为x ，公比为1.0082的等比数列前6项的和，由等比数列求和公式得；[]262008.11)008.1(1--x =5000×1.00812,解得x =1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯≈880.8（元）［师］经过上面的探究可知，顾客每次付款应为880.8元，6次所付款共为880.8×6≈5285元，它比一次性付款多付285元（将结果填入前面的表中）［师］表中还有两种付款方案，请第一、二两组同学采用方案1，第三、四两组同学采用方案3继续探究，每期付款额，付款总额及付款总额与一次性付款额的差各是多少元？［学生］（不一会儿得到结果）： 方案1：每期付款额x =1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯⨯≈1775.8（元）付款总额为1775.8×3≈5327（元），比一次性付款多付327（元） 方案3：每期付款额x =1008.1008.0008.150001212-⨯⨯≈438.6（元）付款总额为：438.6×12≈5263（元），比一次性付款多付263（元）.［师］下面我们再对一般性问题进行探究.购买一件售价为a 元的商品，采用上述分期付款时，要求在m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n （n 是m 的约数）次付款，那么每次付款的计算公式是多少？由同学们推导得出每次付款额x 的计算公式x =1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++mn mmp p p a［师］上面我们对复利计算分期付款的多种方案进行了探究，从中应该明确哪些问题？［生］（1）每月的利息均按复利计算；（2）每期的付款额相同；（3）计算时，商品售价和每期付款额到款全部付清时都应增值；（4）增值后的付款总额与售价增值相等，是列方程的依据.2.社会调查课堂上，我们对教材中提出的分期付款进行了一般性的探究，明白了分期付款是怎么一回事，弄清了复利计算的含义，理解了售价及每期付款的增值规律，掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款额的计算方法，等等.分期付款这种运作方式在今天的商业活动中，应用日益广泛，哪些实际问题采用分期付款比较划算？在分期付款的多种方案中，哪种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离？实际问题中的分期付款是否只有复利计算等等.要求同学们带着这些问题，根据自己的兴趣和研究对象组成了若干小组，走出课堂调查.有的小组来到了电脑专卖店，有的小组来到了商品房售房处，有的小组来到了银行，有的小组来到了保险公司，…，通过走访询问，现场考察，索取商家资料等.同学们获得了大量分期付款的信息资料.如“调查购房”小组获得了购房的各种办法，付款的多种方式，比较方案优劣的鉴别方法等资料；又如“调查购电脑”小组，先后走访了一些电脑城，获得了各商家的销售办法，分期付款的方式及付款的计算公式等.再如综合调查小组进行综合调查，获得了带有共性的销售办法，付款方式及计算公式等资料.通过社会调查，同学们学到了课本上学不到的知识，得到了从老师那里得不到的办法.3.信息处理各调查小组的信息自我处理详细情况（略）.4.成果展示各调查小组将信息材料提炼、探究、处理后的成果，写出调查报告，输入软盘，借用多媒体，以小组为单位，选定1～2人在全班边讲解边演示，生动地介绍了调查的基本情况、实用性分析、数学模型的建立、分期付款的操作、数学知识的应用、探究的结论及成果，有待进一步探究的问题，在展示中允许学生提问，并由调查组的同学回答所提出的问题.最后教师总结，充分肯定学生的亲身体验和探究得到的成果，并指出今后努力的方向.摘自《中学数学》。
§3.6研究性课题：分期付款中的有关计算.doc
课题：研究性课题：分期付款中的有关计算教学目的：知识目标：使学生在理解的基础上掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用；能力目标：培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力；德育m标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物，建立科学的世界观；教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究；教学难点：独立解决方案1授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：幽默故事：一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇。
美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足；指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁一花明天的钱园今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？二、讲解新课：i.例:一台电脑传价为1万元.如果采取分期付款，在1年内将款全部还清的前提下，商家还提供下表所示的几种付款方案（月利率为1%）方案付款燧付款方法16次购买后2个月第1次付款，再过2个月第2 次付款…购买后12个月第6次付款212次购买后1个月第1次付款，过1个月第2 次付款…购买后12个月第12次付款33次购买后4个月第1次付款，再过4个月第2 次付款,再过4个月第3次付款2、应用题篇幅较长，且有列表，教师用电脑显示清晰快捷，提高课堂效率.假定学生是当事人——“你的父母为给你创建更好的学习条件，打算买台电脑，除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式。
你能帮他们参谋选择一下吗？”2.培养学生创新精神的主要内涵就是要更加突出学生在学习活动中的“自主性”和思维的“开放性”.为此,我将教材中的例题稍做改动，使问题更口常生活化，并假定学生是当事人，这样必然会引起学生认知期待，激活了学生的思维，充分调动起学生参与和探求的欲望,使学生由问题引出中的“兴”，而产生探索新知识的“情”.3.［启迪思维，留有余地］问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电脑传价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）。
分期付款中的有关计算2
分期付款中的有关计算2引言随着互联网和电子商务的快速发展，分期付款成为了人们购买商品和服务的常见方式。
分期付款的基本原理是将整个支付金额划分为若干个等额的部分，在一定的时间段内按期支付。
在前一篇文档中，我们介绍了分期付款的基本概念和计算方法。
在本文档中，我们将进一步探讨分期付款中的有关计算，包括计算还款金额、计算还款期限和计算利率。
计算还款金额在分期付款中，还款金额是指每期需要支付的金额。
还款金额可以通过以下公式计算：还款金额 = 总金额 / 分期期数其中，总金额是购买商品或服务需要支付的总金额，分期期数是将总金额划分的期数。
举个例子，如果购买一件商品的总金额是1000元，分期期数为12期，那么每期的还款金额将是：还款金额 = 1000 / 12 = 83.33元需要注意的是，这里的还款金额是按照等额本息方式计算的，即每期还款金额相等，同时包含了本金和利息。
计算还款期限还款期限是指还款的时间段，通常以月为单位。
计算还款期限的方法取决于分期付款的方式。
在等额本息方式下，每期还款金额相等，还款期限可以通过以下公式计算：还款期限 = 分期期数 / 12其中，分期期数是将总金额划分的期数。
比如，如果分期期数为36期，那么还款期限将是3年。
在等额本金方式下，每期还款本金相等，还款期限可以通过以下公式计算：还款期限 = 分期期数比如，如果分期期数为24期，那么还款期限将是24个月。
需要注意的是，等额本息方式下的还款期限比等额本金方式下的还款期限长，因为等额本金方式下，每期的还款本金固定，而未来每期的还款利息会逐渐减少。
计算利率利率是指分期付款中的利息率，用来衡量分期付款的成本。
计算利率的方法取决于分期付款的方式。
等额本息方式在等额本息方式下，每期还款金额相等，利率可以通过以下公式计算：利率 = (还款金额 * 分期期数 - 总金额) / 总金额 * 分期期数 * 100比如，在前面的例子中，每期还款金额是83.33元，分期期数是12期，总金额是1000元。
3.8分期付款解析
24 x 10000 ??
方法1：从24个月后看每月的还款：
第1次还款(1个月以后) : x元， 24个月后值 x(1 p)
23 22
第2次还款(2个月以后) : x元， 24个月后值 x(1 p)
第23次还款(23个月以后) : x元， 24个月后值 x(1 p)
23
1
第24次还款(24个月以后) : x元.
即 x(1+1.0051 +1.0052+ …+1.00535)=50000×1.00536
解：设每月付款为x元， 根据题意：
50000 (1 0.005)
36 1 1 . 005 x( ) 1 1.005
36
x(1 1.005 1.0052 1.00535 )
x(1 p) x(1 p)22 x(1 p)1 x(1 p)0
10000 ？？
若银行当时就收到 10000 元，
10000 (1 p) 10000元在24个月后值：
24
每月的还款额应与10000在24个月后的时值相等
x(1 p) x(1 p)22 x(1 p)1 x(1 p)0
类似地可以推得，第33、32、…2、1期后值：即所 付的款额到货款全部付清时连同利息的和：
4x元 ___________ ___________ ，…___________ 1.0053x元 ，1.008 1.00834x元 ，
___________ 1.00835x元 。 各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息 之和为
贷款购买轿车业务，某人买一辆 8 万元经济型轿车， 按合同规定，首付3万元，其余5万元按月等额付款， 按揭期 3 年，共 36 个月，分 36 次付清，银行贷款月利 率 0.5% 付款多少元？ （精确到元，参考数据1.00535=1.19， 1.00536 =1.20）
分期付款中的有关计算(第一课时)
分期付款中的有关计算（第一课时）引言在日常生活中，我们经常会遇到需要分期付款的情况，例如购买家电、手机、汽车等。
分期付款可以帮助我们分摊购买的成本，减轻经济负担。
然而，是否能够正确计算和理解分期付款的利率、月供等相关概念，往往决定了我们是否能够做出明智的购买决策。
本课时我们将学习分期付款中的有关计算。
1. 利息的计算在分期付款中，我们通常需要支付利息。
利息的计算方式取决于分期付款合同中的利率类型和计算方法。
常见的利率类型包括年利率、月利率和日利率。
1.1 年利率计算年利率是最常见的利率类型，通常以百分比的形式表示。
年利率的计算方式如下：利息 = 本金 × 年利率例如，假设购买了一台价值10000元的电视机，并且根据分期付款合同，年利率为5%。
那么每年需要支付的利息为500元（10000元 × 5%）。
1.2 月利率和日利率计算有时候，分期付款合同中所规定的利率类型是月利率或日利率。
在这种情况下，我们需要根据合同中的利率计算出每个月或每天需要支付的利息。
月利率的计算方式如下：利息 = 本金 × 月利率假设购买的电视机分期付款合同中的月利率为0.5%，则每月需要支付的利息为50元（10000元 × 0.5%）。
日利率的计算方式如下：利息 = 本金 × 日利率假设购买的电视机分期付款合同中的日利率为0.01%，则每天需要支付的利息为1元（10000元 × 0.01%）。
2. 月供的计算除了利息，分期付款合同还规定了每月需要支付的固定金额，通常称为月供。
月供包括两部分：本金部分和利息部分。
2.1 本金部分的计算本金部分是购买商品的总价值除以分期付款的期数，即：本金部分 = 商品总价值 / 分期付款的期数例如，购买的电视机总价值为10000元，分期付款期数为12期，则每个月的本金部分为833.33元（10000元 / 12期）。
2.2 利息部分的计算利息部分是根据之前提到的年利率、月利率或日利率计算出来的。
高一数学分期付款中的有关计算课件
02
随着技术的进步，互联网分期付款的操作将更加简单、快捷，消费者可以更加方便地进行分期付款购物。
互联网分期付款将更加个性化
03
随着大数据和人工智能技术的应用，互联网分期付款将更加个性化，根据消费者的消费习惯和需求，提供更加精准的分期付款服务。
分期付款将更加多元化
未来分期付款的形式将更加多样化，不仅局限于购物，还将拓展到更多领域，如旅游、教育、医疗等。
THANK YOU
根据个人情况和需求，选择合适的还款期限，确保既能缓解短期压力又不影响长期规划。
考虑还款期限
对于没有足够现金的用户来说，选择分期付款是一种有效的解决方式，但应谨慎使用，避免过度依赖。
谨慎使用信用支付
04
分期付款的实际案例
总结词：汽车分期付款是一种常见的分期付款方式，通过这种方式，消费者可以分期支付购车款项，减轻一次性付款的压力。
利率风险
借款人可能因无法按时偿还分期款项而面临违约风险，导致信用记录受损。
违约风险
如果借款人无法按时偿还分期款项，债务可能不断累积，导致借款人陷入更深的财务困境。
债务累积风险
06
分期付款的未来发展趋势
互联网分期付款将更加普及
01
随着互联网技术的发展和普及，越来越多的消费者将通过互联网平台进行分期付款购物，互联网分期付款市场将进一步扩大。
分期付款起源于20世纪初的美国，最初是为了满足消费者购买高价值商品的需求。随着经济的发展和消费市场的扩大，分期付款逐渐成为一种普遍的消费方式。
随着金融科技的发展，分期付款的方式和渠道也在不断变化，如线上分期、信用卡分期等。
消费者可以选择将购车款分成若干期支付，通常需要支付一定的利息或手续费。
巧用数列方法处理分期付款问题
巧用数列方法处理分期付款问题第一篇范文分期付款作为一种便捷的消费方式，在现代社会中被广泛应用。
然而，这种看似美好的消费方式却让许多人在不知不觉中陷入了财务困境。
如何合理地处理分期付款问题，成为了摆在人们面前的一道难题。
本文将借助数列方法，对分期付款问题进行深入剖析，并提出相应的解决方案。
一、分期付款的数学模型首先，我们需要建立一个分期付款的数学模型。
假设消费者购买了一件商品，总价为P元，分期付款共分为N期，每期付款金额为A元，利率为R。
那么，消费者每期的还款金额可以表示为：$$A_n = A + R\times \sum_{i=1}^{n-1} A_i$$其中，$A_n$表示第n期的还款金额，$A_{n-1}$表示第n-1期的还款金额。
二、分期付款问题的解决方案1. 提前还款提前还款是减少利息支出的一种有效方式。
消费者可以在保证生活品质的前提下，尽量提前还款。
根据数列方法，我们可以计算出消费者提前还款后，每期的还款金额。
具体方法如下：设消费者提前还款后，剩余期数为M，则有：$$A_m = A + R\times \sum_{i=1}^{m-1} A_i$$消费者提前还款后，剩余本金为P - \sum_{i=1}^{n-1} A_i，因此，提前还款的利息支出为：$$\sum_{i=1}^{m-1} R\times A_i$$2. 选择低利率的分期付款方式在购买商品时，消费者应尽量选择低利率的分期付款方式。
根据数列方法，我们可以计算出不同利率下的还款金额，从而做出明智的选择。
具体方法如下：设另一种分期付款方式的利率为S，则有：$$A_s = A + S\times \sum_{i=1}^{n-1} A_i$$比较两种分期付款方式的还款金额，选择较低的一种。
3. 合理规划消费消费者在购物时，应根据自身的经济状况，合理规划消费。
可以通过数列方法，计算出在不同消费金额下的还款金额，从而控制自己的消费欲望。
高一数学教案课题内容：分期付款中的有关计算(二).doc
课 题：分期付款中的有关计算（二）教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程：一、复习引入：1．研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=mn mmp p p a x 二、例题讲解例1 一般地，购买一件售价为a 元的商品采用分期付款时要求在m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n(n 是m 的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为1)1(]1)1[()1(-+-++=mnm mp p p a x 推导过程：设每次付款x 则：第1期付款x 元（即购货后n m 个月时），到付清款时还差nm m 2-个月，因此这期所付款连同利息之和为：nm m p x 2)1(-+……第n 期付款（即最后一次付款）x 元时，款已付清，所付款没有利息. 各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：nm m nm n m p x p x p x x -+++++++)1()1()1(2货款到m 个月后已增值为mp a )1(+ 根据规定可得：m nm m nm nm p a p p p x )1(])1()1()1(1[2+=+++++++-即：m nm m p a p p x )1(1)1(1)1(+=-+-+⋅解之得：1)1(1)1[()1(-+-++=mnm mp p p a x 例2 某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大需做好长远的储蓄买房计划，打算在2010年的年底花50万元购一套商品房，从2001年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？方案2：若在2001年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？方案3：若在2001年初贷款50万元先购房，要求从贷款开始到2010年要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期…，到2010年年底能够还清，这一方案比方案2好吗？启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高） 那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息） 问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ ——设为x 搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每年利息按复利计算,即上年利息要计入下年本金.例如,由于年利率为1.98%，,款额a 元过一个年就增值为a(1+1.98%)=1.0198a(元);再过一个月又增值为1.0198a(1+1.98%)=1.01982a(元)独立探究方案1可将问题进一步分解为： 1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，房屋售价与各期付款额有什么关系？ 提出解答,并给答辩：按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为： 3×10%)98.11(++3×9%)98.11(++…+3×1%)98.11(+=%)98.11(1]%)98.11(1%)[98.11(310+-+-+⨯≈33.51（万元）设每年存入x 万元，在2010年年底能够存足50万则：50%)98.11(1]%)98.11(1[%)98.11(10=+-+-+∙∙x解得x=4.48（万元）通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题； 独立探究方案2：分析方法1：设每年还x ，第n 年年底欠款为n a ，则 2001年底：1a =50（1+4.425%）–x。
分期付款中的数学计算
2。本金1000元，月利率0.008,每月复利一次,一年后本利和为多少?
答：1223.4元
n
2。本金1000元，月利率0.008,每月复利 一次,一年后本利和为多少?
答: 1100元
an A(1 p)
n
分期付款中的有关计算
练习题3：
李明同学今年高三，在高一入学时，经父 母同意，即在06年9月开始每月存入200元 的零存整取教育储蓄，问李明毕业后上大 学时（即2009年9月），他在银行的存款 是多少？
分期付款中的有关教学
X[1+(1+0.008)^2+(1+0.008)^4]=10000*(1+0.008)^6 即x*((1+0.008)^6-1)/((1+0.008)^21)=10000*(1+0.008)^6 X=10000*(1+0.008)^6*[(1+0.008)^2-1]/[(1+0.008)^61]=3441.0
• 方案2：小张认为，自己借了小王10000元，若
存钱在银行6个月后因增值为10000 *（1+0.008） ^6/3元，约为3496.57元。
分期付款中的有关计算
学生思考、做出选择。 “公平”的本质是10000元及其6个月的利息，与 分期还款额连同利息之和相等。贷款货物，分期付款 已深入我们的生活。
8
结束语
分期付款是当今经济生活中与老百姓息息相关的事， 买房、买车、甚至买家用电器都用上了分期付款。提前消 费的观念已经被接受。若何根据自己的实际经济情况，选 择恰当的分期付款方式是每一个参与经济活动的公民的迫 切需要。因此，学习掌握相关知识，解决分期付款问题有 十分重要的现实意义，同时也体现了新课标的精神。
等额分期付款问题研究
等额分期付款问题研究
单利分期付款：
设共贷款a元，还款期数为m，月利率为r，每月还款数为x,月末还款，那么：
总还款额=a(1+r)
nx=a(1+r)
x=a(1+r)/n
即每月还款数=贷款总额*（1+利率）/期数
复利分期付款：
设共贷款a元，还款期数为m，月利率为r，每月还款额为x，月末还款，那么：
总还款额=a(1+r)^m
将总还款额等分为n份，第n月偿还部分为第n份，则
第n份的本利和为a n=x(1+r)^(m-n),可知数列{a n}为等比数列，
列出等量关系：x[(1+r)^(m-1)+(1+r)^(m-2)+……+(1+r)+1]=a(1+r)^m
利用等比数列求和公式得：x[1-(1+r)^(m)]/[1-(1+r)]= a(1+r)^m
化简可得：x=ar(1+r)^m/[(1+r)^m-1]
即每月还款额=贷款总额*利率*（1+利率）^期数/[（1+利率）^期数-1]
利用此式便可：已知本金、利率、每月还款额求出还款期数；已知本金每月还款额、期数求利率；已知每月还款额、期数、利率求本金等。
利用此式还可以得出：
总还款额=x*n=nar(1+r)^m/[(1+r)^m-1]
总利息=总还款额-总贷款额=
nar(1+r)^m/[(1+r)^m-1]-a=a[(1+r)^m(nr-1)+1]/[(1+r)^m-1]。
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分期付款中的数学计算原理以及若干问题的讨论
分期付款是一种消费者可以分期支付购买商品或服务的金融服务。
它可以帮助消费者把一笔大额支出分成多个小额支出，从而更容易支付。
分期付款的数学计算原理是，消费者需要支付的总金额（本金）除以分期数，就可以得到每期应付的金额（本金+利息）。
分期付款的数学计算原理是，消费者需要支付的总金额（本金）除以分期数，就可以得到每期应付的金额（本金+利息）。
比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，那么每期应付的金额就是1000元除以3，即333.33元，其中包括本金和利息。
分期付款的数学计算原理也可以用于计算利息。
比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，每期应付的金额为333.33元，那么每期的利息就是333.33元减去本金1000元，即333.33元减去1000元，得到的结果就是每期的利息，即-666.67元。
分期付款的数学计算原理也可以用于计算分期付款的总利息。
比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，每期的利息为-666.67元，那么总利息就是-666.67元乘以3期，即-2000元。
分期付款的数学计算原理可以帮助消费者更好地了解分期付款的费用，从而更好地控制自己的支出。
但是，消费者在使用分期付款时，还需要注意一些问题，比如分期付款的利率、分期付款的期限、分期付款的违约金等。
只有了解这些问题，消费者才能更好地控制自己的支出，避免发生不必要的损失。