电路 第五版邱关源第八章 相量法
《电路》邱关源第五版课后习题解答
电路习题解答第一章 电路模型和电路定律【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【题2】：D 。
【题3】：300；-100。
【题4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-⨯=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I=-+9473A=0.5A；U Ia b.=+=9485V；IU162125=-=a b.A；P=⨯6125.W=7.5W；吸收功率7.5W。
电路邱关源版第08章
– 相量的模表示正弦量的有效值 – 相量的幅角表示正弦量的初相位 – 同理可得正弦电压与相量的关系 – 振幅相量
i(t) = 2I cos(ωt +φi ) ⇔ I = I ∠φi
u(t) = 2U cos(ωt +φu ) ⇔ U = U∠φu
i(t) = Im cos(ωt +φu ) ⇔ I m = Im∠φu u(t) = Um cos(ωt +φi ) ⇔ Um = Um∠φi
R
i
L
+
us
uC
- C
i = 2I cos(ωt +φi )
1 2I sin(ωt +φi ) = 2Us cos(ωt +φu ) ωC
8.3 相量法的基础
• 为什么要用相量表示正弦量？ 为什么要用相量表示正弦量？
两个正弦量的相加： 两个正弦量的相加： i1 = 2 I1 cos(ωt +ψ1) i2 = 2 I2 cos(ωt +ψ2 )
U= 1 2 Um 或 Um = 2U u(t) = Um cos(ωt +ψu ) = 2U cos(ωt +ψu )
• 注意： 注意：
– 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值， 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此， 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最 大值考虑。 大值考虑。(U=220V, Um=311V U=380V, Um=537V) – 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 – 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
电路第五版 8、相量法
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
o
旋转因子： 旋转因子： e j = 1∠ 任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角 j 例8-1 F=F1e j F F1 +1
π
2
特殊： 特殊：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U = Um 2
或
Um = 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
i2
i1 i2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
I2
i3
ω
I3
ωt
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
§8. 2 正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
F1 F2
F1 F2 = ( a1 a 2 ) + j ( b1 b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：
邱关源《电路》第八章相量法2
17
例1: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F , BUCT
U 100V , 314rad / s , 求:各支路电流。
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1
I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
_ U
Z1
Z2
jL
解：画出电路的相量模型
0.5770
A
瞬时值表达式为：
i1 0.6 2 sin(314 t 52.3 ) A i2 0.181 2 sin(314t 20 ) A i3 0.57 2 sin(314 t 70 ) A
解毕！
20
9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联
一． RLC串联电路
用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。
2I R
.
.
1 UR UC
24
BUCT
练习：P188 8—11 12
25
作业
BUCT
习题：8-16 9-1 (b)、(f) 9-5 预习：第9章
26
j
G 导纳三角形
（二） R、L、C 元件的阻抗和导纳
（1）R：ZR R , YR 1 R G
（2）L：Z L jL jX L ,
1
1
YL
j
jL
L
jBL
（3）C：ZC
j 1
C
jX C ,
YC jC jBC
15
（三）阻抗和导纳的等效互换
º R
Z
18
I1
I2 R1
《电路》课件--第五版--原著：邱关源--修订：罗先觉--(内蒙古工业大学用)-第八章
？ U• = U• R+ U• L+ U• C
u
还原
U•
变换法
一、正弦量的相量表示
1、复数及运算
a) 复数 A 表示形式：
j b
|A|
y
0
A a +1
代数形式 极坐标形式
b) 复数运算 (1)加减运算——代数形式 (2)乘除运算——极坐标形式
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
* 旋转因子
iCdt uS
R iR
1 C
iC dt
时域列写微分方程
相量模型 I• L •I C I• R
• I
0
U• 0
jw
L
•
IL
1 jwC
•
IC
U• S
•
RI R
1 jwC
•
IC
频域列写相量形式代数方程
感 谢
感 谢
阅阅
读读
三、正弦交流电路
电源：同频率的正弦交流电源。 负载：能够反映正弦交流电路中热、磁、场效应的
线性元件R、L、C、M 等。 特点：电路中的响应均为同频率的正弦量。
§8 — 2 正弦交流电量的比较及运算
一、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 定义：相位差 = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
•
•
= IR + j w LI +
•
I
jwc
相量法小结：
① 正弦量 时域
正弦波形图
电路分析基础 邱关源 第八章
i(t ) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
注意
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
例1 已知
试用相量表示i, u . 解
例2
试写出电流的瞬时值表达式。 解
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相量图
在复平面上用向量表示相量的图
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相量模型
波形图 uR
i
o 相量图
wt
u=i
同 相 位
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2. 电感元件VCR的相量形式
i(t) 时域形式： L 相量形式： +
+ uL(t) -
-
jw L 相量关系：
U L jwL I jX L I
u=i +90°
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|XC| 容抗和频率成反比
w
相量表达式
w0， |XC| 开路 w ，|XC|0 短路
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波形图
iC
o 电流超前 电压900
u
wt
相量图
u
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4. 基尔霍夫定律的相量形式
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例1 试判断下列表达式的正、误。
L
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下 页
例2 i
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定： |j | (180°)
邱关源《电路》第五版 第八章 相量法
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
邱关源《电路》第五版参考答案
邱关源《电路》第五版参考答案答案第一章电路模型和电路定律【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【题2】：D 。
【题3】：300；-100。
【题4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +?=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=；⑴KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-?=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I =-+9473A =0.5 A ；U I a b .=+=9485V ； I U 162125=-=a b .A ；P =?6125. W =7.5 W；吸收功率7.5W 。
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第8章相量法一、选择题1．图8-1所示的是时间0t =时电压和电流的向量图，并已知220U V =，110I A =，22I =，各正弦相量图用复数式表示为（）。
图8-1A ．2200U V =∠︒ ，11090I A =∠ ，25245I A=∠-B ．22020U V =∠ ，1290I A =∠ ，21045I A=∠- C ．220180U V =∠ ，110290I A =∠ ，21045I A=∠ D ．2202180U V =∠ ，1102270I A =∠- ，210135I A=∠ 【答案】A【解析】复数式表示时用有效值和0t =时刻相角表示。
2．图8-2所示正弦稳态电路中，若，且电流有效值I 1＝4A ，I 2＝3A ，则有效值I 及整个电路的性质为（）。
A ．1A ，容性B ．1A ，感性C．7A，容性D．7A，感性图8-2【答案】A【解析】取电压为参考相量，可画出电路的相量图如图8-3所示，故得I＝4－3＝1A，电路为电容性。
图8-33．图8-4所示正弦稳态电路中有两个未知的元件1，2，它们可能是一个电阻、一个电容或电感。
现用示波器观察电压的波形，得知u2的相位滞后于u s的相位达60°，则1，2元件可能分别为（）。
A．电阻，电阻B．电感，电阻C．电阻，电感D．电容，电阻图8-4【答案】B【解析】可能有多种电路。
（1）如图8-5（a）所示电路，取为参考相量，于是可画出相量图如图8-5（b）所示。
可见超前于，不合题意，舍去。
图8-5（2）如图8-5（c）所示电路，取滞后于，符合题意，故选B。
（3）如图8-5（e）所示电路，取为参考相量，其相量图如图8-5（f）所示。
可见滞后于符合题意，但试题中的答案无此答案。
（4）还会有C－R，R－R等各种组合电路，但都不合题意。
故本题只能选B。
4．图8-6所示正弦电流电路，已知，则。
A．B．C．D．图8-6【答案】A【解析】因故5．已知，则u1（t）与u2（t）的相位差φ12＝（）。
第8章电路邱关源课件PPT
i = i1 + i2= Re 2 I&1e jωt + Re 2 I&2 e jωt
jω t 1 2
] [ ] & +I & + L)e ] = Re [ 2 I &e ] = Re [ 2 ( I
jω t
[
&=I & +I & +L I 1 2
相 量 法
电 路 例8-2 设两个同频率正弦电压分别为
F2 = −7.07 + j 7.07 F1 + F2 = (3 − j 4) + (−7.07 + j 7.07) = −4.07 + j 3.07 3.07 = 143o arg( F1 + F2 ) = arctan − 4.07
F1 + F2 = (−4.07) 2 + 3.07 2 = 5.1
相 量 法
电 路 正弦量的有效值 在相同时间内, 在相同时间内,正弦电流 正弦电流 i 对电阻R所做的功 == 直流电流I 在R 所做的功, 所做的功, I 就称为正弦 就称为正弦电流 正弦电流i 的有效值。 的有效值。
1 T
∫
T
0
i Rdt = I R
2 2
1 T
∫
T
0
i 2 dt = I 2
或
& =U & +U & = 200∠10o + 300∠ − 30o U s1 s2
= 197 + j17.4 + 259.8 − j150 = 456.8 − j132.6 = 475.8∠ − 16.2o
u = 475.8 sin( ωt − 16.2o )
电路第五版第8章相量法(xs)
o
∴
i(t ) u(t )
I 100 30
o
U 220 60
o
2. 相量运算 (1) 同频率正弦量相加减
u 1 ( t ) U m1 cos( w t + Ψ u 2 ( t ) U m2 cos( w t + Ψ ) Re( 1 ) Re( 2
jw t
182.5 + j132.5 225.5 36o
(4) 旋转因子： 复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故 把 ejq 称为旋转因子。 A• ejq Im
A• ejq =|A| qA + q
0
q
A Re
特殊旋转因子:
ejp/2 = j 也是旋转因子，逆时针转了90。 e-jp/2 = - j, 顺时针转了90 。
jθ 1 |
e
j( θ 1 θ 2 )
| A1 | | A2 |
θ1 θ
2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。
例1.
5 47 + 10-25 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47 - j0.567 = 12.48 -2.61
+
1 jω C
U
1 jω C
I C jX C I C
U
U
-
IC=w CU
i=u+90°
IC
相量模型 B C = w C， 称为容纳，单位为 S
u
电路原理(邱关源)习题答案第八章相量法
第八章相量法求解电路的正弦稳态响应,在数学上是求非齐次微分方程的特解.引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算.所谓相量法,就是电压、电流用相量表示, RLC元件用阻抗或导纳表示,画出电路的相量模型,利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解,因此,应用相量法应熟练掌握：(1)正弦信号的相量表示；(2) KCL,KVL的相量表示；(3) RLC元件伏安关系式的相量形式；(4) 复数的运算.这就是用相量分析电路的理论根据.8-1将以下复数化为极坐标形式：(1) Fi=-5-j5；⑵ F2 =-4+ j3；⑶ F3 =20+j40；(4) F4=j10; (5) F5=-3; (6) F6=2.78 +j9.20o解：(1) F1 =-5-j5 = a Z0a = (-5)2 (-5)2 =5.2-5 v1-arctan ——=-135 -5 (因F1在第三象限)故F1的极坐标形式为F1=5%'2/ -135-(2) F2 =—4 + j3=C(Y)2+32/arctan⑶—4)=52143.13：(F2在第二象限)(3)F3 =20+ j40 = J202 +402N arctan(40/20) =44.72/63.43二(4) F4 =10j =10/90 二⑸ F5=-3 = 3/180 二(6)F6 =2.78 + j 9.20 = 32.782+9.202/arctan(9.20/2.78) = 9.61,73.19 ：注：一个复数可以用代数型表示,也可以用极坐标型或指数型表示,即F=a1+ j a2 =a/e =ae ja它们相互转换的关系为：2 2 1-arctan—a〞0 a2 a i和a1 = acosi a2= asin?需要指出的,在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限,它关系到日的取值及实部a i和虚部a2的正负.8-2将以下复数化为代数形式：〔1〕F i=10/—73；〔2〕F2 =15/112.6：；〔3〕F3 =1.2/152；〔4〕F4=10/-90 :〔5〕F i =5Z-180=;〔6〕 F i =10/ -1351解：〔1〕 F i =10/— 73°=10xcos〔—73二〕十j10xsin〔—73〕= 2.92 —j9.56⑵ F2=15/112.6〞 = 15cos112.6、15sin112.6' = -5.76+j13.85〔3〕 F3 =1.2/152 口=1.2cos152' + 1.2sin152 0 = —1.O6 + jO.56〔4〕F4 =10=-90*=-jIO〔5〕F1 =5/-180口= -5〔6〕 F i =10/-135,0cos〔-135：〕+10sin〔-135二〕=-7.07-j7.078 —3假设IO./.“十A260 °= 175/中.求A和中.解：原式=100+ Acos600+ ja sin600=175c o s9 + j175s in中根据复数相等的定义,应有实部和实部相等,即Acos60 100 =175cos虚部和虚部相等Asin60 =175sin「把以上两式相加,得等式A2 100 A -20625 -0-100主,1002+4乂20625 1 102.07A = ---------------------------------- 二+解得 2 「202.069.3102.07 ——Asin602sin =-------------- = --------------- — 175 175=30.348-4求8—1题中的F ,F6和F 2/F6.解：F 2 F6=(—4 j3) (2.78 j9.20) =5 143.13 9.61 73.19= 48.05. 216.32 =48.05. -143.684 j3 5. 143.13F 2 F6 = ------------ --- = ----------------- = 0.52 69.942.78 j9.20 9.61 73.198 — 5求8 —2题中的F 1 +巳和E/F 5 o解：F 1 F 5 - 10. - 73 5. - 180= 10cos(-73 ) j10sin(-73 ) -5 =-2.08 - j9.56 =9.78 -102.2710. -73F 1 F 5= ---------------------------- = 2 -73180 =2 1075/-1808 —6 假设.i 1 = -5cos(314t +60)Ai 2 = 10sin(314t + 60)A,i 3 =4cos(314t 60 )A(1)写出上述电流的相量,并绘出它们的相量图； (2)1与心和i1与)的相位差；(3)绘出3的波形图；(4)假设将3表达式中的负号去掉将意味着什么？ (5)求的周期T 和频率f .解：(1) i 1 二 一5cos(314t+601 =5cos(314t+60 = —180=) =5cos(314t —120bi 2 =10sin(314t 60 ) = 10cos(314t - 30 )=0.505 所以故i 1 , i 2和i 3的相量表达式为(4)假设将i i (t)中的负号去掉,意味着i i 的初相位超前了 180二.即i i 的 参考方向反向.(5) i i (t)的周期和频率分别为2 二 2 二T =——= ------ =0.02s = 20ms314 .1■ ■1f =一 =——= ---- =50 HzT 2 二 0.02注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差,因此在 比拟相位差时,两个正弦量必须满足(1)同频率；(2)同函数,即都是正 弦或都是余弦；(3)同符合,即都为正号或都为负号,才能进行比拟.8-7 假设两个同频正弦电压的相量分别为U i =50/30 V ,5 =T00/-150 V ,其频率 f=100Hz .求：5I i ： 一 120 A,1210 4:——30 A,13 ：——60 A2 2(3) i i (t)的波形图见题解图(b)所示.13 =1 - 3 - -120 -60 - -180其相量图如题解图(a)所示.(1)写出u i,出的时域形式；(2) 3与弘的相位差.(1)u1(t) = 50.. 2 cos(2 ft 30 ) = 50 .. 2 cos(628t 30 )Vu2(t) =-100.2cos(2二ft-150 ) =100..2cos(628t-150 =180 )V 二100,2cos(628t 30 )V(2)由于U1=50. 30 V ,U2=-100/-150 V =100. 30 V故相位差为中=30<30' = 0：即u1与u2同相位.8-8 ：3(t) =22072cos(314t—120 1Vu2(t) =220,2 cos(314t 30 )V(1)画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率f和周期T;(2)写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差；(3)如果把电压电的参考方向反向,重新答复(1), (2).解：(1)波形如题解8—8图(a)所示.有效值为u1 =u2 = 220V u2314f1 = f2 =——= ---------------------- =50Hz频率2二2二1 1T1 = T2 0.02 s周期 f 50(2) 5和弘的相量形式为U1 =220 -120 V U2=220 30 V故相位差为 =i - ：2 =-120 -30 <-150 相量图见题解图(b)所示.(3)U2的参考方向反向,u2 (t)变为一u2 (t),有效值、频率和周期均 不变,—U 2(t )的相量为 U'2 =220/30—180口=200/—150V故U1和U2的相位差为*=91-中2=-120 -(-150)=30 波形图和向量图见题解图(a)和(b).8 — 9一段电路的电压、电流为：3,u =10sin(10 t - 20 )V i =2cos(103t -50 )A(1)画出它们的波形图和向量图；(2)求出它们的相量差.33解：(1) u =10s lM10 t—20 )=10cos10 t —110 )V ,故 u 和 i 的相量分别为U a =22072cos 侬t +10)V , U b =22045cosgt -110 =)V , U c = 220 2 cos( t 130 )V求：(1) 3个电压的和；(2) U ab ,U bc ； (3)画出它们的相量图--------- ------------- 0 .2 I =-50 A210U =-110 V60 o8-10图示三个电压源的电压分别为:u(a) +1 -------处+e ; c ~ +题解8—10图解：“,u b, U c的相量为U a = 220 10 VU b=220. -110VU c =220. 130 V(1)应用相量法有U a U b U c=220 10 220/ -110 220 130a c=0即三个电压的和u a⑴u b(t) u c⑴=0⑵ U ab =U a -U b =220/10 220/-110 ：= 220 3 40 VU bc =U b -U c =220 -110 -220 130= 220.3 -80 V(3)相量图如题解8—10图所示u c(a)中电压表读数为V 1：30V ； V 2:60V ；图(b)中的V 1 :15V ； 100V .(电压表的读数为正弦电压的有效值.)求图中电压U s .题8—11图解法一：(a)图：设回路中电流「=1/0：根据元件的电压、电流相量关系,可得题8-11图U R = RI = RI 0 =3.0 V U L = jX L l = X L I 90 =6.90 V那么总电压 U S =U R -U L =30 • j60V所以U s 的有效值为US =痴2 +602 = 67.08V(b)图：设回路中电流相量I =1/0二A,由于U R = RI = RI 0 =15 0 VU L —X L I =X L I 90 =80 90 V8-11 图 V 2 :80V . V 3 :题解8—10图元件相量关系后效值关系相位关系相量图电阻R UR = RI R U R =RI R仇=%U C=-jX C I =X C I -90 =100 -90 V所以总电压U S =U R U L U C =15 j80 -100j =15-j 20V故U s的有效值为U S=J132+202=25V解法二：利用相量图求解.设电流「=1/0 '为参考相量,电阻电压U R与「同相位,电感电压U L超前I'90 :电容电压U c要滞后「90［总电压U s与各元件电压向量构成一直角三角形.题解8-11图〔a〕和〔b〕为对应原图〔a〕和〔b〕的相量图.由题解图〔a〕可得U S = . U R U L = 302 602 = 67.08V由题解图〔b〕可得U S = ,U R 〔U C-U L〕2 = 152〔100 -80〕2 = 258V题解8—11图注：这一题的求解说明,R, L, C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系〔如下表所示〕是我们分析正弦稳态电路的根底,必须很好地理解和掌握.电感LU L = jX L I LU L = jX L 「 仇=仇+90二电容CU C = - jX C I C U C = X C I C仇=d -90二1 -----------------------------8—12图示正弦电流电路中,电流表的读数分别为 A ：5A ； A 2：2°A；A 3 :25A o 求：〔1〕图中电流表A 的读数；〔2〕如果维持A 的读数不变,而把电 源的频率提升一倍,再求电流表 A 的读数.解法一:〔1〕 R, L, C 并联,设元件的电压为U R 二二U L 二U C 二U 二U 0根据元件电压、电流的相量关系,可得U U I R5/0 AR RU UI L =——=——-90 A - - j20A jXL X L应用KLC 的相量形式,总电流相量为I = I R I L I C =5-j20 j25 = 5 j5 =5' 2 45 A故总电流表的读数.・' =I =5、.2 =7.07A(2)设U R ==U L =U C =U -U — 0U U,,…—『一 ,、一 , I R =- =— =5,0 A. 当电流的频率提图一倍后,由于 R R不变,所以UR -U不I CU- jX C90 = 25 90 = j 25A题8—12图U UIc == = 2 25. 90 =50. 90 A一jX C _j ； 2 cI =I R I L 1c =5-j10 j50 =5 j40即,电流表的读数解法二： 利用相量图求解.设U =U /00=U R =U L =Uc 为参考向量,根据元件电压、电流的相位关系知,I R 和U 同相位,1c 超前90： I L 滞后U 901 ■ ■ ■ 相量图如题解8—12图所示,总电流「与I R, I c 和I L 组成一个直角三角形.故 电流表的读数为... =\IR(I c -I L )2A即 (1)@ =,52 +(25 -20)2 =7.07A⑵ @ =,52 +(25 -10)2 =40.31A注：从8—11题的解法二,可以体会到应用向量图分析电路的要点,那就是 首先要选好一个参考相量,这个参考相量的选择,必须能方便地将电路中其它电变,而X L =2^L 增大一倍,26C 减小一倍,因此,有U 1 ——=—20.jX L j2 L 2所以A - -52 402 -40.31A题解8—12图压、电流相量,根据电路的具体结构及参数特点逐一画出,把所给的条件转化成 相量图中的几何关系.最后根据相量图中的相量关系,使问题得到解决.一般对 串联电路,选电流作参考方向较方便,如 8-11题.对并联电路,那么选电压作参 考相量较方便,如8-12题.有些问题通过相量图分析将很直观和简便.8-13 对RL 串联电路作如下两次测量：(1)端口加90V 直流电压=0)时, 输入电流为3A; (2)端口加f =50H z 的正弦电压90V 时,输入电流为1.8A .求R 和L 的值.题解8—13图解：由题意画电路如题解8—13图所示.(1)当u s 为90V 直流电压时,电感L 看作短路,那么电阻RU-(2)当u s 为90V 交流电压时,设电流「=1/0口=1.8/0二A,根据相量法,U S = RI jX L I =30 1.8 jX L 1.8 U S =90 = 1.8 , 302 X i 2X L= (90)2 -302 =40 】1.8, X L X L 40L = ----- = ------- = -------- 解得 • 2开 100二8-14某一元件的电压、电流(关联方向)分别为下述 4种情况时,它可能是U0.127H 庆什么元件?'u =10cos(10t 十 45 1V (D i =2sin(10t +135)AU = 10. 45 V2即电压、电流同相位,根据元件电压、电流相位关系可知这是一个 5建的电阻元件.(1)把电压变为余弦形式有u=cos(100t - j 90 )V102 U 45 I =0 A(2) u 和i 的相量为J 2V 2U5一二5 45 (1 j); R jX L 那么I.. 255R : ---- ：. iX L ：--- :. i即这是一个 「2 的电阻和v 2 的电感的串联组合.3,、.,8—15电路由电压源u s n 00 cos(10 t)V 及R 和L= 0.025H 串联组成.电感端电 压的有效值为25V .求R 值和电流的表达式.解：由题意画电路的相量模型如题解 8—15图(a)所示,相量图如题解图 (b)所示.由于100U.2 0X L = L=103 0.025= 25」u =10sin(100t)V(2) i =2cos(100t)AU = -10costV (3) 、i=-sintA；u = 10cos(314t+451V (4)、 i =2cos(314t)A解：(1)把电流变为余弦形式有= 2cos(10t +135、901=2cos(10t + 45°)A,u和i 的相量为题解8—15图由图〔b〕知电阻电压的有效值为U R 66.144R = —R = -------- =66.144' 1所以电阻为I 1「滞后U S的角度(由于是感性电路)为.U L . 25Z= arcsin——=arcsin -------- -- - 20.70U S100 2因此电流的瞬时表达式为i(t) = 2cos(103t -20.70 )A100■ _________I U S— = ------------------------ 2—— =1 -20.70 A也可根据R jX L 66.144 j25得i(t) = 2cos(103t -20.70 )A8-16图示电路I1 =I2 =10A.求I和U S.■ ■ ■ ■ ■解：设U S为参考相量.I1与U S同相位,I2超前U S901相量图如题解8-题解8—16图题解8—16图I = J l2-12 = J102・ 102 =10、,2 A12Z= arctan = arctanl = 4511由电路图知U S = RI1 =10 10 = 100V故U s和「分别为U S -100. 0 VI = I. :Z =10,2 45 A8-17图示电路中1s=2/0 A.求电压u o■■' u u1s = I R ' I L =二 '解：R jX Lu - I S -2 0= 2 45V1 .2 —451即j题8—17图。
邱关源《电路》第八章相量法1
+j
U
U 2
60
30
U 1
41.9
+1
+j
U
U 2
首
U 1
60
尾 相
41.9 接
30
+1
16
(2) . 正弦量的微分，积分运算
i = 2 I cos(ωt + ψi ) ↔ I = I∠ψi
BUCT
微分运算:
积分运算:
di d
dt dt
2 I cos(t i )
i(t) = Im cos(ωt + ψi ) = 2I cos(ωt + ψi )
4
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
Um 2U
BUCT
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um≈311V；
U=380V，
Um ≈537V。
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额
解：
I
100∠30o
A
u = 311.1cos(314t - 60o )V
U 220∠ - 60o V
试用相量表示i, u .
13
例2. 已知I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
BUCT
解：i = 50 2cos(314t + 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
∴u(t) = u1(t) + u2(t) = 9.64 2cos(314t + 41.9o ) V
电路第五版课件 第八章相量法
j 30 （ 105) 135
( 2) i1 ( t ) 5 cos(100π t 30 ) i2 ( t ) 3 cos(100π t 300 ) 3cos(100πt 150)
j 30 ( 150) 120
( 3) u1 ( t ) 10 cos(100π t 30 ) u2 ( t ) 10 cos(200π t 45 )
③正弦量对时间的导数、积分、几个同频率正弦量的
加减，其结果仍是同频率的正弦量，这不仅使电路 的分析计算变得简单，而且其结果还可以推广到非 正弦周期电流电路中。
正弦量的时域表达式有两种形式
i Imcos(wti) i Imsin(wti) 也称为瞬时值表达式 分析时不可混用，以免发生相位错误。 今后采用的形式以教材为准： i Imcos(wti)
i3
i3
i2
wt
复数
（2）正弦量的相量表示
由数学知识可知：任意一个正弦函数都有唯一
的复数与其对应。
可用复数表示正弦量 相量表示法的实质：用复数表示正弦量 相量的模 表示正弦量的有效值（或最大值）
相量的幅角
表示正弦量的初相位
如：uUmcos(wt) 相量 注意：
j U Ue U
2 2 2 2
三角函数式： F 10cos53 j10sin53
指数式：
极坐标式：
F 10e
j 53
F 1053
2. 复数的运算
（1）相等： 代数式：实部相等，虚部相等 极坐标式：模相等，辐角相等 （2）加、减：实部相加减，虚部相加减
如果是其他形式表示的复数，应先化成代数式
U
q
j
I
邱关源《电路》笔记及课后习题(相量法)【圣才出品】
第8章相量法8.1 复习笔记一、复数相关知识点1．复数的表示形式如图8-1-1所示，在复平面内有一个向量F，可以用以下几种方式表示：（1）代数形式（2）三角函数形式F＝|F|（cosθ＋jsinθ）（3）指数形式F＝|F|e jθe jθ＝cosθ＋jsinθ（欧拉公式）（4）极坐标形式F＝|F|∠θ图8-1-12．复数运算设有两个复数分别为F1＝a1＋jb1，F2＝a2＋jb2。
（1）加减运算F1±F2＝（a1＋jb1）±（a2＋jb2）＝（a1±a2）＋j（b1±b2）复数的加减运算在复平面上符合平行四边形求和法则，如图8-1-2所示。
图8-1-2 复数的加减运算（2）乘法运算所以|F1F2|＝|F1||F2|arg（F1F2）＝arg（F1）＋arg（F2）（3）除法运算所以（4）旋转因子①e jθ＝1∠θ，若则②e jπ/2＝j，e－jπ/2＝－j，e jπ＝－1，e j2π＝1。
二、相量法基础（1）正弦量的表达式：u（t）＝U m cos（ωt＋φ）。
式中，U m为振幅，ω为角频率，φ为初相，三者称为正弦量的三要素。
有效值即其均方根值相量：表征正弦时间函数的复值常数。
（2）有效值相量：U▪＝U∠φu，复值常数的模表示有效值，由此可知（3）正弦量的相量表示法：分为有效值相量和最大值相量。
例如，正弦量其有效值相量I▪＝10∠50°A。
其对应的最大值相量三、电路定律的相量形式（1）KCL、KVL定律的相量形式∑I▪＝0∑U▪＝0（2）电路元件VCR的相量形式①电阻元件：U▪＝R I▪。
即电阻上的电压和电流同相位，相量图如图8-1-3所示。
图8-1-3②电感元件：U▪＝jωL I▪。
即电感上的电压超前电流90°，相量图如图8-1-4所示。
图8-1-4③电容元件：U▪＝I▪/（jωC）即电容上的电压滞后电流90°，相量图如图8-1-5所示。
电路 第五版 邱关源第八章(改)
ϕ
O
2
u
i
1
jψ
jω t
复常数包含了三要素中 复常数包含了三要素中 两要素I 两要素 , Ψ 。而同一 个电路中的电流电压具 有相同的频率 ω ，
i = 2Icos(ω t + Ψ ) ↔ A(t ) = 2Ie e
jΨ
jω t
正弦量的相量式：就是把正弦量用复数表示 i (t ) = 2 I cos(ω t + Ψi ) ⇔ I m = 2 I∠Ψi ....幅值向量 . ........................................... I = I∠Ψi .........有效值向量
+
u
_
Im,ω, ψi 称为正弦量的三要素。 称为正弦量的三要素。 波形图:正弦量随时间变化的图形 波形图 正弦量随时间变化的图形
周期、 一、周期、频率和角频率
1、周期T ：正弦量变化一个循环所需的时间。 单位：s，秒 、周期 正弦量变化一个循环所需的时间。 单位： ， 2、频率f ：正弦量每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹) 、频率 正弦量每秒重复变化的次数。 单位： ， 兹 3、角频率(angular frequency)ω: 正弦量的相位 角频率
注意：研究同频率正弦量的相位差。 注意：研究同频率正弦量的相位差。 一般取： 一般取： |ϕ | ≤π (180°)。 °。 • ϕ >0， u超前 角ϕ ，或i 落后u角ϕ (u 比i先到达最大值)； 超前i角 先到达最大值) 超前 先到达最大值 u, i u i O
《电路》邱关源第五版课后习题答案解析
电路答案——本资料由张纪光编辑整理（C2-241内部专用）第一章 电路模型和电路定律【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【题2】：D 。
【题3】：300；-100。
【题4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-⨯=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章 电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I =-+9473A =0.5 A ；U I a b .=+=9485V ； I U 162125=-=a b .A ；P =⨯6125. W =7.5 W；吸收功率7.5W 。
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电流i与电压源电压 u是同频率的正弦量
2013-12-8 2013-12-8 26 26
di 1 Ri L idt u 若u 2U cos(t u ) dt C 电流i 一定是与电压源电压u 同频的正弦量, 设
第8章
相量法
8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法基础 8.4 电路定理的相量形式
2013-12-8 2013-12-8
1 1
重点： 1. 正弦量的三要素 2. 相量法 3. 电路定律的相量形式 难点：
相量法的理解
2013-12-8 2013-12-8 2 2
正弦交流电路
激励为同频正弦量的线性电路称为正弦交流ห้องสมุดไป่ตู้路。
正弦交流稳态电路 达到稳定状态的正弦交流电路。
研究正弦交流电路的意义
1 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分 重要的地位。
① 便于升压与降压。 ② 正弦量的求导、积分运算及同频正弦量的加减得到仍是 同频的正弦量，使得电路各处的电压电流波形相同。 ③ 正弦量变化平滑。
2013-12-8 2013-12-8 3 3
1. 复数的表示形式
+j
②三角形式
欧 拉 ③指数形式 公 式
F | F | (cos j sin )
a | F | cos b b | F | sin
j
F |F|
o a +1
e j e j cos 2
e j e j sin 2j
F1+F2
F2 F1
+j
F1+F2
F2 F1 +1 F2
o 图解法
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+1
o
F1-F2
F1-F2
-F2
7 7
2. 复数运算
②乘除运算 —— 采用极坐标（指数）形式 若 则:
F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
F1 F2 F1 e F2 e F1 F2 e
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问题的提出
di 1 Ri L idt u dt C d 2uC duC LC 2 RC uC u dt dt
+
-
R
i
L
+
u
uC
- C
电路方程是微积分方程
正弦量乘以或除以一实常数后仍得到同频的正弦量 正弦量经过微分、积分后仍得到同频的正弦量 同频的正弦量相加减后仍得到同频的正弦量
W RI T
2
W 0 Ri (t )dt
T 2
均方根值
I
1 T
T
0
i 2 dt
19 19
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周期电压有效值
U 1 T
T
0
u 2 dt
U=220V ， U=380V Um311V Um537V
正弦电流、电压的有效值
1 2 T Im 1 T 2 2 Im 0.707 I m I I m cos ( t i ) dt T 2 2 T 0 Um 0.707U m U 同理得： 2
结论
i2 (t ) 3 cos( π t 30 ) 100
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23 23
特殊相位关系
u i u O i
u i 90
ωt
0
u i i O
u
u i 90
电压滞后电流 90
0
电压超前电流 90
ωt 90°
90°
| |
>0， u超前i 角，或i 滞后 u 角, (u 比 i 先
到达最大值)；
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角, i 比 u 先
到达最大值）。
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22 22
例 计算下列两正弦量的相位差。 解 两个正弦量 进行相位比 较时应满足 0 0 i22 (t ) 10 sin(100 πtt 150) ) 同频率、同 15 3cos( 300 100 π t0 ) 120 0 函数、同符 (150 30 0 ) (3) u1 (t ) 10 cos( 1 2 号，且在主 u2 (t ) 10 cos(200 π t 450 ) 不能比较相位差 i2 (t ) 10 cos( πt 1050 ) 值范围内进 100 0 (4) i1 (t ) 5 cos( π 0t 30 )0 100 0 行比较。 30 (105 ) 135 0
i 、I m、I； u 、 m、 U U
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4. 同频率正弦量的相位差
u U m cos( t u ) i I m cos( t i )
相位差
(t u ) (t i ) u i
等于初相位之差
(1) i1 (t ) 10 cos( π t 3π 4) 100 3π 4 ( π 2) 5π 4 0 i2 (t ) 10 cos( π t π 2) 100 5π 4 2π 3π 4 (2) i1 (t ) 10 cos(100 π t 30 0 )
b
+j F
F a jb
( j 1 为虚数单位)
|F|
o a 向量 +1
Re[F ] a
Im[ F ] b
复数可表示为从原点出发的一条有向线段
| F | a 2 b 2 复数的模（值）：
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复数的辐角： 2013-12-8
b θ arctan a
5 5
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2. 正弦量的三要素
(1)振幅(幅值 、最大值)Im
正弦量的振荡幅度
i(t)=Imcos( t+i)
i
Im
T T/2 π
2π
0
ωt
(2)角频率(角速度)ω 相位角变化的速度，反映正弦量变化快慢。
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2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒
17 17
2. 正弦量的三要素
(3) 初相位i
i(t)=Imcos( t+i)
0时刻的相位，常用角度表示。
i
i>0
0
u
ωt
u<0
一般规定：| | 。
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3. 周期性电流、电压的有效值
与周期量热效应相等的直流定义为周期量 的有效值。 R R 直流 I 交流 i 物 理 意 义
特殊旋转因子
jF
+j
+1 0 π 逆转π/2 π e cos j sin j jF 2 2 顺转π/2 F π π -j , e 2 cos( π ) j sin( π ) j 2 2 2 转π
j π 2
π , 2
F
π ,
e
jπ
2. 复数运算
③ F的共轭 若 F= a + j b
F=|F| F *=|F| -
2 2
记
则:
F *= a – j b
*
模相同 角相反
2
FF (a jb) (a jb) (a b ) F
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) 有理化 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) 运算 a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 2 j 2 2 2 a2 b2 a2 b2
jθ1
+j
F1 F2
2
F1
F1 F2
|F1| θ1 θ2 |F2|
模相除 角相减
1
F2
2
o
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+1
9 9
2. 复数运算
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2
则:
可先将其变成极 坐标形式
F1 F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j (a1b2 a2b1 )
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例1
解
547 10 25 ?
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5
u i 0
u i u i O
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u i 180 0
u i u 电压电流反相 i
电压电流同相位
ωt
O
ωt
24 24
8.3 相量法的基础
1 什么是相量 2 什么是相量法 3 为什么引入相量法 4 如何引入相量法 5 引入相量法的优点 6 相量法的适用范围
cos( π) jsin( π) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8.2 正弦量 1.正弦量 1. 正弦量
随时间按正弦（余弦） 规律进行周期变化的量。
i
波形
瞬时值表达式