微分方程建模 个例
微分方程建模基本方法
容器内含盐量为
x x (t )
,
x ( 0 ) 10
到
t dt
容器中的含盐量的改变量为
dx x 100 t 2 dt
dx
即
x x (t )
满足的微分方程为
2x dx 100 t dt x ( 0 ) 10
解之得
x 10
5 2
(100 t )
1 y'
这是不显含
的二阶微分方程，并有初值条件：
，y ( 0 ) 0
y (0 ) 0
解此初值问题，可得导弹运行的曲线方程为
y 5 8
4
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
5 24
当
x 1
时
y
5 24
，即当乙舰航行到点 (1 , 5 /24 )
处时被导弹击中。
解 设导弹的轨迹曲线为
导弹位于点
P ( x, y)
y y ( x ) ，并设经过时间 t
，乙舰位于点 Q (1, v t ) 。
0
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹 的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有
y' v0t y 1 x
亦即
v 0 t (1 x ) y ' y
（三）模拟近似法
例3 （给药方案）
给药方案：每次注射剂量多大，间隔时间多长
一室模型：将整个肌体看作一个房室，称中心室， 室内的血液浓度是均匀的。 问题：
设所研究药物的最小有效浓度 c
1
10
，最大治疗
浓度
c 2 25 ( g / ml )
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程建模案例
微分方程建模案例微分方程是数学中的一种重要工具，它被广泛应用于各个领域的建模和问题求解中。
下面将以一个具体的案例来介绍微分方程建模的过程，并通过求解微分方程来解决实际问题。
案例：生物种群的增长模型在生态学中，研究生物种群的增长是一个重要的课题。
种群的增长速度与种群中的个体数量有关。
如果种群中个体数量增加的速度与当前个体数量成正比，可以建立如下的微分方程模型：$$\frac{dN}{dt} = rN$$其中，$N$表示种群的个体数量，$t$表示时间，$r$表示增长的速率。
这个微分方程描述了种群个体数量随时间变化的规律。
解：首先，我们需要求解上述微分方程，得到种群个体数量随时间的函数关系。
这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用分离变量的方法求解。
将微分方程变形为：$$\frac{dN}{N} = rdt$$将方程两边同时积分，得到：$$\int \frac{dN}{N} = \int rdt$$经过积分运算，得到：$$\ln N = rt + C$$其中，$C$为积分常数。
进一步求解，得到：$$N = e^{rt + C}$$根据初始条件，当$t=0$时，$N=N_0$，其中$N_0$为初始种群个体数量。
代入初始条件，解得$C=\ln N_0$，将其代入上述方程，得到最终的解：$$N = N_0e^{rt}$$这个解描述了种群个体数量随时间的增长情况。
接下来，我们来解决一个具体的问题，一个兔子种群的增长情况。
假设初始时刻兔子种群中有100只兔子，增长速率$r=0.02$，那么该种群在未来的10个月内，兔子的数量会如何变化？根据上面的微分方程解，代入初始条件$N_0=100$，$r=0.02$，$t=10$，得到：$$N=100e^{0.02t}$$将$t=10$代入上述方程，可以得到10个月后兔子种群的个体数量：所以，10个月后的兔子种群中大约有122只兔子。
通过这个模型，我们可以预测种群在未来的增长情况，并在实践中应用于生态学、环境保护等领域，为实际问题的决策提供参考。
一阶微分方程及其建模方法课件
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
3、一阶线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类2:
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
分类3: 线性与非线性微分方程.
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
例2
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
. xy
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。
我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。
为了建立一个数学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。
基本假设：1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。
2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。
已知信息：1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。
2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。
3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。
接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。
假设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微分方程：dN/dt = rN - dN这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌的死亡速率。
如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则上述方程可以进一步简化为：dN/dt = (r-d)N解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。
根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：N(t) = N0 * exp((r-d)t)上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。
这与我们的基本假设相符。
然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。
常见的数值方法包括欧拉法、改进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。
这些方法基于近似计算的原理，通过迭代逼近解。
在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随时间的变化。
我们可以选择欧拉法，它是一种简单而直观的数值方法。
欧拉法的迭代公式为：N(t+h)=N(t)+h*(r-d)N(t)其中，N(t)是在时间t时刻的细菌数量，N(t+h)是在时间(t+h)时刻的细菌数量，h是时间间隔。
我们可以选择一个足够小的时间间隔h，并迭代使用欧拉法来计算细菌数量的近似解。
微分方程建模案例2
（3.6）
其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T，则有： 故
T ln 2 r
2 N0 N0erT
模型检验 模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如， 以几何级数的方式增长。例如，到 251பைடு நூலகம்年，人口达 19612 年世界人 ×1014个， 口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为 即使海洋全部变成陆地，每人也只有 9.3平方英尺的活动范围， 2%，人口数 Malthus模型实际上只有在群体总 大约每 而到 2670 35年，人口达 年增加一倍。检查 36×1015 1700 个，只好一个人站在另一人的 年至1961的260年人口实际 数不太大时才合理，到总数增大时， 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数 所以Malthus 模型假设的人口 生物群体的各成员之间由于有限的 量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 净增长率不可能始终保持常数， 生存空间，有限的自然资源及食物 它应当与人口数量有关。 等原因，就可能发生生存竞争等现 象。
钋210
T=138天
铅206
若画为真品，颜料应有300年左右或300年以上的历史，容易证 明：每克白铅中钋210的分解数等于铅210的分解数（相差极微， 已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于 测量 。
建模： (1)记提炼白铅的时刻为t=0，当时每克白铅中铅210的分子 数为y0，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀 与铅的单位时间分解数相同。可以推算出当时每克白铅中铅 210每分钟分解数不能大于30000个。 若 uU0 y0 30000
常微分方程在数学建模中的应用(免费版)
常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是|⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.;例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；@（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<tN ,t N d d 单减,即人口增长率t Nd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿. ）值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为—⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α. 下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 。
微分方程建模案例3
单房室系统
交换
内部
均匀分布
药物分布的单房室模型 单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都 是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动 dx dx dx 态平衡中，即成立着关系式：
dt dt 入 dt 出
药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓 度成正比的，即： dx
味道，先权作讨论 考虑二级火箭： 的方便吧 由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
2 u ln
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 2 u ln
m1 m2 mP m1 m2 mP
m m2 mP m2 mP m mP u ln 1 2 m2 mP m m m m m 1 2 P 2 P
1 2
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。
考虑N级火箭：
记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2
表3-2 n（级数） 1 2 3 4 5 … ∞（理想）
微分方程模型-碳定年代法
(1.6)和(1.7)两式相除，得
x(0) x (t )
x0 x(t )
将上式代入(1.5)，得
t
T ln 2
ln
x(0) x(t)
(1.8)
这样由(1.8)可知，只要知道生物体在死亡时体
内14C的蜕变速度 x(0) 和现在时刻t的蜕变速
度x(t) ,就可以求得生物体的死亡时间了，在实
际计算上，都假定现代生物体中14C的蜕变
速度与生物体死亡时代生物体中14C的蜕变
速度相同。
马王堆一号墓年代的确定
马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得 出土的木炭标本的14C平均原子蜕变数为 29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中14C 平均 原子蜕变数为38.37/s,又知14C的半衰期为 5568年，这样，我们可以 把 x(0) 38.37 / s, x(t) 29.78/ s ， T=5568 年 代入(1.8)，得
考古、地质学等方面的专家常用 14C测定法（通常称碳定年代法）
来估计文物或化石的年代。
14C的蜕变规律
14C是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使 大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具 有放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二 氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又 作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种 动植物体内。
碳定年代法的计算
由（1.4）解得
t T ln x0 ln 2 x(t)
(1.5)
由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把(1.5)作如
下修改.
对(1.2)式两边求导数，得
x(t) x0kekt kx(t) (1.6) 而 x(0) kx(0) kx0 (1.7)
常微分方程第五章微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线上某点)yy=点的导数；力学中的牛顿第二运动(x(xyy=的切线斜率即函数在该)F=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一定律：ma阶导数等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
M04-2 微分方程建模实例
4-1 微分方程的基本理论4-2 微分方程建模实例4-3 我国的人口预测模型Differential equation model and its application2/一、简单建模实例1.1、溶液浓度模型1.2、时间估计模型2.1、最佳销售时机模型2.2、传染病模型1.3、放射性元素衰变模型二、综合建模实例作业P2323、53/溶液浓度问题是工农业生产和治理境污染中经常要碰到的问题。
此类问1、溶液浓度模型如图所示，一个容器有一个入，一个出口，里面盛满了某种溶液，如果从入口以不变的速率向容器内注入一定浓度的相同溶液（或清水），搅拌均匀后以同样的速率从出口排出，假设搅拌是在瞬间完成的，那么容器内溶液浓度的变化4/1已知容器内盛有1000公斤的清水，若以每分钟5斤的速率注入浓度为0.2的盐水且不停地搅拌, 并以样的速率排出搅拌后的盐水, 那么经过多少时间能容器内的含盐量达到100公斤？本设假设搅拌是在瞬间完成的，即容器中液体浓度任一时刻都是均匀变化的。
t时刻容液浓度为:号明y(t)—t时刻容器内的含盐量；y(0)—初始时刻容器内的含盐量；t—任一时刻。
模型建立y(t)/1000即0.001y(t)。
[t,t+dt]时间间隔内,dtdt=⨯⨯52.0进盐量为:5/ydt dt dy 005.0-=1005.0=+⇒y dt dy 盐量的微元为)(62.138005.06931.0005.02ln 分=≈=t 这是一个一阶线性非齐次微分方程，易求得该方程满足初始条件y (0)=0的特解为是容器内含盐量y 随t 的变化规律.y=100代入,可求得即经过约2小时18分37秒可使容器型解)1(200005.0t e y --=6/、时间估计模型在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温是29℃，当时环境的温度是21℃，一小时后尸体温下降到27℃，如果人的正常体温是37℃。
请帮助警估计死者的死亡时间。
题提出根据牛顿冷却定律：将温度为T 的物体放入温度为T 0的介质中，则该物体的温度T 的变化速率正比于该物体与周围介质的温度差T -T 0，即.0k ),(/0为比例常数其中>--=T T k dt dT 设该名死者已经死亡t 1小时，于是根据题意得到如下的微分方程边值问题：模型建立7/模型求解,)2(27)1(,29)(,37)0()1()(/110⎩⎨⎧=+==--=t T t T T T T k dt dT 方程(1)的通解为,)(0kt Ce T t T -+=把环境温度T 0=21及边界条件(2)代入通解，得+=+=+=+--)1(11217219217t k kt Ce Ce C ⎪⎩⎪⎨⎧≈=-==⇒-409.22ln 3ln 2ln 21611k t k C 是可知该死者死于2.409小时前,零晨1时早2.409小时，即前一天晚10:35时左右。
微分方程模型案例库
微分方程模型案例库一、经济学模型人口增长模型：人口增长可以用微分方程描述，最简单的模型是人口增长速率与人口数量成正比，即dP/dt=kP。
其中，P是人口数量，t是时间，k是一个常数。
这个模型可以体现人口增长速度与人口数量的关系，可以用来预测未来的人口增长趋势。
供求模型：供求模型是经济学中常用的模型，可以用微分方程描述。
设商品的需求函数为Qd=f(p)（商品需求量与价格的关系），供给函数为Qs=g(p)（商品供给量与价格的关系）。
则供求平衡点满足p和Qs、Qd的交点，即f(p)=g(p)。
通过求解这个方程组，可以得到经济体中的均衡价格和交易量。
二、物理学模型自由落体模型：自由落体是一个常见的物理现象，可以用微分方程描述。
设物体下落的速度为v，物体的质量为m，重力加速度为g，则质量与速度之间的关系为m(dv/dt)=mg。
通过求解这个微分方程，可以得到物体下落的速度随时间的变化。
阻尼振动模型：阻尼振动是另一个常见的物理现象，可以用微分方程描述。
设物体的位移为x，阻尼系数为b，弹簧常数为k，则质量、阻尼和弹簧之间的关系为m(d^2x/dt^2)+b(dx/dt)+kx=0。
通过求解这个微分方程，可以得到物体振动的特性，包括振幅、周期等。
三、生物学模型物种竞争模型：物种竞争是生物学中一个重要的研究问题，也可以用微分方程模型来描述。
设两个物种的数量分别为x和y，它们的增长速率分别为dx/dt和dy/dt，竞争系数为a和b，资源可持续利用的速率为r，则物种数量的变化满足dx/dt=a*x*(1-(x+y)/r)-b*x*y和dy/dt=b*x*y-a*y*(1-(x+y)/r)。
通过求解这个方程组，可以得到两个物种数量随时间的变化，从而研究它们之间的竞争关系。
病毒传播模型：病毒传播是流行病学中的重要问题，也可以用微分方程模型来描述。
设感染者的数量为I，易感者的数量为S，恢复者的数量为R，感染率为β，康复率为γ，则感染者、易感者和恢复者的变化满足dS/dt=-β*S*I，dI/dt=β*S*I-γ*I，dR/dt=γ*I。
微分方程建模案例1
微分方程建模案例1微分方程建模案例1微分方程是数学中的一个重要分支，它可以用来描述自然界中很多现象和问题的变化规律。
在实际问题的建模中，微分方程起到了至关重要的作用。
本文将介绍一个微分方程建模的案例，以帮助读者更好地理解微分方程的应用。
案例1：放烟花问题描述：小明在庆祝活动中放了一颗烟花。
烟花在起飞后爆炸，产生鲜艳的火花，并逐渐消散。
请问如何用微分方程来描述烟花燃烧和消散的过程？解决思路：我们可以用烟花高度和火花数量来描述烟花的燃烧和消散过程。
假设烟花的高度为h(t)，火花的数量为n(t)，其中t表示时间。
高度的变化：根据物理知识，烟花往上升的时候速度越来越慢，最后停止在一些高度。
因此，我们可以通过速度来描述高度的变化。
根据牛顿第二定律，物体的加速度等于物体所受到的合力除以物体的质量。
考虑到重力和空气阻力的存在，烟花受到的合力可以表示为：mg - kv，其中m是烟花的质量，g是重力加速度，k是阻力系数，v是烟花的下降速度。
根据牛顿第二定律可得：m・h''(t) = mg - kv(t)火花数量的变化：一颗烟花燃烧后会产生一定数量的火花，这些火花在空气中逐渐消散。
假设火花的数量随时间的变化满足指数衰减规律，即火花数量每过一段时间t0会减少到原来的1/2、因此，火花数量的变化可以用指数衰减方程来描述：n'(t)=-k1n(t)整理得到微分方程组：m・h''(t) = mg - kv(t)n'(t)=-k1n(t)其中m、g、k、k1为常数。
求解微分方程：对于高度的微分方程，我们可以使用常系数线性微分方程的求解方法来求解。
我们可以根据初始条件来确定h(t)的具体形式。
对于火花数量的微分方程，它是一个一阶线性微分方程，可以使用变量分离法来求解。
我们可以根据初始条件来确定n(t)的具体形式。
讨论和应用：通过以上微分方程组的求解，我们可以得到小明放的烟花的高度和火花数量随时间变化的具体函数形式。
微分方程建模案例
微分方程建模案例微分方程是一种描述自然现象和数学模型中变化规律的数学工具。
它广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域，能够帮助研究者解释和预测系统的行为。
接下来，我们将介绍一个微分方程建模的案例，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
案例背景：假设我们要研究一个自然保护区中的狼和兔子的数量变化。
该自然保护区面积有限，为了研究物种的动态平衡以及影响因素对其数量的影响，我们需要建立一个微分方程模型。
问题分析：在自然保护区中，狼以兔子为食物，而兔子则面临被捕食的风险。
因此，我们可以推测狼的数量对于兔子的数量产生压力，并且预测狼的数量与兔子的数量之间存在其中一种关系。
模型建立：假设R(t)表示时间t时刻的兔子的数量，W(t)表示时间t时刻的狼的数量。
为了建立一个微分方程模型，我们需要引入一些假设。
1.兔子的繁殖速率与兔子当前的数量成正比，同时也会受到狼的捕食速率的影响。
我们假设兔子繁殖率为α，捕食速率为β，兔子数量的增长速率与当前兔子的数量和受捕食的比例有关。
因此，兔子数量的增长速率可以表示为αR(t)-βW(t)R(t)。
2.狼的数量的变化与狼的死亡率和捕食率有关。
我们假设狼的死亡率为δ，捕食率为γ，狼的数量的变化率可以表示为-δW(t)+γW(t)R(t)。
综上所述，我们可以得到一个微分方程模型：dR(t)/dt = αR(t) - βW(t)R(t)dW(t)/dt = -δW(t) + γW(t)R(t)模型求解与分析：通过求解该微分方程模型，我们可以得到兔子和狼数量随时间变化的解析解。
对于一个给定的初值条件，我们可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微分方程模型，并绘制兔子和狼的数量随时间变化的图像。
在模型的分析过程中，我们可以通过改变模型中的参数（如α、β、δ和γ）来分析它们对系统行为的影响。
通过研究模型的稳定点、极限环等特征，我们可以得出关于狼和兔子数量变化的结论。
总结：这个案例展示了微分方程建模的过程，通过建立微分方程模型，我们可以研究和预测自然保护区中狼和兔子数量的变化规律。
数学建模微分方程的应用举例
数学建模——微分方程的应用举例分布图示★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题内容要点一、衰变问题例1 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量.解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为.kx dtdx-= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少.解方程(8.1)得通解.ktCex -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭(Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21kHt H C kHt e C e hH h ==-+故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112H C e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-= (8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCeNt x -+=1)( (8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dt x d 当2)(*Nt x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、价格调整模型在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)( (8.6)其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格baP e +-=βα 并称e P 为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP-= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将(8.6)代入方程, 可得)(P P dtdPe -=λ (8.7) 其中常数,0)(>+=k b βλ方程(8.7)的通解为t e Ce P t P λ-+=)(假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0e P P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知, +∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .四、人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t 年教师人数为),(1t x 科学技术和管理人员数目为),(2t x 又设1外教员每年平均培养α个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为βδδ),10(<<表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率),10(<<δ于是有方程111x x dt dx δαβ-= (8.8) 212)1(x x dtdx δβα--= (8.9) 方程(8.8)有通解t e C x )(11δαβ-=(8.10)若设,)0(101x x =则,101x C =于是得特解te x x )(101δαβ-= (8.11)将(8.11)代入(8.9)方程变为tex x dtdx )(1022)1(δαββαδ--=+ (8.12) 求解方程(8.12)得通解t te x eC x )(122)1(δαβδββ---+= (8.13)若设,)0(202x x =则,110202x x C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ββ于是得特解 tt ex e x x x )(101020211δαβδββββ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (8.14) (8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为)0(),0(21x x 情况, 对应于β的取值, 在t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取,1=β即毕业生全部留在教育界, 则当∞→t 时, 由于,δα>必有+∞→)(1t x 而,0)(2→t x 说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将β接近于零. 则,0)(1→t x 同时也导致,0)(2→t x 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率β, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.五、追迹问题设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走; 甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n mv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.解 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻t , 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是有,1tan 0xyt v y --='=θ (8.15) 由题设, 曲线的弧长OP 为,1002t nv dx y x='+⎰解出t v 0代入(8.15), 得.11)1(02⎰'+=+'-x dx y ny y x 两边对x 求导, 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 这就是追迹问题的数学模型.这是一个不显含y 的可降阶的方程, 设p y x p y ''=''='),(, 代入方程得211)1(p np x +='- 或 ,)1(12x n dxp dp -=+两边积分, 得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x np p +--=++即 .1112nxC p p -=++ 将初始条件00||==='x x p y 代入上式, 得.11=C 于是,1112nxy y -='++' (8.16) 两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-' (8.17)(8.16)与(8.17)式相加, 得,11121⎪⎭⎫ ⎝⎛---='n n x x y两边积分, 得.)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+-代入初始条件0|0==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线方程为 ),1(11)1(1)1(2211>-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=-+n n n n x n x n y n n n n甲追到乙时, 即曲线上点P 的横坐标,1=x 此时.12-=n n y 即乙行走至离A 点12-n n个单位距离时被甲追到.。
理学微分方程建模
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
与 以马几尔何萨级斯数模的型方的式预增报长结。果例基如本，相到符25，10例年如，，人1口96达1年2×世10界14个人，
口 约 量 每 即 而 肩数每，3使到上4为发.海排32656年现洋成3年700增两全二年.增6加者部层（，加所净它一M 数生生等几变了即人一以增应倍不物存原乎成。3口倍a.长当Ml0，t太群空因完陆达。6故h率与a两×u大 体 间 ，全地检3l马t61不人s23者..h553时的，就一，查×0模x尔u91可口0也1）1才各有可致每11型s萨07能数模几1，合成限能，人0实5斯个0始量型乎人理员的发且也年际模，终有假相口，之自生按只至上型只保关设同增到间然生马有1只是好9持。的。长总由资存氏69有马不一1.常人尔3率数于源竞模的在萨完平个数斯口约增有及争模型2群善方人型6，为人大限食等计0体的英口站年预2时的物现算总测。尺%在人，，的，另口人活人一实口动口人际数范数的数量围大，
r
或
dN dt
rN
（3.5）
（3.1）的解为：
N (t)
N er (tt0 ) 0
（3.6）
其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
故 T ln 2
2N0 N0erT
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A1
C
C1
分析：1.追击开始后，大家将进入正方 A 形里面，距离将变小，由于追击的规则 及四个人速度和方向的假定，四人还是 在某个正方形的顶点上。 2.会不会出现四个人绕一个圆循环追？ 不会！距离会不断缩小最后到一点，就 是正方形的中心。追击曲线是四条指向 D1 中心的螺旋线（可能绕中心几周） 3.坐标架怎么建？ D O点在中心，直角坐标架。
2H g
2.二氧化碳的吸收
空气通过盛有CO2的吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO2的量与 CO2的浓度及吸收层的厚度成正比，今有含CO28%的空气通过厚度 为10cm的吸收层后浓度为2%，求： （1）若吸收层变为30cm厚，出口浓度是多少？ （2）要使出口浓度为1%，应该设多厚的吸收层？ 解： 记吸收层厚度为d，等分n份，每小层d/n厘米。入口浓 度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为： kd k8%d/n，含量变为： 8%(1)
v0t y x(0) 0 y , 就是曲线的切向量， 1 x y (0) 0
Q(1,v0t) 模型里y(t)，x(t)都是t的函数，但是三个 变量不好处理，注意我们要求的是y(x)。 P(x,y) O 1 x
(1 x) y y v0t实现了变量t的分离
再建立一个y(t)，x(t)，t的关系：t时间里导弹已 飞行的距离是可求的。 x 1 y2 dx 5v0t (1 x) y y v0t , x0 0, y0 0
v r (0) 2 2 , (2r cos dx cos dr r sin d dx r sin cos d , , y r sin dy sin dr r cos d dy r cos sin dr d 1 sin cos dx dr r r cos r sin dy
引入函数f(t)表示通过厚度t后的浓度： 8%
f (t) f (d )
在(t,t+⊿t)中f(t)的增量的相反数即为浓度的吸收量，它与 浓度和厚度成正比：
( f (t t ) f (t )) kf (t )t
df =-kdt f
df kf dt
f (d )
8%
d ln f = -kdt
( rd ) 2 ( dr ) 2 vdt
注意到可以推出dr=rdө，所以
v dr r (0) 2 dt 2 , d v (0) 4 dt 2r
dr dt d dt
v r (0) 2 2 , v (0) 我们先求解 4 2r
如图把A和B的瞬时位置记为P和Q，P的坐标记为P(x,y)， 考虑Q点的坐标 Q(-y,x), 于是差向量为 (-y-x,x-y) dy x y , ( x, y ) t 0 (1,1) 按照上题的方法 dx ( x y )
但x和y都是t的函数，还是建立 X(t)和y(t)的表达式为好。 A 引入P点附近的dx和dy
dx v cos sin dt dy 2 cos sin
d v 1 两个方程一样吗？由（2）有 dt dr 2r r
dr dt d dt
dx 2 dy 2 vdt
B Δx Δy Q -y
dy y x y lim x 0 x dx x y ( x, y ) t 0 (1,1)
y
P x
O
x
C
利用三角形的相似性得到 vdt dx ( x y ) dx dt v 2 2 ( x y) ( x y) x y 2( x 2 y 2 ) vdt dy dy v x y 2 2 D ( x y) ( x y) x y dt 2( x 2 y 2 )
1 sin cos v cos sin v 1 dt dt r r cos r sin 2 cos sin 2r r
制 自 质种 维 是 数 自 身 道精 得 这 学 然 存 德神 以 种 是 ；在 运精一 克 识 努 提 和， 用 神 种 莱 最 力 出 社试 到 ， 精 因 深 去 的 会图 最 激 神 ︽ 刻 探 问 生决 完 发 ， 西 涵和 求 题 活定 善 鼓 一 方 。最 和 ； ；性 的 舞 种 文 完 确 努 试地 程 并 理 化 美 立 力 图影 度 驱 性 中 的 已 去 回响 ； 使 的 的 内 经 理 答人 亦 人 精 有类 数 获 解 关的 正 类 神 学 得 和 人物 是 的 。 ︾ 知控类 这思正 ·
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ln f (d ) ln8% kd
f (d ) 8%e kd
微分方程解决问题时常用4种方法建立模型： 1.直接分析Δy与Δx之间的关系，建立模型； 2.无限细分利用趋近于e的特殊极限建立模型； 3.把变量和它的各阶导数都看作不同的变量，综 合建模。比如运动学中t表示时间，x表示走过的路 x 程，表示速度， 表示加速度，各看成各量建模。 x 4.追击问题有特殊的一套建模方法，下面我们介 绍几个这种方法的建模例题。
2
h (t ) t H
是变量分离的常微分方程。 初始情况是t=0时，h(0)=H,
2 g dt
B d h 2 gdt 0 A
2( H h(t ))
B 2 gt A
B g 2 h(t ) ( H t ) 这就是水位与时间的关系。 A 2
在h=0，即水放光时
t
*
A B
微分方程建模
1.放水过程 有一个柱状水箱，水平截面积为常数A，
原来水高H，t=0时刻下面一个面积为B的门打开开始放 水， 求之后水位与t的关系，何时水放光？
解： 开门后，水自然向外流，开始快，后来越来越慢，
2
记t时刻水位为h(t)小门处流速为v(t)，由能量守恒定律， 门口处水的势能要转化成动能，两者相等。1 mv2 (t)=mgh(t)
——
这个方程组很难解，而且我们注意到曲线将围绕O点转些圈， 用极坐标将使问题简化，所以建立极坐标。 在P(ө,r)点处给一个增量dө，引起ds，dr，再以r为半径画弧,在 dө之间的为rdө,注意极坐标下的弧长微分公式:
r 2 r 2 d ds
rdө dr ds P dө r ө O
可写为
在追击问题里，追击者常瞄着逃跑者而追去，二者之间的坐标 形成一个差向量(x2-x1,y2-y1)，它就是追击曲线的切向量方向。 (x2,y2) 令Δy=y2-y1， Δ x=x2-x1， 注意到：y’= Δy/Δx 利用这一点，很快就 建立起微分方程来。
(x1,y1)
导弹打敌舰
一艘导弹驱逐舰在距敌舰a时发射一枚自动跟踪的导弹，与此同时 敌舰以v0a速度向与两船联线垂直的方向逃走，导弹速度是5v0a， 求导弹追击轨迹与击中时间。 解 以两船联线为横轴，驱逐舰为原点建坐标架。 引入单位a，将所有的距离及速度都除以a，方便计算。 y 记t=0导弹发射时刻，t时刻敌船在Q，坐标为： (1,v0t)，导弹位置P(x,y)，差向量(1-x,v0t-y)
则
v(t)= 2gh(t)
在[t，t+△t]之间，-(h(t+△t)-h(t))A=Bv(t)△t， 即体积的变化等于流出的水量。
（t t ) h(t ) h B t A
2 gh(t )
令△t→0则有
dh(t ) B 2 g h(t ) dt A
dh(t ) B A h(t )
n
第二层吸收了
k8%(1-
kd d ) n n
第二层后浓度 =
8%(1
kd kd d 8%(1)-k8%(1) n n n
kd 2 ) n
依此类推，最后第n层后的浓度为
8%(1 kd n ) n
从而n→∞即无限细分通过d厘米后出口浓度
n kd n 1 lim 8%(1) lim 8%{(1+ ) kd } kd 8% e kd n n n n kd
这就是我们要求的表达式。
ln 2 k 5
在通过10cm厚吸收层后浓度为2%：8%e-k*10=2%得到 2.要使出口浓度为1%，8%e-d*ln2/5=1%，则d=15cm
1.在通过30cm厚吸收层后浓度为8%e-30*ln2/5=8%/26=0.125%
引入变量t： 0 t d
表示厚度的变化，
0
消去t得到
2
1 1 y2 [(1 x) y y] (1 x) y 5
这个微分方程用我们所学过的知识解不了， 1 y 只能用MatLab求解。 y 5(1 x) 语句格式是y=dsolve(‘方程1‘，…，’方程n’， ’初始条件‘，’自变量) 其中 y (0) 0 Y’用Dy表示，y’’用D2y表示，…有关情况 y(0) 0 可参考吗MatLab的书籍。
求出结果
4 6 5 5 5 y (1 x) 5 (1 x) 5 8 12 24
x=1时y=5/24即为击中位置，击中时间5/(24v0)
四人追击游戏
四个人分别站在一个正方形的四个顶点上，号令一下开始追击， 规则是每人分别追击自己前面的一个人（逆时针方向），也就是 A→B，B→C,C→D,D→A,假设每个人的速度v始终都相同，最后的 结果是怎样的？总用时多少？路线是什么曲线？ B B1 O
dr dt r (0)
v 2 , 2
v 2 显然解为 r 2 t ,0 t 再求解 v 2
d v vdt 代入后有 ,即d =两边积分得到 dt 2 vt 2 vt