第二章地球重力场.ppt

(2-10) (2-11)
如果矢量dX沿等位面W=W0，则dW=0，(2-10)式变为 g •dX=0
两个矢量的纯量积如果为零，这两个矢量一定互相正交，所
以此方程式说明重力矢量与通过同一点的等位面正交。
但和等位面正交的线并不是直线而稍有弯曲(图2—2)，这 些线称为力线或铅垂线，任何一点的重力矢量，均与该点 的垂线相切，因此“重力矢量的方向”和“垂线”、“铅 垂线的方向”是同义语，有时，这些方向简单地表示为铅 垂一线个。点离海水面的高，是 从大地水准面起沿铅垂线量 取的，称为正高(图2-2)。 沿铅垂线增高的方向取矢量 dX，它的长度为 |dX|=dH
它的方向与重力矢量相反， 与等位面的外法线方向重合
dX 与 g 的方向间的夹角为180º，于是，
dW = - gdH
(2-13)
或
(2-14)
这说明重力是位 W 的负垂直梯度，或者是grad W的垂直分量。
上述公式确定了相邻水准面的位差（物理量）与高差（几何量） 之间的关系。由于两个水准面的位差不会等于零，因此，高差 dh也不会等于零。这说明两个水准面既不相交，也不相切。而 且也不平行，在一般情况下，同一水准面上各处的重力是不等 的，因此两个水准面之间的距离就不是常数。
重力梯度张量
Wxx Wxy Wxz
grad
g grad( grad W ) Wyx
Wyy
W
yz

重力梯度
Wzx Wzy Wzz
grad
g
(Wzx ,Wzy ,Wzz
)T
( g x
, g y
, g z
)
(∂g/ ∂x) 和(∂ g/∂y)称为重力的水平梯度，可以确定 垂线的曲率。
(2-4)
为离心力位
总的力，即引力和离心力的合力称为重力。引力位 V 和离心力位 Φ 两者之和称为重力位 W：
（2-5）
式中是对整个地球的积分。 对离心力位微分，得 与布阿桑方程式(1—13)的V合 并，则得出广义的布阿桑重力 位方程式：
（2-6）
重力位 W的矢量梯度 其分量为：
（2-8）
g 即为重力矢量，它是作用于单位质量上的全部力(引力和 离心力之和)，方向为铅垂线方向，铅垂线又简称垂线
(2-15)
设想 xz 平面与水准面相交，并且y = 0 现在是以 z 当做 y，因此，水准面和 xz面的交线的曲率，不是(2-15)式，而 是
(2-16)
(图2-4)局部坐标系 x, y, z, 原 点在 P 点，z 轴为垂线，它和 S面垂直(左手系）
将W(x,y,z)=W0 对 x 微分，考虑到 y=0，z 为x 的函数， 则有
第二章 地球重力场
2-1 重 力
地球表面静止物体所受的作用力为引力和地球自 转离心力的合力
狭义定义： 地球所有质量对任一质点所产生的引力与该点相对 于地球的平均角速度及平均地极的离心力之合力。
广义定义：宇宙间全部物质对任一质点所产生的引力和该点相 对于地球的瞬时角速度及瞬时地极的离心力之合力。
地球表面静止物体所受的作用力为引力和地球自转离心力的合力。
g z

Leabharlann Baidu h

Wzz
描述了重力随高程的变化， 称为垂直重力梯度，与水 准面曲率有关。
2-5 地球引力位的球谐函数展开
从重力位W的(2-5)式可以看出，在地球重力位中，离心力位是 简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能 直接计算。对于地球外部空间，可用球谐函数展开式近似表示。 引力位可用基本公式(1-11)表示
时就不会收敛。对任意一物体，可以证明以球谐函数展开的V，
在一个包含该物体的最小球 (r=r0) 外是收敛的。球内一般是发 散的。在某些情况下， r = r0 的球内也能收敛。 假设地球是一个均质椭球，那末 V 的
级数在地球表面仍能收敛。由于地球
的质量分布不规则，因此实际位 V 的
级数在地球表面应是不收敛的。这多
因为 x 轴在 P 点切于水准面，故有
因为 z 轴为垂线，从（2-14）式有 得水准面与 xz 平面的交线的曲率为 水准面与 yz 平面的交线的曲率为
，因而
(2-17) (2-18)
在曲面上P点的平均曲率J，为过该点垂线的两个互相正交的面， 与曲面相交的曲线的曲率的算术中数。故水准面平均曲率为
这个公式将垂直重力梯度（物理量）和水准面的平均曲率 （几何量）联系起来了。
1伽 = 1cm/s2 = 1× 10-2m /s2 常用的单位为毫伽(mgal), 1 mgal= 10-3gal=1 × 10-5m /s2
2-2 水准面和铅垂线
2-2-1 水准面的定义及性质 重力位为常数的曲面称为重力等位面或水准面。即
（2-9）
对上式微分
= grad W•dX = g •dX dX = (dx, dy, dz)
就地球来说，由于从赤道到两极重力增加约5伽，因而水准面是 在两极收敛的。两个贴近地面的水准面之间的距离，由赤道向 两极相对减少约5‰，即在赤道上彼此相距为100米的两个水准 面，到两极只有99.5米。
2-3 水准面弯曲、重力梯度
一般地曲线 y=f(x) 的曲率公式为： κ 为曲率，ρ 为曲率半径
当P点的切线平行于x 轴时，y’=0，则有简化式
式中，质量元素以 dM 表示，对 整个地球进行积分，在积分中引 入(1-81)式：
r为定点P的矢径，r’为质量元素dM的矢径，ψ为r与r’之间的夹角
于是有 写成体球谐函数的级数 根据公式(1—83’)，将其代入（2-30）式
普通谐函数形式：
(2-34)
地球重力位球谐函数展开式的收敛性：
展开式是 1/r 的幂级数，因此， r 值愈大收敛愈快；当 r 较小
ω 地球自转角速度
ω
取一直角坐标系，原点在地球重心， z 轴和地球的平自转轴重合x 和y 轴按右手坐标系规定，或任意选定。 为了方便，假设x 轴平行于格林尼 治子午面(参阅2-4节）。若单位质 量所受的离心力为
图 2-1 离心力
f 矢量的方向与 P=(ω2x, ω2y, 0 ) 的方向相同，则有
f = ω2P(ω2x, ω2y,0 ) (2-2)
少降低了球谐函数在地面大地测量上
的实用意义， 但在卫星动力学中，
不论在理论还是实用上都很重要。 此
外必须指出，球谐函数展开式只能用
来表示吸引物体以外的位，不能用于