图与网络模型PPT课件

两个节点都有一条路将之连接，则这个图称 为连通图。
图与网络的基本概念
• 赋权图：对一个G的每一条边(vi, vj)，相应 地有一个数wij，则称图G为赋权图，wij称为 边(vi, vj)上的权。
• 网络：在赋权的有向图G中指定一点，称为 发点（vs），指定另一点称为收点（vt）， 其它点称为中间点，并把G中的每一条边的 赋权数称为边的容量，G就称为网络。
30
17
15 v2
5
23
(0, s)
15
v1
（甲地）
13
6
(18, 5)
v4
19
18
3
4
2
10
10
4
14
v3 (10, 1)
v5
(14, 3)
16
v7 （乙地） (22, 6)
6
22
v6
(16, 5)
最短路问题的应用
• 设备更新问题：某公司使用一台设备，在每年年初，公司 就要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置
① 如果vt已标号（lt, kt），则vs到vt的距离为lt，而从vs到vt的最短路径， 则可以从kt反向追踪到起点vs 而得到。
② 如果vt未标号，则
a. 如果上述边的集合是空集，则计算结束，可以断言不存在从 vs到vt的有向路。 b. 如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步
4. 对上述边的集合中的每一条边，计算 sij=li+wij。在所有的sij 中，找到其值为最小的边。不妨设此边为（vc, vd），则给 此边的终点以双标号（scd , c）,返回步骤2。
新设备，就要支付一定的购置费，当然新设备的维修费用
就低。如果继续使用旧设备，可以省去购置费，但维修费
用就高了。请设计一个五年之内的更新设备的计划，使得
五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。设备每年 年初的价格表和设备维修费如下。
年份
1
2
3
4
5
年初价格 11
11
12
12
13
使用年份 0-1
1-2
2-3
图与网络的基本概念
• 图与网络用来反映一些对象之间的关系
• 图论中，图与网络结构由下面两个元素构成
– 节点
–边
• 例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们 可以用图来表示，下图就是一个表示这种关系的
图。
(赵v1)
e2
e1
e3
(v2)钱
(v3)孙 e4 (v4) 李
(v5) 周
e5 (v6)吴
(v7)陈
(b)
v1
v3 v5
v8 v7
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
(a)是一个树， (b) 和(c)不是树。 因为(b)图中有圈， (c)图不连通。
最小生成树问题
• 生成子图：给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G 的所有点，而删掉部分G的边或者说保留一部分G 的边，所获得的图G，称之为G的生成子图
图与网络的基本概念
• 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点 之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的 关系并不是重要的
• 无向图：边是无向的 • 有向图：边是有向的
– 如：将上述例子中“相互认识”关系改为“认 识”
– 如：family tree
• 一个图结构可记作G =（V，E）
– V为节点集合，E为边的集合
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3
17
23
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4
17
23
5
18
6
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
30
31
41
最短路问题的应用
• 最终得到下图，可知，v1到v6的距离是53， 最短路径有两条：v1 v3 v6和 v1 v4 v6
最短路问题
• 对一个赋权的有向图G中的指定的两个点vs和 vt找到一条从vs到vt的路，使得这条路上所有 弧的权数的总和最小
• 这条路被称之为从vs到vt的最短路。这条路上 所有弧的权数的总和被称为从vs到vt的距离。
Dijkstra算法
• 适用范围：适用于每条边上的赋权数为非负 值的情况
• Dijkstra算法也称为双标号法 • 双标号：图中的每一个节点vj都赋予两个标
v1 （0,s）
59
41
22
30
23
(30,1)
16
v2
16 v3 17
（16,1） (22,1)
v4 17 (41,1)18 23 31 v5
30
41
v6 (53,3) (53,4)
最小生成树问题
• 树：图论中的重要概念，即无圈的连通图。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v2 v4 v6
图与网络的基本概念
• 路 vi2,：ei一2, …个,节vi点k-1,与ei边k-1,相vi互k ）交，错其的中序，列（vi1, ei1,
– 对于无向图，eit的两个端点是vit-1和vit – 对于有向图，eit的起点是vit-1，终点是vit
• 路的起点为vi1 ，路的终点为vik • 圈：起点和终点是同一个节点的路 • 连通图：对于无向图而言，如果图中的任意
• 生成树：如果图G的一个生成子图还是一个树，则 称这个生成子图为生成树
3-4
4-5
每年维修
5
6
8
11
18
费用
最短路问题的应用
• 解：可以转化为最短路问题。 • 构造一个有向图，即图中的边皆为有向的。 • 用vi表示“第i年年初购进一台新设备”，边
（vi, vj）表示第i年年初购进的设备一直使用 到第j年年初。
v1
v2
v3
v4
v5
v6
最短路问题的应用
• 所有边上的权数表
缆线，问如何架设使其光缆线路最短？下图
给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两地
间公路的长度（单位：公里）。
v7 （乙地）
17
ห้องสมุดไป่ตู้
v2
5
6
15
6 v4
v1 （甲地）
10
3 4
4
2
v5
v6
v3
最短路问题的应用
• 无向图可以表示成为有向图
• 无向图的最短路问题同样可以使用Dijkstra 算法求解
(13, 3)
最短路问题的例子
• 求下图中v1到v6的最短路
v1
v2 (3, 1)
7
10
33 55
2
(3, 3)
v4
5
8
(8, 4)
v6
(0, s)
22
1 33 1
5
v3 (2, 1)
v5
采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
最短路问题的应用
• 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光
号（lj, kj），其中lj表示从起点vs到vj的最短 路长度， kj表示在vs到vj的最短路上vj前一个 节点的下标。
Dijkstra算法的基本步骤
1. 给出点v1以标号(0, s) 2. 找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及边的集合
{(vi,vj)|viI,vjJ}
3. 查看vt是否已标号