数学建模钢管订购和运输
管道订购与运输问题-2000年全国数学建模竞赛B题优秀论文
管道订购与运输问题1 问题重述2 基本假设(1)只考虑订购费用和运输费用，不考虑装卸等其它费用． (2)钢管单价与订购量、订购次数、订购日期无关．(3)订购汁划是指对每个厂商的定货数量；运输方案是指具有如下属性的一批记录：管道区间，供应厂商，具体运输路线．(4)将每一单位的管道所在地看成一个需求点，向一单位管道的所在地运输钢管即为向一个点运输钢管．3 符号说明M ：钢厂总数. n ：单位管道总数.:i S 第i 个钢厂 :i S 第i 个钢厂的产量上限。
:i p 第i 个钢厂单位钢管的销售价 i A 管道线上第i 个站点。
i d 管道线上第i 个单位管道的位置。
F ：总费用。
:ij C 从钢厂(1,2,,)i S i m =到点(1,2,,)j d j n =的最低单位费用。
4 问题的简化求 S AP 矩阵的基本思路是图的最短路算法 . 由于铁路的运输费用与线路的长度不是线性关系 ,必须对铁路网做一些预处理才能套用图的标准最短路算法 . 下面叙述求 S AP 矩阵的过程:1.利用图的标准最短路算法 ,从铁路网络得出图中任两个点之间的最短路径表 T (如果两个点之间不连通 ,认为它们之间的最短路长度为+ ∞ ) .2.利用题中的铁路运价表将 T 中的每个元素 (即最短距离 )转化为运输费用 ,将运输费用表记为 C.3.将公路的长度换算为运输费用 ,由公路路程图 (包括要沿线铺设管道的公路 )得出公路费用图 G,若 i, j 不连通 ,则令 Gij = + ∞ .4.对于任一组 ( i , j)∈ { 1,… n }× { 1,… m } 如果 Cij <+ ∞ ,且小于 Gij ,那么就在公路费用图中加一条边. 即令 Gij = min{Cij , Gij } .5.利用图的标准最短路算法 ,求公路费用图中任一个 S 点到任一个 A 点的最小费用路径 ,得出 S AP 矩阵. 如表 1所示:SAP 矩阵A123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 S1 170716031402986 380 205 31 212 642 920 960 1060 1212 1280 14202 215720531902 1716 1110 955 860 712 1142 1420 1460 1560 1712 1780 19203 230722032002 1816 1210 1055 960 862 482 820 860 960 1112 1180 13204 260725032352 2166 1560 1405 1310 1162 842 620 510 610 762 830 9705 255724532252 2066 1460 1305 1210 1112 792 570 330 510 712 730 8706 265725532352 2166 1560 1405 1310 1212 842 620 510 450 262 110 2807 275726532452 2266 1660 1505 1410 1312 992 760 660 560 382 260 205问题分析运输费用等价转换法则：按单位运费相等原则将任意两点间的最短铁路线转换为公路 线．对于铁路线上的任意两点,i j V V ，用F1oyd 算法找出两点间最短铁路路线的长度ij L 查铁路运价表求得ij L ，对应的铁路单位运费ij f ;又设与该段铁路等费用的公路长度为ij l ，则：0.1ij ij f l =⨯由此，我们就在,i j V V 之间用一条等价的公路线来代替,i j V V 间的最短铁路线．如果,i j V V 之间原来就有公路，就选择新旧公路中较短的一条．这样，我们就把铁路运输网络转换成了公路运输网络．销价等价转换法则：按单位费用相等将任意钢厂的单位销价转换为公路单位运价．对于钢厂S i 的销售单价P i ，我们可以虚设一条公路线，连接钢厂S i 及另一虚拟钢厂'i s ，其长度为i l ，并且满足0.1i i l p =⨯；从而将钢厂的销售单价转换成公路运输单价，而新钢厂'i s 的销售价为0.将铁路和销价转换为公路的过程可以由计算机编程实现． 通过上述的分析，我们可以将原问题化为一个相对简单的产量未定的运输问题，利用115A A 到之间的管道距离和钢厂和站点之间的公路距离建立一个产量未定的运输问题的模型．但是由于1215,A A A ,并不能代表所有的实际需求点(实际需求点是n 个单位管道)，因此，我们可以用F1oyd 算法进一步算出7个钢厂到所有实际的n 个需求点(对于问题一，n ＝5171;对于问题三，n ＝5903)的最短路径，并由此得出一个具有7个供应点、n 个需求点的产址未定的运输模型．6 模型的建立产量未定的运输模型根据假设4，我们可以将每一单位的管道看成一个需求点，向一单位管道的所在地运输钢管即为向一个点运输钢管．对每个点，我们可以根据该点的位置和最短等价公路距离，求出各钢厂与该点之间最小单位运输费用ij C (销价已经归人运输费用之中了)．设总共有m 个供应点(钢厂)，n 个需求点，我们就可以得到一个产量未定的运输模型：有m 个供应点、n 个需求点，每个供应点的供应量{0}{500,}i i u s ∈；每个需求点需要1单位，运输单价矩阵为C ，求使得总运输费用最小的运输方案．其数学规划模型： 11minmnij ij i j F C x ===∑∑11{0}{500,}1,2,,..11,2,01nij i j mij i ij x S i ms tx j n x ==⎧∈=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎪⎩∑∑或其中： 1112112n m m mn C C C C CC C ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为单位费用矩阵 1112112n m m mn x x x X x x x⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为决策矩阵，也为0-1矩阵 代码如下7 模型的求解对于本题，上述0-1规划规模宏大，现有的一些算法不能胜任，我们必须具体问题具体分析，结合本题实际情况，寻找行之有效的算法．(1)初始方案的改进的最小元素法和改进的伏格尔法 *改进的最小元素法改进的最小元素法又称为贪婪法或瞎子爬山法，它的宗旨是每一步都取当前的最优值算法步骤为，对费用矩阵C 作n 次下列循环：①C 中找一个最小值ij C ； ②令1;ij x =③C 的第j 的所有数据改为+∞；④如果1nij i j x s ==∑，第i 个供应点的供应量已达上限，将C 的第i 行数据全改为+∞。
大学竞赛数学建模钢管订购和运输优化模型
1）将图1转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图. 所以可先求出钢厂 Si
到铁路与公路相交点 b j 的最短路径.如图3
30
290
320 160 160 1200 690 720 1100 202 20 1150 306 450 80 195 462 520 690 170 88 70 70
5.假设钢管在铁路运输路程超过1000km,铁路每增加1 至100km,1单位钢管运输的运价增至5万元.
6.订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量
二.基本假设
7.销售价和运输价不受市场价格变化的影响
三. 符号说明
第 第 个钢厂, 个钢厂的最大产量， 个点，
输送天然气的主管道上的第 第 钢厂 在点
86
333
621
165
0
0
0
0
0
0
0
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0
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0
比较好的方法：引入0-1变量
fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量
0.1 15 Min Aij xij [(1 y j ) y j (1 z j ) z j ] i, j 2 j 1 s.t. 500 f i xij si f i ,
非线性规划模型可用LINGO软件包或MATLAB软件包来求解，但这些软件包不能 直接处理约束条件：
可用分支定界法将此条件改为 模型变为
1）不让钢厂S7生产，模型变为:
计算结果： f1 1278632（万元）（此时每个钢厂的产量都满足条件） 2）要求钢厂S7 产量不小于500个单位，模型变为:
钢管订购与运输问题一的数学模型与求解
钢管订购与运输问题一的数学模型与求解
钢管订购与运输问题是一种组合优化问题，它涉及到钢管的订购和运输，旨在找到最佳的订购和运输方案，以最小的成本获得最大的收益。
这个问题通常可以用数学模型来表示。
设 n 个工地需要订购 m 根钢管，钢管订购和运输费用分别为
c1(订购费用)、c2(运输费用),订购钢管的最早时间 t0 为早订购时间，最迟时间为 t1 为晚订购时间，运输时间不计费用。
则钢管订购与运输问题的数学模型可以表示为:
minimize Σi=1~n c1(t1-t0) + Σj=i+1~n c2(t2-t1)
subject to:
t1≤t0
t2≥t1
t1+t2≤t0+30
x1=1, x2=1, ..., xnm=1
其中，x1、x2、...、xnm 是订购钢管的数量，1 表示订购，0 表示不订购。
通过这个数学模型，我们可以制定出钢管订购与运输问题的求解方法，以找到最佳的订购和运输方案。
在实际问题中，我们通常需要对求解结果进行评估和优化，以便找到更加优秀的方案。
因此，钢管订购与运输问题的数学模型和求解方法只是问题的第一步，实际应用中还需要进行进一步的分析和优化。
数学建模 钢管订购和运输
钢管的订购和运输优化模型摘要本文建立的多元非线性优化模型。
问题一在保证天然气管道铺设可以顺利实施的情况下，给出了钢管的订购与运输总费用最小的方案。
在求钢管由钢厂运输到站点的费用和铺设钢管时产生的运输费，根据图一，我们通过深度优先遍历的方法对整个图一进行路径搜索，然后根据每条搜索到的路径上的铁路和公路上的不同权重，找到了各个钢厂到各个天然气管道上的站点的最佳路径。
对于整个优化过程我们给出了相关的算法，并用matlab 软件编程，经过一系列计算之后，得出了最优的订购与运输方案。
对于问题 1，我们求得的最优解为（具体方案见对于问题2我们经过计算比较得出：6S 钢管销价的变化对购运计划和总费用影响最大。
1S 的生产上限的变化购运计划和总费用影响最大。
对于问题 3，当天然气管道呈现的是一个树状图的时候，我们得到的最优解一、问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。
经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万1公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ，而是管道全线）。
（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。
（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
钢管运输和订购优化的数学模型
钢管运输和订购优化的数学模型摘 要本文根据题目的条件和要求，建立两个单目标非线性规划模型，并通过这两个模型，完整的解决了问题。
针对问题一，我们将管道铺设划分为两个过程。
过程一为钢管从钢管厂运到管道与道路的交叉口；过程二为钢管从管道与道路的交叉口运到管道线的过程。
求出铁路网与公路网中任意两点的最短路线，再转化为最少的运输费用。
那么，总运输费用就是两个过程运输费用的和。
这样，就使运输网络变成了供需运输价格表，最后我们建立一个以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用lingo 软件求出最优解。
总费用最小为1278632万元。
结果如下：1S2S3S4S5S6S7S总费用 80080010001223.71347.21278632针对问题二，我们可以从模型一lingo 运行的结果分析，可以得出5S 钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，1S 钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。
针对问题三，当天然气管道为一个树状图时，分析方法与问题一相同。
利用lingo 软件求出最优解。
总费用最小为1406165万元。
结果如下：1S2S3S4S5S6S7S总费用 800 80010001411.71891.31406165关键字：Floyd 算法；非线性规划；影子价格AbstractBased on the title of the conditions and requirements, create two single objective linear programming model, and through these two models, a complete solution to the problem.For question one, we will be divided into two pipe-laying process. A process for the steel shipped from the factory to the steel pipe and road intersections; course of two for steel pipes shipped from the intersection with the road to the process pipe lines. Find the shortest route to the railway network and road network between any two points, and then converted to a minimum transportation costs.So, the total transportation cost is the cost of transportation and the two processes. Thus, to make the transport network into a transport supply and demand price list, and finally we build a nonlinear programming model based on the total cost of the objective function, using lingo software find the optimal solution.1S2S3S4S5S6S7SThe total cost 80080010001223.71347.21278632For the second question, we can learn from the results of the model runs a lingo analysis, we can draw the selling price of steel mills change the greatest impact on the total cost of purchase and transportation planning, change the upper limit of steel pipe production plans and to share transport the biggest impact of the total cost.Third, when a natural gas pipeline as a tree, an analytical method with the same problem for the problem. Use lingo software find the optimal solution.1S2S3S4S5S6S7SThe total cost 800 80010001411.71891.31406165Keywords: Floyd algorithm ；Nonlinear Programming ；Dual Price一、问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。
钢管订购和运输
真实路网示例：节点5696 到节点3006 有三条最短路径。
黑线为第一条，兰线为第二条，红线为第三条，共享部分路段。
利用最短路算法可得最短路(途中红线表示的路径)为：v1→v3→v5→v7。
利用最短路算法可得最短路(途中红线表示的路径)为：v→v→v。
图中各边权值表示相应网线的传输能力。
例如，计算机1与2之间传输信息需要但通过枚举的方法来求解已经很困难了！完整构图为：上图展示了从起点(8,0,0)到终点(4,4,0)不同路径。
两相邻节点之间的边代表一次转移，因此可假设每条边的权值为1。
问题就化成利用最短路算法求得最优解如红线所示。
思考：这个问题仅仅是一个游戏吗？钢厂S 1~S 7节点A 1~A 15铁路公路火车站原有公路施工公路铺设地点管网节点S1→S2的最短距离为1402，路径为S1→S15→S2。
从而S1→S2 的最低运费为85。
S20→S5的最短距离为710，路径为S20→S18→S19→S5。
从而S20→S5 的最低运费为50。
858550铁路线上各节点之间的最低运费示意图新图1.24.21.03.17.01.0于是，我们可以构造出一个新的赋权图 G(V, E)，这是一个运输费用图，其中 V 为原图 的顶点集合，E 中每一条边的权值为前面求出 的运费。
图 G 的示意图如下。
对运输费用图 G 再次使用 Floyd 算法，求出 图 G 的最短路。
各 Si 到每个 Aj 的最短路值，就是一个单位 的钢管从钢厂 Si 到管网各个节点 Aj 的最小运输 费用 cij。
最小运价表如表 1 所示。
新图表 1 单位钢管从 Si 到 Aj 的最小运价(单位：万元)S1S2S3S4S5A1170.7000 215.7000 230.7000 260.7000 255.7000A2160.3000 205.3000 220.3000 250.3000 245.3000A3140.2000 190.2000 200.2000 235.2000 225.2000A498.6000171.6000 181.6000 216.6000 206.6000A538.0000111.0000 121.0000 156.0000 146.0000A620.500095.5000105.5000 140.5000 130.5000A73.100086.000096.0000131.0000 121.0000A821.200071.200086.2000116.2000 111.2000A964.2000114.200048.200084.200079.2000A1092.0000142.000082.000062.000057.0000A1196.0000146.000086.000051.000033.0000A12106.0000 156.000096.000061.000051.0000A13121.2000 171.2000 111.200076.200071.2000A14128.0000 178.0000 118.000083.000073.0000A15142.0000 192.0000 132.000097.000087.0000S6 265.7000 255.3000 235.2000 216.6000 156.0000 140.5000 131.0000 121.2000 84.2000 62.0000 51.0000 45.0000 26.2000 11.0000 28.0000S7 275.7000 265.3000 245.2000 226.6000 166.0000 150.5000 141.0000 131.2000 99.2000 76.0000 66.0000 56.0000 38.2000 26.00002.00001.2 整数约束的处理 由于给出的模型是非线性整数规划模型， 因此尚无合适的求解方法。
钢管定购与运输问题的数学模型与求解的新方法
钢管定购与运输问题的数学模型与求解的新方法一、本文概述钢管作为一种重要的建筑材料，在各类工程项目中具有广泛的应用。
钢管的定购与运输问题涉及到供应链管理、物流优化等多个领域，是工业界和学术界共同关注的重要问题。
随着市场需求的不断变化和物流技术的快速发展，传统的钢管定购与运输方法已经难以满足现代工业的需求。
因此，本文旨在探讨钢管定购与运输问题的数学模型与求解的新方法，以提高钢管供应链的效率和经济性。
本文将首先分析钢管定购与运输问题的特点和难点，包括需求量的不确定性、运输成本的波动性、供应链中的信息不对称等。
在此基础上，建立适用于钢管定购与运输的数学模型，包括需求量预测模型、运输优化模型等。
这些模型将综合考虑市场需求、库存成本、运输费用等多个因素，为钢管的定购与运输提供决策支持。
接下来，本文将介绍求解钢管定购与运输问题数学模型的新方法。
这些方法将结合现代优化算法和计算机技术，对模型进行高效求解。
同时，本文还将探讨如何将这些方法应用于实际钢管供应链管理中，以提高供应链的整体效益。
本文将通过案例分析和仿真实验来验证所提出数学模型和求解方法的有效性和实用性。
这些案例和实验将基于实际钢管供应链数据，对模型和方法进行测试和评估。
通过对比分析不同方案的效果，本文将为钢管定购与运输问题的求解提供新的思路和方法。
本文旨在深入研究钢管定购与运输问题的数学模型与求解的新方法，以提高钢管供应链的效率和经济性。
通过建立适用的数学模型和采用先进的求解方法，本文将为钢管定购与运输问题的优化提供理论支持和实践指导。
二、钢管定购与运输问题的数学模型钢管定购与运输问题是一个涉及供应链管理和物流优化的复杂问题。
为了有效地解决这一问题，首先需要建立一个合适的数学模型。
这个模型需要能够准确地描述钢管的定购、库存、运输以及相关的成本和约束条件。
定购决策：根据预测需求、库存量和供应商条件，决定何时从哪些供应商定购钢管。
运输优化：选择最经济、最高效的运输方式，确保钢管按时送达目的地。
数学建模-钢管订购和运输
221案例10 订购和运输一、问题重述和分析要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道，如图1所示,经筛选后可以生产这种主管道的钢厂有721,,,S S S . 图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km ）.图1为了方便，1km 主管道称为1单位钢管. 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位. 钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大生产数量为i s 个单位，钢厂出厂销价为i p 万元，如下表：72221单位钢管的铁路运价如下表：表21000以上每增加1至100运价增加5万元. 公路运输费用为1单位管道每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）. 管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521A A A →→→ ，而是管道全线）.问题1. 制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小，并给出总费用. 问题2. 就（1）的模型进行分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果.二、基本假设1． 在计算运费时，沿管道铺设路线上的公路与其它普通公路相同（1单位钢管每公里0.1万元）；2． 订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量；3． 管道可由铁路、公路、管道全线运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ）； 4． 模型只考虑钢管销价费用和钢管从钢管厂运送到铺设点的钢管运费，而不考虑其它费用，如不计换车、转站的时间和费用，不计装卸费用等；5． 不计运输时由于运输工具出现故障等意外事故引起工期延误造成损失； 6． 销售价和运输价不受市场价格变化的影响.三、符号说明i S ： 第i 钢管厂i s ：表示i S 的最大生产能力j A ： 表示需要铺设管道路径上的车站 i j x ：从所有i S 运往j A 的钢管数223c i j ：表示单位钢管从i S 地运往j A 地的最小费用 i p ：从i S 订购钢管的单位价格Q ： 订购的所有钢管全部运到)15,,2,1( =j A j 点的总运费 T ： 当钢管从钢厂i S 运到点j A 后，钢管向j A 的左右两边运输（铺设）管道的运输费用Z ：用于订购和运输的总费用j y ： 运到j A 地向左铺设的数目 j z ： 运到j A 地向右铺设的数目d ： 单位钢管1公里的公路运输费用1 ,+j j A ： 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度四、模型的建立与求解问题1.1、 模型的建立钢管的订购和运输方案是直接影响工程费用的主要原因，因此，选取费用最小的路线运送货物，合理的订购计划是决定该工程费用的重要因素，首先利用图论的方法，来确定从钢管生产厂家到施工结点的费用最小路线，然后建立工程费用的优化模型，从中优化出最佳购运方案.对本问题而言，实际上是一个要求制定订购和运输计划，使总费用最小的优化问题. 本模型的总费用包括钢管的销价和运输总的费用. 首先，向某厂订购钢管，然后将在每个厂订购的钢管运往需要铺设的全路段. 欲解决本问题可以按以下方案进行思考：首先，需要确定将货物从i 地运往j 地的最优路线（费用最小）；然后，求出向每个钢管厂的订购计划，并确定出运输计划；最后计算将运往j 地的钢管铺到各个管道上的运输费用，我们不妨假设运往以j 为终点的钢管只铺到与j 点相邻的两段管道上. 因此，本问题可以按以下步骤求解.第一步：确定从i 地到j 地的最优路径，从而确定出单位钢管从i 地运往j 地的最小运费.)7,2,1( =i s i 表示钢管厂)7,2,1( =i S i 的最大生产能力，)15,,2,1( =j A j 表示需要铺设钢管路径上的车站. 假设从i S 运往j A 的钢管用于铺设j A 点左右侧的钢管数为j i x ,单位，单位产品从i S 到j A 地的运费为j i F ,万元，用j i ,c 表示单位钢管从i S 地224 运往j A 地的最小费用，则：j c min ij i F =（1）第二步：建立从i S 厂运送j ,i x 单位钢管到j A 点的运费的模型： 用Q 表示订购的所有钢管全部运到)15,,2,1( =j A j 点的总运费，则：15711Q c i j i j j i x ===∑∑；（2）第三步：将运到j A 处的钢管铺到相邻两段路上的运输费用对于运到j A 的钢管，它向左运输的总量j y ，它向左运输的总费用为：(1)(2)1j j j y d y d y dd ⨯+-⨯+-⨯⨯＝()0.1(12)0.051j j j y y y ⨯+++=+（万元）； 同理它向右运输的总费用为j j z z d2)1(+＝()0.051j j z z +用T 表示当钢管从钢厂i S 运到点j A 后，钢管向j A 的左右两边运输（铺设）管道的运输费用，得()()15j j j 1T 0.051y y 1j j z z =⎡⎤=+++⎣⎦∑（3）j z j y 和之间存在的关系为7i j i 11,1x ;(1,2,,15);(1,2,,14)j j jj j j y z j z y A j =++⎧=+=⎪⎨⎪+==⎩∑ （4）（1 ,+j j A 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度）第四步：建立订购费用的模型设W 表示订购管道的总费用，则可建立如下模型：225715, 1j 1W i i j i p x ===∑∑（5）又因为一个钢厂如果承担制造钢管任务，至少需要生产500个单位，钢厂i S 在指定期限内最大生产量为i s 个单位，故i j ijs x≤≤∑=152500 或0152=∑=j ij x ， 用Z 表示订购和运输的总费用，由（2）、（3）、（4）、（5），本问题可建立如下的非线性规划模型：目标函数()()71515i 111min W Q T ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=++=+++++⎣⎦∑∑∑约束条件7i j i 11,1151522x ;(1,2,,15);(1,2,,14)5000;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i ij j j ij y z j z y A j x s x i x i j =++==⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤≤==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑或 （6）其中1 ,+j j A 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度.2、模型的求解（1）首先求解 i j c 由于钢管从钢厂i S 运到运输点j A 要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用是分段函数，与全程运输总距离有关. 又由于钢厂i S 直接与铁路相连，所以可先求出钢厂i S 到铁路与公路相交点j b 的最短路径. 依据钢管的铁路运价表，算出钢厂i S 到铁路与公路相交点j b 的最小铁路运输费用，并把费用作为边权赋给从钢厂i S 到j b 的边. 再将与j b 相连的公路、运输点i A 及其与之相连的要铺设管道的线路（也是公路）添加到图上，根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边. 这样就转换为以单位钢管的运输费用为权的赋权图，再利用E.W.Dijkstra 的最短路算法计算出一个单位钢管从钢厂运到工地的最少费用系数阵()ij c ，MA TLAB 程序(略).226(2)根据以上结果, 继续求解非线性规划模型：()()71515i 111min ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=+++++⎣⎦∑∑∑7i j i 11,1151522x ;(1,2,,15);(1,2,,14).5000;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i ij j j ij y z j z y A j s t x s x i x i j =++==⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤≤==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑或由于不能直接处理约束条件：i j ijs x≤≤∑=152500或0152=∑=j ij x ，我们可先将此条件改为i j ijs x≤∑=152，得到如下模型：()()71515i 111min ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=+++++⎣⎦∑∑∑2277i j i 11,1152x ;(1,2,,15);(1,2,,14).;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i j ij y z j z y A j s t x s i x i j =++=⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤=⎪⎪≥==⎪⎩∑∑用LINGO 求解（程序略）. 分析结果后发现购运方案中钢厂7S 的生产量不足500单位，下面我们采用不让钢厂7S 生产和要求钢厂7S 的产量不小于500个单位两种方法计算：1）不让钢厂7S 生产,程序略.计算结果：1Z =1278632（万元）（此时每个钢厂的产量都满足条件）. 2）要求钢厂7S 的产量不小于500个单位，程序略.计算结果：2Z =1285281（万元） （此时每个钢厂的产量都满足条件）. 比较这两种情况，得最优解为，121min min(,)Z Z Z Z ===1278632（万元）. 所以根据上述的模型，得运输总费用最小为1278632（万元）. 具体的购运计划和铺设方案如表4，表5.228问题2. 针对问题一的求解模型，讨论钢厂钢管的销售价格变化对购运计划和总费用影响及钢厂钢管产量的上限变化对购运计划和总费用的影响．定义 方案中运往各点i A 的运输量的变化量的绝对值之和称为运输方案变化量． 1、讨论钢厂钢管的销售价格变化对购运计划和总费用的影响当钢厂钢管销售价格变化时，会对购运计划和总费用造成影响. 为了更好地观察每一个钢厂钢管销售价格所造成的影响，采用比较法，即每次只让一个钢厂钢管的销售价格发生相同的变化，其余钢厂钢管的销售价格不发生变化.我们将各个钢厂单位钢管的销价分别增加1万元和减少1万元，借助LINGO 软件得出相应的总费用、运输方案、订购方案变化情况如表6、表7所示由上述表格观察分析可得： 6S 钢厂销价变化对总费用影响最大，56,S S 钢厂钢管的销价的变化对购运计划影响最大.2、讨论钢厂钢管产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响同样采用比较法，即每次只让一个钢厂钢管产量的上限的发生相同的变化，其余钢厂钢管产量的上限不发生变化. 将各个钢厂的产量的上限分别增加100个单位和减少100个单位，分别计算，得到购运计划和总费用变化情况如表8、表9所示.S钢厂钢管的产量的上限的变化对总费用影响最大，由上述表格观察分析可得：1购运计划影响较小.五、模型的评价及改进由于总费用由订购费用和运输费两部分组成，运输费又由一般线路上的运输费和铺设管道上的运输费组成. 利用求网络中最短路径的Dijkstra算法，进行改进得到新的算法，可对含多种权重计算方式的网络进行搜索，得出最小费用路径（最短路径），算出两点之间的最优路径，进而根据非线性规划，借助于Lingo软件求解即可求出相应的结果.1．优点1）本问题中运用了求网络中最短路径的Dijkstra算法的思想，进行改进和修改得到新的算法，可对含多种权重计算方式的网络进行搜索，算出两点之间的最优路径，计算结果准确，从而得出相应的购运单价的矩阵.2）本问题构造出的模型算法较简单，也可以运用相应的其他编程软件来得到比较满意的结果.3）本模型计算步骤清晰，借助于Lingo软件求解，可靠性较高.2．缺点1）由于题意中不考虑铁路公路间转运的中转费用，也不限制转运次数，因此在算法设计中存在着考虑不周全的缺限，如我们考虑是先通过铁路再通过公路到铺设点，但这不一定是最小费用路径，有可能先通过公路，然后经铁路再经公路运到铺设点，费用更少，这里没有理论证明.2292) 问题二要求根据问题一的分析,指出哪家钢厂销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪家钢厂钢管产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果. 这个问题属于规划问题的灵敏度分析，一般来说，应该对于销价的变化△p 和产量上限的变化△s求出相应的总费用的变化△w，但要得到△w关于△p和△s的函数关系，几乎是不可能的，只对每个钢厂进行单独讨论.3．模型改进这个数学模型可以应用于西部开发中"天然气东送”问题，当然，西部开发中"天然气东送”问题远比我们的假设还要复杂的多，但无论如何，他们的本质一样，我们可将本问题运用于时间的变化等范围的推广. 本文还可以把问题1归结为网络最小费用流问题，建立了线性和非线性最小费用流模型，并运用相应的解法和分支定界法求解，简洁，层次分明.参考文献：[1] 甘应爱，田丰等等. 运筹学.清华大学出版社,北京,1994.[2] 袁亚湘.孙文瑜著. 最优化理论与方法.科学出版社，北京，1997.[3] 徐俊明著. 图论及其应用.中国科学技术大学出版社，合肥，1997.[4] 赵静，但琦. 数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2003.习题1. 如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络（图2），请就这种更一般的情形给出一种解决办法，制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用).230231图217。
钢管的订购与运输讲述
A j 1
y j1
Aj
yj
A j 1
设
y 是结点 j
A 向右铺设与 j
A 向左铺设之间的交点（ j 1
y 1
0，
y15
0 ）。
第二方案：也可以考虑在Aj左右各设一个变量！
j 2,3, ,14
2.求单位钢钢管的运输费 用为权的赋权图，再求最短路的权。
d j ：相邻点 Aj 与 Aj1 之间的距离；
j 1,2,,14
四、模型的分析、建立、求解
1. 模型的分析与决策变量的设置 根据题目要求，要制定一个主管道钢管的订购
和运输计划，使总费用最小。 先看总费用：总费用由三部分组成： 1) 钢管的订购费。 支付钢厂订购钢管的费用。因为钢厂生产单位钢 管的出厂销价为常量，所以在运费相同的情况下， 应从销价低的钢厂订购钢管。
二、模型假设
1.沿铺设的主管道以有公路或者有施工公路。 2.在主管道上，每公里卸1单位的钢管。 3.公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公
里部分按整公里计算） 4.在计算总费用时，只考虑运输费和购买钢管的费用，
而不考虑其他费用。 5.假设钢管在铁路运输路程超过1000km时，铁路每增
加1至100km，1单位钢管的运价增加5万元。
37
44
50
55
60
可考虑将铁路与公路分开考虑。
1) 将铁路图转化成费用图（与Ai对应编号）
将铁路与公路交界的点编号 bj:
图一 中去掉公路得铁路图:
1) 由于钢厂 Si 直接与铁路相连，所以可先求出钢厂 Si 到铁路与公路相交点 bj（对应于 Aj）的最短路径。
计算Si 到bi 的最小费用（与Ai对应编号）
数学建模2000B题
i 1
m
ai
ji
n
bj
从发点A到收点B的距离（或单位运费）是已知的，设为
c ij ( i 1, 2 ,..., m , j 1, 2 ,..., n )
。
问题：寻求一个调运方案，使总运输费用达到最小。
一个调运方案主要由一组从发点
Ai
到收点 B j 的输
送量来描述。
发点
收点
B1
B2
290 S4 S3 S2 320 160 70 30 70 170 720 202 1100 20 12 195 1150 600 306 0 10 31 201 A8 480 680 A10 S1 70 42 10 520 88 462 S5 10 220 300 A11 S2 S6 110
30
70
A1
480
31
1150
A9 680
A10
300
A11
201
205 A7
A8
450
80 2 750 A4 606
图二
3
104 A1 301 A2
A3
问题
所属类型 做题 思路和关键点 结果 表示形式
优化模型
1、问题的分析
优化问题
1）优化模型的数学描述
求函数
u f (x)
x ( x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n )
在约束条件 h i ( x ) 0 , i 1, 2 ,..., m . 和
g i ( x ) 0 ( g i ( x ) 0 ), i 1, 2 ,..., p .
下的最大值或最小值，其中 设计变量（决策变量） x
全国数模竞赛优秀论文钢管订购与运输的优化模型(浙江师范大学 胡国英 柯 懿 张惠锋) 精品
（1）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二（见附录一）按（1）的要求给出模型和结果。
（二）问题的分析本题要铺设一条A1~A15的天然气管道，使得总费用最小。
可以这样考虑问题：我们可以先把钢厂生产的钢管运到各个站点Ai(i≠1)再往两边运送，再计算出总的费用使之最小。
事实上我们并不知道每个站点上要运去多少货，所以设每个钢厂运往站点的数量为一变量及站点运往两边的钢管量也为变量，再通过图中已知信息相应的列出一些恒等式和约束条件。
为了使问题便于求解，我们把铁路费用及销价相应转换为公路费用（其简化的图示见附录一的图三），又因为铁路运费为一分段函数，故要对一些点之间加线使运费相当。
转换完毕后再利用赋权图的性质求出厂到站点的最短路。
（其具体数据见附录三）（三）模型的假设（１）运钢管过程中若用火车则可直接把钢管运到公路与铁路交接处,即下了火车不上火车。
（２）假设运输单位可提供足够的火车与汽车。
（３）费用计算时按照钢管数量来算，不考虑其他计费方法及因素。
（４）运费中不足整公里部分按整公里计。
（５）假设向每个钢管厂都订购钢管。
（６）设１Ｋm主管道钢管为１单位钢管。
（７）路中铺设的钢管只允许由其相邻站点提供。
（８）不计各个环节中的装卸费用。
（四）符号说明Ｓi: 表示生产钢管的钢厂（i=1,2…7）。
Ai：表示暂存钢管的站点。
(i=1,2…15)Ｘ1,+kk 与Ｘ1,-kk：分别表示Ａk运往Ａ1+k方向的钢管的数量和Ａk运往Ａ1-k方向的钢管的数量。
（其中Ｋ=2,3…15 X21=104, X16,15=0）Ｂk ：表示存放在Ａk处的钢管数量（k=2,3…15）.Yij : 表示从Ｓi－>Aj所运的钢管数量。
Ｆ(Xij ,Yij): 表示总的费用。
（单位:万元）△Ｐi :表示钢管销价的变化量。
（五）模型的建立与求解题Ⅰ：为了使问题简化，我们可采取如下原则：(1)总费用公路化原则：就是将铁路运费及钢管销价恰当的转换为公路运费。
数学建模：钢管订购和运输
钢管订购和运输摘要：本文运用线性规划理论建立了钢管订购和运输计划问题的数学模型。
在求解时分别利用了图论中求最短路长的算法、整数规划中的0—1规划的解法及运输问题的表上作业法。
关键词：线性规划,运输问题一、问题重述有一条从A1→A2→ →A15的天然气管道需要铺设，如图1。
经筛选，只有7家厂商获得认可，分别记为S1，S2， ，S7。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示管道（假设管道沿线有公路或建有施工公路）。
圆圈表示公路，每段铁路公路和管道旁的数字表示管道的里程（单位km），记1km为一个单位。
一个钢厂如果承担这种钢管的生产，则最少需要500个单位。
钢厂Si在制定期内最多能生产钢管的数量记为si个单位，钢管出场售价为每单位Pi万元，如下表。
一单位钢管的铁路运价如下表：1000km每增加100km运费增加5万元公路运输费为每公里0.1万元（不足整公里部分按1公里计算）。
1：制定一个主管道的订购和运输计划，市总费用最小（给出总费用）。
2：就问题1的模型进行分析，那个钢管厂的钢管销售价格变化对够运计划和总费用影响最大；哪个钢管厂钢管的产量上限的变化对够运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
3：如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，对这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图2按问题1的要求给出模型和结果。
二、基本假设假设铺设钢管可从Aj向前后两个方向铺设或向同一方向铺设和不考虑火车运载与汽车运载的装卸费。
三、符号说明1 第Si 个钢管厂承担制造钢管的任务。
0 - 1变量Ri, Ri=0 第Si 个钢管厂不承担制造钢管的任务。
ai 表示向第Si 个钢管厂订购的钢管的数量。
xij 表示从钢管厂Si 沿着费用最小的路线运输到火车站Aj 点的钢管的数量。
bj 表示从各个钢管厂运输到Aj 点的钢管的总数。
cij 表示从钢管厂Si 运输单位钢管到Aj 的最小费用。
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钢管的订购和运输优化模型摘要本文建立的多元非线性优化模型。
问题一在保证天然气管道铺设可以顺利实施的情况下，给出了钢管的订购与运输总费用最小的方案。
在求钢管由钢厂运输到站点的费用和铺设钢管时产生的运输费，根据图一，我们通过深度优先遍历的方法对整个图一进行路径搜索，然后根据每条搜索到的路径上的铁路和公路上的不同权重，找到了各个钢厂到各个天然气管道上的站点的最佳路径。
对于整个优化过程我们给出了相关的算法，并用matlab 软件编程，经过一系列计算之后，得出了最优的订购与运输方案。
对于问题 1，我们求得的最优解为（具体方案见对于问题2我们经过计算比较得出：6S 钢管销价的变化对购运计划和总费用影响最大。
1S 的生产上限的变化购运计划和总费用影响最大。
对于问题 3，当天然气管道呈现的是一个树状图的时候，我们得到的最优解一、问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。
经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万1运价(万元) 20 23 26 29 32里程(km)501～600601～700701～800801～900 901～1000运价(万元)37 44 50 55 601000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ，而是管道全线）。
（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。
（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。
3 2 5 801010 3120124270108810 7062703020 2030450104 301750 606194205201 680480 300 220210 420500 600306195202720690520170 690462160320160110 290115011001200A 2 A 3 A 4A 5 A 6A 7A 8A 9A 10A 11 A 12A 13 A 14 A 15 S 1 S 2S 3S 4S 5 S 67 图一二、模型假设1、假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路；2、运费只按铁路、公路里程收取，即不考虑火车、汽车由于停靠站等其他一切外因带来的费用；3、钢管在铺设过程中以1km 为单位进行铺设；4、钢管可由铁路、公路运往铺设路线任一地点；5、所有钢管在指定期限内都能按时生产并运送指定地点；6、钢管铺设过程中由站点向左右两边进行铺设。
三、符号说明i S ：第i 个厂()72,1 =i ； j A ：第j 个站点()152,1 =j ；ij m : i S 向j A 运送的钢管量 单位（km ）； i max :i S 在指定期限内的最大生产量 单位（km ）；j R : j A 向右铺设的钢管量 单位（km ）；7j L : j A 向左铺设的钢管量 单位（km ）；j D : j A 到1+j A 间的距离()142,1 =j 单位（km ）；0D :管道全线总长 单位（km ）；i P : i S 钢管出厂销价()72,1 =i 单位（万元/单位）； ij T : i S 向j A 运送一单位钢管所需的铁路费 单位（万元/单位）； ij D : i S 向j A 运送一单位钢管所需的公路费 单位（万元/单位）；M ：购买钢管所花的总费用； Y :由厂到站点所需运输总费；0Y ：由站点到铺设地点所需运输总费；W :订购和运输钢管所需总费用 单位（万元）。
四、问题分析问题一是在一定约束条件下的非线性优化问题，由题意知，拟建立以总费用为目标函数来寻求最优解。
总费用W 由钢管的购买费、厂到站点的运输费以及站点到铺设地点的运输费三部分组成。
一、钢管的购买费可由在每个厂的购买量与每个厂的出厂销价的线性运算得到 。
在每个厂购买的钢管量必须大于500km ，否则则不在该厂购买。
可以构造一个71⨯的矩阵S ，那么当i S 为0时，表示不在第i 个钢厂购买，否则则在第i 个钢厂购买大于500km 的钢量。
二、要求得每个钢厂到站点的运输费需先知道每个厂到各个站点的钢管输送量，以及所选择的路线即铁路总长和公路总长，所以需要首先计算出各个钢厂到每个站点的最佳运输路径，使得平均单位公里的运输费用最小。
但是由于铁路每公里的运输费用不是线性变化，而是变化不均匀的分段函数。
在这里，我们利用深度优先遍历，找到某个厂到达各个站点的所有路径，然后根据每条路径的铁路和公路里程数计算出平均每公里运输费用最小的一条。
以此类推，计算出所有钢厂到所有站点的最佳路径。
三、在站点到铺设地点的运输费问题上，如果我们认为车边向前走边进行铺设，即边走边将钢管放下，那么就需要通过积分来计算。
但是，尽管用积分算下来结果会很精确，但在实际中不可能这样实施。
另外，这也与题目中不足整公里的按整公里计算相矛盾。
所以，我们假设以1km 为单位进行铺设，即铺设中车每向前开1km 便将1km 的钢管放下。
由于铺设管道是线型的，除了两个端点外，每个站点需要往两边进行铺设管道。
所以，假设第j 个站点往左、右边铺设管道为j R 和j L 公里，则由站点到铺设地点的运输费就可以通过等差数列求和得到。
问题二即为对问题一中模型的灵敏度分析，在讨论各厂的钢管销价和生产上限对购运计划和总费用的影响时，只让其中一个量变化，其他一切条件皆不变，即逐个变量单独分析。
问题三即为问题一中模型的推广，在问题一的基础上将站点向左右两边铺设变为向三个方向铺设，按问题一处理即可。
五、模型建立（问题一）总费用W 由钢管的购买费M 、厂到站点的运输费Y 以及站点到铺设地点的运输费0Y 三部分组成，则在第i 个厂的购买费应为15个站点在第i 个厂的购买总量与该厂销价的乘积总和，即∑=151j j ij P M ，则总购买费第i 个厂向第j 个站点的运输费为运送量ij m 与运送1单位所需铁路费和公路费的和的乘积，第i 个厂向各个站点运送钢管的总运费即为()∑=+151j ij ij ij G T m ，则各厂到站点的运输费要算出钢管由站点运送到铺设地点的费用0Y 需知道钢管按何种方式进行铺设的。
在问题分析里一讨论边走边铺与实际不符，且有违题目条件，所以我们假设钢管在铺设过程中以1km 为单位进行铺设，且由站点向两边进行铺设，则0Y 可由等差数列求和公式得到，即由于一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位，且各厂在指定期限内有生产上线，则在第i 个厂的购买总量需满足i j ij m max 500151≤≤∑=或∑==1510j ij m钢管由站点向左右两边进行铺设，则第j 个站点向右铺设部分与第1+j 个站点向左铺设部分之和应为两站点之间的管道长度，且第一个站点向左铺设部分与最后一站点向右铺设部分都为0，即第j 站点向左铺设部分与向右铺设部分之和应为七个厂向第j 站点输送钢管总量，即综合考虑钢管的购买费M 、厂到站点的运输费Y 以及站点到铺设地点的运输费0Y ，钢管的订购和运输优化模型建立如下： 目标函数min =W ∑∑==71151)(i j j ij P m +()∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+71151i j ij ij ij G T m +（()()∑∑==+++1521412121j j j j j j L L R R ）1.0⨯i j ij m max 500151≤≤∑=或∑==1510j ij ms.t j j j D L R =++1 ()142,1 =j六、模型求解由于铁路、公路相互交错，无法直接选出钢厂到站点的费用最小路线，所以此处我们采用深度优先遍历方法。
首先建立一个39维数组，将图一中39个交点两两之间有铁路、公路连接的用具体路线长写入数组，且铁路用负数表示，公路用正数表示，而没有路线连接的用无穷大代替，最后换算成到各站点的铁路、公路总费。
全过程通过matlab 编程完成（程序见附录I ），。
表一 i S 到i A 的最小费用（单位：万元/单位）因为matlab 无法直接对约束条件i j ij m max 500151≤≤∑=或∑==1510j ij m 进行处理，所以我们先将此条件改为i j ij m max 151≤∑=，则原模型变为min =W ∑∑==71151)(i j j ij P m +()∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+71151i j ij ij ij G T m +（()()∑∑==+++1521412121j j j j j j L L R R ）1.0⨯ s.t j j j D L R =++1 ()142,1 =j通过matlab 编程（程序见附录）计算结果见表二由表二可知，4S 、7S 的生产量小于500单位。
由于4S 的生产量等于0，所以不用考虑，直接取为0；而在7S 的生产量问题上，有两种处理方式：（1）7S 的生产量为0；（2）7S 的生产量大于500单位。
两种处理方式计算结果见表三通过以上两种方式的比较，购买和运输最小总费用min W=6102786.1⨯（万元）具体的订购和运输方案见表四。
六．灵敏度分析（问题二）由于本案例中对模型结果产生影响的因素有很多，所以我们在此取个关键的参数进行了灵敏度分析。
模型对这些参数的敏感性反映了各种因素影响结果的显着性程度。
通过对模型参数的敏感性分析，又可以反映和检验模型的实际合理性。
由灵敏度的定义知，灵敏度是指系统中的参数或外扰的微小摄动对系统某特性的影响程度，其计算公式如下：灵敏度=参数变化的百分数变化的百分数参数变化引起系统特性（1） 对钢厂钢管销价的灵敏度分析钢厂钢管的销价是此问题的一个重要因素，钢铁价格的高低可以说直接影响着总费用和够运计划。
现在对价格做灵敏度分析，其他一切条件不变，且在讨论i S 的销价变化带来的影响时其余各厂的销价不变。