相似三角形判定拓展——K型相似
相似三角形复习2—K字型
G
B
F
CD
K字型的延伸形式： A
B A
B
∟
G FC
∟
E
D E
G
F
CD
1、如图，等边△ABC的边长为3，点D是BC上一点，
且BD=1，在AC上取点E，使∠ADE=60度，AE长为
（）
A. 3 B.2
2
3
C.
7 3
D.
3 4
2、四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=∠C=70°，点E，F分别在线段AD，DC上， 且∠BEF=110°，若E为AD中点时，DF长为 ________．
在线段AD上是否存在一点E，使得F为CD的中点， 若存在求出AE的长，若不存在，说明理由。
3．如图，直线 l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶 点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3 上，∠ACB ＝90°，AC 交 l2 于点 D．已 知 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3.则AB 的值为( )
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
2.要使△APR∽△PRQ.，已有的相等条件是 什么？根据对应原则，还可以是哪两个角 对应相等？
3.若改为“当t为何值时，△APR与△PRQ相似”，应该如何解答？
4.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从 A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动， 其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为 2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运 动，设运动时间为t（s），作QR//BA交 AC于点R，连接PR，当t为何值时， △APR∽△PRQ.
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
解读相似三角形中k型图
VS
证明
由于∠BAC=∠DAE且AB/AD=AC/AE=2/3， 根据相似三角形的判定定理，我们可以得 出△ABC∽△ADE。
03
K型图中线段比例关系
比例性质介绍
比例的基本性质
在相似三角形中，对应边之间的 比例是相等的，即如果两个三角 形相似，那么它们的对应边之间 的比值是一个常数。
比例的性质
在相似三角形中，对应高、对应 中线、对应角平分线的比例都等 于相似比。
反思
在学习相似三角形时，可能会出现一些理解上的困难或误区。例如，有些同学可能会认为只要两个三角形的 对应角相等，它们就是相似的，而忽略了对应边成比例的条件。因此，在学习过程中需要不断反思和总结自 己的理解和方法是否正确，并及时纠正错误的认识和做法。同时，还需要多做练习题加深对知识点的理解和
记忆。
THANKS
案例一
建筑设计中的K型图应用。在建筑设计中，经常需要利用相似三角形的性质进行比例计算 和建模。例如，在设计一座建筑时，可以利用K型图求出建筑的高度、宽度等比例关系， 进而进行建筑设计。
案例二
地理测量中的K型图应用。在地理测量中，经常需要利用相似三角形的性质进行距离、高 度等测量。例如，在测量一座山的高度时，可以利用K型图进行建模和计算，从而得出山 的高度。
02
利用K型图的性质
在K型图中，若已知其中一条边的长度，则可以求出另外两条边的长度。
同时，若已知两个角的大小，则可以求出第三个角的大小。
03
证明过程
首先，根据题目中的已知条件，确定K型图中的两个相似三角形。然后，
利用相似三角形的性质，建立比例关系。最后，通过代数运算，证明目
标结论。
案例分析
案例一
已知三角形ABC和三角形ADE相 似，且AB=AC，AD=AE。求证：
相似三角形的基本模型(K字型)(原卷版)(人教版) -九年级数学下册
专题07相似三角形的基本模型（K字型）【模型说明】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.【例题精讲】（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（1）求此拋物线的解析式．课后训练4．如图，AOB∆是直角三角形，AOB∠5．如图，已知D是等边为EF，点E、F分别在∠=，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段10．（1）问题发现：如图1，ABCα∠=．请求出线段BC与DE的数量关系；线BC上取点D，使得CDEα(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点接AE，过点E作EF⊥AE交线段为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，点EH-CE=2AH，求点P的坐标．3（1）求证：EA·ED （2）若BE平分∠＝45°，BD交EF于点（3）若AB＝BC，点＝EJ，当AEED＝_________。
中考数学复习难题突破专题二：K字型相似研究
难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图Z2－11 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：例题分层分析(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P 的坐标为________．图Z2－2例题分层分析(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图Z2－3结论：△BDE∽△CFD.证明：例题分层分析(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z2－4(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．图Z2－5(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？例题分层分析(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．解题方法点析“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专题训练1．[2019·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)图Z2－62．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB ＝8，则EF＝________．图Z2－73．[2019·攀枝花] 如图Z2－8，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图Z2－84．如图Z2－9，在直角梯形ABCF 中，CB ＝14，CF ＝4，AB ＝6，CF ∥AB ，在边CB 上找一点E ，使以E ，A ，B 为顶点的三角形和以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则CE ＝________．图Z2－95．如图Z2－10，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF＝120°.(1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； (2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________．图Z2－106．[2019·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点．若CA ＝5，AB ＝6，AD ∶AB ＝1∶3，则MD ＋12MA·DN的最小值为________．图Z2－117．如图Z2－12，在四边形ABCD 中，已知AD∥BC，∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝9，BC ＝12，在线段BC 上任取一点E ，连结DE ，作EF⊥DE，交直线AB 于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图Z2－128．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图Z2－139．[2019·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图Z2－1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图Z2－15参考答案类型1 “K”字型相似基本图形1例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.证明：证明过程略．应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以44－x＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC ＝OP CB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为(4，4)．(2)由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OCAP＝OPAD，设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝25AB＝2，AP＝7－x，所以57－x ＝x2，解得x ＝2或x ＝5， 所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)． 解：(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q. ∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3， 在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)． (2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP， 即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP， 而∠CPD＝∠OAB＝∠COP， ∴∠OCP ＝∠APD， ∴△OCP ∽△APD ， ∴OC AP ＝OP AD. ∵BD AD ＝32，∴AD ＝2. 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AP ＝7－x ， ∴57－x ＝x 2， 解得x ＝2或x ＝5，∴点P 的坐标为(2，0)或(5，0)． 应用2【例题分层分析】(1)直线y ＝kx 的函数表达式为y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5. (2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)，AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)， 由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， ∴3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0， 依题意知m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ， ∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC⊥OA 于点C ，过点A 作AR⊥x 轴于点R.∵∠AOD ＝∠BAE， ∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝325.∵∠ARO ＝∠FCO＝90°，∠AOR ＝∠FOC， ∴△AOR ∽△FOC ， ∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2， ∴B(6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED，∠ABE ＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED， ∴∠ABE ＝∠DEO.∵∠BAE ＝∠EOD，∴△ABE ∽△OED. 设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)， 由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， 即3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练1．A 2.5 3.544．2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5．(1)6 (2)2或5 [解析] (1)过点E 作EG⊥DF，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF ＝120°，得∠FEG＝60°，由tan ∠FEG ＝FGGE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长． (2)过点B 作BH⊥DC，延长AB ，过点C 作CM⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MDDN ，求出MA·DN＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC. ∵∠B ＝90°，∴AB⊥BC， ∴AB ∥DE.∵AD ∥BC ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM⊥BC 于点M ， ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴DM ∥AB. ∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ， 可证△FBE∽△EMD，∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7， 解得a ＝5或a ＝17.∵点F 在线段AB 上，∴AF ＝CE ＜AB ＝7，∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∠APD ＝∠B，∴∠DPC ＝∠PAB，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD， ∴AC CP ＝BP CD，∴AC ·CD ＝CP·BP. (2)∵PD∥AB，∴∠DPC ＝∠B，∴∠PAB ＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB ＝∠C.又∠PBA＝∠ABC，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝AB BC， ∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253. 9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝45°，AB ＝AC ，∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BE CQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3 2，∴BC＝6 2.10．解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°.又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠CPF＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟2．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°3．我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是( )A.515B.346C.1314D.844．已知△ABC∽△DEF，其中AB＝6，BC＝8，AC＝12，DE＝3，那么△DEF的周长为（）A.394B.263C.13D.265．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.6．计算a 2+4a 2的结果是（ ）A ．4a 2B ．5a 2C ．4a 4D ．5a 47．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1，0)与(0，2)，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是( )A ．x 1>-B ．x 1<-C ．x 2>D ．x 2< 8．如图，P 的半径为5，A B 、是圆上任意两点，且6AB =，以AB 为边作正方形ABCD （点、D P 在直线AB 两侧）．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（ ）A ．5πB ．6πC ．8πD ．9π 9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①点17(,)2y -，23(,)2y -，35(,)4y 是该抛物线上的点，则123y y y <<；②320b c +<；③()t at b a b +≤-（t 为任意实数）.其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．袋中装有大小相同的6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为34”则袋中白球大约有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是( )A ．25B ．13C ．415D ．1512．对于反比例函数6y x =-，当10x -<…时，y 的取值范围是（ ） A ．6y …B ．60y -≤<C ．06y <…D ．6y <-二、填空题 13．甲、乙两个搬运工搬运某种货物．已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为_____．14．已知抛物线2=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12y y ≥时x 的取值范围是___________.15．已知扇形的圆心角为60º，半径为6cm ，则扇形的弧长为 cm.16．已知 x ＝﹣1 是一元二次方程 ax 2﹣bx+6＝0 的一个根，则 a+b 的值为_____17．计算)33的结果等于______________. 18．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是_____．三、解答题19．已知2222x 4x 4x 11T x 2xx x x ⎛⎫-+-=+÷ ⎪-+⎝⎭ （1）化简T ；（2）若x 为△ABC 的面积，其中∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，求T 的值．20．已知二次函数y=ax 2+bx+8，经过点(1,9)和(6,−16).(1)求该二次函数的解析式；(2)设该二次函数的图象与x 轴的交点为A ．B ，与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积。
相似三角形的判定
相似三角形的判定要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形与第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似要点诠释：要判定两个三角形相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换一、选择题1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为( )A. 16：15B. 15：16C. 3：5D. 16：15或15：162．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3. 如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( )A. 2：1B. 3：2C. 3：1D. 5：24. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）．A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对 C．2对 D．1对6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是( )A. ∠APB=∠EPCB. ∠APE=90°C. P是BC的中点D. BP：BC=2：3二、填空题7. 如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________8. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD 交PC于G，则图中相似三角形有_________对.9. 如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________.10. 如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,,则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.11. 如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=_________.12. 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=______时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.三、解答题13. 如图，和都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N．求证：（1）CG平分．（2）∽．14. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．15. 已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；（2）如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O 上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；（3）在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.一．选择题1.【答案】A.2.【答案】C.【解析】分别是过点P做AB,AC,BC的垂线.3.【答案】A.【解析】如图，做CN∥AB,交ED于点N,∵M是AC边中点,△AEM≌△CNM,即CN=AE,∵AE=AB，∴AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3.∵CN∥AB，∴△DCN∽△DBE,即CD:BD= CN:BE=1:3,∴CD:BC=1:2.4.【答案】B5.【答案】B【解析】△ABC∽△ACD; △ABC∽△CBD; △CBD∽△ACD.6.【答案】C .【解析】当P是BC的中点时，△EPC为等腰直角三角形.二. 填空题7.【答案】△CEA、△CAB.8.【答案】3对.【解析】由∠CPD＝∠A＝∠B，得△CPF∽△CBP，△DPG∽△DAP，得∠CPB＝∠CFP，则∠APG＝∠BFP，得△APG∽△BFP，有3对.9.【答案】5：1.【解析】如图，连接AE,则△AEF∽△CBF,∵点F是AB的中点,正方形ABCD,∴EF:AE=BF:BC=1:2.设EF=K,则AE=2K,AF=K,即BF=K,BC=2K，CF=5K.∴CF:EF=5:1.10.【答案】②.11.【答案】5:3:12【解析】∵平行四边形ABCD, M,N为AB的三等分点∴AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2:3，即AP=AC,AQ=AC,∴QP=AC,QC=AC,∴AP：PQ:QC=AC: AC: AC=5:3:12.12.【答案】.三综合题13.【解析】（1）证明：如图，作CP⊥AD于P，CQ⊥BE于Q，∵和都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACD，∴∠BEC=∠ADC，∵CP⊥AD，CQ⊥BE∴∠CQE=∠CPD=90°在△CQE和△CPD中：∴△CQE≌△CPD，∴CQ=CP,∴CG平分（到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
中考浙江金华相似三角形K子型、母子型相似三角形模型-典型
母子型相似三角形【知识要点】 一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB = 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图，ΔABC 中，∠A=∠DBC ，BC=，SΔBCD ∶SΔABC=2∶3，则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点，连结CD.若AD= 2，BD = 4， ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•【练】如图5，RtΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=8，BC=6，则AD=____，CD=_______. 【例2】如图1，∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠B ，AC=5，AB=6，则AD=______. 【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4， 求CD 的长. 类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。
相似三角形的基本模型——“K”字型
相似三 角形 的基本模型
葛 浩 亮
“ Ｋ ＂ 字型
一
、
剖 析 中考题
塔 位 于 点Ａ（ ４ ０ ０， ３ ０ ０ ） ， 从 古 塔 出发 沿 射 线 Ｏ Ａ方 向前 行 ３ ０ ０ ｍ是 盆 景 园曰， 从 盆景 园 向 左４ ￣ － ９ ０ 。 后 直行 ４ ０ ０ ｍ到 达梅 花 阁Ｃ， 则 点
‘
．
戈 轴， ． ． ． ＬＢ ＥＯ ＋ Ｌ∞ ＝ １ ８ Ｏ 。 ，
Ｃ船 ＝９ ０。． ． ‘ ． Ｃ船 ＝ ＥＤ ，
‘
．
‘ ．
．
△ Ｃ船 一 △ ＥＤ．
ＣＦ ＢＦ ＢＣ ＢＥ ｏＥ ｏＢ ＣＦ ＢＦ ４ ００
边 长 为６ ｃ ｍ的 等 边 三 角形 ， 动． ｓ ． ｐ、 Ｑ同
ＢＥ０＝９ ０ ｏ。 ． 厶 Ｂ ｏＥ＋ ｏ ＢＥ＝９ ０ｏ 佃 ０＝９ ０。． ． ． ． ０ＢＥ＂ ４ － 叩 ９ ０。，
ｚ
【 思路分析 】 核心条件１ ： Ｂ ， Ｄ ， ｃ 三点共线 ； 核心条件２ ： ＬＢ ＝ ＬＥ ＤＦ ＝ Ｃ ＝ ． 基 本 图形 ２ 是“ Ｋ” 字 型 相 似 问 题 的 一 般模 型 ， 同样 是 要 发 现 “ 三 点一线” （ ， Ｃ， Ｄ 三点共 线 ） ， “ 三 角相 等 ” （ Ｂ＝Ｚ ＿ Ｅ Ｄ Ｆ＝
因 为 ＝ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ ÷ ５ ：
所以Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｖ ， Ａ Ａ Ｄ Ｅ ， 相似比 ＝ ÷，
根据题 意 ， 得｛ Ｙ ５
解 决 ．方 程 思 维 方 式 在 数 学 中 占有 非 常 重 要 的 地 位 ，在 数 学 解 题 中 所 占 的 比 例 较 大， 综合性广 ， 题型多 ， 应用灵 活 ， 特别是在 利 用 三 角 形 的 相 似 进 行 有 关 的计 算 时 ， 我
相似三角形判定定理
探讨相似三角形判定定理的逆命题
9字
两三角形如果对应边成比例， 那么这两个三角形是否一定 相似？
9字
两三角形如果面积比等于相 似比的平方，那么这两个三 角形是否一定相似？
9字
回答是肯定的。如果两个三 角形的对应边成比例，那么 它们的对应角必然相等，因 此这两个三角形一定相似。
9字
回答也是肯定的。如果两个 三角形的面积比等于相似比 的平方，那么它们的对应边 必然成比例，因此这两个三 角形一定相似。
该定理是相似三角形判定的基础，也是 应用最广泛的判定方法之一。
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等，则这两个三角形相似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知两边和夹 角的情况。
判定定理三：三边对应成比例
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相 似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知三边长度的情况。
以上三个判定定理是相似三角形判定的主要方法，它们在实际应用中具有广泛的适 用性和实用性。同时，这些定理也是学习相似三角形知识的基础和关键。
03
相似三角形证明方法
综合法证明
综合运用相似三角形的性质
01
通过已知条件，结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例
飞机的位置。
建筑设计中的应用
比例缩放
在建筑设计中，相似三角形可以帮助 设计师按比例缩放模型，使得不同大 小的建筑保持相同的比例和美感。
透视绘图
在绘制建筑透视图时，相似三角形原 理可以帮助准确表现物体的远近关系 和立体感。
结构分析
在建筑结构分析中，相似三角形可以 帮助工程师理解和计算结构的稳定性 和承重能力。
相似三角形——“K字型”相似模型
相似三角形——“K 字型”相似模型教学目标：1、理解“K 型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，2、利用“K 型图”中两个三角形的相似性解决一些计算、证明等问题；教学重点难点：1、在已知图形中观察关键特征——“K 型”；2、在非“K 型”图形中画辅助线，得到“K 型”图形；3、在“K 型”图的两个三角形中，探索其相似条件。
教学过程：一、前测练习1.如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连结BF ，则∆ ∽∆2.在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADE=60°, 则∆ ∽∆二、模型探究课前完成填空，上课请学生回答答案，根据答案回答以下问题：问题1判定这两个三角形相似的依据是什么？学生答：两个角对应相等的两个三角形相似。
问题2图中已知角有什么共同特征？学生答：图1中顶点共线三角都是直角，图2中顶点共线三角都是60°。
问题3若顶点共线三等角的度数不是90°也不是60°，对应两个三角形还相似吗？图形演示，提问：此时这两个三角形相似吗？请同学们自己画图并证明。
请学生叙此时述证明过程：已知： n C ADE B =∠=∠=∠求证：ABD ∆∽DEC ∆证明： n B =∠n ADB BAD -=∠+∠∴180 AB D En ADE =∠n ADB CDE -=∠+∠∴180CDE BAD ∠=∠∴C B ∠=∠ABD ∆∴∽DEC ∆（或者依据外角等于不相邻的两内角之和）展示学生书写，教师分析，该同学找出的两三角形相似的第一个条件是（C B ∠=∠）第二个条件是（CDE BAD ∠=∠），他是怎么证明这两个角相等呢？方法1、外角等于不相邻的两内角之和；方法2、三角形的内角和等于平角求解，都可行。
问题4若保持共线三等角的度数不变，改变边的长度，对应两个三角形还相似吗？学生答：相似。
因为我们是依据两个角对应相等判定两个三角形相似的。
K字形态的相似三角形
“K 字型”相似专题复习
【活动一】
K 字型相似基本图形1:
条件：B ，C ，E 三点共线,∠B=∠ACD=∠E=90°
结论：△ABC ∽△CED
【应用】
1．如图，已知点A （0，4）、B （4，1），BC ⊥x 轴于点C ，点P 为线段OC 上一点，且PA ⊥PB ．则点P 的坐标为
2．如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E ，连接DE ，作EF ⊥DE ，交直线AB 于点F ．
（1）若点F 与B 重合，求CE 的长；
（2）若点F 在线段AB 上，且AF=CE ，求CE 的长．
A
B C D E
3．（1）如图②，已知点A （-2，1），点B 在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B 的坐标；
（2）如图③，过点A （-2，1）作x 轴与y 轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C 、D ，求点A 关于直线CD 的对称点E 的坐标．
【活动二】
K 字型相似基本图形2:
条件：B ，D ，C 三点共线,∠B=∠EDF=∠C= α
结论：△BDE ∽△CFD
证明：
【应用】 1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OA=7，BC=1，AB=5，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点0、点A 重合．连接CP ，过点P 作PD 交AB 于点
D ．
（1）直接写出点B 的坐标
．
（2）当点P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB ，且BD: AD=3:2
，求点P 的坐标．
B。
相似三角形复习之K形相似
E
1.你能找到哪些角相等？
哪些边成比例？B来自2.由这个图形，你还 D
C
F
能得到什么结论呢？
3.你能够为这个图形命名吗？
2
1．如图，已知点A（0，4）、B（4，1）， BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点， 且PA⊥PB．则点P的坐标为
C
Q
P
B
O
A
5
例2.如图，GA⊥AB于A点，E为AB上一点 GE⊥EF,若AB=10,BF=4,∠B=60°,设AE=x,AG=y, 求y与x的函数关系式。
M
例3：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE
A
E
F
B
D
C
7
A
△ABE∽ △ECF （（12））点点EE为为BBCC上上任任意意一一点点，
若若∠∠BB==∠∠CC==60α°,, ∠∠AAEEFF== ∠∠ F CC,则,则△△AABBEE与与△△EECCF的F的关关
系系还还成成立立吗吗？？说明理由
B
E
C
A
A
A
FF F
α66α00°°
BBB
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
8
感悟数学
发现
基本
图形
构造
活用
题目具备基本图形 所有特征，可直接 通过基本图形性质 作答的简单应用。
题目具备基本图形 部分特征，可稍作 变形才能求解。
基本图形的运用只 是求解的一个重要 环节，运用转化思 想可化难为易。
《相似三角形的证明——K字型相似》教案
《相似三角形的证明——K字型相似》教案第一篇：《相似三角形的证明——K字型相似》教案课题：相似三角形的证明——K型相似（教案）学校：茶陵思源实验学校教师姓名：段中明教学目标：1、通过习题引入，了解“K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质；2、利用“K型图”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题；3、在“K型图”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“K型图”相似解题的特点与经验。
教学重点难点：1、在已知图形中观察关键特征——“K型”；2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“K型”图形；3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。
学情分析：学生刚刚学习完湘教版九上数学第三章图形的相似，复习完本章各知识点后，进行一些思维拓展延伸，教师已引导学生学习相似三角形中的基本图形，如“A”字型、“X”字型、“母子”型、“双垂直”型等。
结合中考试题探究“K型图”相似这个问题，本课将在此基础上展开学习。
教学过程：一、课前寄语：学生在老师的心里就是自己的孩子，所以老师祝福天下所有的孩子健康成长，快乐学习！二、复习与回顾：1.相似三角形的判定3条定理；2.相似三角形的基本图形：A字型、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、双垂直型……3.图形演变：双垂直型变三垂直型，三垂直型变K字型。
三、新课讲解：（一）.呈现学习目标：（1）.能利用k形图证明三角形相似；（2）.能构造k形图解决相关问题（3）.体会“分类讨论”的数学思想（二）.轻松一刻：（突出快乐学习）同学们，这幅画美吗？看到这幅画我就想起小学时学过的一首小诗，一首富有诗情画意的诗，哪位同学能把这首诗读出来吗？对，是《小池》。
它句句是诗，句句是画，描绘了明媚的初夏风光，自然朴实又真切感人。
今天我们边欣赏古诗边学习新课。
下面我们跟着这首古诗走进今天的例题探究。
（三）.例题探究：1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，已知AE=4，ED=2，AB=3则DF=__________2.在等边△ABC 中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为.A3.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点，(1)若DE⊥EF，求证：△ADE∽△BEF；(2)若BF=1，当△ADE与△BEF相似时，求AE的长。
相似三角形判定拓展——K型相似.
3
2
一、探究基本图形3的性质：
已知:如图∠C=∠D=∠1=n°时，
则△APC与△BPD上述结论还成立吗？为什么？
3
2
⌒
探究：
当﹤c ，﹤1 ，﹤ D在同一直线上，且满足
c =﹤1 =﹤ D 时，△APC与△BPD 条件﹤ _________ 相似
。
一线三等角，相似两三角（形） 归纳巧记：
K型
相似三角形中
A
1
y
E
B
x
D
C
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上 的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B ∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
练习： 2、如图，在矩形ABCD中，E在AD上，
EF⊥BE ，交CD于F，连结BF，已知AE=4， ED=2，AB=3 8 则DF=_______ ___ 2 3
4
? 3
3、已知：D为BC上一点∠B=∠C=∠EDF=60°,
BE=6 , CD=3 , CF=4 ,则BD=_______ A
E
6
B
C
A
1
E B
）
2
D
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上 的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式
相似模型——K字模型初中数学 模型
∴△ABF∽△DFE.
【模型归纳】
模型特点
三个直角(∠A＝∠DBE＝∠ECB＝90°)的顶点在同一条直线
上
模型展示
结论
△ABD∽△CEB，
＝ ＝ (注：当直角没有确定时Βιβλιοθήκη 应�� 分情况讨论)
如图，已知∠ABD＝∠ADE＝∠DCE＝α时．求证：
A．1
B．2
C．3
D．4
如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC
的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC的延长线上的动点，
当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为( C )
A．3
B．
C．3或
D．4或
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F是CD上两
第五章
微专题6
三角形
相似模型——K字模型(一线三等角)
如图，∠ABC＝∠DCB＝90°，点E是BC上一点，EA⊥ED．
求证：△ABE∽△ECD．
证明：∵∠ABC＝∠DCB＝90°，EA⊥ED，
∴∠AEB＋∠BAE＝∠AEB＋∠CED．
∴∠BAE＝∠CED．
∴△ABE∽△ECD．
如图，在矩形ABCD中，点P是BC的中点，连接AP，
)
(2023·东莞一模)如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，
△BCE沿BE折叠得到△BFE，点F落在AD上．求证：△ABF∽△DFE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.
∵△BCE沿BE折叠得到△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°.
数学北师大版九年级上册相似三角形——“K字型”相似模型
条件3 ，
结论3Байду номын сангаас用差型全等得出HE=HF。
处理方式：学生独立思考，小组讨论，成员展示，教师点评。
六、课堂小结
回想本节课，给你留下印象深刻的片段、环节是什么？请同学来分享一下。
七、板书设计
三、模型运用（一）
例1如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．则点P的坐标为
是否符合K型特征？
一线：
三等角：
相似三角形：
变式练习1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB= AD=6,∠ABC=∠C=70°，点E、F分别在线段AD、DC上，且∠BEF=110°, 若AE=3，求DF的长．
教学过程：
一、前测练习
1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则 ∽
2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,则 ∽
二、模型探究
课前完成填空，上课请学生回答答案，根据答案回答以下问题：
问题1判定这两个三角形相似的依据是什么？
学生答：两个角对应相等的两个三角形相似。
问题5由此你得到了什么结论？
学生答：只要满足共线三角的度数相等，则这两个三角形相似的。
问题6此图形形如英语字母谁？
学生答：字母K
教师答：我们就把这个基本图形叫做K字形，这是我们证明两三角形相似的一个基本图形。观察下图，请大家找出图中的对应边，由此可得到怎样的比例式？你能将该式转化为等积式吗？
通过刚才的研究发现，我们利用K型得相似，利用相似可得出边之间的关系。下面我们就一起来研究K字形在相似三角形中的应用。
中考数学难点突破与经典模型精讲练相似三角形中的“K”字型相似模型(解析版)
专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.CA222“三垂直”模型如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.“一线三等角”模型如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.【题型演练】一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（）A．163B．4C．3D．2【答案】C【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明∠ABF∠∠DAE，可得AF DEAB AD=，即可求解．【详解】解：∠矩形ABCD，∠∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8∠∠BAG+∠DAE=90°∠折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，∠BF垂直平分AG∠∠ABF+∠BAG=90°∠∠DAE=∠ABF，∠∠ABF∠∠DAE∠AF ABDE AD=即648AF=解之：AF=3．故答案为：C．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．2．如图，边长为10的等边ABC中，点D在边AC上，且3AD=，将含30°角的直角三角板（30F∠=︒）绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q．连接PQ，当//EF PQ 时，DQ长为（）A．6B C．10D．【答案】B【分析】过点Q作QK AC⊥于K，根据等边三角形，和含30︒角的直角三角形，易证得ADP BPQ∽△△，从而求得线段BP，AP，BQ，CQ，CK，QK，DK的长度，最后在Rt DQK△中利用勾股定理可以求得DQ 的长度．【详解】解：过点Q 作QK AC ⊥于K ，在等边ABC 中，60∠=∠=∠=︒A B C ，10AB BC AC ， 在Rt EFD 中，60E ∠=︒，30F ∠=︒，∠//EF PQ ，∠60DPQ ∠=︒，30DQP ∠=︒，∠APD ADP APD QPB ∠+∠=∠+∠，∠ADP QPB ∠=∠，又∠∠A =∠B =60°，∠ADP BPQ ∽△△， ∠AD AP PD BP BQ QP==， ∠在Rt PQD △中，30DQP ∠=︒， ∠12PD QP =， 即12PD QP =， ∠12AD AP PD BP BQ QP ===， ∠3AD =， ∠312BP =， ∠6BP =，已知10AB =∠1064AP AB BP =-=-=， ∠412BQ =， ∠8BQ =，∠1082CQ BC BQ =-=-=，在Rt CQK △中，60C ∠=︒，∠30KQC ∠=︒， ∠2122CQ KC ===， ∠DK AC AD KC =--，∠10316DK =--=，而sin KQ C CQ ∠=,∠sin 602KQ ︒==∠KQ =在Rt DQK △中，DQ∠DQ =即DQ =故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan∠AEB 43=，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D 处，当APD '△是直角三角形时，PD 的值为（ ）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AB ＝CD ，∠B ＝90°，根据勾股定理求得AE ，当∠APD '是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；【详解】∠四边形ABCD 是矩形，∠AB ＝CD ，∠B ＝90°，∠CD ＝4，tan∠AEB 43=，∠BE ＝3，在Rt ∠ABE 中，AE 5=，∠E 是BC 的中点，∠AD ＝6，由折叠可知，PD ＝PD '，设PD ＝x ，则PD '＝x ，AP ＝6﹣x ，当∠APD '是直角三角形时，∠当∠AD 'P ＝90°时，∠∠AD 'P ＝∠B ＝90°，∠AD ∠BC ，∠∠P AD '＝∠AEB ，∠∠ABE ∠∠PD 'A ， ∠AP PD AE AB '=， ∠654x x -=， ∠x 83=， ∠PD 83=； ∠当∠APD '＝90°时，∠∠APD '＝∠B ＝90°，∠∠P AE ＝∠AEB ，∠∠APD '∠∠EBA ， ∠AP PD BE AB '=， ∠634x x -=， ∠x 247=， ∠PD 247=； 综上所述：当∠APD '是直角三角形时，PD 的值为83或247； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，E 、F 、G 、H 分别为矩形边上的点，HF 过矩形的中心O ，且HF AD =．E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，则四边形EFGF 的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】连接EG ，证明四边形EHGF 是矩形，再证明AEH DHG △∽△，求得AH 与DH 的长度，由勾股定理求得EH 与HG ，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接EG ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ， E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，AE DG ∴=，//AE DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AD EG ∴=，矩形是中心对称图形，HF 过矩形的中心O ．EG ∴过点O ，且OH OF =，OE OG =，∴四边形EHGF 是平行四边形，HF AD EG ==，∴四边形EHGF 是矩形，90EHG ∴∠=︒，90A D ∠=∠=︒，90AHE AEH AHE DHG ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEH DHG ∴∠=∠，AEH DHG ∴△∽△， ∴AH AE DG DH=，设AH x =，则5DH x =-，122AE DG AB ===， ∴225x x=-， 解得，1x =或4，1AH ∴=或4，当1AH =时，4DH =，则HE =HG∴四边形EFGH 的周长2=⨯=同理，当4AH =时，四边形EFGH 的周长2=⨯=；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF 是矩形．5．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC 则下列结论：∠∠DGA =∠CGF ；∠∠DAG ∠∠CGF ；∠AB =2；∠BE CF ．正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B【分析】由余角的定义可推出90DGA CGF ∠+∠=︒，并不能说明DGA CGF ∠=∠，说明∠错误；再根据90DAG DGA ∠+∠=︒，可推出DAG CGF ∠=∠，进而可证明DAG CGF ，说明∠正确；连接BD ，由三角形中位线可知12GF BD =DAG CGF 可进一步推出2CF CG CG CF =，即2CF =，即BE =，说明∠正确；在Rt GCF 中，222GF CF CG =+，即可求出CG 长度，即可求出AB=2，说明∠正确．【详解】解：∠90AGF ∠=︒，∠90DGA CGF ∠+∠=︒，∠不能说明DGA CGF ∠=∠，故∠错误．∠90DAG DGA ∠+∠=︒，∠DAG CGF ∠=∠，又∠90ADG GCF ∠=∠=︒∠DAG CGF ，故∠正确．如图连接BD ，由题意可知AC BD =∠G 和F 分别为CD 和BC 的中点，∠12GF BD = ∠DAG CGF ∠AD DG GC CF =，即2CF CG CG CF=，∠CF =在Rt GCF 中，222GF CF CG =+，即222)CG =+, 解得1CG =∠22AB CG ==，故∠正确．∠BE CG =，∠CF BE ，即BE ，故∠正确． 综上正确的有∠∠∠共3个．故选B ．【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明DAG CGF 是解答本题的关键．6．如图，在ABC 中，490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==．动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动．已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒．连接BD ．下列结论正确的有（ ）个∠4BC =；∠当AD AB =时，tan 2ABD ∠=；∠以点B 为圆心、BE 为半径画B ，当2513t =时，DE 与B 相切； ∠当CBD ADE ∠=∠时，2511t． A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【分析】利用锐角三角函数求出BC 可判断∠，利用勾股定理求AC ，BD ，AG ，再用正切锐角三角函数定义求值可判断∠，利用相似三角形判定与性质，可判断∠，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断∠【详解】解：在ABC 中，490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==． 4cos 545BC AB B =⋅=⨯=， 故∠4BC =正确；作AG ∠BD 于G ，在Rt∠ABC 中，3AC =，∠AD =AB =5，AG ∠BD∠CD =AD -AC=5-3=2，DG =BG ，在Rt∠DCB 中，BD =∠DG =BG在Rt∠BGA 中，AG =∠tan 2AG ABD BG ∠===， 故∠当AD AB =时，tan 2ABD ∠=正确；AD =t ，BE =2t ，cos A =35AC AB =， 当2513t =时，2513AD t ==，2550221313BE t ==⨯=， ∠50155251313AE AB BE t =-=-=-=， ∠1531325513AE AD ==， ∠cos A ==AE AC AD AB，∠DAE =∠BAC ， ∠∠ADE ∠∠ABC ，∠∠AED =∠ACB =90°，∠∠DEB =90°，∠DE 与B 相切，故∠以点B 为圆心、BE 为半径画B ，当2513t =时，DE 与B 相切正确；过E 作EH ∠AC 于H ，当CBD ADE ∠=∠时，∠∠EHD =∠DCB =90°，∠∠EHD ∠∠DCB ， ∠HE DH CD CB=， ∠AE =5-2t ，∠AH =()35-25t ，EH =()45-25t ，3CD t =-，6113355HD AD AH t t t =-=-+=-， ∠()4115235534t t t --=-， 整理得211801250t t -+=，因式分解得()()112550t t --=， ∠2511t 或5t =（舍去），故∠当CBD ADE ∠=∠时，2511t正确；正确的结论有4个．故选择D ．【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键．二、填空题7．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，AB =E 为OC 上一点，2OE =，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，与BD 交于点G ，则EF 的长是______．【分析】根据 正方形的性质求出5AO BO CO ===，证明EBO EAF ∽△△得到EF AE OE BE =，即可求出答案.【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB =90AOB ∠=︒∴，OA=OB=OC=OD ，∠222OA AB =,∠5AO BO CO ===，AF BE ⊥，EBO EAF ∴∠=∠，EBO EAF ∴∽△△，即EF AE OE BE= 2OE =，5OB OA ==，BE ∴=7AE =，2EF ∴=EF =. 【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.8．如图，在矩形ABCD 中，9AB =，12BC =，F 是边AD 上一点，连接BF ，将ABF △沿BF 折叠使点A 落在G 点，连接AG 并延长交CD 于点E ，连接GD ．若DEG △是以DG 为腰的等腰三角形，则AF 的长为________．或9 2【分析】分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM∠AD于M，GN∠CD于N．设AF=x，证明∠BAF∠∠ADE，推出AB AFDA DE=，可得DE=43x，再证明AM=MD=6，在Rt∠FGM中，利用勾股定理构建方程求解．如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM∠AD于M，GN∠CD于N．设AF=x．∠四边形ABCD是矩形，∠AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，由翻折的性质可知，AF=FG，BF∠AG，∠∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，∠∠ABF=∠DAE，∠∠BAF=∠ADE=90°，∠∠BAF∠∠ADE，∠AB AF DA DE=，∠912xDE=，∠DE=43x，∠GM∠AD，GN∠CD，∠∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，∠四边形GMDN是矩形，∠GM=DN=EN=23 x，∠GD=GE，∠∠GDE=∠GED，∠∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，∠∠GDA=∠GAD，∠GA =GD =GE ，∠GM ∠DE ，∠AM =MD =6，在Rt ∠FGM 中，则有()222()263x x x =-+，解得x =（舍弃），∠AF ． 如图2中，当DG =DE 时，由翻折的性质可知，BA =BG ，∠∠BAG =∠BGA ，∠DG =FE ，∠∠DGE =∠DEG ，∠AB ∠CD ，∠∠BAE =∠DEG ，∠∠AGB =∠DGE ，∠B ，G ，D 共线，∠BD 15=，BG =BA =9，∠DG =DE =6，∠∠BAF ∠∠ADE ， ∠AF AB DE AD =， ∠9612AF =， ∠AF =92，综上所述，AF 或92．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE 沿直线DE 翻折得到FDE ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为______．【分析】根据∠ABC 为等边三角形，∠ADE 与∠FDE 关于DE 成轴对称，可证∠BDF ∠∠CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ∠AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求DE AF ⋅= 【详解】解：如图，作∠ABC 的高AL ，作∠BDF 的高DH ，∠∠ABC 为等边三角形，∠ADE 与∠FDE 关于DE 成轴对称，∠∠DFE =∠DAE = 60°，AD = DF ，∠∠CFE +∠FEC =∠CFE +∠DFB = 120°，∠∠DFB = ∠CEF ，又∠B =∠C = 60°，∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠BD CF BE CE= ， 即BF CF CE BD ⋅=， 设CF = x (x > 0)，∠BF =4CF ，∠BF = 4x ，∠BD =3， ∠243x CE =， ∠45BC BF CF x x x =+=+=，∠53AD AB BD BC BD DF x =-=-==-，2453x AE EF x ==-， ∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠DF BD EF CF=， ∠2533453x x x x -=- 解得：x =2，∠CF =4，∠BC =5x =10，∠在Rt ∠ABL 中，∠B =60°，∠AL =AB∠S △ABC=1102⨯⨯= ∠在Rt ∠BHD 中，BD =3，∠B =60°，∠DH =BDsin60°=3= ∠S △BDF=11822BF DH ⋅=⨯= ∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠223924BDF CFE S BD S CF ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∠S△BDF =∠S △CEF ， 又∠AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，∠AD =DF ，∠ADF 为等腰三角形，DE ∠AF ，∠S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF==，∠DE AF⋅=故答案为．【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．三、解答题10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF∠EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：∠AEF∠∠DCE；(2)∠AEF与∠ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设ABkBC=，是否存在这样的k值，使得∠AEF与∠BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在，k【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt∠AEF∠Rt∠DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，∠CGF是等腰三角形，据此即可证得∠AEF与∠ECF相似；(3)假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝13ka，BF＝23ka，再由∠AEF∠∠DCE，即可求得k值．（1）证明：∠EF∠EC，∠∠FEC＝90°，∠∠AEF＋∠DEC＝90°，∠∠AEF＋∠AFE＝90°，∠∠DEC＝∠AFE，又∠∠A＝∠EDC＝90°，∠∠AEF∠∠DCE；（2）解：∠AEF∠∠ECF．理由：∠E为AD的中点，∠AE＝DE，∠∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∠∠AEF∠∠DEG(ASA)，∠EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∠EF∠CE，∠CE垂直平分FG，∠∠CGF是等腰三角形．∠∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∠∠A＝∠FEC＝90°，∠∠AEF∠∠ECF；（3）解：存在k使得∠AEF与∠BFC相似．理由：假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，∠∠AEF∠∠BCF，∠12AFAE BF BC ， ∠AF ＝13ka ，BF ＝23ka ， ∠∠AEF ∠∠DCE ， ∠AE AF DC DE =，即113212ka a ka a =，解得，k =．∠存在k ∠AEF 与∠BFC 相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD∠=︒，若CE CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由∠DPC =∠A =B =90°，可得∠ADP ＝∠BPC ，即可证到∠ADP ∽∠BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝α，可得∠ADP =∠BPC ，即可证到∠ADP ∽∠BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证∠ABD ∽∠DFE ，求出DF =4，再证∠EFC ∽∠DEC ，可求FC ＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∠∠DPC =∠A =∠B =90°，∠∠ADP ＋∠APD =90°，∠BPC ＋∠APD = 90°， ∠∠ADP = ∠BPC ，∠∠ADP ∽∠BPC ，AD AP BP BC∴=， ∠AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（2）结论仍然成立，理由如下，BPD DPC BPC ∠=∠+∠，又BPD A ADP ∠=∠+∠，DPC BPC A ADP ∴∠+∠=∠+∠，DPC A ∠=∠，设DPC A α∠=∠=，BPC ADP ∴∠=∠，ADP BPC ∴∽△△，AD AP BP BC∴=， ∠AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（3）45EFD ∠=︒，45B ADE ∴∠=∠=︒，BAD EDF ∴∠=∠，ABD DFE ∴∽，AB AD DF DE∴=， ADE 是等腰直角三角形，DE ∴=， 2AB =4DF ∴=，45,45EFD ADE ∠=︒∠=︒，135EFC DEC ∴∠=∠=︒，EFC DEC ∴∽，FC EC EC CD∴=， 5EC =4CD DF FC FC =+=+， ()245EC FC CD FC FC ∴=⋅=⋅+=， 1FC ∴=，【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．12．【感知】如图∠，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ∠=∠=∠=︒．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明）【探究】如图∠，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B DPC ∠=∠=∠．若4PD =，8PC =，6BC =，求AP 的长．【拓展】如图∠，在ABC 中，8AC BC ==，12AB =，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ∠=∠，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或203． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明∠ACP ∠∠BPE ，分CP =CE 、PC =PE 、EC =EP 三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∠DPB ∠是APD △的外角，∠DPB A PDA ∠=∠+∠，即DPC CPB A PDA ∠+∠=∠+∠，∠A DPC ∠=∠，∠PDA CPB ∠=∠，又∠A B ∠=∠，∠DAP PBC △△∽， ∠PD AP PC BC=， ∠4PD =，8PC =，6BC =， ∠486AP =， 解得：3AP =；拓展：∠AC =BC ，∠∠CPB 是∠APC 的外角，∠∠CPB =∠A +∠PCA ，即∠CPE +∠EPB =∠A +∠PCA ，∠∠A =∠CPE ，∠∠ACP =∠BPE ，∠∠A =∠B ，∠∠ACP ∠∠BPE ，当CP =CE 时，∠CPE =∠CEP ，∠∠CEP ＞∠B ，∠CPE =∠A =∠B ，∠CP =CE 不成立；当PC =PE 时，∠ACP ∠∠BPE ，则PB =AC =8，∠AP =AB -PB =12-8=4；当EC =EP 时，∠CPE =∠ECP ，∠∠B =∠CPE ，∠∠ECP =∠B ，∠PC =PB ，∠∠ACP ∠∠BPE ， ∠AC AP PC BP BE EP ==， 即8128PB PB PB BE BE-==-， 解得：163PB =， ∠AP =AB -PB =16201233-=， 综上所述：∠CPE 是等腰三角形时，AP 的长为4或203． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF AE ⊥于点F ，设()0AD AEλλ=>．（1）若1λ=，求证：CE FE =；（2）若3,4AB AD ==，且D B F 、、在同一直线上时，求λ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1615【分析】（1）根据矩形的性质可得，90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，再根据已知条件DF AE ⊥，即可证明DFA ∠ABE △，则AF BE =，进而通过线段的和差关系求得； （2）由勾股定理求得BD 的长度，再由ABD △的面积求得AF 的长度，则可用勾股定理求得DF 的长度，则可得BF 的长度，再由DFA ∠ABE △，求得EB 的长度，在Rt ABE 中，根据勾股定理即可求得AE ，即可求得λ的值．【详解】（1）∠1λ=， ∠1AD AE=， ∠AD AE =，又∠四边形ABCD 是矩形，∠90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，∠DAF AEB ∠=∠，∠DF AE ⊥，∠90DFA B ∠=∠=︒，∠在DFA 和ABE △中，DFA B DAF AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠DFA ∠ABE △，∠AF BE =，∠=AE AD BC =，∠AE AF BC BE -=-，∠CE FE =；（2）如图，D B F 、、三点共线，∠3,4AB AD ==，∠5BD =，∠DF AE ⊥， ∠1122ABD S AB AD BD AF =⋅=⋅△， ∠341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∠165DF ==， ∠169555BF BD DF =-=-=， ∠//AD BE ， ∠在ADF △和EBF △中，FAD FEB ADF EBF AFD EFB ∠=∠∠=∠∠=∠，，，∠ADF △∠EBF △， ∠AD DF EB BF=， 即164595EB =， ∠94EB =，∠154AE ==， ∠14161554AD AE λ===．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ，点G 在线段EF 上，满足FG∠GE ＝1∠2，设BE ＝x ． （1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在∠ADF 的内部时，用x 的代数式表示∠ADG 的余切；（3）当∠FGD ＝∠AFE 时，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）361x x --；（3． 【分析】（1）根据题意可证明∠DAF ＝∠BAE ，又由于∠ABE ＝∠ADF ＝90°，即证明∠ADF∠∠ABE ，所以AD DF AB BE=． （2）作GH∠CF 于H ，根据题意可求出DF ＝3BE ＝3x ，根据平行线分线段成比例得出13GH FH FG EC FC FE ===，即可列出关于x 的等式，从而得出GH 和FH 的长，即可求出HD 的长，cot∠ADG ＝cot∠DGH ＝GH HD，即可求出结果． （3）作EM//GD 交DC 于点M ，即可知12FD FG DM GE ==，可求出DM ，从而求出CM ，根据图形可证明∠ABE∠∠ECM ，即可得到AB EC BE CM=，即列出关于x 的方程，解出x 即可． 【详解】（1）如图，因为AF∠AE ，∠∠EAF ＝∠BAD ＝∠ADF ＝90°．∠同角的余角相等，∠∠DAF ＝∠BAE ．∠∠ABE ＝∠ADF ＝90°．∠∠ADF∠∠ABE ． ∠AD DF AB BE=．（2）由31DF AD BE AB ==，得DF ＝3BE ＝3x ． 如图，作GH∠CF 于H ，那么GH//BC//AD ． 根据题意结合平行线分线段成比例得：13GH FH FG EC FC FE ===． ∠EC BC BE =-，FC CD DF =+， ∠13313GH FH x x ==-+．即GH ＝1(3)3x -，FH ＝1(31)3x +． 在Rt∠GHD 中，HD ＝DF －FH ＝13(31)3x x -+＝123x -＝1(61)3x -， ∠∠ADG ＝∠DGH ，∠cot∠ADG ＝cot∠DGH ＝GH HD ＝1(3)31(61)3x x --=361x x --．（3）当点G 在∠ADF 内部时，很明显∠FGD 和∠AFE 不相等．所以点G 在∠ADF 外部． 如图，作EM//GD 交DC 于点M ，那么12FD FG DM GE ==． ∠DM ＝6x ，∠MC ＝1－6x ．如果∠FGD ＝∠AFE ，那么AF//GD//EM ．∠∠AEM ＋∠EAF ＝180°．∠∠AEM ＝90°．∠∠ABE∠∠ECM ． ∠AB EC BE CM =．即1316x x x-=-． 整理，得x 2－9x ＋1＝0．解得1x =23x >（不符合题意，舍去）．所以BE【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，矩形，余角，平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．15．如图，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 边上的一点，∠APD ＝90°． （1）求证：ABP PCD △△；（2）若BC ＝10，CD ＝3，PD ＝AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得BAP CPD ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC 的长，从而可得BP 的长，再利用相似三角形的性质即可得．【详解】（1）90,90B C APD ∠=∠=︒∠=︒，90BAP APB CPD APB ∠+∠=∠+∠=∴︒，BAP CPD ∴∠=∠，在ABP 和PCD 中，BAP CPD B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，ABP PCD ~∴；（2）在Rt PCD 中，3,CD PD ==6PC ∴，10BC =，4PB BC PC ∴=-=，由（1）已证：ABP PCD △△，AB PB PC CD ∴=，即463AB =， 解得8AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．16．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是矩形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ，若∠AFG ＝∠ACD ．（1）求证：∠∠MFC ∠∠MCA ；∠若AB ＝5，AC ＝8，求CF BE的值． （2）若DM ＝CM ＝2，AD ＝3，请直接写出EF 长．【答案】（1）∠见解析；∠FC EB ＝85；（2）EF 【分析】（1）∠根据两角对应相等两三角形相似，证明即可．∠证明∠AEF∠∠ABC ，推出AF AC ＝AE AB ，推出AF AE ＝AC AB，推出∠FAC∠∠EAB ，可得结论． （2）利用勾股定理求出AM ，AC ，由MFC∠∠MCA ，推出CM AM ＝FM CM ，求出MF ，AF ，由∠AEF∠∠ABC ，推出EF BC ＝AF AC ，可得结论． 【详解】（1）∠证明：∠∠AFG ＝∠ACD ，∠∠FCA +∠F AC ＝∠FCA +∠MCF ，∠∠F AC ＝∠MCF ，∠∠FMC ＝∠CMA ，∠∠MFC ∠∠MCA ．∠解：∠四边形AEFG ，四边形ABCD 都是矩形，∠FG ∠AE ，CD ∠AB ，∠∠AFG ＝∠F AE ，∠ACD ＝∠CAB ，∠∠AFG ＝∠ACD ，∠∠F AE ＝∠CAB ，∠∠AEF ＝∠ABC ＝90°，∠∠AEF ∠∠ABC ， ∠AF AC ＝AE AB ， ∠AF AE ＝AC AB， ∠∠F AE ＝∠CAB ，∠∠F AC ＝∠EAB ，∠∠F AC ∠∠EAB ， ∠FC EB ＝AC AB ＝85． （2）解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠D ＝90°，AD ＝BC ＝3，∠DM ＝MC ＝2，AD ＝3，∠CD ＝4，AM AC 5， ∠∠MFC ∠∠MCA ， ∠CM AM ＝FM CM，∠FM ＝2CM AM∠AF ＝AM ﹣FM ∠∠AEF ∠∠ABC ， ∠EF BC ＝AF AC ，∠3EF ＝135，∠EF【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ．（1）求证：ABE DEF ∆∆；（2）连结BF ，若ABEEBF ∆∆，试确定点E 的位置并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）点E 为AD 的中点．理由见解析【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE =∠DEF ，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出AB AB DE AE=，即可得出DE =AE ． 【详解】（1）证明∠四边形ABCD 是正方形，∠∠A =∠D =90°，∠∠AEB +∠ABE =90°，∠EF ∠BE ，∠∠AEB +∠DEF =90°，∠∠ABE =∠DEF ．在∠ABE 和∠DEF 中， ABE DEF A D ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∠∠ABE ∠∠DEF ；（2）∠∠ABE ∠∠DEF ， ∠AB BE DE EF=， ∠∠ABE ∠∠EBF ，∠AB BE AE EF=，∠AB AB DE AE=，∠DE=AE，∠点E为AD的中点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．18．如图，正方形ABCDP是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：∠BEP∠∠CPF；（2）当∠P AB＝30°时，求∠PEF的面积．【答案】（1）详见解析；（2）2-【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求证∠BEP∠∠CPF；（2）由题意可知∠BPE＝30°，60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）∠PE平分∠APB，PF平分∠APC，∠∠APE＝12∠APB，∠APF＝12∠APC，∠∠APE+∠APF＝12（∠APB+∠APC）＝90°，∠∠EPF＝90°，∠∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∠∠BEP＝∠FPC，∠∠B＝∠C＝90°，∠∠BEP∠∠CPF；（2）∠∠PAB＝30°，∠∠BPA＝60°，∠∠BPE＝30°，在Rt∠ABP中，∠PAB ＝30°，AB∠BP ＝1，在Rt∠BPE 中，∠BPE ＝30°，BP ＝1，∠EP ∠CP1，∠FPC ＝60°，∠PF ＝2CP ＝2，∠∠PEF 的面积为：12PE•PF ＝2 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．19．如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与A 、C 重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，已知3AD =，5AC =．设AP 的长为x ．(1)AB =___________；当1x =时，PE =_________； (2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当PCE 是等腰三角形时，请求出x 的值．【答案】(1)4AB =,34PE PB = (2)PE PB 为定值，34PE PB = (3)75x =或4x = 【分析】（1）作PM AB ⊥于M 交CD 于N ．由BMP PNE ∆∆∽，推出PE PN PB BM =，只要求出PN 、BM 即可解决问题；（2）结论：PE PB的值为定值．证明方法类似（1）； （3）分两种情形讨论求解即可解决问题；（1）解：作PM AB ⊥于M 交CD 于N ．四边形ABCD 是矩形，3BC AD ∴==，5AC =，90ABC ∠=︒，4AB ∴=．在Rt APM △中，1PA =，35PM =，45AM =， 165BM AB AM ∴=-=， 3MN AD ==，125PN MN PM ∴=-=， 90PMB PNE BPE ∠=∠=∠=︒，90BPM EPN ∴∠+∠=︒，90EPN PEN ∠+∠=︒，BPM PEN ∴∠=∠，BMP PNE ∴△∽△， ∴12351645PE PB===， 故答案为4，34． （2） 结论：PE PB的值为定值． 理由：由PA x =，可得35PM x =．45AM x =，445BM x =-，335PN x =-， BMP PNE △∽△， ∴33354445x PE PN PB BM x -===-； （3）∠当点E 在线段CD 上时，连接BE 交AC 于F ．90PEC ∠>︒，所以只能EP EC =，EPC ECP ∴∠=∠，90BPE BCE ∠=∠=︒，BPC BCP ∴∠=∠，BP BC ∴=，BE ∴垂直平分线段PC ，在Rt BCF 中，cos CF BC BCF BC AC∠==， ∴335CF =， 95CF ∴=， 1825PC CF ∴==， 187555x PA ∴==-=． ∠当点E 在DC 的延长线上时，设BC 交PE 于G ．90PCE ∠>︒，所以只能CP CE =．CPE E ∴∠=∠，90GPB GCE ∠=∠=︒，PGB CGE ∠=∠，PBG E CPE ∴∠=∠=∠，90ABP PBC ∠+∠=︒，90APB CPE ∠+∠=︒，4AB AP ∴==，综上所述，x 的值为75或4． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．20．【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）DE =（3【分析】（1）根据ASA 证明BCE CDG △△≌； （2）由（1）得9CE DG ==，由折叠得BCF BFC ∠=∠，进一步证明HF HG =，由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可；（3）如图，连结HE ，分点H 在D 点左边和点H 在D 点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE 的长，再由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可．【详解】（1）如图，BFE △由BCE 折叠得到，BE CF ∴⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒． 又四边形ABCD 是正方形，90D BCE ∴∠=∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠， 又 正方形,ABCD,BC CD ∴=，()BCE CDG AAS ∴△△≌．（2）如图，连接EH ，由（1）得BCE CDG △△≌， 9CE DG ∴==，由折叠得BC BF =，9CE FE ==，BCF BFC ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，BCG HGF ∴∠=∠，又BFC HFG ∠=∠，HFG HGF ∴∠=∠，HF HG ∴=． 45HD HF =，9DG =， 4HD ∴=，5HF HG ==．90D HFE ∠=∠=︒2222HF FE DH DE ∴+=+，2222594DE ∴+=+，DE ∴=DE =-． （3）如图，连结HE ，由已知45HD HF =可设4DH m =，5HG m =，可令DE x EC=， ∠当点H 在D 点左边时，如图，同（2）可得，HF HG =，9DG m ∴=，由折叠得BE CF ⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒，又90D ∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠，又90BCE D ∠=∠=︒，CDG BCE ∴△∽△，DG CD CE BC∴=， CD AB k BC BC ==， 91m k CE ∴=， 9m CE FE k∴==， 9mx DE k ∴=． 90D HFE ∠=∠=︒，2222HF FE DH DE ∴+=+，222299(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =舍去）．DE EC∴=∠当点H 在D 点右边时，如图，同理得HG HF =，DG m ∴=，同理可得BCE CDG △∽△， 可得m CE FE k ==，mx DE k∴=， 2222HF FE DH DE +=+，2222(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =．DE EC∴=【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．在矩形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，将ADE 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处．（1）如图1，若3tan 4EFC ∠=，求:AB BC 的值；（2）如图2，在线段BF 上取一点G ，使AG 平分BAF ∠，延长AG ，EF 交于点H ，若FG BG CF =+，求:AB BC 的值．【答案】（1）45；（2）35． 【分析】（1）根据3tan 4EFC ∠=，可设3CE k =，则4CF k =，5DE EF k ==，再证明ABF FCE ~，由相似三角形性质即可用k 表示出BF ，从而求得比值；（2）过点G 作GM AF ⊥于点M ，由FG BG CF =+可得1122FG BC AF ==，再证MFG BFA ，从而12GM FM FG AB BF AF ===，设BG x =，由角平分线性质可得：BG MG x ==，2AB AM x ==，设FM y =，则2BF y =，由222AB BF AF +=列方程即可求出43y x =，再根据AB AB BC AF=即可求出比值． 【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，90B C D ︒∴∠=∠=∠=，由折叠的性质得：90AFE D ︒∠=∠=，EF ED =，AF AD =，3tan 4CE EFC CF ∴∠==， 设3CE k =，则4CF k =，5DE EF k ∴==，又90AFB BAF ︒∠+∠=，90AFB EFC ∠+∠=︒，BAF EFC ∴∠=∠，∠ABF FCE ~，AB BF CF CE∴=， ∠843k BF k k=， 6BF k ∴=，∠6410BC BF CF k k k =+=+=，84105AB k BC k ∴==； （2）如解图2，过点G 作GM AF ⊥于点M ，FG BG CF =+，=FG BG CF BC ++， 1122FG AD BC ∴== AD AF =，12FG AF ∴= MFG BFA ∠=∠，90FMG FBA ︒∠=∠=， MFGBFA ∴， ∠12GM FM FG AB BF AF ===， 设BG x =， AG 平分,,BAF GB AB GM AF ∠⊥⊥， BG MG x ∴==，2AB AM x ==， 设FM y =，则2BF y =，222AB BF AF +=222(2)(2)(2)x y x y ∴+=+，解得43y x = 而=AF AM MF +，∠410233x x x +=， ∠231053AB AB x BC AF x ===． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平分线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似进行求解．22．问题提出（1）如图1，在矩形ABCD 中，4cm AB =，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，过点E 作//EG BC交FD 于点G ．若5cm EG =，则EFD △的面积为_________．问题探究（2）如图2，在矩形ABCD 中，6cm,9cm AB BC ==，点P 是AD 边上一动点，点Q 是CD 的中点将．ABP 沿着BP 折叠，点A 的对应点是A '，将QDP △沿着PQ 折叠，点D 的对应点是D ．请问是否存在这样的点P ，使得点P 、A '、D 在同一条直线上？若存在，求出此时AP 的长度；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形ABCD 中，4cm BC =，点D 到BC 的距离为5cm,AD CD ⊥，且CD =．若过点D 作//BC MN ，过点A 作MN 的垂线，交MN 于点E ，交CB 的延长线于点H ，过点C 作CF MN ⊥于点F ，连接AC ．设AE 的长为(cm)x ，四边形ABCD 的面积为()2cm y ． ∠根据题意求出y 与x 之间的函数关系式；∠在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 1.73)【答案】（1）210cm ；（2）存在，6cm AP =或3cm AP =；（3）∠210y x =+⎝⎭；∠963.3元．【分析】（1）先由矩形的性质得//,4AD BC CD AB ==，再由三角形面积公式求解即可； （2）由折叠的性质得：,APB A PB DPQ D PQ ∠=∠∠'=∠'，再证BAP PDQ ∽，然后根据相似三角形的性质列比例式求解；（3）∠先证得AED DFC ∽，然后根据相似三角形的性质求得DE DF ==，然后根据面积公式列式求解；∠根据二次函数性质求最值【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠//,4AD BC CD AB ==．∠//EG BC ，∠////AD EG BC ．∠点E 为AB 的中点，∠EFD EGD EGF S S S =+111222EG CD =⨯⨯+12EG CD ⨯⨯ 12EG CD =⨯⨯ 1542=⨯⨯ 10=故答案为：210cm ；（2）存在，理由如下：∠四边形ABCD 是矩形，∠90,9,6cm BAD ADC BC AD AB CD ∠=∠=︒===．∠Q 是CD 的中点，∠3cm DQ =．由折叠的性质得：,APB A PB DPQ D PQ ∠=∠∠'=∠'，当点P 、A '、D 三点在同一条直线上时，180APB A PB DPQ D PQ ∠+∠+∠+=''∠︒， ∠90APB DPQ ∠+∠=︒．∠90APB ABP ∠+∠=︒，∠ABP DPQ ∠=∠．∠∠90BAP PDQ ∠=∠=︒，∠BAP PDQ ∽， ∠AB AP PD DQ =，即693AP AP =-， 解得：6cm AP =或3cm AP =；（3）∠根据题意做出辅助线，如图所示．由题意得：5CF EH ==．∠AD CD ⊥，∠90EDA CDF ∠+∠=︒．∠CF MN ⊥，∠90DCF CDF ∠+∠=︒，∠EDA DCF ∠=∠．又∠90AED DFC ∠=∠=︒，∠AED DFC ∽， ∠CF DF CD DE AE DA==． 由AE x =，则5AH x =-．∠5,CF CD ==，∠5DF DE x==∠DE DF ==， ∠EACF DEA DFC ABC y S S S S =--+四边形1111(5)542222x x ⎫=+⨯-⨯+⨯⨯⎪⎪⎝⎭(5)x -2210x x =- 210x =++⎝⎭∠由∠知，210y x =+⎝⎭，当x =时，四边形ABCD 的面积取得最小值为210cm ⎛+ ⎝⎭，∠最低造价为1060963.3⎛⨯≈ ⎝⎭（元）， ∠四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。
探究“K”字的相似模型1
E
C
A
A
抓问题的本质，才 A F F F 是解决问题的根本 α α α α 60 ° α α 60 ° 60 ° 60 ° 60 ° 60 ° E C BB E
在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P 为BC上一动点(不与B、C重合），过点P 作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B.设 BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式。
课堂小结
数 形 结 合
1.从数上看——“一线三等角”
∠B=∠APD=∠C
2.从形上看——“K”字形
结论：△ABP∽△PCD 方程思想 分类讨论思想 特殊到一般思想 转换思想 类比思想
变式1：如图，矩形ABCD，AD=10，CD=8，现将该矩 形沿对角线AC折叠，使得点D落在点D′处， 以B为原点O， 以射线BC为x轴正半轴，建立平面直角坐标系， 当边OC 要向下平移a个单位长度时，D′会落在平移
C
A
图形变式 拓展延伸
△ABE∽ △ECF （ 12 ）点 EE 为 BC 上任意一点， （ ）点 为 BC 上任意一点 ∠B=∠C=∠AEF= 60°,则α, 若 ∠B= ∠C= ∠AEF=
△ ABEABE 与△与△ ECF的关系还成立 则△ ECF的关系 F 吗？说明理由 还成立吗？
B
A
M B
P
C
(2010.泉州改编）如图所示，已知抛物 线y=0.25x2-x+1的图像与y轴相交于点 B(0,1），点C（m，n）在该抛物线图像 上，且以BC为直径的圆M恰好经过顶点A （点C异于点A）。求点C的坐标。
C
2015福州一检
25题（2）
（2015福州二检25)
3
2
1
相似三角形的判定-K形图
源-于-网-络-收-集相似三角形的判定一、复习：判定两三角形相似的方法有几种？二、例题讲解：已知：F 、C 、D 共线，BF ⊥FD, EC ⊥BC ， ED ⊥DF ,若DC=6 ，BF=3，FC=7,求ED 的长三、巩固练习：1、如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连结BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（ ）A ．△EFBB ．△DEFC ．△CFBD ．△EFB 和△DEF1题和2题图2、如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连结BF ，已知AE=4，ED=2，AB=3则DF=__________3、如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，连结BE 、EF 、BF 已知AE=4，ED=2，AB=3，若以A 、B 、E 为顶点的三角形和△DEF 相似，则DF=__________四、拓展提高：D C FE B A B C D E F源-于-网-络-收-集 （1）点E 为BC 上任意一点，若 ∠B= ∠C=60°, ∠AEF= ∠ C,则△ABE 与△ ECF 相似吗？说明理由（2）点E 为BC 上任意一点, 若 ∠B= ∠C= α, ∠AEF= ∠ C,则△ABE 与△ ECF 相似吗？说明理由五、课堂检测：1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=900， AD=3，BC=6，DP ⊥PC ，AP=5，求PB 的长。
2、已知：D 为BC 上一点， ∠B=∠C=∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,则BD=_______C 60° 60° 60°A B E F A B C E Fα α α E B CD FA。
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讲解：XX
1
A型 D
B
相似三角形基本图形的回顾：
A E
E A
D X型
C
B
C
A
D E
B
C
A
D B
2021/3/10
E D
A
B
∠ACB=Rt∠
CD⊥AB
母子相讲似解型：XX
B
C A D
2
C
2021/3/10
讲解：XX
3
2021/3/10
形状：K
特点：顶点共线的三个直角！
讲解：XX
∴∠ADE=∠B
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1
∴∠1=∠2
E
∴ △ABD∽△DCE
C
讲解：XX
9
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上 的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
4
观察与思考
1.你能在这个正方形中画出K字图吗？ 2.给你一张矩形纸片，你能折出K字图吗？
A
D
△ABE∽ △ECF
F
12
B
E
C
2021/3/10
讲解：XX
5
A
变：点E为BC上任意一点， 若 ∠B= ∠C= ∠AEF= α, 结 论还成立吗？
△ABE∽ △ECF
F
B
E
C
2021/3/10
A
α
α
讲解：XX B
X=4
y
3
C
2
OA
P
6
B Qx
2021/3/10
讲解：XX
14
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/3/10
15
x
（1）求点yB的坐标； （2）求OA︰OB的值；
（3）若点A在双曲线上移
A C
动， 保持OA⊥OB 不变， OA︰OB的值变吗？
o
x
D
B
2021/3/10
讲解：XX
13
拓展提高
4.如图，已知抛物线与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点. （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P，满足 ∠PBC=90°，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
2 2
2
1 2
0 x 2
当 x
2
时
2
y最 小 值
1 2
10
2.如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案， 它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的 边AB、BC、CD、DA上。
若AB=4，BC=6，求DG的长．
A
HD
E
G
2021/3/10
B
F
讲解：XX
C
11
3.如图，已知点A（1,2）是函数y 2(x＞0) 的图象
A
y
1
E
Bx D
ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上 的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
A
1
B
2021/3/10 ）2 D
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45°
E
F
α C6
△ABP∽ △PCD
A
B
P
三垂直型
D
A
D
B
P
C
C
三角相等型
2021/3/10
讲解：XX
7
1、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC 边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE 三角相等型
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自 变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最 小值
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自
变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最
小值
解： ∵△ABD∽△DCE
A
y
∴ AB BD CD CE
即 1 x 2 x 1 y
1
Bx D 2021/3/10
E
1 y
C
2x
∴ 1yx 2x
∴ yx2 2x1
讲解：XX
y x
x
的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y-6(x＞0)
交于点B.
x
（1）求点y B的坐标； （2）求OA︰OB的值；
C
A（1,2）
o
x
D B
2021/3/10
讲解：XX
12
3.如图，已知点A（1,2）是函数y 2(x＞0) 的图象
x
的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y-6(x＞0)
交于点B.