常用的算法思想
lms算法基本思想及原理
lms算法基本思想及原理
LMS（Least Mean Squares）算法是一种常用的自适应滤波算法，也是一种在线学习算法。
它的基本思想是通过不断地调整滤波器的权值来最小化估计信号与实际信号之间的均方误差。
LMS算法的原理是基于梯度下降方法进行权值更新。
首先，LMS算法利用输入信号和期望信号之间的差异计算出误差信号。
然后，根据误差信号和输入信号的乘积以及一个适当的步长因子，调整滤波器的权值。
通过连续调整权值，LMS算法
能够逐渐逼近期望信号，从而实现滤波器的自适应。
具体而言，LMS算法的权值更新公式为：
w(n+1) = w(n) + μ * e(n) * x(n)
其中，w(n+1)表示更新后的权值，w(n)表示当前的权值，μ表
示步长因子，e(n)表示当前时刻的误差信号，x(n)表示当前时
刻的输入信号。
LMS算法的核心思想是利用实时数据对滤波器进行不断调整，使得滤波器能够在未知环境中适应信号特性的变化。
通过持续的学习和更新，LMS算法能够实现自适应滤波，从而提高信
号的处理性能和鲁棒性。
需要注意的是，LMS算法对于系统的遗忘因子和初始权值设
置较为敏感，这些参数的选择需要根据具体的应用场景来进行调整。
此外，LMS算法的收敛性和稳定性也是需要考虑的重
要因素。
信息学奥赛经典算法
信息学奥赛经典算法信息学奥赛是一项涉及算法和数据结构的比赛。
算法是指解决问题的具体步骤和方法，而数据结构是指存储和组织数据的方式。
在信息学奥赛中，掌握经典算法是非常重要的，可以提高解题的效率和成功的概率。
下面我将介绍一些经典的算法。
1.贪心算法（Greedy Algorithm）贪心算法是一种简单直观的算法思想，其基本策略是每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终能够得到全局最优解。
贪心算法通常应用于问题的最优化，比如找出能够覆盖所有区域的最少选择。
然而，贪心算法并不是所有问题都适用，因为它可能会导致局部最优解，并不能得到全局最优解。
2.动态规划（Dynamic Programming）动态规划是一种通过将问题分解成更小的子问题来求解复杂问题的方法。
其主要思想是通过记录中间计算结果并保存起来，以避免重复计算。
动态规划常用于求解最优化问题，例如寻找最长递增子序列、最短路径等。
动态规划是一个非常重要的算法思想，也是信息学奥赛中常见的题型。
3.深度优先（Depth First Search，DFS）深度优先是一种常见的图遍历算法，其基本思想是从一个顶点开始，沿着路径向深度方向遍历图，直到无法继续前进，然后回溯到上一个节点。
DFS通常用于解决图的连通性问题，例如寻找图的强连通分量、欧拉回路等。
DFS的一个重要应用是解决迷宫问题。
4.广度优先（Breadth First Search，BFS）广度优先是一种图遍历算法，其基本思想是从一个顶点开始，按照广度方向遍历图，逐层往下遍历，直到找到目标节点或者遍历完整个图。
BFS通常用于解决最短路径问题，例如在一个迷宫中找到从起点到终点的最短路径。
5.分治算法（Divide and Conquer）分治算法是一种将问题分成更小的子问题并独立地求解它们的方法，然后通过合并子问题的结果来得到原始问题的解。
分治算法是一种递归的算法思想，通常在解决问题时能够显著提高效率。
贪心算法的基本原理
贪心算法的基本原理贪心算法（Greedy Algorithm）是一种常用的算法思想，它在求解最优化问题时通常能够得到较好的近似解。
贪心算法的基本原理是：每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终能够得到全局最优解。
在实际应用中，贪心算法常常用于解决一些最优化问题，如最小生成树、最短路径、任务调度等。
一、贪心算法的特点贪心算法具有以下特点：1. 简单：贪心算法通常比较简单，易于实现和理解。
2. 高效：贪心算法的时间复杂度通常较低，能够在较短的时间内得到结果。
3. 局部最优：每一步都选择当前状态下的最优解，但不能保证最终能够得到全局最优解。
4. 适用范围：贪心算法适用于一些特定类型的问题，如无后效性、最优子结构等。
二、贪心算法的基本原理贪心算法的基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 初始状态：确定问题的初始状态，定义问题的输入和输出。
2. 状态转移：根据当前状态，选择局部最优解，并更新状态。
3. 筛选解：判断当前状态下是否满足问题的约束条件，若满足则保留该解，否则舍弃。
4. 终止条件：重复以上步骤，直至满足终止条件，得到最终解。
三、贪心算法的应用举例1. 找零钱：假设有 25、10、5、1 四种面额的硬币，需要找零 41 元，如何使得找零的硬币数量最少？贪心算法可以先选择面额最大的硬币，然后逐步选择面额较小的硬币，直至找零完毕。
2. 区间调度：给定一组区间，如何选择最多的互不重叠的区间？贪心算法可以先按照区间的结束时间排序，然后依次选择结束时间最早的区间，直至所有区间都被覆盖。
3. 最小生成树：在一个连通的带权无向图中，如何选择边使得生成树的权值最小？贪心算法可以按照边的权值从小到大排序，然后依次选择权值最小且不构成环的边，直至所有顶点都被连接。
四、贪心算法的优缺点1. 优点：贪心算法简单高效，适用于一些特定类型的问题，能够在较短的时间内得到近似最优解。
2. 缺点：贪心算法不能保证一定能够得到全局最优解，可能会出现局部最优解不是全局最优解的情况。
动态规划法
动态规划法动态规划法（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，主要用于解决具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划法通过把问题分解为更小的子问题，并将子问题的解存储起来，以避免重复计算，从而提高了算法的效率。
动态规划法有两个核心概念：状态和状态转移方程。
在动态规划过程中，我们需要定义状态，即问题的子问题解，以及状态之间的关系，即状态转移方程。
动态规划法的一般步骤如下：1. 定义问题的子问题：将问题划分为更小的子问题，并明确子问题的解是什么。
2. 定义状态：将问题的子问题解抽象为状态，即用一个变量或者数组表示子问题的解。
3. 定义状态转移方程：根据子问题的关系，定义状态之间的转移方程，即如何根据已知的子问题解计算出更大的问题的解。
4. 缓存子问题解：为了避免重复计算，我们需要将已经计算过的子问题解存储起来，以便后续使用。
5. 递推计算：通过状态转移方程和缓存的子问题解，逐步计算出更大的问题的解，直到计算出最终的问题解。
动态规划法的关键在于找到正确的状态转移方程和合理的存储子问题解的方式。
有些问题的状态转移方程比较容易找到，比如斐波那契数列，每个数都是前两个数的和；而有些问题的状态转移方程可能比较复杂，需要通过观察问题的特点和具体分析来确定。
动态规划法的时间复杂度通常为O(n)，其中n 表示问题规模。
由于利用了子问题的解，避免了重复计算，因此动态规划法相对于暴力求解法能够大大提高算法的效率。
但是，动态规划法的空间复杂度通常较高，需要存储大量的子问题解，因此在实际应用中需要权衡时间和空间的消耗。
总的来说，动态规划法是一种非常灵活且强大的算法思想，能够解决许多复杂的问题，特别适用于具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
通过正确定义状态和状态转移方程，并结合缓存子问题解和递推计算，我们可以高效地求解这类问题，提高算法的效率。
贪心算法在优化问题中的运用
贪心算法在优化问题中的运用贪心算法（Greedy Algorithm）是一种常用的算法思想，它在解决一些优化问题时具有很高的效率和实用性。
贪心算法的核心思想是每一步都选择当前状态下最优的解决方案，以期望最终能够得到全局最优解。
在实际应用中，贪心算法常常被用来解决一些最优化问题，如最短路径问题、背包问题、任务调度等。
本文将介绍贪心算法在优化问题中的运用，并通过具体案例来说明其应用场景和解决方法。
一、贪心算法的基本原理贪心算法是一种在每一步选择当前状态下最优解决方案的算法思想。
它与动态规划不同，贪心算法并不会保存之前的计算结果，而是根据当前状态做出最优选择。
贪心算法的优势在于简单、高效，适用于一些特定类型的问题。
贪心算法的基本原理可以总结为以下几点：1. 每一步都选择当前状态下的最优解决方案；2. 不考虑未来的结果，只关注当前状态的最优选择；3. 最终期望通过每一步的最优选择达到全局最优解。
二、贪心算法在优化问题中的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的经典问题，贪心算法可以用来解决一些简单的最短路径问题。
例如，在无权图中，从起点到终点的最短路径可以通过贪心算法来求解，每次选择距离最近的节点作为下一步的目标节点，直到到达终点为止。
2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，贪心算法可以用来解决一些特定类型的背包问题。
例如，在分数背包问题中，每种物品可以取任意比例，贪心算法可以按照单位价值最高的顺序选择物品放入背包，直到背包装满为止。
3. 任务调度问题任务调度问题是一个常见的优化问题，贪心算法可以用来解决一些简单的任务调度问题。
例如，在单处理器任务调度中，每个任务有一个开始时间和结束时间，贪心算法可以按照结束时间的先后顺序对任务进行调度，以最大化处理器的利用率。
三、案例分析：活动选择问题活动选择问题是一个经典的优化问题，通过贪心算法可以高效地解决。
问题描述如下：假设有n个活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间，活动之间不能交叉进行，问如何安排活动才能使参加的活动数量最多。
五大常用算法ppt课件
桥了。
A B→ 2 A←1
AC → 5 A←1
AD → 8
一共就是2+1+5+1+8=17分钟。
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贪心算法
但其实有更快的办法： AB→2 A←1 CD→8 B←2 AB→2
一共是2+1+8+2+2=15分钟。这个办法的聪明之处在于让两个走得最慢的人同时过桥， 这样花去的时间只是走得最慢的那个人花的时间，而走得次慢的那位就不用另花时间过 桥了。可以把所有可能的方案都列举一遍，就会发现这是最快的方案了。
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贪心算法
2015年周得水等人提出一种基于Dijkstra的贪心算法来实现模糊连接度的快速计算。 基于模糊连接度的图像分割过程如下： （1）由用户在图像中选取种子点； （2）计算图像中各点相对于种子点的模糊连接度，同时得到各点到种子点的最优路径； （3）对得到的最优路径进行各点相对于种子点的属性相似度计算，同时得到图像中各点新 的隶属度； （4）用户通过选取阈值来分割图像。
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P)) 3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi 6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
后将各子问题的解合并得到原问题的解。(分治与递归)
适用情况： 1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决; 2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质; 3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法常用算法，迭代法迭代法（iteration method）是一种通过重复执行相同的步骤来逐步逼近问题解的方法。
它在计算机科学和数学中被广泛应用，可以解决各种问题，比如求近似解、优化问题、图像处理等。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，逐渐逼近问题的解。
每一次迭代都会将上一次迭代的结果作为输入，并进行相同的操作，直到满足其中一种停止条件。
在每次迭代中，我们可以根据当前的状态更新变量的值，进而改善我们对问题解的估计。
迭代法最常用的应用之一是求解方程的近似解。
对于一些复杂方程，很难通过解析方法求得解析解，这时我们可以利用迭代法来逼近方程的解。
具体地，我们可以选择一个初始的近似解，然后将其代入方程，得到一个新的近似解。
重复这个过程，直到得到一个满足我们要求的解。
这个方法被称为迭代法求解方程。
另一个常用的迭代法示例是求解优化问题。
在优化问题中，我们需要找到能使一些目标函数取得最大或最小值的变量。
迭代法可以通过不断优化变量值的方法来求解这种问题。
我们可以从一个初始解开始，然后根据目标函数的导数或近似导数的信息来更新变量的值，使得目标函数的值逐步接近最优解。
这种方法被称为迭代优化算法。
迭代法还可以应用于图像处理等领域。
在图像处理中，我们常常需要对图片进行修复、增强或变形。
迭代法可以通过对图片像素的重复操作来达到修复、增强或变形的目的。
例如，如果我们想要修复一张受损的图片，可以通过迭代地修复每个像素点，以逐渐恢复整个图片。
除了上述示例，迭代法还有很多其他应用，比如求解线性方程组、图像压缩、机器学习等。
总之，迭代法是一种非常灵活和强大的算法，可以解决各种问题。
在实际应用中，迭代法的效果往往受到选择合适的初始值、迭代次数和停止条件的影响。
因此，为了获得较好的结果，我们需要在迭代过程中不断优化这些参数。
同时，迭代法也可能会陷入局部最优解的问题，因此我们需要设计合适的策略来避免这种情况。
总的来说，迭代法是一种重要的常用算法，它可以解决各种问题。
标准二分法-定义说明解析
标准二分法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述标准二分法是一种常见的算法思想，用于在有序数组或有序列表中查找特定元素的位置。
这种方法通过将待查找区间不断缩小一半，最终找到目标元素或确定其不存在。
标准二分法是计算机科学中最基础、最常用的算法之一，被广泛应用于各个领域，包括数据结构、算法设计、搜索技术等。
在标准二分法中，首先需要一个有序的数据结构，通常是一个有序数组或有序列表。
然后，将待查找区间的起点和终点分别标记为left和right。
接下来，在每一次循环中，我们都计算待查找区间的中间位置mid，然后比较目标元素与中间位置的值。
如果目标元素等于中间位置的值，则找到了目标元素，算法结束。
如果目标元素小于中间位置的值，则说明目标元素位于中间位置的左侧，将右边界right更新为mid-1。
反之，如果目标元素大于中间位置的值，则说明目标元素位于中间位置的右侧，将左边界left更新为mid+1。
通过不断缩小待查找区间的大小，最终可以找到目标元素或确定其不存在。
标准二分法具有较高的时间效率，可以在较大规模的有序数组或有序列表中快速查找目标元素。
其时间复杂度为O(log n)，其中n表示数组或列表的大小。
此外，标准二分法还具有简单清晰的思路和易于实现的特点，使得其成为工程和科研中首选的查找算法之一。
然而，标准二分法也有一些局限性。
首先，标准二分法要求数据结构必须是有序的，这就意味着如果数据结构不是有序的话，需要先进行排序操作，增加了额外的时间开销。
其次，对于一些特殊情况，标准二分法可能失效。
比如，当数组中存在重复元素时，标准二分法可能无法准确判断目标元素的位置，需要进行额外的操作来解决。
总之，标准二分法是一种非常重要和常用的算法思想，其通过将待查找区间不断缩小一半的方法，在有序数组或有序列表中高效地查找目标元素。
虽然具有一定的局限性，但标准二分法的优点仍然使其在各个领域得到广泛应用。
在接下来的内容中，我们将进一步探讨标准二分法的应用场景、优点和局限性，以及对其未来发展进行探讨。
人类历史上的29个重大算法
人类历史上的29个重大算法1. 蒙特卡洛方法—用随机数模拟处理问题的算法。
一般用于对复杂问题进行近似求解。
2. 快速排序算法—一种常用的排序算法，采用分治策略，平均时间复杂度为O(nlogn)。
3. Dijkstra 最短路径算法—用于计算图中两个点之间的最短路径，采用贪心思想。
4. KMP 字符串匹配算法—通过预处理模式串，避免不必要的匹配，从而提高算法效率。
5. RSA 加密算法—一种非对称加密算法，在信息传输领域中广泛应用。
6. 贪心算法—一种算法思想，通过局部最优选择来达到整体最优解。
7. 分治算法—一种分而治之的算法思想，处理问题时将其分成子问题分别处理，最终合并成一个总问题的解。
8. 梯度下降算法—用于寻找函数的最小值或最大值，例如神经网络的参数优化。
9. 动态规划算法—用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
10. 二分查找算法—用于在有序数组中查找指定元素的算法，时间复杂度为O(logn)。
11. 哈希表算法—基于哈希函数实现查找、插入和删除操作，时间复杂度为O(1)。
12. 最小生成树算法—用于求加权连通图的最小生成树，包括Prim算法和Kruskal算法。
13. Floyd 算法—用于求所有点对之间的最短路径，时间复杂度为O(n^3)。
14. A* 算法—用于图的最短路径搜索，结合了Dijkstra算法和贪心算法的思想，常用于人工智能领域。
15. 布隆过滤器算法—用于判断一个元素是否存在于集合中，具有高效率和低空间占用的优点。
16. PageRank 算法—用于衡量网页排名的算法，由谷歌公司开发。
17. 马尔可夫链蒙特卡洛算法—用于采样高维分布的一类重要随机算法。
18. SHA 加密算法—用于数字签名和消息认证等领域。
19. B 树算法—一种平衡查找树，常用于数据库系统中，具有高效率和低磁盘访问次数的特点。
20. 基数排序算法—一种特殊的排序算法，适用于排序的数据范围比较小的情况下。
滑动累计法
滑动累计法滑动累计法，又称动态滑窗法，是一种常用的算法思想，用于解决滑动窗口类问题。
在解决大数据处理、实时计算等领域的问题时，滑动累计法具有很高的效率和灵活性。
滑动累计法的核心思想是通过维护一个固定长度的窗口，在每次滑动窗口时，只需对新增元素和减少元素进行简单的操作，从而减少计算量。
这种方法在处理连续数据流时特别有效，因为它可以在O(1)时间复杂度内完成操作。
举个例子来说明滑动累计法的应用。
假设一个数组arr包含n个元素，我们需要计算每个长度为k的子数组的和。
传统的方法是对每个子数组遍历求和，时间复杂度为O(nk)。
而采用滑动累计法，我们只需在第一次计算完第一个子数组的和后，每次向右滑动时减去上一个元素并加上新的元素即可，时间复杂度为O(n)。
这种优化思想大大提升了算法的效率，尤其在处理大规模数据时更加明显。
使用滑动累计法的关键在于找到恰当的窗口大小和确定每次滑动的步长。
窗口大小需要根据具体问题进行调整，一般情况下，窗口大小越小，计算速度越快，但精度可能降低。
步长的选择通常为1，即每次滑动一个元素，但有时也可以选择更大的步长以提高计算效率。
除了求和，滑动累计法还可以用于解决其他类型的问题，如求最大值、最小值、平均值等。
例如，求一个数组中每个长度为k的子数组的最大值，也可以使用滑动累计法。
我们只需要在每次滑动时比较新增元素和减少元素，即可得到最大值，时间复杂度仍为O(n)。
综上所述，滑动累计法是一种高效、灵活的算法思想，适用于解决各种滑动窗口类问题。
通过维护一个固定长度的窗口，滑动累计法可以在O(1)时间复杂度内完成操作，大大提高了解决问题的效率。
无论是处理大规模数据还是实时计算，滑动累计法都是一个值得使用的工具。
贪婪算法思想及其应用
贪婪算法思想及其应用贪婪算法（Greedy algorithm）是一种常用的算法思想，它根据当前情况做出局部最优的选择，从而希望获得全局最优的解决方案。
贪婪算法通常用于求解优化问题，其特点是简单、高效，并且不需要进行完全的。
贪婪算法的基本思想是通过每一步的局部最优解来建立起全局最优解。
每一步做出的选择依赖于前一步的选择结果，所以贪婪算法通常具有递归的特点。
贪婪算法的目的是使每一步的选择都是最有利的，从而达到整体的最优解。
贪婪算法的应用广泛，下面分别介绍几个常见的应用场景。
1.找零钱问题：假设有一定面值的硬币，要找零钱给客户。
贪婪算法可以选择最大面值的硬币作为找零的一部分，然后继续选择最大面值的硬币，直到完成找零。
这样可以保证找零的硬币数量最少。
2.背包问题：给定一些物品和一个背包，每个物品有一定的重量和价值。
目标是找到一个物品组合，使得其总重量不超过背包容量，但总价值最大。
贪婪算法可以根据每个物品的单位价值（即价值与重量的比值）来选择物品放入背包，以获得最大的总价值。
3.最小生成树问题：给定一个带权无向图，要找到一个包含所有顶点的子图，且该子图的边权重之和最小。
贪婪算法可以从一个顶点开始，每次选择权重最小的边连接到已经选择的顶点集合中的顶点，直到所有顶点都被包含在选择的子图中。
4.哈夫曼编码：哈夫曼编码是一种最优前缀编码方法，用于将字符编码为二进制序列。
贪婪算法可用于构建哈夫曼树，根据字符的出现频率构建最小的二叉树，然后将字符编码为哈夫曼树的路径。
以上只是贪婪算法的一些常见应用，实际上贪婪算法还可以应用于很多其他领域，如任务调度、排序、图着色等。
贪婪算法的优点是简单、高效，但也有一定的局限性，它不能保证一定能得到全局最优解。
因此，在应用贪婪算法时需要根据具体情况来评估其适用性，并结合其他算法和方法来求解问题。
【算法】常见算法分类和思想
【算法】常见算法分类和思想我们在实际应⽤中，对⼀个问题会有不同的解题思路，⽐如我们在读书时候，往往对⼀道数学题⽬会有多种解题⽅法，可能有些⽅法⽐较简单，有些⽅法⽐较复杂，步骤较多。
所以找到⼀个合适的⽅法可以更快更好的去解决问题。
在程序应⽤中，我们也会有不同的算法去解决问题。
算法分类分为：1.基础算法：包括字符串，数组，正则表达式，排序，递归等。
2.数据结构：堆，栈，队列，链表，矩阵，⼆叉树等。
3.⾼级算法：贪⼼算法，动态规划等。
根据问题的不同，⼀般可以有以下算法思想去解决问题： 递推算法: 递推法，就是从已知的结果和条件出发，利⽤特定关系分解中间步骤得出推论，逐步推导⽽得到结果。
递推算法分为顺推和逆推两种。
递推与递归的⽐较 相对于递归算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说不需要函数不断的向边界值靠拢,⽽直接从边界出发,直到求出函数值。
分治算法： 分治，顾名思义，分⽽治之，分治算法是⼀种化繁为简的算法思想，往往应⽤于计算步骤⽐较复杂的问题，通过将问题简化⽽逐步得到结果。
常⽤场景就是求出最轻、最重问题（在⼀堆形状相同的物品中找出最重或最轻的那⼀个，⼆分查找，快速排序和归并排序，分治算法也是许多⾼效算法的基础，⽐如快速傅⽴叶变换算法和 Karatsuba 乘法算法。
概率算法： 概率算法是在程序执⾏过程中利⽤概率统计的思路随机地选择下⼀个计算步骤，在很多情况下，算法在执⾏过程中⾯临选择时，随机性选择⽐最优选择省时，因此概率算法可以在很⼤程度上降低算法的复杂度。
概率算法⼤致分类如下： 1.贝叶斯分类算法。
2.蒙特卡罗（Monte Carlo）算法。
3.拉斯维加斯（Las Vegas）算法。
4.舍伍德（Sherwood）算法。
5.随机数算法。
6.近似算法。
7.机器学习算法中的的⼀些概率⽅法。
递归算法: 递归算法是指⼀种通过重复将问题分解为同类的⼦问题⽽解决问题的⽅法。
具体来说就是就是⼀个函数或者类⽅法直接或间接调⽤⾃⾝的⼀种⽅法。
算法的思想
算法化、机械化构成了中国古代数学的主要特征，使得数学更好地应用于生产生活。但数学发展的事实表明，这种理念对数学的发展也存在不利的方面。举一个例子，勾股定理是我们最为自豪的古代成果，我国古代对它的证明采用的都是割补面积的思想，正确与否也是“眼见为实”的。可是我们知道，勾股定理事实上更深层次上反映的是三组数的一种特定关系，如果不能从这一层次上证明这一问题，勾股定理的意义只能仅仅停留在几何的层面上。而古希腊的毕达哥拉斯学派的证明，就是从三个数的关系上证明的（仅限于自然数），证明是深刻的，是现代意义上的证明，促是必修模块数学3中的内容之一。它既是高中数学的新增内容，又具有较强的应用性。其教学的安排具有如下特点：
（1）算法思想是贯穿高中课程的一条主线，算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。
（2）在课程设计中算法分为两部分，一部分是介绍算法的基本思想和基本知识。另一部分是把算法思想渗透到高中课程的其它内容中。
而我国的古代数学是建立在算法基础之上的。一切结论只是通过算法来说明，是一种典型的算法体系。这可以从中国古代数学家的著作中看出端倪，其中最具代表性的就是《九章算术》。
《九章算术》是中国古代数学专著，就其成就来说堪称是世界数学名著。它承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。其内容按类分章，以数学问题的形式出现，共收有 246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。
§1 算法的基本思想(1)
§1 算法的基本思想(1)算法是一个解决问题的有序步骤集合。
它是计算机科学的核心概念，是计算机程序设计的基础。
一个良好的算法必须是可行的、有效的和正确的。
在设计算法的过程中，需要考虑不同的问题，包括可行性、效率、可读性、安全性、可维护性等。
算法的核心思想是分治思想和动态规划思想。
分治算法将问题分解成较小的问题，然后逐步解决，最终得出解决方案。
例如，在排序问题中，可以将一个大集合的数据分成两个集合，分别进行排序，最后将它们合并到一起。
分治思想可以帮助解决很多计算机科学中的难题，例如图形处理、网络优化等。
动态规划思想将问题分成许多具有重复子问题的子问题，然后逐步解决它们。
例如，在找到最长公共子序列中，可以将该问题分成更小的子问题，并将每个子问题的最佳答案存储起来。
这些最佳答案最终组成了完整的解决方案。
动态规划思想可以帮助解决很多需要递归求解的问题，例如钢条切割问题、矩阵链乘法问题等。
除了分治思想和动态规划思想外，算法还有一些其他的核心思想。
例如，贪心算法思想通过在问题的每个阶段选择最好的解决方案来得到最终的最优解。
回溯算法思想通过在所有可能的解决方案中搜索到非最优解决方案，直到找到最终的最优解。
遗传算法思想则是使用生物进化理论来设计最优解的算法。
另外，算法还有许多具体的技术和数据结构。
例如排序算法、图形算法、搜索算法、字符串算法、树算法、动态图形算法等。
每一种算法和数据结构都有其特定的性质和用法。
算法和数据结构之间的调用关系也是算法设计的重点之一。
总之，算法是计算机科学的核心概念，其基本思想是分治和动态规划。
算法的重点包括可行性、有效性和正确性，并考虑了可读性、安全性、可维护性等因素。
算法和数据结构相互影响，任何一个需要数据结构作为前提，并且算法的正确性和效率也与所用的数据结构密切相关。
常用算法 枚举 排序 查找
常用算法枚举排序查找常用的算法思想包括枚举、排序和查找等多种方法。
具体如下：1. 枚举：这是一种基础的算法思想，通常用于解决问题的所有可能情况数量不多时。
枚举算法会尝试每一种可能性，直到找到问题的解。
这种方法简单直接，但效率不高，尤其是在解空间很大时不太实用。
2. 排序：排序算法用于将一组数据按照特定的顺序进行排列。
常见的排序算法有：-选择排序：一种简单直观的排序算法，工作原理是在未排序序列中找到最小（或最大）的元素，存放到排序序列的起始位置，然后再从剩余未排序元素中继续寻找最小（或最大）元素，放到已排序序列的末尾，如此反复，直至所有元素均排序完毕。
选择排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)，并且它是一种不稳定的排序方法。
-冒泡排序：通过重复交换相邻逆序的元素来实现排序，时间复杂度同样为O(n^2)，空间复杂度为O(1)，是稳定的排序方法。
-快速排序：采用分治策略来把一个序列分为两个子序列，适用于大数据集合，平均时间复杂度为O(nlogn)。
-归并排序：也是一种分治算法，它将待排序序列分为两个半子序列，分别对其进行排序，最后将有序的子序列合并成整个有序序列，时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度较高。
-堆排序：利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法，时间复杂度为O(nlogn)。
3. 查找：查找算法用于在数据集合中寻找特定的数据。
常见的查找算法有：-顺序查找：从数据集的一端开始逐个检查每个元素，直到找到所需的数据或者检查完所有数据。
-二分查找：在有序的数据集中通过不断将查找区间减半来定位数据，时间复杂度为O(logn)。
-哈希查找：通过哈希函数将关键字映射到哈希表中的位置来实现快速查找，理想情况下时间复杂度接近O(1)。
总的来说，这些算法都是计算机科学中的基础内容，它们各自有不同的应用场景和性能特点。
在解决实际问题时，选择合适的算法对于提高效率和程序性能至关重要。
算法总结---最常用的五大算法（算法题思路）
算法总结---最常⽤的五⼤算法（算法题思路）算法总结---最常⽤的五⼤算法（算法题思路）⼀、总结⼀句话总结：> 【明确所求：dijkstra是求点到点的距离，辅助数组就是源点到⽬标点的数组】> 【最简实例分析：⽐如思考dijkstra：假设先只有三个点】1、贪⼼算法是什么？> 当前看来最好的选择> 局部最优解> 可能得到整体最优解或是最优解的近似解贪⼼算法（⼜称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
贪⼼算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当⼴泛的许多问题他能产⽣整体最优解或者是整体最优解的近似解。
2、贪⼼算法实例？> 求最⼩⽣成树的Prim算法：【边集中依次选取那些权值最⼩的边】> 求最⼩⽣成树的Kruskal算法：【和求最短路径有点相似：不过这⾥是求两个集合之间的距离】：【⼀维中间数组记录到当前已经选择顶点的最短距离】：【⼆维表记录每个点到每个点的最短距离】> 计算强连通⼦图的Dijkstra算法：【和最⼩⽣成树Kruskal类似】【⼆维表记录每个点到每个点的最短距离】【明确所求：dijkstra是求点到点的距离，辅助数组就是源点到⽬标点的数组】【每次从辅助数组中选择最⼩的，⽤选出的点来更新辅助数组】【最简实例分析：⽐如思考dijkstra：假设先只有三个点】> 构造huffman树的算法：【每次都选取权值⼩的两个点合成⼆叉树】Kruskal算法简述在带权连通图中，不断地在边集合中找到最⼩的边，如果该边满⾜得到最⼩⽣成树的条件，就将其构造，直到最后得到⼀颗最⼩⽣成树。
假设 WN=(V,{E}) 是⼀个含有 n 个顶点的连通⽹，则按照克鲁斯卡尔算法构造的过程为：先构造⼀个只含 n 个顶点，⽽边集为空的⼦图，若将该⼦图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是⼀个含有 n 棵树的⼀个森林。
五大常用算法资料课件
02
搜索算法
线性搜索
最基础的搜索算法，逐个元素进行查找。
线性搜索是一种最基本的搜索算法，它从数据结构的一端开 始，逐个检查每个元素，直到找到目标元素或检查完所有元 素为止。线性搜索的时间复杂度为O(n)，其中n为数据结构 中元素的数量。
二分搜索
在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。
二分搜索是一种高效的搜索算法，它适用于有序数组。在 每一步迭代中，算法将数组分为两半，并排除一半的元素 ，从而缩小搜索范围。二分搜索的时间复杂度为O(log n) ，其中n为数组中元素的数量。
要点一
总结词
二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法， 它将数组分成两半，比较中间元素与目标值，如果中间元 素等于目标值则查找成功，如果目标值小于中间元素则在 前半部分数组中继续查找，如果目标值大于中间元素则在 后半部分数组中继续查找。
要点二
详细描述
二分查找的主要思想是将数组分成两半，比较中间元素与 目标值，如果中间元素等于目标值则查找成功，如果目标 值小于中间元素则在前半部分数组中继续查找，如果目标 值大于中间元素则在后半部分数组中继续查找。这个过程 递归进行，直到找到目标值或搜索区间为空。二分查找的 时间复杂度为O(logn)，是一种高效的搜索算法。
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哈希搜索
通过哈希函数将关键字直接映射到数 据结构中的位置进行查找的算法。
VS
哈希搜索利用哈希函数将关键字转换 为数据结构中的位置，从而快速定位 目标元素。哈希搜索的时间复杂度取 决于哈希函数的设计和冲突解决策略 ，通常情况下为O(1)或O(log n)。
03
图算法
Dijkstra算法
• Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的图算法。
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法迭代法是一种常见的算法设计方法，它通过重复执行一定的操作来逐步逼近问题的解。
迭代法是一种简单有效的求解问题的方法，常用于求解数值问题、优化问题以及函数逼近等领域。
本文将介绍迭代法的基本概念、原理以及常见的应用场景。
一、迭代法的基本概念迭代法的思想是通过反复应用一些函数或算子来逐步逼近问题的解。
对于一个需要求解的问题，我们首先选择一个初始解或者近似解，然后通过不断迭代更新来逼近真实解。
迭代法的核心是找到一个递推关系，使得每次迭代可以使问题的解越来越接近真实解。
常见的迭代法有不动点迭代法、牛顿迭代法、梯度下降法等。
这些方法的求解过程都是基于迭代的思想，通过不断逼近解的过程来得到问题的解。
二、迭代法的原理迭代法的基本原理是通过不断迭代求解迭代方程的解，从而逼近问题的解。
迭代法的求解过程通常分为以下几个步骤：1.选择适当的初始解或者近似解。
初始解的选择对迭代法的收敛性和效率都有影响，一般需要根据问题的特点进行合理选择。
2.构建递推关系。
通过分析问题的特点，构建递推关系式来更新解的值。
递推关系的构建是迭代法求解问题的核心，它决定了每次迭代如何更新解的值。
3.根据递推关系进行迭代。
根据递推关系式，依次更新解的值，直到满足收敛条件为止。
收敛条件可以是解的变化小于一定阈值，或者达到一定的迭代次数。
4.得到逼近解。
当迭代停止时，得到的解即为问题的逼近解。
通常需要根据实际问题的需求来判断迭代停止的条件。
三、迭代法的应用迭代法在数值计算、优化问题以及函数逼近等领域有广泛的应用。
下面将介绍迭代法在常见问题中的应用场景。
1.数值计算：迭代法可以用于求解方程的根、解线性方程组、求解矩阵的特征值等数值计算问题。
这些问题的解通常是通过迭代的方式逼近得到的。
2.优化问题：迭代法可以应用于各种优化问题的求解，如最大值最小化、参数估计、模式识别等。
迭代法可以通过不断调整参数的值来逼近问题的最优解。
3.函数逼近：迭代法可以应用于函数逼近问题，通过不断迭代来逼近一个函数的近似解。
算法中的枚举法
算法中的枚举法1. 什么是枚举法？枚举法（Enumeration）是一种常用的算法思想，也是计算机科学中最基本、最直接的算法之一。
它通过穷举所有可能的解空间，逐个检验每个解是否符合问题要求，从而找到问题的解。
在计算机科学中，枚举法通常用来解决那些问题空间较小、规模较小的情况。
它适用于那些可以通过穷举所有可能性来找到解决方案的问题。
2. 枚举法的基本思想枚举法的基本思想是通过遍历所有可能的解空间，依次检查每个解是否满足问题要求。
具体步骤如下：1.确定问题的解空间：首先需要确定问题的解空间，即所有可能成为问题解答的集合。
2.遍历解空间：使用循环结构遍历解空间中所有可能的值。
3.检验每个值是否满足问题要求：对于每个值，需要进行一系列判断和条件测试，以确定其是否符合问题要求。
4.找到满足要求的值：如果某个值满足了所有条件和要求，则认为它是问题的解。
5.输出解：将满足要求的值输出作为问题的解答。
3. 枚举法的应用场景枚举法适用于那些问题空间较小、规模较小的情况。
常见的应用场景包括：•寻找最优解：通过枚举所有可能的解，找到最优解或者近似最优解。
例如，在旅行商问题中，可以通过枚举所有可能的路径来找到最短路径。
•判断问题是否有解：通过枚举法可以判断某个问题是否有解。
例如，在数独游戏中，可以通过穷举所有可能的数字组合来判断是否存在可行解。
•穷举搜索：对于一些小规模问题，使用穷举法可以快速找到所有可能的解。
例如，在密码破译中，可以通过穷举法尝试所有可能的密码组合。
4. 枚举法的优缺点4.1 优点•直观易懂：枚举法是一种直接遍历所有可能性的方法，思路清晰，易于理解和实现。
•可靠性高：由于枚举法会遍历所有可能性，并逐个检验每个值是否符合要求，因此能够保证找到满足条件的解（如果存在）。
4.2 缺点•效率低：由于枚举法需要遍历所有可能的解空间，当问题规模较大时，计算量会非常大，效率较低。
•穷举所有情况：枚举法会穷举所有可能的解空间，包括那些明显不符合要求的解。
递推和递归
递推和递归
递推和递归都是计算机科学中常用的算法思想。
递推是一种通过已知值求解未知值的算法，通常是从已知值开始，根据已知值和某种递推公式，依次计算出未知值。
递推算法通常使用循环结构实现，适用于求解数列、斐波那契数列等问题。
例如，斐波那契数列的递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。
通过递推公式和已知值F(0) 和F(1)，可以依次计算出F(2)、F(3)、F(4) 等未知值。
递归是一种通过调用自身函数来解决问题的算法，通常用于解决复杂的问题，例如树的遍历、图的搜索等问题。
递归算法通常使用函数的递归调用来实现，适用于求解具有递归结构的问题。
例如，计算n! 的递归函数可以定义为：factorial(n) = n * factorial(n-1)，其中factorial(0)=1。
通过递归调用factorial 函数，可以依次计算出n! 的值。
需要注意的是，递推和递归都需要考虑边界条件和递归深度等问题，否则可能会导致程序出现栈溢出等错误。
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3.3.2 寻找给定区间的素数
【实例3-3】寻找[1，100]之间的素数。 分析： 解决这个问题最简便的方法就是使用穷举法。在[1， 100]中对每一个整数进行判断，看它是不是素数。在这里， 问题的解空间自然就是[1，100]中的全部整数，因为不会有 任何一个解超出这个范围，同时该解空间构成的集合元素是 可列有限的。算法描述如下： for(i=1;i<=100;i++) if (i是素数) 输出i ; 判断一个数是否是素数的算法描述在3.2节中已详细介 绍，这里不再赘述。
3.3.3 TOM的借书方案
【实例3-4】TOM共有5本新书，要借给A,B,C三位同学， 每人只能借1本书，则TOM可以有多少种不同的借书方法。 分析： 这个问题仍然可以用穷举法轻松地解决。假设TOM的5本 书编号为{1，2，3，4，5}，每个同学可能借到的书的范围就 限定在{1，2，3，4，5}之中。因此TOM借书给3位同学的组合 方案不可能超过53=125种。由这125种借书方案构成的解空间 可描述为{(x1,x2,x3)|1≤xi≤5,且xi∈R}，该解空间是由3个各包 含5个元素（图书编号）的集合排列组合而成。应用穷举法在 该空间中搜索答案。
3.6.2 四皇后问题求解
【实例3-9】应用回溯法的思想求解四皇后问题。 分析： 上面一节中已经详细介绍了回溯法解决四皇后问题的 基本过程。在这里将给出具体的算法描述和程序清单。 其实在解决四皇后问题时，并不一定要真的构建出这 样一棵解空间树，它完全可以通过一个递归回溯来模拟。所 谓解空间树只是一个逻辑上的抽象。当然也可以用树结构来 真实地创建出一棵解空间树，不过那样会比较浪费空间资源 。
3.5.2 最优装船问题
【实例3-8】有一批集装箱要装入一个载重量为C的货船 中，每个集装箱的重量由用户自己输入指定，在货船的装载体 积不限的前提下，如何装载集装箱才能尽可能多地将集装箱装 入货船中。 分析： 这个问题可以用贪心算法求得最优解。只要每次装船时 ，采取重量最轻的集装箱先装船的策略，就可以得到最优装船 问题的一个最优解。
3.7.2 计算定积分
【实例3-10】设f(x)=1-x2，计算定积分：的值。 分析： 函数f(x)=1-x2的在[0，1]上的图像如图3-16所示。
图3-16 函数f(x)=1-x2的在[0，1]上的图像 要计算的定积分值的几何含义就是图中阴影部分的面积 。可以试想，如果随机地向图中虚线与x，y坐标轴所围成的正 方形中投点，那么根据几何概率的知识可知，随机点落入阴影 区域的概率即为阴影部分的面积与虚线与x，y坐标轴所围成的 正方形的面积之比。
3.4 递归与分治思想
递归与分治的算法思想往往是相伴而生的，它们在各 类算法中使用非常频繁，应用递归和分治的算法思想有时可 以设计出代码简洁且比较高效的算法来。本章将详细介绍递 归与分治的算法思想。
3.4.1 基本概念
在解决一些比较复杂的问题，特别是解决一些规模较大 的问题时，我们常常将问题进行分解。具体来说，就是将一个 规模较大的问题分割成规模较小的同类问题，然后将这些小的 子问题逐个加以解决，最终也就将整个大的问题解决了。这种 分而治之的思想称作分治的思想。在解决一些问题比较复杂、 计算量庞大的问题时经常被用到。 一个最为经典的使用分治思想设计的算法就是第二章中 介绍过的“折半查找算法”。折半查找算法利用了元素之间的 顺序关系（有序序列），采用分而治之的策略，不断缩小问题 的规模，每次都将问题的规模减小至上一次的1/2。采用顺序 查找的方法对关键字进行搜索的时间复杂度为O(n)，而采用折 半查找方法的时间复杂度仅为O(log2n)。
3.2算法能的测评
3.3 穷举法思想
穷举法(Exhaustive Attack method)，又称为强力法(Bruteforce method)，它是一种最为直接，实现最为简单，同时又最为 耗时的一种解决实际问题的算法思想。本节将详细介绍穷举法的 算法思想。
第三章 常用的算法思想
对于计算机科学而言，算法(Algorithm)是一个非常重 要的概念。它是程序设计的灵魂，它是将实际问题同解决该 问题的计算机程序建立起联系的桥梁。可以这样讲，我们在 编写任何一个计算机程序时（无论使用什么编程语言），都 不可回避地进行算法的设计。本章将重点介绍算法的基本概 念，以及一些常用的算法思想。
3.5 贪心算法思想
贪心算法的思想非常简单而且算法效率很高，在一些 问题的解决上有着明显的优势。本章将详细介绍贪心算法的 基本思想。
3.5.1 基本概念
所谓贪心算法，就是总是做出在当前看来是最好的选 择的一种方法。以上述的找零钱为例，为了找给顾客的硬币 数量最少，在选择硬币的面值时，当然是尽可能地选择面值 大的硬币。因此严格意义上讲，要使用贪心算法求解问题， 该问题应当具备以下性质。 （1）贪心选择性质： （2）最优子结构性质：
3.3.1 基本概念
穷举法算法的基本思想是：在可能的解空间中穷举出 每一种可能的解，并对每一个可能解进行判断，从中得到问 题的答案。 使用穷举法思想解决实际问题，最关键的步骤是划定 问题的解空间，并在该解空间中一一枚举每一个可能的解。 这里有两点需要注意。一是解空间的划定必须保证覆盖问题 的全部解。如果解空间集合用H表示，问题的解集用h表示 ，那么只有当时，才能使用穷举法求解。二是解空间集合及 问题的解集一定是离散的集合，也就是说集合中的元素是可 列的、有限的。
3.1 什么是算法
一个程序往往要包含两个方面的描述，一是对数据组 织的描述；一是对程序操作流程的描述。对数据组织的描述 主要是指定数据的类型和数据的组织形式（例如数组），称 作数据结构（data structure），在下一节将会讲到。对程 序操作流程的描述就是程序的操作步骤，也本节所要介绍的 所谓算法（algorithm）。正如Nikiklaus Wirth提出的公式 ： 数据结构+算法=程序 一样，算法是一个程序中不可缺少的一部分。如果把 一个可运行的程序比喻成一个具有生命的人，那么数据结构 就是这个人的躯体，而算法则是这个人的灵魂或者说精神。 所谓算法，广义地讲就是解决问题的方法和过程。
3.7 数值概率算法
在解决实际问题时，有时会用到所谓的概率算法。概 率算法允许在执行过程中随机地选择下一步的计算步骤，因 此使用概率算法有时会大大地提高算法的效率，但有时也可 能得不到问题的全部答案。
3.7.1 基本概念
概率算法大致分为四类：数值概率算法，蒙特卡洛 (Monte Carlo)算法，拉斯维加斯(Las Vegas)算法，和舍伍 德(Sherwood)算法。这里只介绍最为基础的数值概率算法。 数值概率算法常应用于解决数值计算的问题。应用数值 概率算法往往只能得到问题的近似解，并且该近似解的精度 一般随着计算时间的增加而不断提高。因为在一些数值问题 中，不可能也没有必要计算出问题的精确解（例如：计算无 理数π的取值等），因此，在解决一些数值计算的问题时， 数值概率算法常能派上用场。
3.6 回溯法
回溯法是一种非常有效，适用范围相当广泛的算法设 计思想。许多复杂的问题，规模较大的问题都可以使用回溯 法求解。因此回溯法又有“通用解题方法”的美称。本章将 详细介绍回溯法的算法思想。
3.6.1 基本概念
回溯法的基本思想是：在包含问题的所有解的解空间 树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解 空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问 题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去；如果该 结点不包含问题的解，那就说明以该结点为根结点的子树一 定不包含问题的最终解，因此要跳过对以该结点为根的子树 的系统探索，逐层向其祖先结点回溯。这个过程叫做解空间 树的“剪枝”操作。 如果应用回溯法求解问题的所有解，要回溯到解空间 树的树根，这样根结点的所有子树都被探索到才结束。如果 只要求解问题的一个解，那么在探索解空间树时，只要搜索 到问题的一个解就可以结束了。
3.4.2 计算整数的划分数
【实例3-6】将一个正整数n表示成一系列的正整数之
和： 被称作正整数n的一个划分。一个正整数n可能存在着 不同的划分，例如正整数6的全部的划分为： 6=6 6=5+1 6=4+2 6=4+1+1 6=3+3 6=3+2+1 6=3+1+1+1 6=2+2+2 6=2+2+1+1 6=2+1+1+1+1 6=1+1+1+1+1+1
3.4.3 递归的折半查找算法
【实例3-7】有一个数组A[10]，里面存放了10个整数， 顺序递增。 A[10] = {2,3,5,7,8,10,12,15,19,21} 任意输入一个用数字n，用折半查找法找到n位于数组中 的位置。如果n不属于数组A，显示错误提示。要求用递归的 方法实现折半查找。 分析： 在第二章中曾详细地介绍过折半查找的算法，它是一种 针对有序序列（或文件记录）的高效的查找算法。折半查找 的基本思想是：减小查找序列的长度。它的查找过程是：先 确定待查找记录的所在的范围，然后逐渐缩小查找的范围， 直至找到该记录为止（也可能查找失败）。因此它也是一种 基于分治的算法思想设计出来的查找算法。