弯曲变形 PPT课件

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再分为两种载荷。 由p. 188 表6.1 中的4
ql 4 vC1 = 8EI ql 3 C1 = 6EI
由p. 224 表6.1 中的4
4 ql q(l /2) = = , 128EI 8EI
4 3
vB2
B2
q(l/2) = 6EI
ql 3 = 4834 EI
由p. 188 表6.1 中的4
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例 3 (书例6.5) 已知：P1 , P2 , a, l, EI = 常数。 求：vC, B。 解：简化为外伸 梁如图。 将AC梁分为两 个部分。 简支梁在B处的 内力: Q=P 1
M =P 1a
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将AC梁分为两 个部分。 简支梁在B处的 内力: Q=P 1
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由表6.1 中的6
= vC3 = 16EI 16EI ql 3 ml = B3 = 3EI 3EI
叠加
ml 2
ql4
11ql4 vC = vC1 vC2 vC3 = 384EI
B =B1 B2 B3=
11ql3 48EI
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例2 已知： q , l , EI = 常数。 求：vC, C。 解： 表中没有对应 的情况。 方法：凑成表中相 应的情况。 再分为两种载荷。 由p. 188 表6.1 中的4
1
(3) 确定积分常数
连续条件
v1 (a) =v2 (a) v1(a) =v2(a) C1 =C2, D1 = D2
边界条件 x1 =0时, v1 =0;
x2 =l 时,
v2 =0
代入相应的方程，得: D1 = D2 =0
Pb (l 2 2 b ) C1 =C2 = 6l
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边界条件 x1 =0时, v1 =0;
l2 b2 x0 = 3
Pb 2 2 3 ( l b ) fmax = 9 3EIl
经讨论知，不论P力作用在何处，最大挠度总发 生在中点附近(或中点)。所以可近似地以中点的 21 挠度作为最大挠度。
关于确定积分常数 本例中 (书例6.3)
书上 p. 222: 采取了一些措施
(1) 列弯矩方程
dv 1 dx
方程中正负号的确定
d v M(x) ± 2 = dx EI
2
8
挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下，
dv 1 dx
方程中正负号的确定 所以方程中 应取正号。
d 2 v M(x) ± 2 = dx EI
d v M(x) = 2 dx EI
2
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挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下，
dv wenku.baidu.com1 dx
方程中正负号的确定
d v M(x) ± 2 = dx EI
2
方程中应取正号。
转角:
d2v M(x) = dx 2 EI dv tan = dx
注意: 挠曲线的近似微分方程仅适用于小变形的 10 平面弯曲问题。
§6. 3 用积分法求弯曲变形
d v M(x) 挠曲线近似微分方程 = 2 dx EI
1 M(x) = (x ) EI
由高等数学公式
d2 v ± 2 1 dx = 3/2 2 (x ) dv 1 dx
6
1 = M(x) , (x ) EI
d2v ± dx 2
1 = 3/2 (x ) 2 dv
d2 v ± dx 2
(4) 求最大转角和最大挠度
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(4) 求最大转角和最大挠度 最大转角
由图，最大转角 可能发生在A点 或B点。
Pb(l 2 b 2) A = 6EIl Pab(l b) = 6EIl
最大挠度
Pab(l a) B = 6EIl
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最大挠度 经分析，最大挠 度发生在AC段。
令： v1 =0
4
梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时，是一条平面曲线。
挠度 横截面形心沿y方向 的位移，用v表示。
转角 变形后，横截面相对其原来位置转过的角度。 用 表示。转角 以逆时针为正。 v = f (x) 挠曲线方程
转角即为挠曲线在该点的切线与x轴的夹角。
dv tan = dx
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2 挠曲线的微分方程 上一章中，已得到：忽略剪力对变形的影响时， 梁对称弯曲时的曲率为
例1 已知： q , l , EI = 常数。 求：vC, B。 解：分解为三个 简单载荷。
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由p. 224 表6.1 中的10
5ql 4 vC1 = 384EI ql3 B1 = 24EI
由表6.1 中的8
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由p. 224 表6.1 中的10
5ql 4 vC1 = 384EI ql 3 B1 = 24EI
vB2
ql q(l /2) q(l/2) = = , B2 = 128EI 8EI 6EI
4
4
3
ql 3 = 48EI
注意，变形后 BC为直线。
vC2 = vC21 vC22
= vB2 B2 l /2
ql ql l 7ql = = 128EI 48EI 2 384EI
4
3
4
ql3 C2 =B2= 48EI
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(2) 列近似微分方程，积分
Pb AC段： EIv1 = x1 l Pb 1 2 Pb 1 3 EIv1 = x1 C1 , EIv1 = x1 C1x1 D1 l 2 l 6 Pb CB段： EIv2 = x2 P(x2 a) l Pb 1 x22 1 2 P (x2 a) C2 EIv2 = l 2 2 Pb 1 x23 1 3 P (x2 a) C2x2 D2 EIv2 = l 6 6
材 料 力 学
第六章
弯 曲 变 形
南京航空航天大学 陶秋帆等
1
第六章 弯曲变形
本章内容: 1 工程中的弯曲变形问题 2 挠曲线的微分方程 3 用积分法求弯曲变形 4 用叠加法求弯曲变形 5 简单静不定梁 6 提高弯曲刚度的一些措施
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§6. 1 工程中的弯曲变形问题
对梁除了有强度要求外，还有刚度要求。
中间铰处，挠度连续，转角不连续。
f
max []
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例 2 (书例6.3) 已知：简支梁 受集中力作用。 求：转角和挠 曲线方程。 解： (1) 求支反力，列弯矩方程
Pb 支反力 , RA = l 弯矩方程 Pb AC段： M1 = x1 l
Pa RB = l (0 x1 a)
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(1) 求支反力，列弯矩方程
x2 =l 时,
v2 =0
代入相应的方程，得: D1 = D2 =0
将求得的积分常数代回方程，得:
Pb (l 2 2 b ) C1 =C2 = 6l
Pb 2 2 2 AC段： EIv1 = (l b 3x1 ), 6l Pbx 1 2 2 2 (l b x1 ) EIv1 = 6l Pb 2 2 2 3l b 3x2) CB段： EIv2 = [(l (x2 a)2] 6l b
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将求得的积分常数代回方程，得:
Pb 2 2 2 AC段： EIv1 = (l b 3x1 ), 6l Pbx1 (l 2 2 2 b x1 ) EIv1 = 6l Pb 2 2 2 3l 2 b 3x2) (x2 a) ] CB段： EIv2 = [(l 6l b Pb 2 2 2 l b 3x2)x2 (x2 a) ] EIv2 = [(l 6l b
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§6. 4 用叠加法求弯曲变形
叠加法 在第四章中，证明了在小变形的条件下，弯矩与 外载荷成线性关系，可用叠加法求弯矩图。
在线弹性小变形的条件下，得到挠曲线近似 微分方程
d 2 v M(x) = dx 2 EI
M(x) = M1(x)M2(x)
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这是一个线性的常微分方程。
设：
挠曲线近似微分方程
1 dx
2 dv 1 dx
3/2
M ( x ) = EI
这就是挠曲线的微分方程。
7
d2 v ± 2 M(x) dx = 3/2 2 EI dv 1 dx
挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下，
d 2 v M(x) = dx 2 EI
这是一个线性的常微分方程。 设：
2
M(x) = M1(x)M2(x)
d v1 = M1(x) , dx 2 EI
d v2 = M2(x) dx 2 EI
d v1 d v2 EI 2 dx dx 2
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2
则共同作用时： 2 d v EI 2 = M(x) = M1(x)M2(x) = EI dx d2 (v1v2) = EI dx2
2
2
则共同作用时： 2 d2 v d v1 EI d2v2 EI 2 = M(x) = M1(x)M2(x) = EI 2 2 d x dx dx d 2 (v1v2) = EI 2 v=v1v2 dx 即：共同作用下的挠度等于分别在M1(x) 、M2(x) 单独作用下的挠度的代数和。 综合以上讨论得到： 在线弹性小变形的条件下，外载荷与挠度 (力与 位移)成线性关系，可用叠加法计算梁的挠度。
Pb AC段： M1 = x1 l (0 x1 a) Pb CB段： M2 = x2 P(x2 a) l
(2) 列近似微分方程，积分
弯矩方程
(a x2 b)
Pb AC段： EIv1 = x1 l Pb 1 2 Pb 1 3 EIv1 = x1 C1 , EIv1 = x1 C1x1 D1 l 2 l 6
Pb Pb AC段：M1 = x1 CB段： M2 = x2 P(x2 a) l l
措施1 各段的坐标原点为同一点：左端点。 措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。
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关于确定积分常数 措施1 各段的坐标原点为同一点：左端点。 措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。 措施3 有分布载荷时，需将其延长到梁的右端， 并在延长部分加上等值反向的分布载荷。 措施4 有集中力偶时，采用 m(xi-ai)0 的形式。
由表6.1 中的8
vC2
B2
Pl 3 ql 4 = = 48EI 48EI Pl 2 ql 3 = = 16EI 16EI
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由表6.1 中的8
4 ql Pl3 = vC2 = 48EI 48EI 3 2 Pl ql = B2 = 16EI 16EI
由表6.1 中的6
ql 4 ml2 = vC3 = 16EI 16EI ml ql3 = B3 = 3EI 3EI
弯曲变形的对称点处
=v=0
连续条件
12 在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。
连续条件 在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。 D点和C点 的连续条件 各为什么？
v1D =v2D=0 C点： v2D =v3D ,
D点： 梁的刚度条件
1D =2D 2D 3D
[ f ], max
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vC2 = vC21 vC22 = vB2 B2 l /2 ql4 ql3 l 7ql4 = = 128EI 48EI 2 384EI 3 ql C2 =B2= 48EI
所以
vC = vC1 vC2 4 41ql = 384EI
7ql 3 C =C1C2= 48EI
大多数情况下，要求梁的变形不能过大； 一些特殊情况下，要利用弯曲变形。 求解静不定问题需要计算梁的变形。
§6. 2 挠曲线的微分方程
挠曲线 梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时，是一条平面曲线。
3
§6. 2 挠曲线的微分方程
1 基本概念
挠曲线 弯曲变 形的度量 挠度 横截面形 心沿y方向 的位移，用v表示。
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叠加法的基础 熟记简单载荷作用下的挠度和转角。 见教材 p. 224 表6.1 。 要求记住：1、2、4、6、8、10。 叠加法的两种类型 (1) 载荷叠加法 将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后， 进行叠加； (2) 变形叠加法 在内力不变的前提下，将梁分解(或刚化)为 几段，求出各段的变形，然后进行叠加。 27
积分一次，得
再积分一次，得
2
dv M ( x ) = dxC = dx EI
M(x) dxCxD v = dx EI
其中，C、D为积分常数，由边界条件确定。 边界条件
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边界条件
几种典型的边界条件 简支梁
v(0) =0, v(l) =0
悬臂梁
v(0) =0, v(0) =0