计算方法 插值法-Lagrange插值演示课件
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研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
有 s in 5 0 0 L 2 (5 0 ) 1 6 2 3 (1 8 0 )3 2 0 5 1 0 0 .0 0 0 7 6 7
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
2020/4/2
1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
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15
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
计算方法 插值法-Lagrange插值
点 x i，i = 0, 1, 2, … , n
上的插值多项式。
则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系
数
ai, i 0, 1, . . . ,n
由插值条
件 p(xi ) f(xi )，i = 0,1,2, … , n
可得:
n+1个未知数a0 , a1 ,…, an
an
x
n 0
an
1x
n1 0
l1(x)
(x (x1
x x
0 0
)(x )(x
1xx22))，l1(x
1)
1,
l1(x0 ) 0 ,
l1(x2) 0
l2(x)
(x (x 2
x x
0 0
)(x )(x
x1) ， 2 x1)
l2(x
2
)
1,
l2(x0 ) 0 ,
l2(x1) 0
y
1
y=l0(x)
y=l1(x)
x0
y1
x 3 1 x 1 2 1 (x 1)
1 3
3 1
2
f(1.5) p(1.5) 1.25
例2.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值
公式7 ,
求
的值
解：函数表 为
x149 y123
p2(x)
(x ( x0
x1)( x1)(
x x2 x0 x
) 2)
y
0
(x ( x1
线性插值基函数
或者写成：
lk (x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
上的插值多项式。
则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系
数
ai, i 0, 1, . . . ,n
由插值条
件 p(xi ) f(xi )，i = 0,1,2, … , n
可得:
n+1个未知数a0 , a1 ,…, an
an
x
n 0
an
1x
n1 0
l1(x)
(x (x1
x x
0 0
)(x )(x
1xx22))，l1(x
1)
1,
l1(x0 ) 0 ,
l1(x2) 0
l2(x)
(x (x 2
x x
0 0
)(x )(x
x1) ， 2 x1)
l2(x
2
)
1,
l2(x0 ) 0 ,
l2(x1) 0
y
1
y=l0(x)
y=l1(x)
x0
y1
x 3 1 x 1 2 1 (x 1)
1 3
3 1
2
f(1.5) p(1.5) 1.25
例2.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值
公式7 ,
求
的值
解：函数表 为
x149 y123
p2(x)
(x ( x0
x1)( x1)(
x x2 x0 x
) 2)
y
0
(x ( x1
线性插值基函数
或者写成：
lk (x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
计算方法 插值法Lagrange插值
x i，i = 0, 1, 2, … , n
上的插值多项式。 则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数
ai, i 0, 1, . . . ,n
由插值条件
p(xi ) f(xi )，i = 0,1,2, … , n
可得:
n+1个未知数a0 , a1 ,…, an
an
x
n 0
an1x
n1 0
(2.1)式为插值条件。 越简单越好
插值函数
y (x)
y=f(x)
a x0
x1 x2
xn b
目的：使得 y ( x) 近似等于f(x).
而误差函数
R(x) f(x) (x)
称为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间.
评论：
用 ( x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望 ( x)能
较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单 。
计算方法 (Numerical Analysis)
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
– 若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组 数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
B(x1, f(x1))
x0
x1
由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为
改写为
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0)
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
上的插值多项式。 则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数
ai, i 0, 1, . . . ,n
由插值条件
p(xi ) f(xi )，i = 0,1,2, … , n
可得:
n+1个未知数a0 , a1 ,…, an
an
x
n 0
an1x
n1 0
(2.1)式为插值条件。 越简单越好
插值函数
y (x)
y=f(x)
a x0
x1 x2
xn b
目的：使得 y ( x) 近似等于f(x).
而误差函数
R(x) f(x) (x)
称为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间.
评论：
用 ( x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望 ( x)能
较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单 。
计算方法 (Numerical Analysis)
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
– 若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组 数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
B(x1, f(x1))
x0
x1
由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为
改写为
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0)
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
《拉格朗日插值》PPT课件
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1, ,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 L an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1,L ,n
f (x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1,L , xn称插值节点 o这种求函数近似式的方法称为插值法 o 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1,L , n)的多项式曲 线y pn (x),当作曲线y f ( x)的近似曲线.如图所示 o
14
一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
15
一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
16
一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)
(0 , 1 ) 使得 ( ) 0
28
N次插值多项式8
注：
通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n i0
|
x
xi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f (n1)( x) 0 ,
L2 (x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L2 (x) L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
《拉格朗日插值法》课件
确定多项式的阶数
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
插值法与Lagrange插值课件 共28页PPT资料
n ( x xi ) i0 ( x j xi )
j0,1,2, ,n -------(7)
i j
n+1次多项式
令n1(x)(x x 0 )x ( x 1 ) (x x n )
则n1(xj)
( x j x 0 ) x j ( x 1 ) ( x j x j 1 ) x j ( x j 1 ) ( x j x n )
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
1
x0
x
2 0
x0n
V 1
x1
x12
x1n
n1 n
xi x j
(xj xi ) 0
i0 jபைடு நூலகம்1
1
xn
xn2
x
n n
由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解
定理1. 若插值xi节 xj点 (ij),则满足插值条件 P n (x i) y i i 0 ,1 ,2 , ,n--------(3)
比 如 多 项 式 函 数 P (x )使
P (x i) y i i 0 ,1 ,2 , ,n------(1) 并且P用 (x)近似代 f(x替 ) 这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函P(数 x)为函f(数 x)的插值函数
如果 P(x)为多项式,函 则数 称之为插值多 称点 xi ,i0,1,2,,n为插值节点 称区间 [a,b]为插值区间
其中 xi ,i0,1,2, ,n为插值节
y if(x i) i 0 ,1 ,2 , ,n
如 果 a x 0 x 1 x 2 x n b 为 区 间 [a ,b ]上 的 一 组 节 点
拉格朗日插值法PPT课件
lk (x)
x xk 1 xk xk 1
lk 1(x)
x xk xk 1 xk
Lagrange线性插值多项式为
L1(x) yklk (x) yk 1lk 1(x)
yk
x xk 1 xk xk 1
yk 1
x xk xk 1 xk
参见图
21
例 用Lagrange线性插值多项式求例 1中的f (175).
假设在区间[a,b]上f (x)的插值多项式为 Pn (x)
令
Rn (x) f (x) Pn (x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1, , n)上
Rn (xi ) f (xi ) Pn (xi ) 0 ,i 0,1, , n 因此Rn (x)在[a,b]上至少有 n 1个零点
设
Rn (x) K (x)n1(x)
第二章 插值法
1
第二章 插值法和最小二乘法
§ 2.1 引言
Ax b § 2.2 拉格朗日插值多项式
§ 2.3 差商与牛顿插值公式
a11
A
a21
an
1
§ §
§
aaan12222222...456三差分次aaa分段21nnn样n与低条等次距插插节值值点xi插值bi公式ijli1i1
lij
x
其中 n1(x) (x x0 )( x x1) (x xn ) K (x)为待定函数
Rn (x) f (x) Pn (x) K (x)n1(x)
25
f (x) Pn (x) K (x)n1(x) 0 若引入辅助函数 (t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t) 则有 (x) f (x) Pn(x) K(x)n1(x) 0
且 (xi ) f (xi ) Pn(xi ) K(x)n1(xi )
拉格朗日(Lagrange)插值
x0
18
x1 x2 利用 x0 = π , x1 = π L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 × 1 6 4 π / 6 π / 4 2 π / 4 π / 6 2 π sin 50 0 ≈ L1 ( 5 ) ≈ 0.77614 这里 f ( x) = sin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) 内插通常优于外插。 ) 18 内插通常优于外插。2选择 6 3 ( f (ξ x ) 而 1要计算的3x 所在的区间的x π )( x π ) , R1 ( x) = ( < sinξ x < 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。 sin 50° = 0.7660444… 0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
+1)
( n + 1) ! Nhomakorabeax
Rn ( x) =
(n + 1) !
∏( x x )
i i =0
注：
M n +1 n 作为误差估计上限。 将 ( n + 1)! ∏ | x x i | 作为误差估计上限。 i =0
通常不能确定 ξx , 而是估计
f ( n + 1 ) ( x ) ≤ M n + 1, x∈(a,b) ∈
这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 Lagrange插值多项式计算量大 注: 这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 过两点直线。 一次多项式插值 --- 过两点直线。 过三点抛物线。 二次多项式插值 --- 过三点抛物线。 则插值多项式不唯一 不唯一。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
18
x1 x2 利用 x0 = π , x1 = π L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 × 1 6 4 π / 6 π / 4 2 π / 4 π / 6 2 π sin 50 0 ≈ L1 ( 5 ) ≈ 0.77614 这里 f ( x) = sin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) 内插通常优于外插。 ) 18 内插通常优于外插。2选择 6 3 ( f (ξ x ) 而 1要计算的3x 所在的区间的x π )( x π ) , R1 ( x) = ( < sinξ x < 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。 sin 50° = 0.7660444… 0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
+1)
( n + 1) ! Nhomakorabeax
Rn ( x) =
(n + 1) !
∏( x x )
i i =0
注：
M n +1 n 作为误差估计上限。 将 ( n + 1)! ∏ | x x i | 作为误差估计上限。 i =0
通常不能确定 ξx , 而是估计
f ( n + 1 ) ( x ) ≤ M n + 1, x∈(a,b) ∈
这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 Lagrange插值多项式计算量大 注: 这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 过两点直线。 一次多项式插值 --- 过两点直线。 过三点抛物线。 二次多项式插值 --- 过三点抛物线。 则插值多项式不唯一 不唯一。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
【精品课件教案PPT】 第二讲 Lagrange插值共36页文档
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
36
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决教案PPT】 第二讲 Lagrange 插值
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
计算方法 插值法-Lagrange插值ppt课件
计算方法 (Numerical Analysis)
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
–若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组
现要求用线性函数p(x) ax 近b 似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p(x0 ) f (x0 )，p(x1) f (x1)
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f (x0 )) B(x1, f(x1))
的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
1 xn
x
2 0
…
x12 …
…
xn2 …
xn0
x1n
n i1
i1
(xi x j )
j0
x
n n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0 , a1, … , an 存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
lk ( x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
1 y l0 (x) y l1(x)
l0 (x) l1(x) 1
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
–若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组
现要求用线性函数p(x) ax 近b 似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p(x0 ) f (x0 )，p(x1) f (x1)
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f (x0 )) B(x1, f(x1))
的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
1 xn
x
2 0
…
x12 …
…
xn2 …
xn0
x1n
n i1
i1
(xi x j )
j0
x
n n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0 , a1, … , an 存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
lk ( x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
1 y l0 (x) y l1(x)
l0 (x) l1(x) 1
《Lagrange插值》课件
( j k 1, k 1);
( j k 1, k).
Lagrange插值多项式的构造
例如 : 求lk1( x)，
因它
有
两个零
点xk
及xk
，故可表
1
示
为
lk1 ( x) A( x xk )( x xk1 ), 其中A为待定系数，可由条件lk1( xk1 ) 1
定出
A
( xk1
xk
若在 a,b上用Ln( x)近似 f ( x)，则其截断误差 R（n x） f（x）Ln x，
被称为插值多项式的余项 关于插值余项估计有以下定理。
Lagrange插值余项与误差估计
定理2 设f (n)( x)在a, b上连续，f (n1)( x)在(a, b)内存在，
Ln( x)是满足条件Ln( x j )
从而 (t) 在[a,b]区间上有n 2个零点,由罗尔定理知:
'(t) 在(a,b)内至少有n 1个零点
''(t) 在(a,b)内至少有n个零点
(n1)(t) 在(a, b)内至少有1个零点
记 该零点为 (a,b),则有 (n1) ( ) f (n1) ( ) (n 1)! K( x) 0
L1( xk ) yk , L1( xk1) yk1.
yk
xk
y f (x)
y L1 ( x)
yk1
xk1
Lagrange插值多项式的构造
L1( x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )
( 点斜式),
L1( x)
x xk1 xk xk1
yk
x xk xk1 xk
yk1
5_1 Lagrange插值
证明： (利用Vandermonde 行列式论证)
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Q n (x)=P n (x)L n (x),则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
j=0
n
Ln(x)= li(x)yi i=0
当n=1时,为线性插值
当n=2时,为二次多项式插值(抛物线插值)
精选完整ppt课件
16
1．线性插值 (n=1)
f(x) (x1 ,y1) L1(x)
(x0 ,y0)
x0
x1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
精选完整ppt课件
20
§1 Lagrange Polynomial
注： 通常不能确定 x , 而是估计 , f(n1)(x)Mn1 x(a,b)
将
Mn n1
(n1)!i=0
|
xxi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f(n1)(x)0,
可知 Rn(x)0，即插值多项式对于次数 n 的多项 式是精确的。
sin 50 0
L2
(
5
18
)
0.76543
R 2 (x )= c 3 !o x (x s 6 )x ( 4 )x ( 3 ); 1 2 co x 2 s 3
0.0004R425180.00077sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Q n (x)=P n (x)L n (x),则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
j=0
n
Ln(x)= li(x)yi i=0
当n=1时,为线性插值
当n=2时,为二次多项式插值(抛物线插值)
精选完整ppt课件
16
1．线性插值 (n=1)
f(x) (x1 ,y1) L1(x)
(x0 ,y0)
x0
x1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
精选完整ppt课件
20
§1 Lagrange Polynomial
注： 通常不能确定 x , 而是估计 , f(n1)(x)Mn1 x(a,b)
将
Mn n1
(n1)!i=0
|
xxi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f(n1)(x)0,
可知 Rn(x)0，即插值多项式对于次数 n 的多项 式是精确的。
sin 50 0
L2
(
5
18
)
0.76543
R 2 (x )= c 3 !o x (x s 6 )x ( 4 )x ( 3 ); 1 2 co x 2 s 3
0.0004R425180.00077sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
Lagrange插值法.ppt
第1列是病人编号，第2列是4种疗法的代码：
1 = 600mg zidovudine(齐多夫定) 与400mg
didanosine(去羟肌苷)按月轮换使用；
2 = 600mg zidovudine 加2.25mg zalcitabine(双脱
氧胞苷 )；
3 = 600mg zidovudine 加400mg didanosine；
4 = 600mg zidovudine 加400mg didanosine 加
400mg nevirapine(奈韦拉平 )。
第3列是病人年龄，第4列是测试CD4的时刻（周），第5列是
测得的CD4，取值log(CD4+1).
ID 疗法 年龄
时间 Log(CD4 count+1)
1 2 36.4271 0
第四章 插值与拟合
1/46
引例及问题综述
在生产和实验中，函数f (x)无表达式, 只知道f(x) 在一些给定点的函数值(或其导数值) ，或者其表达式 复杂不便于计算，此时我们希望建立一个简单而又便 于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x).
求近似函数(x)的方法一般分为两类: 一类是插值, 另一类是拟合.
CD40 0
第一组
20
40
时刻(周)
第二组
CD4(/mm3)
400 300 200 100
0 0
20
40
时刻(周)
计算方法四①
CD4浓度(/mm3)
60
400 300 200 100
0 0
60
8/46
第三组
20
40
60
时刻(周)
CD4/HIV
CD4/HIV
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(2.1)式为插值条件。 越简单越好
插值函数
y (x)
y=f(x)
a x0
x1 x2
xn b
目的：使得 y (x) 近似等于f(x).
而误差函数
R ( xf)(x)(x)
称为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间.
评论：
用 (x) 的值作为f(x)的近似值,不仅希望 (x) 能
较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单 。
B(x1, f(x1))
x0
x1
由解析几何知道,这条直线用点斜0 0(xx0)
p( xxx )0 xx11y0xx1 xx00y1
为了便于推广，记
推导
l0(
x)xx1, x0x1
l1(
x)xx0 x1x0
或者写成：
线性插值 基函数
lk( x)
1 j0
xxj , xk xj
anx0n an1x0n1 … a1x0 a0 f(x0) n+1
anx1n an1x1n1 … a1x1 a0 f(x1)
个方 程
…
anxnn an1xnn1 … a1xn a0 f(xn)
这是一个关于待定参数 a0,a1, … ,an的n+1阶线性
方程组，其系数矩阵行列式为
1 x0 x2 0 … xn 0
例2.1 已知 100 101， 21 1，1求 y 115
解:
x 100 121
y 10 11
利用线性插值
p( 1 x x ) 0 1 10 2 2 1 1 1 0 1 x 2 1 11 0 0 1 0 0 1
化简，得
p(x) 1 x110 21 21
于是：
y 11 5p(115 1)0.714
V 1 x1
x12
…
…
x1 n
n i1
i1
(xi xj)
j0
1 xn xn 2 … xn n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0,a1, … ,an存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
评论： 以上使用线性方程组求解系数ak (k=0,…,n)，
l1(x)((x 1 x x x0 0))((1x x xx22 ))， l1 (1 ) x 1 ,l1 (0 ) x 0 ,l1 (2 ) x 0 l2(x)((x2x x x0 0))((2x xxx1)1)，l2 (2 ) x 1 ,l2 (0 ) x 0 ,l2 (1 ) x 0
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。
以上这种插值法通常称为代数插值法。其几何意
义如下图所示:
y
y=p(x)为n次
多项式
y=f(x)
x0 x1 x2 xk
xn
x
问题：这样的多项式是否存在？
定理1 n次代数插值问题的解是存在且唯一的。
证明: 设n次多项式 P a ( n x n x a n 1 x ) n 1 … a 1 x a 0
的n次代数插值多项式：
P ( l0 ( x x 0 )l1 ) (y x 1 …) ly n (x n )y
由于每个插值基函数
lk ( x )0 ( k , … 1 ,n,)
都是n次多项式,所以他们的线性组合
n
P (x) lk(x)yk k0
是次数不超过n次的多项式 。
（2.8）
定义：称形如（2.8）式的插值多项式为n次拉格
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(0 x)1, l0(1 x)0 1 y l0(x) y l1(x) l1(0 x)0, l1(1 x )1
l0( x)l1( x) 1
即
x0
x1
1 ( ik) lk( xi) δki 0 ( ik)
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
p (x)l0(x0 ) yl1(x1 )y
值 f(0)xf,(1)x …, ,f(n)x 为已知,即 yi f(xi)。若存在 一个f(x)的近似函数 (x)，满足
(i) x fi( )x ( i1 …,,n 2) (,2.1)
在其它点x处就用 (x) 的值作为f(x)的近似值。
则称 (x) 为f(x)的一个插值函数，点xi为插值节点, 称
的抛物线 y P(x)用以近似计算 y f(x)
y=f(x)
y
y = L 2 (x)
y0
y1
x0
x1
y2 x
x2
P(x)的系数 a0, a1, a2直接由插值条件决定，即
a0, a1, a2 满足代数方程组：
可用于求2
aa00
a1x0 a1x1
a2x20 a2x12
y0 y1
次插值多项 式
朗日插值多项式。并记为 L n (x) 。
记: ω n 1 ( x ( x x ) 0 ) ( x 1 ) …x ( x x n )(2.10)
得其导数在xk 点的值为：
ω n 1 ( k ) x ( k x x 0 ) … ( k x x k 1 ) k ( x k 1 ) …x ( k x x n )
的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单 情形,然后再推广到一般形式。
（1）线性插值
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定 函数f(x)在两个互异的点的值，
y 0f ( 0 )x y ,1f ( 1 )x ,0x 1
现要求用线性函数p( xa) xb近似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p0 ()x f (0)x， p1 () xf (1)x
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f(x0)) B(x1, f(x1)) 的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
y=f(x) A(x0, f(x0))
P(x) = ax + b
由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的 优点。所以本章主要介绍利用代数多项式进行插 值，即代数插值。
定义：若存在一个次数不超过n次的多项式
P a ( n x n x a n 1 x ) n 1 … a 1 x a 0
使得满足：
P i)( f x i( )x ( i0, … 1 ,n,) 2
（2）抛物插值 抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插 值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的 函数值y0，y1，y2 要构造次数不超过二次的多项式
P( xa2 )x2a 1 xa0
使满足二次插值条件：
P(i)xyi (i0,1,2)
这就是二次插值问题。
其几何意义是用经过3个点
(0 x ,y 0 )(,1 x ,y 1 )(,2 x ,y 2 )
显然 l 0 (x ) 应该有以下的形式
l0 (x c )( x x 1 )(x 2 )
由 l0(x0) 1 确定系数
c
1
(x0 x1)(0xx2)
从而导出 l0(x)((x 0x x x1 1))((0 x xxx 2)2)
类似地可以构造出插值多项式 l1(x)和2l(x)
于是确定了3个抛物插值的基函数： l0(x)((x 0x x x1 1))((0 x xxx 2)2)， 0 (0 ) x l 1 ,l0 (1 ) x 0 ,l0 (2 ) x 0
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0 y1 y2 …… yn
y=f(x)
x0 x1 x2 x3
xn
问题：怎样 (近似)计算函数f(x)在[a, b]上的函数值呢？
一般插值法的基本概念
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0,x1, … ,xn
是[a, b]上取定的n+1个互异节点，且在这些点处的函数
y
1
y=l0(x)
y=l1(x)
x0
x1
y=l2(x) x
x2
3个抛物插值的基函数
取已知数据 y0, y1, y2作为线性组合系数,将基函数 l0(xl)1(,xl)2(, x线)性组合可得
P( x l0 () x 0 )l1 ( yx 1 )l2 ( yx 2)y
即
P ( ( ( 0 x x x x x 1 1 ) )0 ( ( x ) x 2 ) 2 ) x x y 0 ( ( 1 x x x x 0 0 ) )1 ( ( x x 2 2 ) ) x x y 1 ( ( 2 x x x 0 0 ) )2 ( ( x x 1 ) 1 ) x x y 2
以便获得多项式的方法复杂，不常用； 唯一性：不论用何种方法来构造，也不论用何
种形式来表示n次插值多项式,只要满足插值条 件(2.1)其结果都是相互恒等的； 即n次插值多项式P(x)是唯一的。
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Lagrange插值
§2 拉格朗日（Lagrange）插值
为了构造满足插值条件
pi()x f(i)x， 0 i ,1n,...
解: 由线性插值多项式公式得 p ( xx x )0 x x 1 1y0x x 1 x x0 0y1
x 3 1 x 1 21 (x 1 ) 1 3 3 1 2
f(1 .p 5()1.15.)2 5
例2.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式, 求 7 的值
是函数 y f(x) 在区间[a, b]上的n+1个互异节点
xi， i =01 ,2 ,… ,,n
上的插值多项式。
则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数
ai, i 0,1,...n,
由插值条件
pi) ( x f( i)x ， = 0i,1 … ,n ,2,
插值函数
y (x)
y=f(x)
a x0
x1 x2
xn b
目的：使得 y (x) 近似等于f(x).
而误差函数
R ( xf)(x)(x)
称为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间.
评论：
用 (x) 的值作为f(x)的近似值,不仅希望 (x) 能
较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单 。
B(x1, f(x1))
x0
x1
由解析几何知道,这条直线用点斜0 0(xx0)
p( xxx )0 xx11y0xx1 xx00y1
为了便于推广，记
推导
l0(
x)xx1, x0x1
l1(
x)xx0 x1x0
或者写成：
线性插值 基函数
lk( x)
1 j0
xxj , xk xj
anx0n an1x0n1 … a1x0 a0 f(x0) n+1
anx1n an1x1n1 … a1x1 a0 f(x1)
个方 程
…
anxnn an1xnn1 … a1xn a0 f(xn)
这是一个关于待定参数 a0,a1, … ,an的n+1阶线性
方程组，其系数矩阵行列式为
1 x0 x2 0 … xn 0
例2.1 已知 100 101， 21 1，1求 y 115
解:
x 100 121
y 10 11
利用线性插值
p( 1 x x ) 0 1 10 2 2 1 1 1 0 1 x 2 1 11 0 0 1 0 0 1
化简，得
p(x) 1 x110 21 21
于是：
y 11 5p(115 1)0.714
V 1 x1
x12
…
…
x1 n
n i1
i1
(xi xj)
j0
1 xn xn 2 … xn n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0,a1, … ,an存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
评论： 以上使用线性方程组求解系数ak (k=0,…,n)，
l1(x)((x 1 x x x0 0))((1x x xx22 ))， l1 (1 ) x 1 ,l1 (0 ) x 0 ,l1 (2 ) x 0 l2(x)((x2x x x0 0))((2x xxx1)1)，l2 (2 ) x 1 ,l2 (0 ) x 0 ,l2 (1 ) x 0
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。
以上这种插值法通常称为代数插值法。其几何意
义如下图所示:
y
y=p(x)为n次
多项式
y=f(x)
x0 x1 x2 xk
xn
x
问题：这样的多项式是否存在？
定理1 n次代数插值问题的解是存在且唯一的。
证明: 设n次多项式 P a ( n x n x a n 1 x ) n 1 … a 1 x a 0
的n次代数插值多项式：
P ( l0 ( x x 0 )l1 ) (y x 1 …) ly n (x n )y
由于每个插值基函数
lk ( x )0 ( k , … 1 ,n,)
都是n次多项式,所以他们的线性组合
n
P (x) lk(x)yk k0
是次数不超过n次的多项式 。
（2.8）
定义：称形如（2.8）式的插值多项式为n次拉格
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(0 x)1, l0(1 x)0 1 y l0(x) y l1(x) l1(0 x)0, l1(1 x )1
l0( x)l1( x) 1
即
x0
x1
1 ( ik) lk( xi) δki 0 ( ik)
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
p (x)l0(x0 ) yl1(x1 )y
值 f(0)xf,(1)x …, ,f(n)x 为已知,即 yi f(xi)。若存在 一个f(x)的近似函数 (x)，满足
(i) x fi( )x ( i1 …,,n 2) (,2.1)
在其它点x处就用 (x) 的值作为f(x)的近似值。
则称 (x) 为f(x)的一个插值函数，点xi为插值节点, 称
的抛物线 y P(x)用以近似计算 y f(x)
y=f(x)
y
y = L 2 (x)
y0
y1
x0
x1
y2 x
x2
P(x)的系数 a0, a1, a2直接由插值条件决定，即
a0, a1, a2 满足代数方程组：
可用于求2
aa00
a1x0 a1x1
a2x20 a2x12
y0 y1
次插值多项 式
朗日插值多项式。并记为 L n (x) 。
记: ω n 1 ( x ( x x ) 0 ) ( x 1 ) …x ( x x n )(2.10)
得其导数在xk 点的值为：
ω n 1 ( k ) x ( k x x 0 ) … ( k x x k 1 ) k ( x k 1 ) …x ( k x x n )
的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单 情形,然后再推广到一般形式。
（1）线性插值
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定 函数f(x)在两个互异的点的值，
y 0f ( 0 )x y ,1f ( 1 )x ,0x 1
现要求用线性函数p( xa) xb近似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p0 ()x f (0)x， p1 () xf (1)x
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f(x0)) B(x1, f(x1)) 的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
y=f(x) A(x0, f(x0))
P(x) = ax + b
由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的 优点。所以本章主要介绍利用代数多项式进行插 值，即代数插值。
定义：若存在一个次数不超过n次的多项式
P a ( n x n x a n 1 x ) n 1 … a 1 x a 0
使得满足：
P i)( f x i( )x ( i0, … 1 ,n,) 2
（2）抛物插值 抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插 值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的 函数值y0，y1，y2 要构造次数不超过二次的多项式
P( xa2 )x2a 1 xa0
使满足二次插值条件：
P(i)xyi (i0,1,2)
这就是二次插值问题。
其几何意义是用经过3个点
(0 x ,y 0 )(,1 x ,y 1 )(,2 x ,y 2 )
显然 l 0 (x ) 应该有以下的形式
l0 (x c )( x x 1 )(x 2 )
由 l0(x0) 1 确定系数
c
1
(x0 x1)(0xx2)
从而导出 l0(x)((x 0x x x1 1))((0 x xxx 2)2)
类似地可以构造出插值多项式 l1(x)和2l(x)
于是确定了3个抛物插值的基函数： l0(x)((x 0x x x1 1))((0 x xxx 2)2)， 0 (0 ) x l 1 ,l0 (1 ) x 0 ,l0 (2 ) x 0
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0 y1 y2 …… yn
y=f(x)
x0 x1 x2 x3
xn
问题：怎样 (近似)计算函数f(x)在[a, b]上的函数值呢？
一般插值法的基本概念
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0,x1, … ,xn
是[a, b]上取定的n+1个互异节点，且在这些点处的函数
y
1
y=l0(x)
y=l1(x)
x0
x1
y=l2(x) x
x2
3个抛物插值的基函数
取已知数据 y0, y1, y2作为线性组合系数,将基函数 l0(xl)1(,xl)2(, x线)性组合可得
P( x l0 () x 0 )l1 ( yx 1 )l2 ( yx 2)y
即
P ( ( ( 0 x x x x x 1 1 ) )0 ( ( x ) x 2 ) 2 ) x x y 0 ( ( 1 x x x x 0 0 ) )1 ( ( x x 2 2 ) ) x x y 1 ( ( 2 x x x 0 0 ) )2 ( ( x x 1 ) 1 ) x x y 2
以便获得多项式的方法复杂，不常用； 唯一性：不论用何种方法来构造，也不论用何
种形式来表示n次插值多项式,只要满足插值条 件(2.1)其结果都是相互恒等的； 即n次插值多项式P(x)是唯一的。
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Lagrange插值
§2 拉格朗日（Lagrange）插值
为了构造满足插值条件
pi()x f(i)x， 0 i ,1n,...
解: 由线性插值多项式公式得 p ( xx x )0 x x 1 1y0x x 1 x x0 0y1
x 3 1 x 1 21 (x 1 ) 1 3 3 1 2
f(1 .p 5()1.15.)2 5
例2.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式, 求 7 的值
是函数 y f(x) 在区间[a, b]上的n+1个互异节点
xi， i =01 ,2 ,… ,,n
上的插值多项式。
则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数
ai, i 0,1,...n,
由插值条件
pi) ( x f( i)x ， = 0i,1 … ,n ,2,