3对偶问题与灵敏度分析
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－3y1+4y2－4y3＝-4 y1≥0,y2无限制,y3≤0
单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题
Max z=CX AX≤b X≥0
加上松弛变量XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m),化为标准型 Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
单纯形法的矩阵描述
设A中存在一可行基B，相应的变量可分为基变量XB 和非基变量XN，价值系数也分为CB,CN，即
A=(B,N)
X=(XB,XN)T C=(CB,CN)
Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
X
X B
( A,
I )
XS
(B,
N,
I )
XN XS
BXB
NXБайду номын сангаас
N
IXS
因而
BX B NX N IX S b
该线性规划问题与原问题互为对偶问题
max z=70x1+120x2 s.t. 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0
对偶的定义
(LP) Max z = CX (DP) Min w = Yb
s.t. AX ≤ b
s.t. YA ≥ C
X≥0
Y≥0
若一个问题的某约束为等式， 那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制； 反之， 若一个问题的某变量无非负限制， 那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题）
目标函数 min
m个
≥0
变
≤0
量
无约束
n个
约
≥
束
≤
条
=
件
目标函数变量的系数
约束条件右端项
建立对偶问题的规则
对于上表，特别把握以下要点：
max 约束条件
min 变量
右端项
s.t. -2y1+y2 ≥ 1 y1-y2 ≥ 1 y1,y2 ≥0
对偶问题显然无可行解！
定理3 （最优性定理）
若 X(0), Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可行解， 且 CX (0) = Y (0) b ，那么 X(0), Y(0)分别为（LP） 和（DP）的最优解
证明
定理4 （对偶定理）
令XN=0,XS=0,得基可行解 X ( X B , X N , X S ) (B1b,0,0)
目标值
z CB B1b
矩阵形式描述的单纯形表
C
CB
CN
0
CB
XB
b
XB
XN
XS
CB
XB
B1b
I
B 1 N
B1
z
CB B1b
0
CN CB B1N CB B1
关于对偶问题的基本定理
定理1 （弱对偶定理）
利用互补松驰定理，可以在知道一个问题的最优解时， 求解其对偶问题的最优解
例： Min
z=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5
s.t. X1+x2+2x3+x4+3x5≥4
2x1-2x2+3x3+x4+x5≥3
对偶问题
xj ≥0,j=对1偶,…问,题5 的最优解
约束条件
Max w=4y1+3y2 s.t. y1+2y2≤2
若 X(0),Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可
行解，那么 CX(0)≤ Y(0)b。
(证明)
该定理说明：如果原问题 是最大化问题，则它的任 意可行解对应的目标函数 值都会小于等于其对偶问 题(极小化)的任一可行解 对应的目标函数值
例如
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
价格越低 越好
价格越高 越好
供给-需求函数
P
需求
均衡点
供给 Q
一个合理的定价是：收取的加工费不能低于自己 生产所得收益，在此前提下使总加工费尽量小。 即：
Min w=360y1+200y2+300y3
s.t. 9y1+4y2+3y3≥70 4y1+5y2+10y3≥120 y1,y2≥0
于是
X B B1b B1NX N B1 X S
Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
(CB
,
CN
)
X X
B N
0
X
S
CB X B CN X N 0X S
代入XB,目标值 z CB B1b (CN CB B1N ) X N CB B1X S
检验数 (0, CN CB B1N ,CB B1) (C CB B1A,CB B1)
若其中一个问题有最优解，则另一个问 题也有最优解，且两者最优值相等
证明
定理5（互补松弛定理）
原问题及其对偶问题的可行解X(0)和Y(0) 是最优解的充要条件是：
Y(0)XS=0，YSX(0)=0
XS,YS分别为原问题松弛向量和对偶问题剩余向量
该定理说明：一对对 偶问题达到最优，当 且仅当松约束对应的 对偶变量必定是紧的
运筹学 ——第3章 对偶问题与灵敏度分析
湖南大学工商管理学院
本讲内容
什么是对偶问题 单纯形法的矩阵描述 对偶问题的性质 线性规划的灵敏度分析
什么是对偶问题？
对偶问题的提出
考虑上一讲的生产计划问题，若设备和原料都用 于对外加工，工厂收取加工费。试问：该厂设备 工时、劳动力和原料该如何定价？
价值系数
＝
无限制
求max的对偶问题时，变量反号 求min的对偶问题时，约束反号
例1：写出下列规划问题的对偶问题
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
解：min w=30y1+80y2
s.t. y1+4y2≥2 3y1+2y2≥2 3y1+4y2≥-4 y1,y2≥0
例2：写出下列规划问题的对偶问题
min z=2x1+8x2-4x3
s.t. X1+3x2-3x3≥30 -x1+5x2+4x3=80 4x1+2x2-4x3≤50 X1≤0,x2≥0,x3无限制
解：max w=30y1+80y2＋50y3
s.t. y1-y2+4y3≥2 3y1+5y2+2y3≤8
min w=30y1+80y2
s.t. y1+4y2≥2 3y1+2y2≥2 3y1+4y2≥-4 y1,y2≥0
任意取一些可行解试试看？
定理2（无界性）
若一个问题无界，则另一个问题不可行
例如
max z=x1+x2 s.t. -2x1+x2 ≤ 40
x1-x2 ≤ 20 x1,x2≥ 0
可行域
Min w=40y1+20y2
单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题
Max z=CX AX≤b X≥0
加上松弛变量XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m),化为标准型 Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
单纯形法的矩阵描述
设A中存在一可行基B，相应的变量可分为基变量XB 和非基变量XN，价值系数也分为CB,CN，即
A=(B,N)
X=(XB,XN)T C=(CB,CN)
Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
X
X B
( A,
I )
XS
(B,
N,
I )
XN XS
BXB
NXБайду номын сангаас
N
IXS
因而
BX B NX N IX S b
该线性规划问题与原问题互为对偶问题
max z=70x1+120x2 s.t. 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0
对偶的定义
(LP) Max z = CX (DP) Min w = Yb
s.t. AX ≤ b
s.t. YA ≥ C
X≥0
Y≥0
若一个问题的某约束为等式， 那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制； 反之， 若一个问题的某变量无非负限制， 那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题）
目标函数 min
m个
≥0
变
≤0
量
无约束
n个
约
≥
束
≤
条
=
件
目标函数变量的系数
约束条件右端项
建立对偶问题的规则
对于上表，特别把握以下要点：
max 约束条件
min 变量
右端项
s.t. -2y1+y2 ≥ 1 y1-y2 ≥ 1 y1,y2 ≥0
对偶问题显然无可行解！
定理3 （最优性定理）
若 X(0), Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可行解， 且 CX (0) = Y (0) b ，那么 X(0), Y(0)分别为（LP） 和（DP）的最优解
证明
定理4 （对偶定理）
令XN=0,XS=0,得基可行解 X ( X B , X N , X S ) (B1b,0,0)
目标值
z CB B1b
矩阵形式描述的单纯形表
C
CB
CN
0
CB
XB
b
XB
XN
XS
CB
XB
B1b
I
B 1 N
B1
z
CB B1b
0
CN CB B1N CB B1
关于对偶问题的基本定理
定理1 （弱对偶定理）
利用互补松驰定理，可以在知道一个问题的最优解时， 求解其对偶问题的最优解
例： Min
z=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5
s.t. X1+x2+2x3+x4+3x5≥4
2x1-2x2+3x3+x4+x5≥3
对偶问题
xj ≥0,j=对1偶,…问,题5 的最优解
约束条件
Max w=4y1+3y2 s.t. y1+2y2≤2
若 X(0),Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可
行解，那么 CX(0)≤ Y(0)b。
(证明)
该定理说明：如果原问题 是最大化问题，则它的任 意可行解对应的目标函数 值都会小于等于其对偶问 题(极小化)的任一可行解 对应的目标函数值
例如
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
价格越低 越好
价格越高 越好
供给-需求函数
P
需求
均衡点
供给 Q
一个合理的定价是：收取的加工费不能低于自己 生产所得收益，在此前提下使总加工费尽量小。 即：
Min w=360y1+200y2+300y3
s.t. 9y1+4y2+3y3≥70 4y1+5y2+10y3≥120 y1,y2≥0
于是
X B B1b B1NX N B1 X S
Max z=CX＋0Xs AX+IXS=b X≥0, XS≥0
(CB
,
CN
)
X X
B N
0
X
S
CB X B CN X N 0X S
代入XB,目标值 z CB B1b (CN CB B1N ) X N CB B1X S
检验数 (0, CN CB B1N ,CB B1) (C CB B1A,CB B1)
若其中一个问题有最优解，则另一个问 题也有最优解，且两者最优值相等
证明
定理5（互补松弛定理）
原问题及其对偶问题的可行解X(0)和Y(0) 是最优解的充要条件是：
Y(0)XS=0，YSX(0)=0
XS,YS分别为原问题松弛向量和对偶问题剩余向量
该定理说明：一对对 偶问题达到最优，当 且仅当松约束对应的 对偶变量必定是紧的
运筹学 ——第3章 对偶问题与灵敏度分析
湖南大学工商管理学院
本讲内容
什么是对偶问题 单纯形法的矩阵描述 对偶问题的性质 线性规划的灵敏度分析
什么是对偶问题？
对偶问题的提出
考虑上一讲的生产计划问题，若设备和原料都用 于对外加工，工厂收取加工费。试问：该厂设备 工时、劳动力和原料该如何定价？
价值系数
＝
无限制
求max的对偶问题时，变量反号 求min的对偶问题时，约束反号
例1：写出下列规划问题的对偶问题
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
解：min w=30y1+80y2
s.t. y1+4y2≥2 3y1+2y2≥2 3y1+4y2≥-4 y1,y2≥0
例2：写出下列规划问题的对偶问题
min z=2x1+8x2-4x3
s.t. X1+3x2-3x3≥30 -x1+5x2+4x3=80 4x1+2x2-4x3≤50 X1≤0,x2≥0,x3无限制
解：max w=30y1+80y2＋50y3
s.t. y1-y2+4y3≥2 3y1+5y2+2y3≤8
min w=30y1+80y2
s.t. y1+4y2≥2 3y1+2y2≥2 3y1+4y2≥-4 y1,y2≥0
任意取一些可行解试试看？
定理2（无界性）
若一个问题无界，则另一个问题不可行
例如
max z=x1+x2 s.t. -2x1+x2 ≤ 40
x1-x2 ≤ 20 x1,x2≥ 0
可行域
Min w=40y1+20y2