《二次函数与一元二次方程》第二课时教学课件
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《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT(第2课时)教学课件
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
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情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
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2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
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新知探究
(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
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课堂小测
3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
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课堂小测
解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
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【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )
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情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
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2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
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(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
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3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
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解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
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【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )
人教版高中数学必修1《二次函数与一元二次方程、不等式》第2课时课件
[方法技巧] 对于含参数的二次函数在闭区间上的函数值恒大(小)于或等于零的问题， 可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值 问题求解．
【对点练清】 1．对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：当 1≤x≤3 时，mx2－mx－1＜－m＋5 恒成立，
化简得－x2＋x－3 1>0，即2xx＋＋31<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－12.
∴原不等式的解集为x－3<x<－12
.
(2)原不等式可化为2xx22－＋23xx－－32≤0，
如图，
故原不等式的解集为x－2≤x＜－1或12≤x＜3
.
题型二 一元二次不等式的实际应用 【学透用活】
则 x2＋2ax＋b<0 变为 x2－4x＋3＜0，解得 1＜x＜3 ， 所以不等式解集为 {x|1＜x＜3} ．
(2)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2＝(ax－1)(x－2)＝ax－1a(x－2)． ①当1a＜2，即 a＞12时， 1a＜x＜2 ；
②当1a＝2，即 a＝12时， 无解 ；
③当1a＞2，即 0＜a＜12时，2_＜__x_＜__1a__.
题型三 不等式恒成立问题 【学透用活】
[典例3] (1)若对∀x∈R，不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值 范围；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围． [解] (1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0， ∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，∴0<m<4， ∴m的取值范围为{m|0<m<4}． (2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立， ∴m<0，∴m的取值范围为{m|m<0}．
二次函数与一元二次方程、不等式 课件(2)
根x1=x2
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
九年级数学上册教学课件《二次函数与一元二次方程》
解：
t2 - 4t+4=0.
t1 =t2 =2.
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
2s
20m
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能,需要多少飞行时间？
h＝20t-5t2.
20.5=20t-5t2.
解：
t2 - 4t+4.1=0.
因为(-4)2 – 4×4.1<0，
有两个不同实根有两个相同实根没有根
有两个交点有一个交点没有交点
△ > 0
△ = 0
△ < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系（2）
ax2+bx+c = 0 的根
抛物线 y=ax2+bx+c与x轴
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。
无公共点
先画出函数图象：
公共点的函数值为 。
0
对应一元二次方程的根是多少？
x1 =-2，
x2 =1.
x1 =x2 =3.
方程无解
有两个不等的实根
有两个相等的实根
没有实数根
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
综合应用
解：(1)如图所示.(2)由图象可知，铅球推出的距离为10.
拓展延伸
7.把下列各题中解析式的编号①②③④与图象的编号A、B、C、D对应起来．①y=x2+bx+2； ②y=ax(x-3)； ③y=a(x+2)(x-3)； ④y=-x2+bx-3．
t2 - 4t+4=0.
t1 =t2 =2.
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
2s
20m
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能,需要多少飞行时间？
h＝20t-5t2.
20.5=20t-5t2.
解：
t2 - 4t+4.1=0.
因为(-4)2 – 4×4.1<0，
有两个不同实根有两个相同实根没有根
有两个交点有一个交点没有交点
△ > 0
△ = 0
△ < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系（2）
ax2+bx+c = 0 的根
抛物线 y=ax2+bx+c与x轴
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。
无公共点
先画出函数图象：
公共点的函数值为 。
0
对应一元二次方程的根是多少？
x1 =-2，
x2 =1.
x1 =x2 =3.
方程无解
有两个不等的实根
有两个相等的实根
没有实数根
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
综合应用
解：(1)如图所示.(2)由图象可知，铅球推出的距离为10.
拓展延伸
7.把下列各题中解析式的编号①②③④与图象的编号A、B、C、D对应起来．①y=x2+bx+2； ②y=ax(x-3)； ③y=a(x+2)(x-3)； ④y=-x2+bx-3．
二次函数与一元二次方程(第2课时)同步课件
自主合作，探究新知
做一做：（1）请利用图像求一元二次方程 x2+2x-10=3 的近似根.
x
2.9 2.8 2.7 2.6
y 1.21 0.44 -0.31 -1.04
x -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 y 1.21 0.44 -0.31 -1.04
因此 x=-4.7和 x=2.7 是方程的近似根.
随堂练习
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值． 当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0； 当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4范围内， y随x的增大而增大，∴3.5＜x2＜4.
(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值． 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6＝0.562 5＞0； 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范围内， y随x的增大而增大， ∴3.5＜x2＜3.75.
随堂练习
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图 所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝ 1.3，x2＝__－__3_._3__．
随堂练习
5. 二 次 函 数 y=ax²+bx+c 的 图 象 如 图 所 示 , 则 方 程 ax²+bx+c=0 的 两 个 根 是 _____x_1=_1_,___x_2_=_3_____ 若 函 数 y ＜0,则对应x的取值范围是__1_＜__x_＜__3___
自主合作，探究新知
练一练：利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根． 解：先把方程化成x2＝－2x＋3.如图， 在同一直角坐标系中分别画出函数 y＝x2和y＝－2x＋3的图象， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》(第2课时)课件
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.
You made my day!
我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.
【人教版】二次函数与一元二次方程教学PPT 2
则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是
A（ X1，0）， B（X2，0）
（人教版）二次函数与一元二次方程P PT精美 版2
思考：函数y＝x2－6x+9和y＝x2－2x＋3 与x轴的交点坐标是什么？试试看！
（人教版）二次函数与一元二次方程P PT精美 版2
（人教版）二次函数与一元二次方程P PT精美 版2
方程有两不相等
函数与x轴有一个交点 方程有两相等根
函数与x轴没有交点 方程没有根
方程的根的情况是由什么决定的？
判别式b2－4ac的符号
探究三：
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与 x轴的交点个数，判别式b2－4ac又能给我 们什么样的结论呢？
结论三：
（1）b2－4ac＞0 函数与x轴有两个交点
y=x2-2x-3 (1)观察：二次函数y=x2-2x-3
的图象与x轴有几个交点？你能 说出交点的坐标吗？
交点的坐标是(-1,0),（3,0）。
（2）探究：你能说出一元二次 方程 x 2 -2x -3=0的根吗？
一元二次方程 x2-2x - 3=0
的根为
x1=-1,x2=3。
通过上述结论你发现了什么？
解： （3）∵ b2－4ac＝42 －4× 1×4 ＝0
∴函数与x轴有一个交点
当堂检测
1、方程 x24x50的根是 -5，1 ； 则函数 yx24x5的图象与x轴的交点
有 2 个，其坐标是（-5，0）、（1，．0）
2、方程 x21x0 2 50的根是x1x2 ；5
则函数 yx210x25的图象与x轴的交点
有 1 个，其坐标是 （5，0）
．
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共
A（ X1，0）， B（X2，0）
（人教版）二次函数与一元二次方程P PT精美 版2
思考：函数y＝x2－6x+9和y＝x2－2x＋3 与x轴的交点坐标是什么？试试看！
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方程有两不相等
函数与x轴有一个交点 方程有两相等根
函数与x轴没有交点 方程没有根
方程的根的情况是由什么决定的？
判别式b2－4ac的符号
探究三：
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与 x轴的交点个数，判别式b2－4ac又能给我 们什么样的结论呢？
结论三：
（1）b2－4ac＞0 函数与x轴有两个交点
y=x2-2x-3 (1)观察：二次函数y=x2-2x-3
的图象与x轴有几个交点？你能 说出交点的坐标吗？
交点的坐标是(-1,0),（3,0）。
（2）探究：你能说出一元二次 方程 x 2 -2x -3=0的根吗？
一元二次方程 x2-2x - 3=0
的根为
x1=-1,x2=3。
通过上述结论你发现了什么？
解： （3）∵ b2－4ac＝42 －4× 1×4 ＝0
∴函数与x轴有一个交点
当堂检测
1、方程 x24x50的根是 -5，1 ； 则函数 yx24x5的图象与x轴的交点
有 2 个，其坐标是（-5，0）、（1，．0）
2、方程 x21x0 2 50的根是x1x2 ；5
则函数 yx210x25的图象与x轴的交点
有 1 个，其坐标是 （5，0）
．
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共
《二次函数与一元二次方程》二次函数2精品 课件
一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程 ax2+bx+c= 0根的判
别式Δ=b2-4ac
有两个不相 等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点 有两个相等的 实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
o
x
（2x－1）2 = 0 1
x1=x2= 2
所以与 x 轴有一个交点。
y
（3） y = x2 – x+ 1
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
o
x 所以与 x 轴没有交点。
二次函数与一元二次方程的关系（2）
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
3. （1）略. （2）10m.
2
4. x = 1
有人说，想要看一个人是否优秀，那 就看他 闲下来 做什么 。
这世上有人忙里偷闲，利用坐车和排队 的间隙 ，读书 ，思考 ，写作 ，也有 人终日 无所事 事，虚 度光阴 。
二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数图象求方程近似根 课件
∴一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的近似根为
x 1≈－1.4，x 2≈3.4.
现在我们用求根公式来验证一下.
对于方程－x 2＋2x－3＝－8，
整理，得x 2－2x－5＝0.
± +
解得 x ＝
＝1±
.
∴ x1＝1－ ≈－1.4， x2＝1＋ ≈3.4.
∴利用图象法求得方程－ x2＋2 x －3＝－8的近似根 x1≈
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数图象求方程近似根
1. 用图象法求一元二次方程的近似根
2
方 直接作出二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋ c 的图象，则图
法 象与 x 轴的交点的 横坐标 就是一元二次方程
2
一 ax ＋ bx ＋ c ＝0的根
2
ax
先将一元二次方程变为 ＋ bx ＝－ c ，再在同一
－6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
因此，x＝－1.4是方程－x 2＋2x－3＝－8的一个近似
根.
②另一个根可以类似地求出：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
y
－6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
因此，x＝3.4是方程－x 2＋2x－3＝－8的另一个近似
根.
是 x1＝0.8， x2＝3.2（合理即可） .（精确到0.1）
（第2题）
题型二 抛物线的对称性运用
（1）如图1，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图
象与 x 轴的一个交点是（－2，0），顶点是（1，3），
下列说法中不正确的是（ C ）
x 1≈－1.4，x 2≈3.4.
现在我们用求根公式来验证一下.
对于方程－x 2＋2x－3＝－8，
整理，得x 2－2x－5＝0.
± +
解得 x ＝
＝1±
.
∴ x1＝1－ ≈－1.4， x2＝1＋ ≈3.4.
∴利用图象法求得方程－ x2＋2 x －3＝－8的近似根 x1≈
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数图象求方程近似根
1. 用图象法求一元二次方程的近似根
2
方 直接作出二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋ c 的图象，则图
法 象与 x 轴的交点的 横坐标 就是一元二次方程
2
一 ax ＋ bx ＋ c ＝0的根
2
ax
先将一元二次方程变为 ＋ bx ＝－ c ，再在同一
－6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
因此，x＝－1.4是方程－x 2＋2x－3＝－8的一个近似
根.
②另一个根可以类似地求出：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
y
－6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
因此，x＝3.4是方程－x 2＋2x－3＝－8的另一个近似
根.
是 x1＝0.8， x2＝3.2（合理即可） .（精确到0.1）
（第2题）
题型二 抛物线的对称性运用
（1）如图1，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图
象与 x 轴的一个交点是（－2，0），顶点是（1，3），
下列说法中不正确的是（ C ）
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（ ， ） ， ） 是 -2，0）和（3，0） 。
抛物线y=0.5x x+3与 轴的交点情况是（ 2 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ c ） A 两个交点 C 没有交点 B 一个交点 D 画出图象后才能说明
轴交点坐标。 3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。 不画图象，求抛物线y=x 抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为： 轴交点坐标为： 抛物线 与 轴交点坐标为 （-2，0）和（3，0） ， ） ， ）
y=- +2x+3中 x=0时y=3， 解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3， ∴ OA=3m 而当y=0时 舍去）， ），x 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3 y=0 ∴水池的半径至少为3m. 水池的半径至少为3m.
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方 利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似根， 程的近似根，虽然对于我们现在解一元 二次方程没有应用价值， 二次方程没有应用价值，但它体现了 数形结合” “数形结合”这一重要的数学思想方法 也启示我们只要善于观察和思考， 。也启示我们只要善于观察和思考，就 能发现事物之间的各种联系， 能发现事物之间的各种联系，去探索科 学的奥秘。 学的奥秘。
(1).用描点法作二次函数 用描点法作二次函数 用描点法作 +2x-10的图象 的图象； y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； 直线y=3 y=3；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线 观察估计抛物线y=x +2x-10和直线 观察估计抛物线 y=3的交点的横坐标； y=3的交点的横坐标； 的交点的横坐标 由图象可知,它们有两个交点 它们有两个交点, 由图象可知 它们有两个交点,其横坐标一 个在之间,另一个在2 之间, 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别 约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分 可将单位长再十等分, 约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). 助计算器确定其近似值).
2.8 二次函数与=ax +bx+c的图象和 的图象和x 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标 与一元二次方程ax +bx+c=0的根有什么关系 的根有什么关系? 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax +bx+c的 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x 图象和x轴交点 一元二次方程 +bx+c=0的根 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程 +bx+c=0根的判别 ax2+bx+c=0根的判别 式Δ=b2-4ac
(4).确定方程x2+2x-10=3的解; 确定方程x +2x-10=3的解 的解; 确定方程
由此可知,方程x +2x-10=3的 由此可知,方程x2+2x-10=3的 近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7. 近似根为:x
解法2 解法2
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； 原方程可变形为x +2x-13=0； 原方程可变形为 (2). 作二次函数y=x2+2x-13 二次函数y=x +2x的图象； 的图象；
有两个交点 有一个交点 没有交点
两个相异的实根 两个相等的实根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
若方程ax +bx+c=0的根为 的根为x =3， 1 、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则 二次函数y=ax +bx+c的图象与 的图象与x 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标
用一元二次方程的求根公式验证一下， 用一元二次方程的求根公式验证一下， 看是否有相同的结果 你认为利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似根的时候，应该注意什么？ 方程的近似根的时候，应该注意什么？
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程 +2x-10=3的近似根 的近似根. x2+2x-10=3的近似根.
活动探究
你能利用二次函数的图象估计一元二 次方程x +2x-10=0的根吗 的根吗？ 次方程x2+2x-10=0的根吗？
如图是函数 +2x－10的图像 y=x2+2x－10的图像
(1).观察估计二次函数y=x +2x-10的图象与 (1).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与 观察估计二次函数 x轴的交点的横坐标； 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x 由图象可知 图象与x轴有两个 图象与 交点,其横坐标一个在交点,其横坐标一个在-5与-4之 另一个在2 间,另一个在2与3之间 分别约为-4.3和2.3 和 分别约为 (2).确定方程x2+2x-10=0的解; 确定方程x +2x-10=0的解 的解; 确定方程 由此可知,方程x +2x-10=0的 由此可知,方程x2+2x-10=0的 近似根为:x 近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象； 的图象； 用描点法作二次函数 的图象 ②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； 观察估计二次函数的图象与 轴的交点的横坐标 ③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。 确定一元二次方程 的解
课堂练习
二次函数y=-2x2+4x+1的图 二次函数 的图 象如图所示， 象如图所示，求一元二次方程 +4x+1=0的近似根 的近似根. -2x2+4x+1=0的近似根.
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x 观察估计抛物线y=x +2x-13和 观察估计抛物线 轴的交点的横坐标； 轴的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点, 由图象可知 它们有两个交点,其横 它们有两个交点 坐标一个在-5与-4之间,另一个在2 坐标一个在之间,另一个在2 之间,分别约为-4.7和 与3之间,分别约为-4.7和2.7
方程-2x2+4x+1=0的近似根 方程- +4x+1=0的近似根 为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
综合运用
如图， 如图，一个圆形喷水池的中央 竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，A处的喷头向外喷水，水 处的喷头向外喷水， ， 处的喷头向外喷水 流在各个方向上沿形状相同的 抛物线路径落下， 抛物线路径落下，按如图所示 的直角坐标系， 的直角坐标系，水流喷出的高 与水平距离x(m)之间 度y(m)与水平距离 与水平距离 之间 的关系式是 y=-x2+2x+3(x﹥0)。柱子 OA的高度是多少米？若不计 的高度是多少米？ 的高度是多少米 其它因素， 其它因素，水池的半径至少为 多少米， 多少米，才能使喷出的水流不 至于落在池外？ 至于落在池外？
(4).确定方程x2+2x-10=3的解; 确定方程x +2x-10=3的解 的解; 确定方程
方程x +2x-10=3的近似根为 的近似根为:x 方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求 利用二次函数 的图象求 一元二次方程ax 一元二次方程 2+bx+c=0的近似根的一 的近似根的一 般步骤是怎样的？ 般步骤是怎样的？
抛物线y=0.5x x+3与 轴的交点情况是（ 2 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ c ） A 两个交点 C 没有交点 B 一个交点 D 画出图象后才能说明
轴交点坐标。 3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。 不画图象，求抛物线y=x 抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为： 轴交点坐标为： 抛物线 与 轴交点坐标为 （-2，0）和（3，0） ， ） ， ）
y=- +2x+3中 x=0时y=3， 解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3， ∴ OA=3m 而当y=0时 舍去）， ），x 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3 y=0 ∴水池的半径至少为3m. 水池的半径至少为3m.
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方 利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似根， 程的近似根，虽然对于我们现在解一元 二次方程没有应用价值， 二次方程没有应用价值，但它体现了 数形结合” “数形结合”这一重要的数学思想方法 也启示我们只要善于观察和思考， 。也启示我们只要善于观察和思考，就 能发现事物之间的各种联系， 能发现事物之间的各种联系，去探索科 学的奥秘。 学的奥秘。
(1).用描点法作二次函数 用描点法作二次函数 用描点法作 +2x-10的图象 的图象； y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； 直线y=3 y=3；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线 观察估计抛物线y=x +2x-10和直线 观察估计抛物线 y=3的交点的横坐标； y=3的交点的横坐标； 的交点的横坐标 由图象可知,它们有两个交点 它们有两个交点, 由图象可知 它们有两个交点,其横坐标一 个在之间,另一个在2 之间, 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别 约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分 可将单位长再十等分, 约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). 助计算器确定其近似值).
2.8 二次函数与=ax +bx+c的图象和 的图象和x 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标 与一元二次方程ax +bx+c=0的根有什么关系 的根有什么关系? 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax +bx+c的 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x 图象和x轴交点 一元二次方程 +bx+c=0的根 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程 +bx+c=0根的判别 ax2+bx+c=0根的判别 式Δ=b2-4ac
(4).确定方程x2+2x-10=3的解; 确定方程x +2x-10=3的解 的解; 确定方程
由此可知,方程x +2x-10=3的 由此可知,方程x2+2x-10=3的 近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7. 近似根为:x
解法2 解法2
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； 原方程可变形为x +2x-13=0； 原方程可变形为 (2). 作二次函数y=x2+2x-13 二次函数y=x +2x的图象； 的图象；
有两个交点 有一个交点 没有交点
两个相异的实根 两个相等的实根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
若方程ax +bx+c=0的根为 的根为x =3， 1 、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则 二次函数y=ax +bx+c的图象与 的图象与x 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标
用一元二次方程的求根公式验证一下， 用一元二次方程的求根公式验证一下， 看是否有相同的结果 你认为利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似根的时候，应该注意什么？ 方程的近似根的时候，应该注意什么？
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程 +2x-10=3的近似根 的近似根. x2+2x-10=3的近似根.
活动探究
你能利用二次函数的图象估计一元二 次方程x +2x-10=0的根吗 的根吗？ 次方程x2+2x-10=0的根吗？
如图是函数 +2x－10的图像 y=x2+2x－10的图像
(1).观察估计二次函数y=x +2x-10的图象与 (1).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与 观察估计二次函数 x轴的交点的横坐标； 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x 由图象可知 图象与x轴有两个 图象与 交点,其横坐标一个在交点,其横坐标一个在-5与-4之 另一个在2 间,另一个在2与3之间 分别约为-4.3和2.3 和 分别约为 (2).确定方程x2+2x-10=0的解; 确定方程x +2x-10=0的解 的解; 确定方程 由此可知,方程x +2x-10=0的 由此可知,方程x2+2x-10=0的 近似根为:x 近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象； 的图象； 用描点法作二次函数 的图象 ②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； 观察估计二次函数的图象与 轴的交点的横坐标 ③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。 确定一元二次方程 的解
课堂练习
二次函数y=-2x2+4x+1的图 二次函数 的图 象如图所示， 象如图所示，求一元二次方程 +4x+1=0的近似根 的近似根. -2x2+4x+1=0的近似根.
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x 观察估计抛物线y=x +2x-13和 观察估计抛物线 轴的交点的横坐标； 轴的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点, 由图象可知 它们有两个交点,其横 它们有两个交点 坐标一个在-5与-4之间,另一个在2 坐标一个在之间,另一个在2 之间,分别约为-4.7和 与3之间,分别约为-4.7和2.7
方程-2x2+4x+1=0的近似根 方程- +4x+1=0的近似根 为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
综合运用
如图， 如图，一个圆形喷水池的中央 竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，A处的喷头向外喷水，水 处的喷头向外喷水， ， 处的喷头向外喷水 流在各个方向上沿形状相同的 抛物线路径落下， 抛物线路径落下，按如图所示 的直角坐标系， 的直角坐标系，水流喷出的高 与水平距离x(m)之间 度y(m)与水平距离 与水平距离 之间 的关系式是 y=-x2+2x+3(x﹥0)。柱子 OA的高度是多少米？若不计 的高度是多少米？ 的高度是多少米 其它因素， 其它因素，水池的半径至少为 多少米， 多少米，才能使喷出的水流不 至于落在池外？ 至于落在池外？
(4).确定方程x2+2x-10=3的解; 确定方程x +2x-10=3的解 的解; 确定方程
方程x +2x-10=3的近似根为 的近似根为:x 方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求 利用二次函数 的图象求 一元二次方程ax 一元二次方程 2+bx+c=0的近似根的一 的近似根的一 般步骤是怎样的？ 般步骤是怎样的？