空间夹角和距离的计算.

合集下载

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题2

0 ≤ ≤ ,且 u, n ,或 u, n
2
2
2
un
sin | cos u n
un
讲
课
人
：
邢
启强
4
学习新知利用向量方法求二面角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中
不大于90°的二面角称为平面α与面β的夹角.
设平面α与面β的夹角为θ,平面α与面β的法向量分别为 n1, n2
则0
<
≤
2
,
n1, n2
, 或
n1, n2
cos | cos n1 n2 n1 n2
n1 n2
讲
课
人
：
邢
启强
5
典型例题例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.
分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量MA与CN夹角的余弦值.为此需要把向量MA,CN用适当的基底表示出来，进而求得向量MA,CN夹角的余弦值。
2
两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成
讲
课人：
的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
邢
启强
3
学习新知利用向量方法求直线与平面所成的角
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角。
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量u,平面α的法向量为n,如图可得
讲
课
人
：
邢
启强
6
典型例题例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.

空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解

空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。

空间向量的夹角和距离公式(讲课)

aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R ) ;
a 1/b 1a 2/b 2a 2/b 2 . a b a1b 1a2b2a3b30;
二、距离与夹角（1）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、 B(x2 , y2 ,z2)，则
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
| AM| 5 30 6.故点 A到直线 EF的距离为6.
2 10 4
4
课堂练习：
1 . 若正方体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的边长为 1 , E , F 分别是
C C 1 , D 1 A 1 的中点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到直线 E F 的距离 .
D1
F A1
C1 B1
E
2021/3/11
D A
C B
9
课堂练习：
1 . 若正方体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的边长为 1 , E , F 分别是
C C 1 , D 1 A 1 的中点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到直线 E F 的距离 .

空间向量的距离和夹角公式

例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F

高一数学《夹角和距离公式》

做一做：教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个，因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量． (2)方法二：待定系数法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)

则
cos
θ＝|cos<n1，n2>|
＝
|n1·n2| |n1|·|n2|
0，2π
自主学习
图（1）直线与平面所成角图（2）平面与平面所成角
自主学习
思考 1：平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
思考 2：两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
B→C·n＝0
－ 3x＋y＝0
由
，得
，
A→1C·n＝0
y－ 3z＝0
→
取 n＝(1，
3，1)，故
sin
θ＝|cos〈E→F，n〉|＝
|EF·n| →
＝45.
|EF|·|n|
因此直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值为35.
经典例题
题型二利用空间向量求夹角
例 6-变式如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝ 3，
1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1 t 22 ·cos 60°，
所以 t＝1，所以点 E 的位置是 AB 的中点．
经典例题
题型二利用空间向量求夹角
角度2：线面角若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
经典例题
题型二利用空间向量求夹角
例 6 如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，∠ABC＝90°， ∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F 分别是 AC，A1B1 的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值．
(2)范围：异面直线所成角的范围是0，π2，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)

2 30
.
5
4.求点到平面的距离
①等体积法(将点面距离看作三棱锥的高)
D1
P35-2(3).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F
分别是线段DD1的中点，求点A1到平面AEB1的距离.
B1
A1
析 : 设点A1到平面AEB1的距离hA1 .
C1
E
VA1 AEB VB1 AEA1 ,

a
2 8
4
C1
A
C
B
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量及直线l的方向向量 )
2
d a (
②等面积法(将点线距离视为三角形的高)
a l 2
)
|l |
[变式]棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段DC1上的动点，
求点M到直线AD1的距离的最小值.
D1
析 : 建系Dxyz , A(a,0,0), D1 (0,0, a ), 设M (0, x, x )
AB (0,2,0), AC1 (2,2,2), AB AC1 4, | AB | 2, | AC1 | 2 3,
D
C
2
A
B
点B到直线AC1的距离为 AB (
AB AC1 2
4 2 2 6
) 4(
)
3
2 3
| AC1 |
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量及直线l的方向向量或单位方向向量 )
D1
a a
析 : 建系Dxyz, A(a,0,0), D1 (0,0, a ), M (0, , )
2 2
a a

高一数学-《夹角和距离公式》课件

角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a＝|a|2 求有关线段的长度；
2．利用两点间的距离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个，因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量． (2)方法二：待定系数法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
答案：x＜－4
知识要点一：异面直线所成角的求法
1．几何法：即先根据异面直线所成角的定义，在给定的图形中找出或作出角，然后再
加以证明，最后在一个三角形中进行计算．上述过程即“作—证—求”三步．
2．向量法：即利用
cos θ＝|aa|·|bb|＝

x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21· x22＋y22＋z22
中的一个变量赋予一个特值，即可确定平面的一个法向量．赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．
3．应用平面的法向量解决线面平行、面面平行问题 (1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0. (2)若能求出平面 α、β 的法向量 u、v，则要证明 α∥β，只需证明 u∥v.

课件2：8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

【规律方法】
1.平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,
然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
设平面的法向量为n=(x,y,z).
(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
的距离为 | BO |＝| AB || cos〈AB，n〉| ＝
| AB n | |n|
.
3. (1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.
考点1 向量法求异面直线所成的角
【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱
考点3 向量法计算与应用二面角的大小知·考情
利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2) 或(3)问的形式出现.
明·角度命题角度1:计算二面角的大小【典例3】(2014·山东高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形, ∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点. (1)求证:C1M∥平面A1ADD1. (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= 3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
22
所以 AD 0, 3,0 ,AE (0, 3 , 1),AC (m, 3,0). 22
设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则n1 AD 0,n1 AE 0, 解得一个n1=(1,0,0). 同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 n2 AC 0,n2 AE 0, 解得一个 n2 ( 3，m, 3m).

用空间向量研究距离,夹角问题公式

用空间向量研究距离,夹角问题公式
对于距离和夹角问题的研究，空间向量提供了一种有效的方法。

空间向量是指具有方向和大小的矢量，可以用来表示在三维空间中的物理量或者几何对象。

首先，我们来讨论两个点之间的距离问题。

在空间向量中，两个点的距离可以通过计算它们的欧几里得距离来确定。

欧几里得距离是指从一个点到另一个点的直线距离。

如果我们将两个点表示为向量A和向量B，那么它们之间的欧几里得距
离可以使用以下公式计算：
距离 = |向量AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2 + (Bz-Az)^2)
其中，Ax、Ay、Az分别表示向量A的x、y、z坐标，Bx、By、Bz分别表示
向量B的x、y、z坐标。

通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的距离。

接下来，让我们来看一下关于夹角问题的公式。

在空间向量中，可以使用两个向量的点积和模长之间的关系来计算它们之间的夹角。

如果我们将两个向量表示为向量A和向量B，它们的夹角可以通过以下公式计算：
夹角θ = arccos((向量A·向量B) / (|向量A| × |向量B|))
其中，向量A·向量B表示两个向量的点积，|向量A|和|向量B|分别表示向量A 和向量B的模长。

通过这个公式，我们可以确定两个向量之间的夹角。

通过使用上述的距离和夹角问题的公式，我们可以将空间向量用于研究并解决各种几何和物理问题。

这些公式能够提供详细而完整的信息，帮助我们深入了解空间中不同物体之间的距离和夹角关系。

无论是在几何学、物理学还是其他相关领域，空间向量的研究都具有重要的应用价值。

空间几何中的角度与距离计算

空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。

通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。

本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。

一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。

常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。

在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。

余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。

2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。

通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。

常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。

（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。

可以通过点乘法计算向量之间的夹角。

（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。

可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。

3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。

通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。

三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。

二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。

常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。

对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。

欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。

向量法求空间中的角和距离

向量法求空间中的角和距离广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部彭海廷在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1、空间角问题(1)求两异面直线的夹角设异面直线a 、b 的夹角为θ()090θ<≤，a 、b 分别为a 、b 的一个方向向量，则cos cos ,a ba b a bθ⋅==，可求得θ的大小。

例1 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；解：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0）， D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21.（Ⅰ）证明：因(0,0,1),(0,1,0),0,.AP DC AP DC AP DC ==⋅=⊥故所以由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PBAC PB AC PB AC PB AC 所以故(2)求二面角设m 、n 分别是平面α与β的法向量，则二面角所成的平面角θ＝π－φ或θ＝φ，其中当m 与n 同向时取θ＝π－φ；异向时取θ＝φ，φ是m 与n 的夹角，用cos ,m nm n m n⋅=求出。

用空间向量研究距离夹角问题

用空间向量研究距离夹角问题空间向量是数学中一个重要的概念，可以用于描述三维空间中点的坐标。

在空间向量的基础上，我们可以研究距离和角度等问题。

下面是一些用空间向量研究距离和角度问题的方法:1. 空间向量的计算空间向量可以通过点积、叉积等方式进行计算。

点积和叉积都是空间向量运算的一种方法，可以用来计算两个向量之间的距离和角度。

例如，假设我们有两个向量 $v_1$ 和 $v_2$,它们的点积可以表示为:$$v_1 times v_2 = begin{vmatrix} v_1 v_2 end{vmatrix} = v_1^T v_2$$ 其中，$begin{vmatrix} v_1 v_2 end{vmatrix}$ 表示 $v_1$ 和 $v_2$ 的内积，$v_1^T v_2$ 表示 $v_1$ 和 $v_2$ 的外积。

2. 空间向量在几何中的应用空间向量在几何中有着广泛的应用。

例如，我们可以使用空间向量来计算两个点之间的距离。

另外，空间向量还可以用于计算两个平面之间的夹角。

例如，假设我们有两个点 $P$ 和 $Q$,它们之间的距离可以用空间向量 $P - Q$ 来计算:$$d = |P - Q| = sqrt{(P_x - Q_x)^2 + (P_y - Q_y)^2 + (P_z - Q_z)^2}$$ 其中，$(P_x - Q_x)^2 + (P_y - Q_y)^2 + (P_z - Q_z)^2$ 表示点 $P$ 和点 $Q$ 的内积。

另外，空间向量还可以用于计算两个平面之间的夹角。

假设我们有两个平面$P_1$ 和 $P_2$,它们之间的夹角可以用空间向量 $P_1 - P_2$ 来计算:$$theta = frac{angle(P_1 - P_2)}{|P_1 - P_2|}$$其中，$angle(P_1 - P_2)$ 表示 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的夹角，$|P_1 - P_2|$ 表示 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的距离。

用向量方法求空间角和距离

用向量方法求空间角和距离向量方法是利用向量的性质和运算，来求解空间角和距离的方法。

在几何学中，向量可以用来表示位置、方向和大小，因此可以通过向量的定义和运算来求解空间角和距离。

一、空间角的求解空间角是指两个平面或者两个直线之间的夹角。

我们可以通过向量的点积来求解空间角。

对于两个平面，可以先求出它们的法向量，然后计算法向量的夹角即可得到空间角。

设两个平面的法向量分别为n1和n2，则它们的夹角θ为：θ = arccos((n1·n2) / (，n1，n2，))其中，·表示向量的点积，n1，和，n2，分别表示向量n1和n2的模。

对于两个直线，可以先求出它们的方向向量，然后计算方向向量的夹角即可得到空间角。

设两个直线的方向向量分别为u和v，则它们的夹角θ为：θ = arccos((u·v) / (，u，v，))其中，·表示向量的点积，u，和，v，分别表示向量u和v的模。

二、距离的求解距离是指空间中两个点之间的长度。

我们可以通过向量的运算来求解空间中两点之间的距离。

设空间中两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离d为：d=，AB，=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)其中，AB，表示向量AB的模，即两点之间的距离。

通过向量方法求解空间角和距离的步骤如下：1.对于求解空间角，先计算出两个平面或者两个直线的法向量或方向向量。

2.根据向量的点积定义，计算法向量或方向向量的点积。

3.根据向量的模定义，计算法向量或方向向量的模。

4.将点积和模代入空间角的计算公式，求解空间角。

5.对于求解距离，先计算出两个点的坐标。

6.根据向量的运算规则，计算两个坐标点之间的差向量。

7.根据向量的模定义，计算差向量的模，即两个点之间的距离。

通过向量方法求解空间角和距离的优点是简单、直观，并且适用于各种空间问题。

用空间向量研究距离、夹角问题(一)(人教A版2019选修一)高二数学

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1， 3 )，A( B(0,2,0)，
∴A→1B＝(－ 3，1，－ 3)， O→1A＝( 3，－1，－ 3)．
3 ，0,0)，A1(
3 ，1，
3 )，
∴|cos〈A→1B，O→1A〉|＝||AA→→11BB|··|OO→→11AA||
系？
条件
平面α，β的法向量分别为 u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系计算
θ＝φ cos θ＝cos φ
θ＝π－φ cos θ＝－cos φ
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( × ) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|.( × ) (3)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量A→B的长度．( × ) (4)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1， n2，则θ＝〈n1，n2〉．( × )
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)， A→E ＝(0,1,1)， A→D1 ＝(－1,0,2)，D→E＝(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则－ y＋x＋ z＝20z＝0
令z＝1，则n＝(2，－1,1)
∴cos〈n，D→E〉＝2－31·＋61＝
(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则 C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(2,0,4) ∴A→D＝(0,4,0)，C→D＝(－2,2,0)，C→F＝(0，－2,4) 设n＝(x，y，z)是平面CDF的一个法向量，则

1.4.2.1用空间向量解决夹角、距离问题(一)

则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)， A→E ＝(0,1,1)， A→D1 ＝(－1,0,2)，D→E＝(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则－ y＋x＋ z＝20z＝0
令z＝1，则n＝(2，－1,1)
∴cos〈n，D→E〉＝2－31·＋61＝
又A→D是平面AEFB的一个法向量，
∴cos 〈n，A→D〉＝|nn|··A|→A→DD|＝23
∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为23.
方法归纳
利用法向量求二面角的大小的一般步骤 1．建立适当的空间直角坐标系． 2．分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量． 3．求出两个法向量的夹角的余弦值． 4．确定二面角的平面角的大小，方法有：(1)根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负；(2)依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；(3)在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角．
A. 2 B. 3 C. 5 D．3
解析：
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知A(1,0,0)，B(0，2,0)，C(0,0,2)，∴ A→B ＝(－1,2,0)， B→C ＝(0，－ 2,2)，|A→B|＝ 1＋4距离d＝ 5－2＝ 3. 答案：B
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC， AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面
ABCD，直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为
5 5.
(1)求异面直线PB与CD所成的角；

空间向量的夹角和距离公式

空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。

点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。

此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。

设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。

叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。

总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。

这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。