绝对值三角不等式
绝对值三角不等式 课件
证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,
||
||
>
≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2
||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
绝对值三角不等式的证明方法
绝对值三角不等式的证明方法绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。
在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。
1. 利用三角函数的定义：- 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
- 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。
2. 利用绝对值的性质：- 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。
- 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。
3. 利用三角函数的周期性：- 正弦和余弦函数的周期都是2π。
即sin(x + 2π) = sin(x) 和cos(x + 2π) = cos(x)。
下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式的方法：假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。
证明过程：1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。
即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。
因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。
因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。
6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。
根据以上证明方法，我们可以尝试证明其他类似的绝对值三角不等式。
绝对值三角不等式 课件
例 2 设 ε＞0，|x－a|＜ε4 ，|y－b|＜ε6 .
求证：|2x＋3y－2a－3b|＜ε. 分析：将 2x＋3y－2a－3b 写成 2(x－a)＋3(y－b)的形式后利用
定理 1 和不等式性质证明．
证明：|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤ |2(x－a)|＋|3(y－b)|＝2|x－a|＋3|y－b|＜ 2×ε4 ＋3×ε6 ＝ε.
证明：|xy－ab|＝|xy－bx＋bx－ab| ＝|x(y－b)＋b(x－a)|≤|x(y－b)|＋|b(x－a)| ≤|x||y－b|＋|b||x－a| <A·2ε＋A·2ε＝Aε. 所以有|xy－ab|<Aε.
2．已知函数f(x)＝x2－x＋13，|x－a|<1，求证： |f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
例 3 设 m 等于|a|、|b|和 1 中最大的一个．当|x|>m a b
时，求证：x＋x2<2.
分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、 |b|和 1 这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将 十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m≥|a|，m≥|b|， m≥1.
证明：∵m 等于|a|，|b|和 1 中最大的一个，|x|>m，
总之，恒有|a|＋|b|≤16. 而a＝8，b＝－8时， 满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16. 因此|a|＋|b|的最大值为16.
3．求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
分析：若把x－3，x＋1看作两个实数，则所给的代数 式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数 和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而 可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的 是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．
绝对值的三角不等式公式证明
绝对值的三角不等式公式证明
绝对值三角不等式是一个非常强大且非常有用的数学公式，它可以帮助我们精确地解决很多问题。
它的数学形式可以表述为：|x-y| < = a+b，其中x、y、a、b 都是实数，|x-y|表示x-y的绝对值。
绝对值三角不等式的证明由单射定理开始，它是数学中一个基本定理，其定义可以表达为：如果a＞b，则存在c＞0，使得a - c < b。
根据这个定理，关于x、y、a、b之间的关系可以写成更加清楚的等式形式：a-b<x-y < a+b。
接下来，假设y-x>0，也就是说x<y，此时有y-x<a+b，带入单射定理可得a-(y-x)<b，也就是说a-y+x < b，整理得x-y<a+b，故可证|x-y|<=a+b。
同理，如果y-x<0，也就是说x>y，此时有x-y<a+b，根据单射定理可得a-(x-y)<b，整理得a-x+y<b，故可证|x-y|<=a+b。
综上所述，可以看出绝对值三角不等式的证明基于单射定理，从而为我们提供了一个精确地解决数学问题的有效方法。
正是由于绝对值三角不等式的重要性和有效性，它被广泛用于各种数学领域中，如超越几何、微积分、概率论等。
绝对值三角不等式的解法绝对值三角不等式取等条件
三角不等式等号成立的条件绝对值三角不等式|a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异号时，绝对值三角不等式||a||b||=|a±b|成立。
||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|相反。
|a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|的不等式当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,||a||b||=|a±b|成立。
||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|的不等式,当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,|ab|=|a|+|b|成立.当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）时,||a||b||=|ab|成立。
绝对值三角不等式公式||a||b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
绝对值三角不等式定理绝对值三角不等式定理：|a||b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
三角不等式定理绝对值三角不等式公式||a||b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
一个是||a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。
当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，||a||b||=|a±b|成立。
另一个是||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|ab|=|a|+|b|成立。
当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，||a||b||=|ab|成立。
绝对值三角不等式：1、基本形式如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；2、变式如果a，b都是实数，则。
2.绝对值三角不等式
并求出取最小值时x的范围．
[思路分析] 恰当变形，利用定理2转化为定值．
解
根据定理2，f(x)＝|x－3|＋|x－1|≥|(x－3)－(x－1)|
＝ 2，
当且仅当(x－3)(x－1)≥0，即x≥3或x≤1.
所以当1 ≤ x≤3时，f(x)＝|x－3|＋|x－1|最小值为2.
答案 C
)．
B．|x－y|＜2k D．|x－y|＜|h－k|
4．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜
2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则 甲是乙的________条件．
答案 必要不充分
例1 已知ε> 0, |x - a|<ε, |y - b|<ε, 求 证:︱2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
提示 在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，
B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b| ＋ |b－ c|；当点 B不在点 A， C之间时， |a－ c|＜ |a－b|＋|b－c|.
基础自测
1 ． 若 两 实 数 x ， y 满 足 xy ＜ 0 ， 那 么 总 有
( )．
A．|x＋y|＜|x－y|
是( )．
A．当a，b异号时，左边等号成立 B．当a，b同号时，右边等号成立 C．当a＋b＝0时，两边等号均成立 D ．当a＋b ＞ 0时，右边等号成立；当 a ＋b＜ 0 时，左边等号成立
答案 B
3．若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则|＜2h C．|x－y|＜h＋k
≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.
∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？ · · ·
绝对值三角不等式课件
【防范措施】 正确求参数的取值范围 应用绝对值三角不等式求参数的取值范围是重点考查题型 ,解 答本题的关键是,正确应用绝对值三角不等式求出最值,再根 据题意,求出参数的取值范围,如本例关键是对条件关于x的不 等式|x-3|+|x-4|>a的解集不是R的正确理解.
【类题试解】若不等式|x-1|+|x+3|≥a恒成立，则a的取值范 围是______. 【解析】因为a≤|x-1|+|x+3|恒成立，故a小于等于 |x-1|+|x+3|中的最小值， 又|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|≥|1-x+x+3|=4, 故a≤4,即a的取值范围是(-≦,4］. 答案：(-≦,4］
2.函数y=|x－1|+|x－5|的最小值为______,此时x的取值范围 是_____. 【解析】|x－1|+|x－5|=|x－1|+|5－x| ≥|x－1+5－x|=4， 当且仅当(x－1)(5－x)≥0, 即1≤x≤5时等号成立. 答案：4 ［1,5］
类型 三
含绝对值不等式的证明
【典型例题】
(x－4)(x－ 3) 0， 当且仅当 3|， | x－4 || x－
即x≤3时, f(x)取最大值1.
【变式训练】1.若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均成立， 则实数a的取值范围是_____.
2.函数y=|x－1|+|x－5|的最小值为______,此时x的取值范围是_____.
【变式训练】若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均 成立，则实数a的取值范围是_____. 【解析】|x-a|+|x-2|≥1恒成立， 绝对值不等式的几何意义：数轴上 x到a与x到2的距离之和的 最小值为1. 当a=1或a=3时，对任意的x距离和的最小值为1，所以当a≤1 或a≥3时该不等式恒成立, a∈(-≦,1］∪［3,+≦). 答案：(-≦,1］∪［3,+≦)
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
1、绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
2、三角不等式等号成立的条件。
（1）|a|-
|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的不等式当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,||a|-|b||=|a±b|成立。
（2）绝对值三角不等式|a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异号时，绝对值三角不等式||a|-|b||=|a±b|成立。
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|相反。
（3）||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的不等式,当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,|a-b|=|a|+|b|成立.当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）时,||a|-|b||=|a-b|成立。
（4）绝对值三角不等式公式||a|-
|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
绝对值三角不等式 课件
1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为 符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．
2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放 缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b| 的理解和应用．
2．解决此类问题应从两个方向看推出关系来进行求 解．
条件不变，试求： (1)||a|a|－ －b|b|||＜1成立的充要条件； (2)|a|a|＋ ＋b|b||＞1成立的充要条件． 【解】 (1)因为ab＜0⇔||a|－|b||＜|a－b|⇔|a|a|－ －b|b||＜1，
含绝对值不等式的证明
设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时， 求证：|ax＋xb2|<2.
【思路探究】 不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|， m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．
【自主解答】 依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1， 又|x|>m， ∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|. 因此|ax＋xb2|≤|ax|＋|xb2| ＝||ax||＋||xb2||<||xx||＋||xx|22|＝2， 即|ax＋xb2|<2.
2．你能给出定理2的几何解释吗？
【提示】 在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A， B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B 不在点A，C之间时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.
绝对值不等式的理解与应用
已知a，b∈R，则有 (1)|a|a|－ －b|b||≤1成立的充要条件是________； (2)|a|a|＋ ＋b|b||≥1成立的充要条件是________． 【思路探究】 利用绝对值三角不等式定理分别求解．
绝对值三角不等式
a ,a>0 1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0 2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
a |a|
a2 a , ab a b ， | b | | b |
探究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与之a 间 的b 大
小关系吗？
当ab>0时，a b a b 当ab<0时，a b a b 当ab=0时，a b a b
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
当且仅当 ab 时0，等号成立。
你能解释它的几何意义吗？
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义 表示点A到原点的距离 a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B’( B与B’关
于原点对称)两点之间的距离
a A
0
a
x
ab
ab
B’
A
B
-b
a
O
bx
当向量 a, 不b 共线时，
ab a b
探究：当向量 a, b共线
时，又怎样的结论？
同向： a b a b 反向： a b a b
ห้องสมุดไป่ตู้
y
ab b
Oa
x
ab a b
绝对值三角不等式
等号成立的条件
中间部分为|a＋b|时， 两个绝 右端|a| 对值的 ≥中间 ab≥0，等号成立；中间 ＋|b| 和是非 部分 部分为|a－b|时，ab≤0， 负的 等号成立
所以（ S x）的最小值是10,
当 10 ≤ x ≤ 20 时取到 .
答: 生活区建于两路 碑间的任意位置都满 足条件.
60 40 20
y
0
10
20
30
x
典例讲评
例3 已知 x a
2M
,0 y b
2a
, y 0, M ，
求证 xy ab . 证明： xy ab xy ya ya ab yx a a y b
【思路点拨】
(1)由于xy<0，x，y异号，利
用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定． (2)题易判定m，n与1的大小关系．
【解析】 (1) 法一：特殊值法：取 x ＝ 1 ， y ＝－2，则满足xy＝－2<0， 这样有|x＋y|＝|1－2|＝1， |x－y|＝|1－(－2)|＝3， |x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1， ∴选项C成立，A，B，D不成立． 法二：由xy<0得x，y异号， 易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|， |x－y|>||x|－|y||， ∴选项C成立，A、B、D不成立．
【错因】 本题错误在于不能保证1＋|a＋ b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．
【自我校正】 当|a＋b|＝0 时， 显然成立． 当|a＋b|≠0 时， |a＋b| 1 1 ＝ ≤ 1 1 1＋|a＋b| ＋1 ＋1 |a＋b| |a|＋|b| |a|＋|b| |a| |b| ＝ ＝ ＋ 1＋|a|＋|b| 1＋|a|＋|b| 1＋|a|＋|b| |a| |b| ≤ ＋ ，所以不等式成立． 1＋|a| 1＋|b|
绝对值三角不等式课件
与其他数学知识的结合
绝对值三角不等式与函数
绝对值三角不等式可以应用于函数的性质和图像分析，例如判断函数的单调性、求函数 的极值等。
绝对值三角不等式与数列
在数列的项间关系和求和问题中，绝对值三角不等式可以用来处理带有绝对值的项，简 化计算过程。
在实际生活中的应用
交通规划
在交通路线的规划中，绝对值三 角不等式可以用于计算最短路径 ，优化交通网络。
答案与解析
答案
$(1,0)$ 或 $(0,1)$ 或 $( - 1, - 1)$ 或 $(1, - 1)$
VS
解析
根据绝对值的性质，将不等式转化为 $2a = 2(a + 1)$，解得 $a = -1$，再代入原 式得到 $(b, a) = (0, -1)$ 或 $(1, -1)$。
THANKS
在数列求和中的应用
总结词
绝对值三角不等式可以用于简化数列求和的过程，特别是对于一 些项之间存在一定关系的数列。
详细描述
通过利用绝对值三角不等式，可以将数列中的绝对值项进行放缩， 从而将数列求和问题转化为更容易处理的形式。
举例
例如，对于数列 { a_n }，其中 a_n = |a_(n-1) - a_(n-2)|，可以利 用绝对值三角不等式得出其求和结果。
03
绝对值三角不等式的应用
在不等式证明中的应用
总结词
绝对值三角不等式是证明不等式 的重要工具之一，它可以用于简
化不等式的证明过程。
详细描述
绝对值三角不等式可以用来证明 一些复杂的不等式，通过将不等 式中的绝对值项进行放缩，将其 转化为更容易处理的形式，从而
简化证明过程。
举例
例如，要证明 |a+b| ≤ |a| + |b| ，可以利用绝对值三角不等式直
绝对值三角不等式 课件
[例2] (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值． (2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)． 若|a|≤1，求|f(x)|的最大值． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可 求解．
[解] (1)法一：||x－3|－|x＋1|| ≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， ∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值． 解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥ |1－x＋x＋1|＝2， 当且仅当(1－x)(1＋x)≥0， 即－1≤x≤1时取等号． ∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1| 取得最小值2.
5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的 取值范围． 解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<[|x＋1|－|x－2|]min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅 当 ab≥0 时，等号成立． 几何解释：用向量a，b分别替换a，b. ①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为： 三角形的两边之和大于第三边 ． ②若a，b共线，当a与b 同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b 反向 时，|a＋b|<|a|＋|b|. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝 对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b| ≤|a|＋|b|.
绝对值三角不等式
综合法 : ab a b , 且当且仅当ab 0取等 a2 b2 2ab a2 b2 2 a b (a b)2 a 2 b 2 2 a b (a b)2 ( a b )2 当且仅当ab 0等号成立
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
oa b ba o
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
b
oa
ao
b
综上 ab 0时，a b a b ab 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a b 0时，a b a b
应用一： 证明不等式成立源自定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
证明：由绝对值三角不等式
a b b c (a b) (b c) a c
ab bc ac
当且仅当(a b)(b c) 0时等号成立
的点 B 之间的距离.如图:
即，
a b AB a b的几何意义?
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2
a 2 a2
② ab a b , a a ,…… bb
猜想：
① a b 与 a b 之间有什么关系？ ② a b 与 a b 之间有什么关系？
在数轴上表示 a 、b 、a b 时需要注意些什么？
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1 a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an
绝对值三角不等式取等条件
绝对值三角不等式取等条件
绝对值三角不等式取等条件：
1）如果$a=b=-c$，即a b c三个实数相等，则绝对值三角不等式成立：$|a|+|b|=|c|$
2）如果$a=-b$ 且$a>c$或$a=-b$ 且$c>a$，则绝对值三角不等式成立：$|a|+|b|=|c|$
3）如果 $|a|+|b|<|c|$，则绝对值三角不等式的等号不能取等，即
$|a|+|b|≠|c|$
4）如果 $|a|+|b|>|c|$，则绝对值三角不等式的等号不能取两边都等，即$|a|+|b|≠|c|$
绝对值三角不等式是一个基本的数学不等式，它是数学中绝对值的一
个典型应用，也是教科书中常考查的题型。
绝对值三角不等式取等条
件共有四种：
1）如果a b c三个实数相等，即$a=b=-c$，则绝对值三角不等式会成立；2）如果$a=-b$，且$a$或$c$大于另一数则$|a|+|b|=|c|$；
3）如果$|a|+|b|<|c|$，则等号不能取等；
4）如果$|a|+|b|>|c|$，则等号不能取两边都等。
绝对值三角不等式是绝对值典型应用中的一个重要定理，它反映了绝对值的性质，如大小关系、计算等，也是数学知识应用中很实用的一种不等式，在学习数学时要把握其取等条件，从而掌握绝对值三角不等式的概念，把它运用到实际中。
绝对值三角不等式课件
在应用绝对值三角不等式求函数最值时，需要注意处理函数定义域内的特殊情况 ，以及根据函数的性质选择合适的放缩方法。
在数列求和中的应用
总结词
绝对值总是非负的，即对于任何实数x，都有|x| ≥ 0。
详细描述
绝对值表示一个数值不考虑正负的大小，因此无论x是正数、负数还是零，其绝 对值都是非负的。这是绝对值的基本性质之一，也是理解绝对值三角不等式的基 础。
绝对值的传递性
总结词
如果a ≥ b且b ≥ c，那么a ≥ c。
详细描述
绝对值的传递性是指，如果一个数a大于或等于另一个数b，而这个数b又大于或等于数c，那么这个数a必然大于 或等于数c。这个性质在数学中非常重要，也是绝对值三角不等式推导的基础。
绝对值三角不等式在数列求和问题中也有着重要的应用。例 如，在求解数列的项的和或前n项和时，可以利用绝对值三角 不等式对数列进行放缩，从而得到数列的和的上下界。
在应用绝对值三角不等式求数列和时，需要注意处理数列的 项的正负交替出现的情况，以及根据数列的性质选择合适的 放缩方法。
05
绝对值三角不等式的变式
绝对值三角不等式的几何意义
几何解释
绝对值三角不等式表示在数轴上 任意两点A和B的距离之和，等于 它们到原点O的距离之和，即 |OA|+|OB|=|AB|。
应用举例
在解决实际问题时，如测量、定 位、计算距离等问题，可以利用 绝对值三角不等式来求解。
02
绝对值三角不等式的性质
Chapter
绝对值的非负性
绝对值的可加性
总结词
对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
数学课件：1.4 绝对值的三角不等式
题型一 题型二 题型三
反思对于含有两个绝对值以上的代数式,通常利用分段讨论的方 法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应的问题.利 用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生比较好的 效果,但这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.
故选项A成立. 同理,由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|<b,
∴|c|<|a|+b=|a|+|b|.故选项B成立.
而由选项A成立,得|c|-|a|>-|b|,由选项B成立,得|c|-|a|<|b|,
∴-|b|<|c|-|a|<|b|,
即||c|-|a||<|b|=b.故选项C成立. 由选项A成立知选项D不成立,故选D. 答案:D
题型一 题型二 题型三
利用绝对值的三角不等式求函数的最值
【例2】 求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. 分析:若把x-3,x+1看作两个实数,则所给的代数式符合两个数绝 对值的差的形式,因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数 绝对值的和(差)之间的关系,进而可转化求解.另一种思路是:含有 这种绝对值函数式表示的是分段函数,所以也可以视为是分段函数 求最值.
12345
5已知|x-a|<1,求证:|a|-1<|x|<|a|+1.
证明:∵|x-a|=|a-x|,根据绝对值不等式定理可得||x|-|a||≤|x-a|, ∴|x|-|a|≤|x-a|<1或|a|-|x|≤|x-a|<1, ∴|x|<|a|+1或|a|-1<|x|. ∴|a|-1<|x|<|a|+1.
1、4绝对值三角不等式
解析 |x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜h＋k.
1
2
3
4
5
解析
答案
|a|－|b| |a|＋|b| 3.已知|a|≠|b|，m＝ ，n＝ ，则 m，n 之间的大小关系是 |a－b| |a＋b|
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.m≤n √
解析
|a|－|b| |a－b| m＝ ≤ ＝1. |a－b| |a－b|
当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
b a ∵ab≠0，a与b同号， b a b a ∴|a＋b|＝|a|＋|b|≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确.
1 2 3 4 5
解析
答案
跟踪训练 3 |f(2)|≤7.
设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx＋ c，当 |x|≤1 时，恒有 |f(x)|≤1 ，求证：
ab 例.3. 已知 | a | 1, | b | 1, 求证 1 1 ab
ab (a b)2 证明： 1 1 2 1 ab (1 ab)
a 2 2ab b2 1 2ab a 2 b2
1 a 2 b2 a 2 b2 0
|a|＋|b| |a＋b| 又 n＝ ≥ ＝1， |a＋b| |a＋b|
∴m≤n.
1 2 3 4 5
解析
答案
4. 已知 x∈R ，不等式 |x ＋ 1| － |x － 3|≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 A.(－∞，4] C.[1,3] B.[4，＋∞) √ D.[－1,3]
解析 |x＋1|－|x－3|≤|(x＋1)－(x－3)|＝4，
绝对值三角不等式
当ab < 0时，ab = −ab,| a + b |= (a + b) 2 = a + 2ab + b = | a | −2 | ab | + | b |
2 2 2 2 2 2 2
< | a | +2 | ab | + | b | = (| a | + | b |) =| a | + | b |, 所以 | a + b |≤| a | + | b |, 当且仅当ab ≥ 0时，等号成立。
ε
2a
, y ∈ (0, M ) ，
xy − ab < ε .
证明： − ab = xy − ya + ya − ab = y(x − a) + a( y − b) xy
ε ε ≤ y x −a + a y −b < M ⋅ +a⋅ = ε. 2M 2a
补充练习 : a−b a+b 1.已知 a ≠ b , m = ,n = , 则m , n之间的 a−b a+b 大小关系是 ( D ) A.m > n B.m < n C.m = n D.m ≤ n π
例 : 若 x − m < ε , y − m < ε , 下列不等式中一定成立 的是 ( B ) A. x - y < ε B . x − y < 2ε C . x − y > 2ε D. x − y > ε
练习： 1.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b|
小结：
理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。 作业：课本 作业：课本P19第、4、5题 第 、 题
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1.4绝对值三角不等式
教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.
教学重点：定理1的证明及几何意义。
教学难点：换元思想的渗透。
教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤-
（3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b b
a b a
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b b
a b a
可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。
在0<a 时，等号不成立）。
同样，.a a -≥当且仅当0≤a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的
性质。
二、典型例题：
例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。
证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+
如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以
b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(
（2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
所以，b a b a -≥+。
例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。
例3、证明 c b c a b a -+-≤-。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
这就是上面的例3。
特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。
）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a +≥+.
在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b ,
则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有｜a+b ｜<｜a ｜+｜b ｜
其几何意义是什么？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）
2
,2c b y c a x <-<- ， ∴c c c b y a x =+<-+-2
2 （2） 由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()(
例5、已知.6
,4a y a x << 求证：a y x <-32。
证明 6,4a y a x << ，∴2
3,22a y a x <<， 由例1及上式，a a a y x y x =+<+≤-2
23232。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
四、巩固性练习：
1、已知.2
,2c b B c a A <-<
-求证：c b a B A <---)()(。
2、已知.6,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
作业：习题1.2 2、3、5
1.4绝对值三角不等式学案
☆预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式。
☆预习内容： 1．绝对值的定义：a R ∀∈，||a ⎧⎪=⎨⎪⎩
2. 绝对值的几何意义：
10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A
20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ， 那么||a b -的几何意义是
3.定理1的内容是什么？其证法有几种？
4.若实数,a b 分别换成向量,a b 定理1还成立吗？
5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：
1、绝对值的定义的应用
例1 设函数()14f x x x =+--．
()1解不等式()2f x >；()2求函数()y f x =的最值．
2. 绝对值三角不等式：探究||a ，||b ，||a b -之间的关系. ①0a b ⋅>时,如下图, 容易得：||||||a b a b ++.
②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||
||||a b a b ++.
③0a b ⋅=时,显然有：||
||||a b a b ++. 综上,得
定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当 时, 等号成立. 在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b , 则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有||
||||a b a b ++ 它的几何意义就是: 定理1的证明:
定理2 如果,,a b c R ∈, 那么||||||a c a b b c --+-. 当且仅当 时, 等号成立.
3、定理应用 例2 （1）,a b R ∈证明b a b a -≥+，
（2）已知 2,2c b y c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+。