2018年中考与圆有关的动点问题(答案)

1.【答案】D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝

1

2

AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π．

2.【答案】B 【解析】如解图，过A 作⊙O 的直径AE ，连接ED ，AD ，∴∠ADE ＝90°，∵∠E ＝∠B ＝30°，∴∠EAD ＝60°．在Rt △ADE 中，AD ＝

1

2

AE ＝6，∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，∴∠CAD ＝90°－60°＝30°，过点D 作AC 的垂线，垂足为C ＇，在Rt △DA C ＇中，∵∠DA C ＇＝30°，∴DC ＇＝1

2

AD ＝3，∴当点C 在C ＇点时，CD 有最小值，最小值为3．

3.【答案】D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝60°．∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝6．当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC ＝12．∵∠ABC 是直径所对的圆周角，∴∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，∴AB ＝1

2

AC ＝6．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ＝

1

2

AB ＝3．∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝12－3＝9． 4.【答案】D 【解析】∵AB ＝15，AC ＝9，BC ＝9，∴2AB ＝2AC ＋2BC ，∴△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点C 在圆上，所以EF 为圆的直径，若求线段EF 的最值，即要使圆最小，圆与AB 的切点为D ，如解图，连接CD ，当CD 垂直于AB 时，即CD 是圆的直径时，EF 长度最小，即最小值是斜边AB 上的高CD ，利用三角形面积可得：

12AB ·CD ＝12AC ·BC ＝12×15×CD ＝12×12×9，解得CD ＝365

． 5.【答案】C 【解析】当点C 为劣弧AB 的中点时，△ABC 内切圆半径r 最大，如解图，连接OC 交AB 于D 点，⊙M 为△ABC 内切圆，作ME ⊥AC 于E 点，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝

1

2

AB ＝3，AC ＝BC ，∴点M 在CD 上，∴ME 和MD 都为⊙M 的半径，设ME ＝MD ＝r ，∵∠ACB ＝120°，∴∠A ＝30°，∠ACD ＝60°，在Rt △ACD 中，CD

在Rt △CEM 中，∠ECM ＝60°，∠CME ＝30°，CE

EM

r ，

第1题解图

B

第2题解图

第3题图

D

第4题解图

A

F E C

B

∴CM ＝2CE

，CM ＋DM ＝CD

＋r

r ＝6－

6.【答案】C 【解析】由题可知=ABC

ACD

ABCD S S

S

+四边形，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点B 作

BF ⊥AC 于点F ，如解图，则1=2ABCD S AC BF ∙四边形＋1

2

AC DE ∙

＝12

＋1

2

DE

，当点D 为劣弧AC 的中点时，DE 取得最大值，此时∠DAC ＝∠ACD ＝∠ABD ＝

12∠ABC ＝30°，在Rt △ADE 中，AE ＝12AC

，DE ＝1

2

AD ，由勾

股定理可得DE ＝1

2

，∴此时12ABCD S 四边形

7.【答案】B 【解析】如解图，作直径BD ，连接CD ，OC ，BM ，CM ，OM ，则∠BCD ＝90°，则∠BAC ＝∠D ，∵BC ＝

BD ＝2OB ＝4，∴CD

2，∴CD ＝

1

2

BD ，∴∠DBC ＝30°，∴∠BAC ＝∠D ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∵P 点是△ABC 的内心，∴∠PBC ＋∠PCB ＝

1

2

（∠ABC ＋∠ACB ）＝60°，∴∠BPC ＝120°＝∠BOC ，∴点O 在⊙M 上，∴OM ＝CM ，∵BM ＝CM ，∴BM ＝CM ，∴∠BOM ＝∠COM ＝60°，∴△OCM 是等边三角形，∴CM ＝OC ＝2，即⊙M 的半径不变等于2．故选B ．

8.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠ACB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，又∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵AB ＝6，∴OA =

OB =6

M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN =

1

2

AC ，要使MN 最大，即AC 最大，而AC 是⊙O 的弦，故AC 是⊙O 的直径时，值最大，此时

AC =2OA MN 长的最大值是

12

AC =1

2⨯

第5题解图

A

第6题解图

第7题解图

第8题解图

9.【答案】B 【解析】如解图，将⊙O 补全，延长BO 交⊙O 于点C ，连接AC 交MO 于点P ，连接BP ，∵CB ⊥MN ，OB =OC ，∴BP =CP ，∴PA +PB =PA +PC ，根据两点之间线段最短可知所作点P 即为所求，此时PA +PC =AC ．∵CB 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AB =4，BC =2OB =10，∴AC

10.【答案】C 【解析】如解图，∵AC 为其直径，∠ACB ＝30°，∴∠A ＝60°，∵点A ＇在AC 上运动，∴∠A ＇＝∠A ＝60°，∵C ＇B ⊥A ＇B ，∴∠C ＇＝90°－60°＝30°，∵∠C ＇

是定值，∴点C ＇的运动路径是一个圆，当点C ＇运动到C ''时，C C ''＝2BC ，∵⊙O 的半径为7，∴AC ＝14，AB ＝7 ，∴BC ＝

C C ''＝

C ＇以在C C ''中点M 为圆心，

BC ＇的最大值为

11.【答案】A 【解析】连接AE ，如解图①，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝

AB ＝AC ＝4，∵AD 为直径，∴∠AED ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙O 的上，∵⊙O 的半径为2，∴当点E 为线段OC 与⊙O 的交点时，CE 最小．

如解图②，在Rt △AOC 中，∵OA ＝2，AC ＝4，∴OC

CE ＝OC －OE

＝－2．即线段CE

长度最小值为2．当点E 为射线CO 与⊙O 的交点时，CE 最大，

最大值为+2，∴

－2≤CE ≤

＋2．

12.【答案】A 【解析】如解图，连接OQ ，∵MN ＝OP （矩形对角线相等），⊙O 的半径为2，

OQ ＝12MN ＝1

2OP ＝1，可得点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．当点P 沿

着圆周转过45°时，点Q 也是转过45°．∴Q 运动过的长度为

45360︒︒×2π＝4

π

．故选A ． 13.【答案】C 【解析】如解图，连接CE ，∵点E 是AD 的中点，A ＇E ＝AE ＝

1

2

AD ，点F 为动点，则随着F 的运动，A ＇的运动轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径在矩形ABCD 内的

第9题解 图

第10题解图

②

图B

①

图