logistic回归分析

乙疗法
治疗 原治 预期
原治 预期
人数 愈率 治愈数 愈率 治愈数
普通型 400 60.0 240
65.0 260
重型 400 35.0 140
41.7 167
合计 800
380
427
调整率（标准化率）：
P 甲 ' N N iP ii 8 30 84 0 0.5 7% P乙'8402075.34%
X1疗法（甲=0，乙=1）X2病情（轻=1，重 =0） Y疗效（Y=1有效，Y=0无效）
p(y1)1ex 1 (p 0 [x)P]概1率
z01x
0.5
Β为正值，x越 大，结果y=1发 生的可能性（p） 越大。
-3 -2 -1 0 1
Z值 23
图16-1 Logistic回归函数的几何图形
几个logistic回归模型方程
p 1P (y 1 /x 1 )1 e e 0 0 x x
例：见265页 区别： 条件Logistic回归的参数估计无常数项（β0），主
要用于危险因素的分析。
项
一、logistic回归的应用
1.疾病（某结果）的危险因素分析和筛选 用回归模型中的回归系数（βi）和OR说明
危险因素与疾病的关系。例：讲义例16-1， 16-2，16-3
适用的资料：
前瞻性研究设计、病例对照研究设计、 横断面研究设计的资料。
或
1 p (y 1 /x 1 ,x 2 x k ) 1 e ( 0 1 x k .... k x k )
2.模型中参数的意义
ln1 PP=01X1
Β0（常数项）：暴露因素Xi=0时，个体发病 概率与不发病概率之比的自然对数比值。
ln 1 P P (y (y 1/0x/x 0)0)=0
方程如下：
线形 关系
y lo i(t p g )01 x 1 Y～（-∞至+∞）
截距（常数）
回归系数
在有多个危险因素（Xi）时
多个变量的logistic回归模型方程的线性表
达：
公式16-2
lo g l 1 n P iP t = (0 p 1 X 1 ) 2 X 2 m X m
第一节 logistic回归 一、基本概念
1.变量的取值 logistic回归要求应变量（Y）取值为分类变量
（两分类或多个分类）
1 Y0
出现阳性(发 结病 果、有效、死亡 出现阴性(未 结发 果病、无效） 、存
自变量（Xi）称为危险因素或暴露因素，可为连续变 量、等级变量、分类变量。 可有m个自变量X1， X2，… Xm
例1
例：
表5-4甲乙两疗法某病治愈率%比较
病型
愈
率 普通型
65.0 重型
41.7 合计
47.5
病人 数
300 100 400
甲疗法 治愈 治愈
数
率
180 60.0
35 35.0
215 53.8
乙疗法 病人 治愈 治
数
数
100
65
300
125
400
190
表5-5直接法计算标准化治愈率
病型 标准
甲疗法
ln L 0 (X 1 ) 5 8 5 .3 2 6 lo g it(p )01 x 1
G 2 [lnL (X 1,X 2)lnL (X 1) 2 ( 5 7 9 .7 1 1( 5 8 5 .3 2 6 )] 1 1 .2 3
G ＞3.84，p＜0.05，说明调整吸烟因素 后，饮酒与食管癌有关系。
2.检验二：
检验模型中某β是否对Y有作用。
检验假设： H0:j 0 H1:j 0
检验统计量：主要为Wald检验（SAS软件）
2 ( bj )2
例；
Sbj
ν=1的χ2
公式16-13
在大样本时 ，2 三 方(法0.0 结8.8 1 果5 5一6)致2。33.86
例表16-1资料，对各x的β做检验（wald检验） 参数 β估计值 标准误 Chi-Squa Pr 常数-0.9099 0.1358 44.8699 .0001 吸烟 0.8856 0.1500 34.8625 .0001 饮酒 0.5261 0.1572 11.2069 .0008
例：暴露因素 高血压史(x1)：有 或无 高血脂史(x2)： 有 或 无 吸烟(x3)： 有或无
冠心病结果 有 或无
研究问题可否用多元线性回归方法？
y ˆ a b 1 x 1 b 2 x 2b m x m
1.多元线性回归方法要求 Y 的取值为计量 的连续性随机变量。
2.多元线性回归方程要求Y与X间关系为线 性关系。
H 0 :1 2 m 0
H 1 :各 （ jj 1 ， 2 ， ， m ) 不 全 为 0
l n 1 P P =01 X 12 X 2 m X m
检验方法（讲义260-261页） 1）似然比检验 (likelihood ratio test) 2）Wald检验
例表16-1吸烟、饮酒与食管癌资料 （SAS软件计算）
i 的含义：某危险因素，暴露水平变化时，即
Xi=1与Xi=0相比，发生某结果（如发病）优势 比的对数值。
lnORlnPP01 //((11PP10)) logitP1 logitP0
P1（y=1/x=1）的概率 P0（y=1/x=0）的概率
(0 1x1)(0 x0) 1x1
ORe
OR P1/1 (P1)od1d P0/1 (P0) od0d
2.两值因变量的logistic回归模型方
程
一个自变量与Y关系的回归模型
如：y：发生=1,未发生=0 x ： 有=1， 无=0，
记为p（y=1/x）表示某暴露因素状态下，
结果y=1的概率（P）模e型0。x
或
P(y1/x)1e0x
p(y1/x)1ex 1 ( p0 [x)]
模型描述了应变量p与x的关系
3.多元线性回归结果 Yˆ 不能回答“发生
与否” logistic回归方法补充多元线性回归的不足
Logistic回归方法
该法研究是 当 y 取某值（如y=1）发生的概率（p）与
某暴露因素（x）的关系。
p ( y 1 /x ) f( x ) ,即 p f( x )
P（概率）的取值波动0～1范围。 基本原理：用一组观察数据拟合Logistic模型， 揭示若干个x与一个因变量取值的关系，反映y 对x的依存关系。
变量的赋值
1 Y
0
食 管 癌 患 者 对 照 ： 非 食 管 癌
1 X1 0
wk.baidu.com
吸烟
1
不吸烟 X2 0
饮酒 不饮酒
经logistic回归计算后得 b0 =-0.9099， b1 =0.8856， b2
方程=表0.5达2：61，
ln (p) 0 .9 0 9 9 0 .8 8 5 6 x 1 0 .5 2 6 1 x 2 1 p
Odds Ratio Estimates Point 95% Wald
Effect Estimate Confidence Limits 吸烟x1 2.424 1.807 3.253 饮酒x2 1.692 1.244 2.303
似然比检验（讲义）
对某个β做检验，检验统计量（G）
G 2 (lnL 1lnL 0)
变量 β
Sb Waldχ2 P 标准β’ OR
常数 -4.705 1.54 9.30 0.0023
年龄 0.924 0.477 3.76 0.0525 0.401 2.52
X5 1.496 0.744 4.04 4.46
0.0443 0.406
X6 3.136 1.249 6.30 0.0121 0.703 23.06
四、变量筛选
目的；将回归系数有显著意义的自变量选入 模型中，作用不显著的自变量则排除在外。
变量筛选算法有：前进法、后退法和
逐步法（stepwise）。 例：讲义例16-2，用逐步法 选入变量的显著水准为0.10，变量保留在方
程的水准为0.15 例：16-2讲义261-263页
表16-4 进入方程的自变量及参数估计
Y 发病=1 不发病=0
Y 发病=1 不发病=0
危险因素
x= 1 x= 0
30（a） 10（ b）
70（c） 90（d）
a+c
b+d
危险因素
x= 1 x= 0
p1 1-p1
p0 1-p0
p1
a
a
c
有暴露因素人群中发病的比例
多元回归模型的的 i概念
lo g it(p ) ln 1 P P =01 X 1 m X m
exp)(OR
控制饮酒因素后，
吸烟与不吸烟相比
ex 0 .8 p8 () 5 O6 R 2 .424患4 食管癌的优势比
为2.4倍
ex 0.5 p2 () 6 O1 R 1.6923
OR的可信区间估计
吸烟与不吸烟患食管癌OR的95%可信区间：
e x p (b 1 u /2 S b 1 ) e x p (0 .8 8 5 6 1 .9 6 0 .1 5 ) ( 1 .8 1 ,3 .2 5 )
三类研究计算的logistic 回归模型的β意义是一致。仅常 数项不同。（证明略）
Logistic回归的应用
2.校正混杂因素，对疗效做评价 在临床研究和疗效的评价，组间某些因素构
成不一致干扰疗效分析，通过该法可控制 非处理因素，正确评价疗效。
3.预测与判别 预测个体在某因素存在条件下，发生某事件
（发病）的概率，为进一步治疗提供依据。
通常用最大似然函数 (maximum likelihood estimate， MLE)估计β， 由统计软件包完成。(讲义259页）
ORe
如X=1，0两分类，则OR的1-α可信区间
估计公式
e(bj u/2Sbj )
S 为回归系数 b j 的标准误
（公式16-10）
例：讲义表16-1资料
一个研究吸烟、饮酒与食道癌关系的病例－对 照资料（886例），试作logistic回归分析。
饮酒与不饮酒OR的95%可信区间：
e x p ( b 2 u /2 S b 2 ) e x p (0 .5 2 6 1 1 .9 6 0 .1 5 7 2 ) ( 1 .2 4 ,2 .3 0 )
三、Logistic 回归模型的假设检验
1.检验一：对建立的整个模型做检验。
说明自变量对Y的作用是否有统计意义。
X8 1.947 0.847 5.29 0.0215 0.523 7.01
bj'bjsj/(/ 3)
标准回归系数（b’） 比较各自变量对Y 的相对贡献
第二节 条件Logistic回归
概念： 用配对设计获得病例对照研究资料，计算的
Logistic回归模型为条件Logistic回归。
成组（未配对）设计的病例对照研究资料，计算的 Logistic回归模型为非条件Logistic回归。
i 反映了在其他变量固定后，X=1与x=0相
比发生Y事件的对数优势比。
回归系数β与OiR
X与Y的关联
β=0，OR=1，
无关
β＞1，OR＞1 ， 有关，危险因素
β＜1，OR＜1， 有关，保护因子
事件发生率很小，OR≈RR。
二、logistic回归模型的参数估计
1. 模型中的参数（βi）估计
， l n 1 P P =01 X 12 X 2 m X m
e 0 x P (y 0 /x 1 ) 1 1 e 0 x 1 p 1
e0 p0P (y1/x0)e 0 1e0 P (y 0 /x 0 ) 1 1 e 0 1 p 0
logistic回归模型方程的线性表达
对logistic回归模型的概率（p）做logit变
换， logit(p)ln( p ) 1p
ln L1
包括p个自变量的对 数似然函数
ln L0
包括 l 个自变量的 对数似然函数
G服从自由度（d）=p-l的χ2分布
似然比检验对β做检验
例：X1为吸烟，X2为饮酒，检验饮酒与食 管癌关系，H0：β2=0，H1：β2≠0
ln L 1 (X 1 ,X 2 ) 5 7 9 .7 1 1 lo g it(p ) 0 1 x 1 2 x 2
1.对建立的整个模型做检验。 ln (p) 0 .9 0 9 9 0 .8 8 5 6 x 1 0 .5 2 6 1 x 2 1 p
Testing Global Null Hypothesis: BETA=0
Test Chi-Square DF Pr 似然比 68.5457 2 <.0001 计分检验 67.0712 2 <.0001 Wald检验 64.2784 2 <.0001
第十六章 logistic回归分析
logistic回归为概率型非线性 回归模型，是研究分类观察 结果(y)与一些影响因素(x) 之间关系的一种多变量分析 方法
问题提出：
医学研究中常研究某因素存在条件下某结果是否 发生？以及之间的关系如何？
因素（X）
疾病结果（Y）
x1，x2，x3…XK
发生
Y=1
不发生 Y=0