概率论与数理统计-精品试卷-华南理工大学 (1)
华南理工大学大一公共课概率与统计试卷及解答1
诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试《概率论与数理统计》A 卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共八大题，满分100分， 考试时间120分钟。
注意： (1.67)0.9525(1.96)0.975(1.45)0.926Φ=Φ=Φ=()()()0.9750.950.9515 2.132,16 1.746,15 1.753t t t ===()()220.9750.025220.950.05220.9750.025(4)11.143(4)0.484(5)11.071(5) 1.145512.83350.831χχχχχχ======一、（12分）设有n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。
如果这n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r 个人的概率与r 无关。
(甲到乙是顺时针) 解：()1221(2)!2(1)1)()!(1)(2)!!12)()(1)!1r n C n r n n r P A n n n C n r r P A n n ------==---==--二、（10分） 甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。
现从所有的产品中抽取一个产品，试求 （1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？解：设1A ，2A ，3A 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。
（1）所求事件的概率为112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.030.350.020.40.010.0185=⨯+⨯+⨯=（2）222()(|)0.350.02(|) = 0.38 ()0.0185P A P B A P A B P B ⨯=≈三、 (10分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解 由条件知)2.0,5(~B X ，即5,,1,0,8.02.05}{5 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P kk⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=====3,2;2,0;1,5;0,10)(X X X X X g Y )(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}{)()(5万元=⨯-⨯+⨯==+=+=⨯-=⨯+=⨯+=⨯====∑=X P X P X P X P X P X P k X P k g X Eg EY k四、(15分) 设随机变量和的联合分布在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求 (1) 关于X 的边缘密度 (2) X 和Y 的协方差(3) 随机变量的方差.解 三角形区域为;随机变量和的联合密度为X Y ()()()0,1,1,0,1,1U X Y =+(){},:01,01,1G x y x y x y =≤≤≤≤+≥X Y以表示的概率密度,则当或时, ;当时,有因此同理可得, .现在求和的协方差于是五、（12）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求 （1）命中环形区域(){}22,12D x y xy =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =.（1）()()()2,,0,x y Gf x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩当当()1f x X 0x ≤1x ≥()10f x =01x <<()()111,22xf x f x y dy dy x ∞-∞-===⎰⎰1122300212, 232EX x dx EX x dx ====⎰⎰()221412918DX EX EX =-=-=21,318EY DY ==X Y 11152212xGEXY xydxdy xdx ydy -===⎰⎰⎰⎰()541cov ,12936X Y EXY EX EY =-⋅=-=-()()11212cov ,18183618DU D X Y DX DY X Y =+=++=+-=X Y {,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰（2）.六、（10分）某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知),方差2400σ=.为了估计μ,随机地取n 只这种器件,在时刻0t =投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得寿命为12,,,n X X X ,以11ni i X X n ==∑作为μ的估计,为了使{}10.95P X μ-<≥,问n 至少为多少?解、 由于12,,,n X X X 独立同分布,且2,400i i EX DX μσ===.由林德伯格-列维定理得{}1P X P μ⎫⎛-<=<≈Φ-Φ ⎝⎭⎝⎭21210.9520σ⎛⎛=Φ-=Φ-≥ ⎝⎭⎝⎭即0.975Φ≥⎝⎭,1.96≥,故2400 1.961536.64n ≥⨯=. 因此n 至少为1537.七、（10分）(1) 设某机器生产的零件长度（单位：cm ），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. 求的置信度为0.95的置信区间.(2) 某涤纶厂的生产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常生产的条件下，服从正态分布N(1.405 , 0.0482)，某日随机地抽取5根纤维，测得纤度为1.32 ，1.55 ，1.36 ，1.40 ，1.44问一天涤纶纤度总体X 的均方差是否正常（α=0.05）?2221122888211()8r r red ee e----=--=-=-⎰22818x y EZ E e dxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰222288001184r r rerdrd e r drπθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰2228882r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰⎰2~(,)X N μσ10x =20.16s =μ解：（1）的置信度为下的置信区间为()()11221,1X n X nαα--⎛⎫--+-⎪⎝⎭()0.97510,0.4,16,0.05,15 2.132x s n tα=====所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）(2)()()()()()()()()()()()22222001022221220.97512220.0252222222220.975012:0.048:.1~512.83350.83111.32 1.405 1.55 1.405 1.44 1.4050.04813.68313.683512.833niiH HX nnnn Hααασσσσχμχσχχχχχχχχ=--==≠=-====⎡⎤=-+-++-⎣⎦==>==∑，因为，所以拒绝，即这一天涤纶纤度ξ的均方差可以认为不正常。
华南理工大学《概率论与数理统计》试卷A卷参考试卷
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 可使用计算器，解答就答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共八大题，满分100分。
考试时间120分钟。
5. 本试卷的七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。
标准正态分布的分布函数值：99.0)33.2(=Φ（10分）甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n 次。
求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。
（14分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
三、（试求：(1) a ；(2) P （X+Y<1）；(3) E(XY)四、（15分）设的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他020,10)(),(y x y x A y x f求：(1) A ；(2) E(X), cov(X,Y)，X 和Y 的相关系数；(3)(X,Y)落入区域},10{2x y x D ≥≤≤=的概率。
五、（12分）某学院有1000名学生，每人有80％的概率去大礼堂听讲座，问礼堂至少要有多少座位才能以99％的概率保证去听讲座的同学有座位？六、（10分）设随机变量ξ与η独立，并有相同的分布),(2σa N 。
试证：()[]πσηξ+=a E ,max七1、（2学分做）（12分）设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧≤≤=-.,0)(.0,101)(其他其他y e y f x x f yY X已知X,Y 的函数⎩⎨⎧>≤==.0,1),(Y X Y X Y X g Z试求EZ ，DZ 。
八1、（2学分做）（12分）设随机变量),(ηξ在单位园(){}1|,22≤+=y x y x D 上服从均匀分布，求：⑴ ),(ηξ的联合概率密度),(y x ϕ； ⑵ 边际密度函数)(x ξϕ，)(y ηϕ； ⑶ ξ与η是否相关，是否独立？。
华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案
二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。
九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
概率论与数理统计答案(华南理工)
开讨论
例 对容量为n的样本，求下列密度函数中参数 a 的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 其它 0, a 2 a 解 由于 E [ X ] x 2 ( a x )dx 0 a 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
方差
1 50 ˆ X Xi 50 i 1 50 1 2 2 2 ˆ 2 S50 Xi ( X ) 50 i 1
此时，ˆ ,
ˆ
2
为两个统计量
根据大数定理，样本的矩和总体的矩应当非常接近 假若样本有观测值x1，x2，……x50,代入统计量中，有
用样本的统计量来估计分布的数字特征，进而得到参
数估计的办法也叫数字特征法，是矩法的特例。
思考一下，是否有其他求解的办法？ 考虑泊松分布的二阶中心矩 得到矩法估计量
Var[ X ]
1 n ( X i X )2 n i 1
可见：同一个参数的矩估计量可以不同。 使用哪个更好一些？ 矩法估计总能用低阶矩就不用高阶矩 之后会系统地介绍估计量优劣的评价，届时再展
解：设装袋的重量为随机变量X，即总体为X~N(μ, σ2)。
E[ X ] 2 2 2 Var [ X ] E [ X ] ( E [ X ])
此时，要估计参数，就转化为估计随机变量的矩 观测50次，即取X1，X2，……X50个样本，样本容量50 计算样本 的期望和
若总体的密度函数中有多个参数1，2，…，n，则将 ln L 第（3）步改为 0, (i 1, 2, , n) i 解方程组即可。
华工概率论2010-1答案
二、解：设 A={从事某职业的可疑病人}，B=｛患有肺癌｝
2分 4分 8分
P( A) = 0.45 ， P (A ) = 0.55 ， P(B A) = 0.9 ， P B A = 0.05
（1） P (B ) = P ( A)P B A + P A P B A = 0.4325 （2） P A B =
n n
5分
n
∑ ξ i ， Eη = ∑ Eξ i = 0 ， Dη = ∑ Dξ i =
i =1 i =1 i =1
n 3
7分
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎛ 3⎪ 3⎞ 3⎞ ⎪ η ⎟ − Φ⎜ − 10 ⎟ ≥ 0.99 P{η < 10} = P ⎨ < 10 ⎬ ≈ Φ⎜ 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n n n n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭
1.5
{ξ
< y} = 0 ，
d Fη (y ) = 0 ， 3 分 dy
当 y > 0 时， Fη (y ) = P{ η < y} = P
{ξ
< y} = P(- y < ξ < y )
7分
y⎞ ⎛ξ y⎞ ⎛ξ ⎛y⎞ ⎛ y⎞ = P(ξ < y ) - P(ξ < -y) = P⎜ < ⎟ - P⎜ < - ⎟ = Φ⎜ ⎟ - Φ⎜ - ⎟ σ⎠ ⎝σ σ ⎠ ⎝σ ⎝σ ⎠ ⎝ σ ⎠
P (D1 ) = 0.05 ， P(D2 ) = 0.10 ， P(D3 ) = 0.25
5分
Ei =｛表示第二种工艺下的第 i 道工序生产的废品｝ ，i=1，2
P (E1 ) = P (E 2 ) = 0.10
概率论与数理统计习题解答 华南理工大学出版社
第一章
1-7 已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任意抽
取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找到为 止，求需要测试7次的概率。
解
p
C31P62 P74 P170
1 8
1-10 房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一个月
份的概率是多少?
解
p
P142 12 4
1-13 将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率:（1）
P( AC BC ) P( AC) P(BC ) P( ABC) P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P(C)[P( A) P(B) P( A)P(B)] P(C)P( A B) A B与C相互独立。
7、解：(1)
A={点数之和为偶数} B={点数之和等于8}
rA 18 B {(2,6) , (6,2) , (3,5) ，(5,3) ，(4,4)} P(B A) P( AB) P(B) 5 / 36 5
P( A) P( A) 18 / 36 18
8、解：设Ai={第i人破译出密码} i=1,2,3
100
100
0.9524
P(C) P(A1)P(A2)P(A3) 0.95243 0.8639
22、解： Ai={产品来自第i箱}
B={产品是合格品} C={产品经检验为合格品}
3
(1) P(B) P(B Ai )P( Ai ) i 1 20 1 12 1 17 1 20 5 3 12 4 3 17 5 3 0.775
P(C) P(C B)P(B) P(C B )P(B )
华工概率论与数理统计试卷及答案1
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库诚信应考, 考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共八大题，满分100分。
考试时间120分钟。
5. 本试卷的六、七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得 分 评卷人可能用到的分位点：5.20)10(19)9(25.3)10(7.2)9(2025.02025.02975.02975.0====χχχχ()()()()()812.11083.1923.21026.2931.2805.005.0025.0025.0025.0=====t t t t t(1)0.8413,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2)0.9772Φ=Φ=Φ=Φ=一、(10分) 已知：0)( 161)()( 41)()()(======AC P BC P AB P C P B P A P 求：)(C B A P解：)()(C B A P C B A P ==1-)(C B A P =1-（)()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++）=83（0)(,0)(==ABC P AC P ）二、(15分) 袋中有15个球，10个红球，5个黄球。
不放回地分两次从袋中将球逐个取出，第一次取5个球，第二次取6个球。
求以下事件的概率： (1) 第二次6个球中的第5个是红球；(2) 第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球； (3) 第一次5个球中有3个红球或第二次6个球中有2个黄球； 解： (1) 设A ：第二次6个球中的第5个是红球321510)(==A P(2) 设A ：第一次5个球中有2个黄球B ：第二次6个球中有4个红球 原问题转换为求P(AB)①: Ω: 515CAB: 142625C C C ⋅⋅2.01001200)(515142625≈=⋅⋅=C C C C AB P ②:2.01001200)(*)()(610472351531025≈=⋅⋅⋅==C C C C C C A B P A P AB P (3) 设A ：第一次5个球中有3个红球设B ：第二次6个球中有2个黄球 原问题转换为求P(A ∪B)51514262551539266154102551531025)()(,)(CCC C AB P C C C C C C B P C C C A P ⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅=⋅=P(A ∪B)= )()()(AB P B P A P -+=62.01001620≈三、(15分) 随机变量 ξ 服从N(0,4)，η=2ξ。
华南理工大学概率论和数理统计课后答案
（4） P( A | B) =
2-3 因为 AB ⊆ A ⊆ A U B ，所以 P ( AB ) ≤ P ( A) ≤ P ( A U B ) 又因为 P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB) ，所以
P ( AB ) ≤ P ( A) ≤ P ( A U B ) ≤ P ( A) + P ( B )
所以
P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
=
1 1 1 Cb Cb Ca +c 1 1 1 Ca + b Ca + b + c Ca + b + 2 c
=
b b+c a a + b a + b + c a + b + 2c
2-11
设 A ={这批货获得通过}， B ={样本中恰有一台次品}， A ={这批空调设备退
2 1 1 C84 + C84 C12 749 = ； 2 C100 825
（5）设 E ={样品中有一套优质品}，则
1 1 C84 C16 224 P( E ) = Байду номын сангаас = . C100 825
1-18 (1)设 A ={恰有 5 张黑体,4 张红心,3 张方块,1 张梅花},则
华南理工大学概率论与数理统计试卷及参考解答2
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；(1.298)=0.9032, 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
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，错误!未找到引用源。
10分）已知在10件相同的玩具中有2件次品，从中随机取出两件，求以下事件的概率：（1） 两件都是正品（2） 一件是正品，一件是次品解： (1)取出两件玩具的样本数是错误!未找到引用源。
两件都是正品的概率错误!未找到引用源。
5分 (2)一件正品一件次品的概率错误!未找到引用源。
10分12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个白球。
现1） 求第一次取到红球的概率；2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率；解：记{}(){})2,1（箱取到第;2,1次取到红球第A ====j j B i i j i533018)(,32)(,21)()(211121=====B A p B A p B p B p 4分 3019)()()()()(2211111=+=B p B A p B p B A p A p 6分（2）6019)()()()(222112121=+=B p B A A p B A A p A A p 10分21)()()(12112==A p A A p A A p 12分10分）某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分5%,4%和2%.产品混在一起,求：（1） 总的废品率（2）抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.解：设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ； %5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 3分 由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,5分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 10分四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列.（2）EY 和DY.解：)1( Y ～B （100，p ），其中p=-72-84）8460(⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=≤<σX P 1-12272-60⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ由0.023=)24(172961)96(σσΦ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>X p 4分 得112，故224即,997.024===⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φσσσ 5分 所以6826.01-）1(2=Φ=p 6分 故Y 的分布列为kk k C k Y p -==100100)3174.0()6826.0()( 8分（2）,26.686826.0100=⨯=EY 6657.213174.026.68=⨯=DY 12分五(12分)设ξ,η是两个随机变量，其联合概率密度为求：（1）求ξ,η边缘密度函数；错误!未找到引用源。
大学专业试卷华南理工大学 理工科专业 《概率论与数理统计》试卷及参考解答
件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解 (1)X 的可能值为0,1,2,3,所以X 的概率分布为()()333360,1,2,3k kC C P X k k C -=== 即 X 0 1 2 3P120 920 920 120因此199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设A ={从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有(){}{}30191921310202062062064k P A P X k P A X k =====⨯+⨯+⨯+⨯=∑三、（12）某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。
解 101,2,,9000i i i i ξ⎧⎨⎩=第台电视机坏设＝第台电视机正常9000900011{1}0.001{0}0.9990.0010.00099999i i i i iii i P P E D E D ξξξξξξ=========≈∑∑保险公司亏，则电视机坏的台数: >9000*5/2000=22.5900090009000122.51(4.5)0i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫>=>=-Φ≈⎨⎬⎩⎭⎪⎭∑∑∑ 保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:<(9000*5-10000)/2000=17.5900090009000117.5(2.83)(3)(2)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫<=<=Φ⎨⎬⎩⎭⎪⎭Φ-Φ=Φ+-=+⨯=-∑∑∑四、（15分)设二维随机变量(),X Y 的概率分布为 YX -1 0 1-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.21 0 0.1 c其中a 、b 、c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =- ,{}000.5P Y X ≤≤= ,记Z X Y =+.求: (1) a 、b 、c 的值; (2)Z 的概率分布律; (3){}P X Z =.解 (1)由概率分布的性质可知, 0.61a b c +++=,即0.4a b c ++=. 由0.2EX =-,可得0.1a c -+=-.再由{}{}{}0,00.1000.500.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,解得0.3a b +=.解以上关于a 、b 、c 的三个方程可得, 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2)Z 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-={}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-={}{}{}{}01,11,10,00.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+=== {}{}21,10.1P Z P X Y =====所以Z 的概率分布为Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{}000.10.10.10.2P X Z P Y b ====++=+=.五、(15分)设随机变量X 的概率密度为()110210 2 40 X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩当当其他令2Y X =,(),F x y 为二维随机变量(),X Y 的分布函数.求:(1)Y 的密度函数()Y f y ; (2) ()cov ,X Y ; (3) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解 (1)Y 的分布函数为(){}{}2Y F y P Y y P X y =≤=≤当0y ≤时, ()()0,0Y Y F y f y ==. 当01y <<时,(){{}{00Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=()Y f y =当14y ≤<时,(){}{11002Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =当4y ≥时,()()1,0Y Y F y f y ==. 所以Y 的概率密度为()01140 Y y f y y <<⎪=≤<⎪⎩当当其他(2) ()0210111244X EX xf x dx xdx xdx +∞-∞-==+=⎰⎰⎰()022211546X EY EX x f x dx x dx +∞-∞-====⎰⎰()023********248X EXY EX x f x dx x dx x dx +∞-∞-===+=⎰⎰⎰故 ()2cov ,3X Y EXY EX EY =-⋅=(3) 2111,4,4,4222F P X Y P X X ⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤=≤-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭1111,22212224P X X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤≤=-≤≤-=-≤≤-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭六、（2学分） (10分) 设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为12~0.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭而Y 的概率密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .解 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式可知,U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤{}{}0.310.72P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤={}{}0.3110.722P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 与Y 独立,得(){}{}()()0.310.720.310.72G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-因此,U 的概率密度为()()()()()()0.310.720.310.72g u G u F u F u f u f u '''===-+-=-+-七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设A {{抽到一名男性}；B {{抽到一名女性}；C {{抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯=1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯=由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C ==八、（2学分）(16分)（1）设()12,,, 2n X X X n ≥为独立同分布的随机变量，且均服从()0,1N ，记X =121n i i X n -=∑，() 1,2,,i i Y X X i n =-=. 求:{}10n P Y Y +≤.（2）袋中有a 只红球，b 只白球，c 只黑球。
华南理工大学概率论与数理统计考试试卷
诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末试卷《概率论与数理统计》试卷A 卷（2学分用）（注：此份试卷初认为是XX 年1月考，20xx 级）注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.解答就答在试卷上；3.考试形式：闭卷；4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。
注：标准正态分布的分布函数值Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525一、选择题（每题3分，共18分）1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则 （ ） A. P(A ⋃B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A ︱B)=)()(B P A P D. P(A-B)=P(A)-P(B)2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( ) A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/83. 对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有 （ ）A. D(ξη)=D ξD ηB. D(ξ+η)=D ξ+D ηC. ξ和η独立D. ξ和η不独立4. 设P(x)=⎩⎨⎧∉∈],0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。
若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= （ ）A.1/2B.1/3C.1D.3/25. 若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u, 2σ),则Z=∑=-6122)(1i iu ξσ的密度函数最可能是（ ）A. f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1612/2z z e z z B. f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C. f(z)=+∞<<-∞-z e z,12112/2πD. f(z)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00,1612/2z z e z z6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是 （ ） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布C. （ξ，η）为二维连续性随机变量D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0二、填空题（每空3分，共27分）1. 设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=234-e ，则EX= 。
华南理工大学概率论和数理统计课后答案
1-9 设 A ={拨号不超过 3 次就能接通电话}，则
P ( A) =
1 9 1 9 8 1 + × + × × = 0.3 10 10 9 10 9 8
设 B ={若记得最后一位是奇数时， 拨号不超过 3 次就能接通电话}， 则
P( B) =
1 4 1 4 3 1 + × + × × = 0.6 5 5 4 5 4 3
三个数字不含 1 或 5， 即每次只能在 2、 3、 4 中进行抽取， 共有 33 = 27 种取法，故 P ( A) =
27 = 0.216 ； 125
1 C32C4 = 12
三个数字 5 出现两次，即有
P (C ) =
12 = 0.096 125
种取法，故
.
1-12 设 A ={指定的 3 本书恰好放在一起 }，10 本书的排列方法共有 10！种，而指定的 3 本书的排列方法有 3！种，剩下的 7 本书与指定 的 3 本书这一整体的排列有 8！种，故
所以
P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
=
1 1 1 Cb Cb Ca +c 1 1 1 Ca + b Ca + b + c Ca + b + 2 c
=
b b+c a a + b a + b + c a + b + 2c
2-11
设 A ={这批货获得通过}， B ={样本中恰有一台次品}， A ={这批空调设备退
1-15 （1） P ( A) =
； （2） P( B) =
1 1 C22 1 C2 C 8 1-16 （1） P( A) = 2 = ； （2） P( A) = 2 4 = . C6 15 C6 15
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《概率论与数理统计》试卷 (A)姓名： 班级： 学号： 得分：一．是非题（7分，每题1分）1．设0)(=A P ，则随机事件A 与任何随机事件B 一定相互独立. （ ） 2．连续随机变量X 的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 未必相互惟一确定. （ ） 3．若X 与Y 都是标准正态随机变量，则)2,0(~N Y X +. （ ） 4. 设有分布律：,2/1}/2)1({1n n n n X P =-=+),2,1( =n ，则X 的期望存在. （ ）5. 设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，则∑==ni i X n X 11依概率收敛于λ. （ ）6. 区间估计的置信度α-1的提高会降低区间估计的精确度. （ ） 7．在假设检验中，显著性水平α是指α-=1)(00为假拒绝H H P . （ ）二. 选择题（15分，每题3分）1. 设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X 的分布函数，则=>)2004(X P .)(A )2004(2F -； )(B 1)2004(2-F ；)(C )2004(21F -； )(D )]2004(1[2F -.2. 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .)(A ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； )(B ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(Gy x y x f ； )(C ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； )(D ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(Gy x y x f . 3. 设)0;5.0,0;5.0,0(~),(N Y X ，Y X Z -=，则方差=)(Z D .)(A 0； )(B 1； )(C π/21+； )(D π/21-.4. 设总体),1(~p B X ，12,,,n X X X 是来自总体的样本，X 为样本均值，则==)/(n k X P .)(A p ； )(B k n k p p --)1(；)(C kn kkn p p C --)1(； )(D kn kkn pp C --)1(.5. 设总体),(~2σμN X ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对假设检验2:,2:10<≥σσH H ，水平为α的拒绝域是 .)(A )1(22/12-≤-n αχχ； )(B )1(212-≤-n αχχ； )(C )(22/12n αχχ-≤； )(D )(212n αχχ-≤.三. 填空题（15分，每题3分）1．已知7.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=AB P , 则=⋃)(B A A P .2．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则Y X Z -=的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧=_________________________)(z F Z .3. 设6.0,4)(,1)(,2)(,1)(=====XY Y D X D Y E X E ρ，设2)12(+-=Y X Z ，则其数学期望=)(Z E .4. 设随机变量),(~2σμN X ，由切比雪夫不等式知，概率)2(σμ≥-X P 的取值区间为 与 之间.5. 设12,,,n X X X 是来自总体)(2n χ分布的样本，X 是样本均值，则=)(X E ，=)(X D .四. 计算题 （57分，前三题每题9分，后三题每题10分）1． 一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。
概率论华南理工大学200901期末考试2学分A
二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J、Q、K、A），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求0,>=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：12222≤+by a x 上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,9==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）一袋中有8只白球、12只黑球。
从袋中任取一球，放回后另外再放进5只与此球同色的球。
如此取了3次。
现在再任取一球为黑球的概率是多少？（假设球除颜色外均相同）九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
华南理工大学概率论和数理统计课后答案
第一章1-1（1）Ω={1,2,3,4,5,6}；（2）Ω={（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4）（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}；（3）Ω={3,4,5,6,7,8,9,10}；（4）用数字1代表正品，数字0代表次品，则Ω={（0,0），（1,0,0），（0,1,0），（1,1,0,0），（0,1,1,0），（1,0,1,0），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,1,1,1）}.1-2 （1）A为随机事件；B为不可能事件；C为随机事件；D为必然事件；（2）、（3）、（4）、（5）均为随机事件.1-3 （1）A；（2）ABC；（3）A B C；（4）ABC；（5） .ABC ABC ABC1-4 （1）ABC；（2）ABC ABC ABC；（3）ABC；（4）或；（5）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABCABC A B CABC；（6）A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC或或ABC.1-5 （1）买的是1985年以后出版的英文版物理书；（2）在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下，ABC A=.1-6 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）正确，其余均不正确.1-7 若需要测试7次，即前6次恰好取出2个次品，还有一个次品在第7次取出，故有246C C A次.而在10个中取出7个共有710A种取法.376设 A ={测试7次}，故2463767101()8C C A P A A == 1-8 设 A ={能开门}，从6把钥匙中任取2把共有 26C 种取法，故2611()15P A C == . 1-9 设 A ={拨号不超过3次就能接通电话}，则191981()0.3101091098P A =+⨯+⨯⨯= 设 B ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过3次就能接通电话}，则141431()0.6554543P B =+⨯+⨯⨯= 1-10 设 A ={恰有2人的生日在同一个月份}，则21114121110455()12144C C C C P A == .1-11 将五个数字有放回地抽取，出现的结果有 35125= 种. 三个数字不同的取法有335360C A = 种，故 60()0.48125P A == ； 三个数字不含1或5，即每次只能在2、3、4中进行抽取，共有3327=种取法，故 27()0.216125P A == ； 三个数字5出现两次，即有 213412C C = 种取法，故12()0.096125P C == .1-12 设 A ={指定的3本书恰好放在一起}，10本书的排列方法共有10！种，而指定的3本书的排列方法有3！种，剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8！种，故3!8!1()10!15P A == 1-13 （1）21134339()416C C C P A ==；（2）341()416P B == . 1-14 从10个人中任选3个人共有310C 种方法.（1）设 A ={最小号码是5}，当最小号码是5时，在 610 之间还有地两个号码，即有 25C 种方法，故253101()12C P A C ==（2）设 B ={最大号码是5}，当最大号码是5时，在14 之间还有两个号码，即有 24C 种方法，故243101()20C P B C ==1-15 （1）112211661()9C C P A C C == ；（2）1111244211664()9C C C C P B C C +== . 1-16 （1） 22261()15C P A C == ；（2）1124268()15C C P A C == .1-17 （1）设 A ={样品中有一套优质品、一套次品}，则11844210056()825C C P A C ==； （2）设 B ={样品中有一套等级品、一套次品}，则1112421008()825C C P B C == ；（3）设 C ={退货}，则2112496412210076()825C C C C P C C ++==； （4）设D ={该批货被接受}，则2118484122100749()825C C C PD C +==； （5）设E ={样品中有一套优质品}，则1184162100224()825C C P E C ==. 1-18 (1)设 A ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则5431131313131352()C C C C P A C = (2)设 B ={恰有大牌A,K,Q,J 各一张而其余为小牌},则111194444361352()C C C C C P B C = 1-19 设A ={至少有两张牌的花色相同},则 3112113441134354()0.562C C C C C P A C +==第二章2-1 （1）()()()()0.50.40.10.8;P A B P A P B P AB =+-=+-=（2）()0.1(|)0.25;()0.4P AB P A B P B === （3）()0.1(|)0.2;()0.5P AB P B A P A === （4）()()()0.50.12(|)0.66671()10.43()P AB P A P AB P A B P B P B --====≈--2-2 因为A B 、是独立事件，所以有()()(),()()(),()()()P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B ===（1）()()()(|)0.3;()()P AB P A P B P A B P B P B === （2）()1()1()()10.70.40.72;P A B P A B P A P B =-=-=-⨯=（3）()()()(|)0.4;()()P AB P A P B P B A P A P A === （4）()()()(|)0.7()()P AB P A P B P A B P B P B === 2-3 因为AB A A B ⊆⊆ ，所以()()()P AB P A P A B ≤≤又因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，所以()()()()()P AB P A P A B P A P B ≤≤≤+当A B ⊂时，第一个不等式中的等号成立； 当B A ⊂时，第二个不等式中的等号成立； 当AB =∅时，第三个不等式中的等号成立. 2-4 证明 (())()()()(P A B C P A CB CP A CP B C PA CBC ==+- (()())()()P A P B P C P A B P C=+- (()()())(P A P B P A B P C =+- ()()P A B P C= ()()()()()()P ABC P A P B P C P AB P C ==(())()()()()P A B C P ABC P A P B P C -==()()()()P A B P C P A B P C ==- 所以，A B A B AB - 、、分别与C 独立2-5 设A ={射手击中目标}，1A ={第一次击中目标}，2A ={第二次击中目标}，3A ={第三次击中目标}.有题意可知，0.6100k=，即60k =； 1112233()()()(|)()(|)()(|)P A P A P A P A A P A P A A P A P A A =+++6060600.60.40.410.832150150200⎛⎫=+⨯+⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 2-6 设1A ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设2A ={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，1B ={点数和为8}，2B ={点数和为6}（1）1166111111113333111665()5(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ===+；（2）11662222111133332116662()12(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ⨯===+；（3）116622222116662()12(|)21()21C C P A B P A B P B C C ⨯=== 2-7 设A ={此密码能被他们译出}，则141421()0.6553534P A =+⨯+⨯⨯= 2-8 1110101101()1(|),1()10C C P AB P B A P A C === 1110101110101()1(|)6()6C C P AB P A B P B C C === 2-9 设A ={第一次取得的全是黄球}，B ={第二次取出黄球、白球各一半}，则5552010155103025()0.1,(|)C C C P A P B A C C ===所以 5551015201052530()()(|)C C C P A B P A P B A C C ==2-10 设1A ={第一次取得的是黄球}，2A ={第二次取得的是黄球}，3A ={第三次取得的是白球}，则1111213121112(),(|),(|)b b ca ab a bc a b cC C C P A P A A P A A A C C C ++++++===所以 12312131()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A= 1111112b b c a a b a b c a bcC C CC C C ++++++=2b b c aa b a b c a b c+=+++++2-11 设A ={这批货获得通过}，B ={样本中恰有一台次品}，A ={这批空调设备退货}；D ={第一次抽的是合格品}，E ={第二次抽的是合格品}（1）67661474()()(|);70691610P A P D P E D ==⨯= （2）673367134()()(|)()(|);706970691610P B P D P E D P D P E D =+=⨯+⨯=（3）136()1()1610P A P A =-=2-12 设A ={选出的产品是次品}，1B ={产品是由 厂生产}，B ={选出的产品是正品}（1）118241300042();3000C P A C +== （2）11811182418(|);42C P B A C +==（3）117821117821761782(|)2958C P B B C +==2-13 设A ={检验为次品}，B ={实际为正品}（1）()5%90%95%1%0.0545P A =⨯+⨯=； （2）()(|)95%1%(|)0.1743()0.0545P B P A B P B A P A ⨯===2-14 设A ={这位学生选修了会计}，B ={这位学生是女生} （1）()()(|)0.66%0.036P AB P B P A B ==⨯=；（2）()()(|)0.490%0.36P AB P B P A B ==⨯=； （3）((())()()P A P A B B P AB P AB =+=+）()(|)()(|)P B P A B P B P AB =+ 0.66%0.410%0.=⨯+⨯= 2-15 设A ={此人被诊断为患肺癌}，B ={此人确实患肺癌}（1）()98%3%(|)0.7519;()98%3%97%1%P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯（2）()(|)3%2%(|)0.0001;2%3%97%99%()P B P A B P B A P A ⨯===⨯+⨯ （3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的. 2-16 设A ={收到信息为0}，B ={发送信息为0}，则有(0.7(10.02)0.30.010.689P A =⨯-+⨯=）(0.7(10.02)0.686P AB =⨯-=）所以 (0.686686(|()0.689689P AB P B A P A ==））=2-17 设1A ={这批计算机是畅销品}，2A ={这批计算机销路一般}，3A ={这批计算机是滞销品}，B ={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A === 123(|)0.9,(|)0.5,(|)0.3P B A P B A P B A ===（1）1111112233()((|(|)()((|((|((|P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++）））））））） 0.50.90.726;0.50.90.30.50.20.1⨯==⨯+⨯+⨯ （2）22()0.15(|)0.242;()0.62P A B P A B P B === （3）33()0.02(|)0.032;()0.62P A B P A B P B === （4）33(|)1(|)10.0320.968P A B P A B =-=-=2-18 设A ={硬币抛掷出现正面}，i B ={硬币是第i 个硬币} （i =1,2,3,4,5），B ={抛掷又出现字面}（1）125()()()()P A P AB P AB P AB =+++112255()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =+++ 11111311101;545254552=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）11()(|)0()P AB P B A P A ==， 2211()145(|)1()102P AB P B A P A ⨯===， 3311()125(|)1()52P AB P B A P A ⨯=== ， 4431()345(|)1()102P AB P B A P A ⨯===，551()25(|)1()52P AB P B A P A === ；（3）1111332()0010.75104521045P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2-19 设1A ={一人击中}，2A ={两人击中}，3A ={三人击中}，B ={飞机被击落}.根据题意有1()0.40.5(10.7)0.60.50.30.60.50.70.36,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 2()0.40.5(10.7)0.40.50.370.60.50.70.41,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 3()0.40.50.70.14,P A =⨯⨯=123(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A ===所以 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 0.360.20.410.60.141=⨯+⨯+⨯= 2-20 设A ={这批元件能出厂}，则495()(4%0.0596%0.99)0.050.999999P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎝⎭4940.050.999898⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.8639= 2-21 （1）设A ={这批产品经检验为合格品}，则1205124175()0.960.060.960.060.960.063252516162222P A ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.757= （2）设B ={产品真是合格品}，则12012170.960.960.96()3251622(|)0.982()0.757P AB P B A P A ⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭===第三章3-1 根据题意可知{}()1x a x aP X x F x a x b b ax b ≤⎧⎪-⎪<==<≤⎨-⎪>⎪⎩当当当3-2 根据题意可知00()1012x f x x ≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩当 当所以 001(){}1211x F x P X x x x x ≤⎧⎪⎪=<=<≤⎨⎪>⎪⎩当当0当3-3 根据题意可知011126(){}223313x x F x P X x x x ≤-⎧⎪⎪-<≤⎪=<=⎨⎪<≤⎪⎪>⎩当当当当3-4 设X ={取到的次品的个数}.（1）取出后放回：1144115516{0}25C C P X C C === ，1111144111558{1}25C C C C P X C C +=== 111111551{2}25C C P X C C === 因此，取得的次品数的分布列为X 0 1 2P 1625 825 125（2）取出后不放回：114311543{0}5C C P X C C ===， 1111144111542{1}5C C C C P X C C +===因此取得的次品数的分布列为 X 0 1P 35 253-5 当X k =时，说明前1k -次失败，第k 次成功，因而1{}(1)k P X k p p -==- (1,2,)k = 3-6 （1）放回袋中的情况：512161{0}243C P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 111111422225111116666610{1}243C C C C C P X C C C C C C === ，111112442225111116666640{2}243C C C C C P X C C C C C C ===， 111113444225111116666680{3}243C C C C C P X C C C C C C === ， 111114444425111116666680{4}243C C C C C P X C C C C C C ===， 111115444445111116666632{5}243C C C C C P X C C C C C C === . 因此红球个数的分布列为X 0 1 2 3 4 5P1243 10243 40243 80243 80243 32243（2）不放回袋中的情况：223524562{3}3C P P P X P ===， 114524561{4}3C P P P X P ===.因此红球个数的分布列为X 3 4P23 133-7 {1}0.9P X ==， {2}0.10.90.09P X ==⨯=，{3}0.10.10.90P X ==⨯⨯=，{4}0.10.10.10.90P X ==⨯⨯⨯=， {5}0.10.10.10.1P X ==⨯⨯⨯=因此，X 1 2 3 4 5P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00013-8 由题意知，1~8000000,2000000X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于8000000n =较大，12000000p =很小，故二项分布可用4np λ==的泊松分布近似代替，则有44{}!k P X k e k -==3-9 设X ={废品的件数}，1000,0.0063n p ==可用泊松近似公式( 6.3)np λ==得所求概率为6 6.36.3{6}0.166!P X e -==≈3-10 设X ={单位时间内纱线被扯断的次数}，由题意可知，~(800,0.005)X B ，则（1）448004800{4}(0.005)(0.995)0.195367P X C -===；（2）108008000{10}(0.005)(0.995)0.997160i i i i P X C -=≤==∑.3-11 设X ={该单位患有这种疾病的人数}，5000,0.001n p ==，可用泊松近似公式(5)np λ==得所求概率为5505{5}1{5}1!k k P X P X e k -=>=-≤=-∑10.00670.03370.08420.140=----- 0.38404=3-12 设X ={在同一时刻向总机要外线的分机数}，则~(300,0.30)X B ，在同一时刻至少有13台分机向总机要外线的时候不能满足.可用泊松近似公式得所求概率为13909{13}0.92615!k k P X e k -=≤==∑3-13 这分布不是离散的，因为X 的分布函数不是阶梯型的，也不是连续的（在x =1处是跳跃的）.3-14 由连续型随机变量概率密度分布的性质可知：2()111A x dx dx A x ϕπ+∞+∞-∞-∞==⇒=+⎰⎰因此 1A π=121111{11}[arctan1arctan(1)]0.51P X dx x ππ--<<==--=+⎰3-150002010211()()022411224x xx x xxe dxx F x x dx e dx dx x e dx dx x ϕ-∞-∞-∞-∞⎧≤⎪⎪⎪==+<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰当当当化简得10211()022412xex F x x x x ⎧≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪>⎪⎪⎩当当当3-16 （1）因为()F x 在(,)-∞+∞上的左连续性，所以(1)1F A == ，则200()0111x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩当当当（2）对分布函数求导得分布密度函数为201()()0x x x F x ϕ<<⎧'==⎨⎩当其他（3） 0.70.3{0.30.7}20.4P X xdx <<==⎰.3-17 （1）0.0151001.5{100}1{100}10.0150.223xP X P X edx e ---∞>=-≤=-==⎰（2）0.0150.015{}1{}10.0150.1xx x P X x P X x edx e ---∞>=-≤=-=<⎰因此ln 0.1153.50.015x >-=. 3-18 由题意可知1030()30x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他 10012{10}1{10}1303P X P X dx ≥=-<=-=⎰3-19 由题意可知212(1)01()0x x x x ϕ⎧-<<=⎨⎩当其他 120.8{0.8}12(1)0.0272P X x x dx >=-=⎰120.9{0.9}12(1)0.0037P X x x dx >=-=⎰3-20 （1）{ 2.2}(2.2)0.9861P X φ<==； （2）{ 1.76}1(1.76)0.0392P X φ>=-=；（3）{0.78}1(0.78)0.2177P X φ<-=-=；（4）{ 1.55}{1.55 1.55}2(1.55)10.8788P X P X φ<=-<<=-=； （5）{ 2.5}{ 2.5}{ 2.5}22(2.5)0.0124P X P X P X φ>=<-+>=-=. 3-21 1,4μσ=-= .（1）()2.441{ 2.44}0.860.80514P Y φφ+⎛⎫<=== ⎪⎝⎭；（2）1{ 1.5}1{ 1.5}1(0.125)0.54988P Y P Y φφ⎛⎫>-=-≤-=--== ⎪⎝⎭；（3） 2.81{ 2.8}(0.45)1(0.45)0.32644P Y φφφ-+⎛⎫<-==-=-= ⎪⎝⎭；（4）4141{4}{44}44P Y P Y φφ+-+⎛⎫⎛⎫<=-<<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1.25(10.75)0.6678φφ=--=； （5）2151{52}44P Y φφ+-+⎛⎫⎛⎫-<<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.75[11]0.6147φφ=--=；（6）2101{11}{2}{0}144P Y P Y P Y φφ++⎛⎫⎛⎫->=>+<=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.8253=.3-22 设A ={一次测量中误差的绝对值不超过30}.（1）由题意可知，2~(20,40)X N ，20,40μσ==，则(){30}{3030}(0.25)( 1.25)P A P XP X φφ=≤=-≤≤=-- (0.25)(1.25)10.φφ=+-= （2）设Y 表示3次独立重复测量中事件A 发生的次数，则~(3,0.4931)Y B{1}1{1}1{0}P Y P Y P Y ≥=-<=-=331(10.4931)0.87C =--=3-23 首先求出电子管的损坏概率为150150201001001()03P x dx dx x ϕ==+=⎰⎰设Y ={电子管损坏的个数}，则1~(3,)3Y B .（1）0303118{0}13327P Y C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）333111{3}13327P Y C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3-24 设A ={生产的零件合格}，2~(50,0.75)X N ，50,0.75μσ==，则(){50 1.550 1.5}P A P X =-≤≤+501.55050501.550{}0.750.750.75X P ---+-=≤≤(2)(2)2(2)10.φφφ=--=-= 3-25 强度2~(200,18)X N .（1）18020010{180}1{180}10.8665189P X P X φφ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）强度不低于150MPa 的概率为()150200{150}1{150}1 2.770.997218P X P X φφ-⎛⎫≥=-<=-== ⎪⎝⎭3-26 由题意可知X -3 -2 0 1 21X -- 2 1 -1 -2 -32X 9 4 0 1 4P18 14 18 13 16所以1X --的分布列为1X -- 2 1 -1 -2 -3 P 18 14 18 13 162X 的分布列为2X 0 1 4 9P18 13 512 183-27 由23(0,1)()0(0,1)xx x x ϕ⎧∈=⎨∉⎩当当知300()0111x F x x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩当当当.（1）令21Y X =-+，Y 的分布函数为(){}{21}Y F x P Y x P X x =<=-+<1211()2xx P X x d x ϕ--∞-⎧⎫=>=-⎨⎬⎩⎭⎰ 当1012x -≤<时312201()1312xY x F x x dx --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰， 所以 221131()32222Y x x f x --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当102x-<时，12()0xx dx ϕ--∞=⎰，此时，1x >，()1Y F x =；当112x-≤时12()1xx dx ϕ--∞=⎰此时，1x ≤-，()0Y F x = .因此 3011()111211Y x x F x x x ≤-⎧⎪-⎪⎛⎫=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩当当当23111()220Y x x f x ⎧-⎛⎫-<≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩当其他 （2）设2Y X = ，Y 的分布函数为2(){}{}()Y F x P Y x P X x x t d t=<=<=<1> ，即1x >时，()1Y F x =；当01<≤，即01x <≤时，23/2()3Y F x t dt x==，所以1/23()2Y f x x =；0=，即0x =时，()0Y F x =.因此 3/200()0111Y x F x xx x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩当当当 1/2301()2Y xx f x ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩当其他 3-28 当0x >时，(){}{}{ln }X Y F x P Y x P e x P X x =<=<=<2222l n l n()/2()/2xx t a t a dt e dt σσ-----∞-∞==⎰22(ln )/2()0()00x a Y Y dF x x x dx x σϕ--⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩当当3-29 1/331/3(){}{}{}()x Y F x P Y x P X x P X x t dt ϕ-∞=<=<=<=⎰2/31/3()1()()3Y Y dF x x x x dx ϕϕ-==令()1x ϕ=代入上式可得2/3101()3Y xx x ϕ-⎧<≤⎪=⎨⎪⎩当其他 3-30 /2/2(){}{2ln }{}x e x t Y F x P Y x P X x P X e e dt λλ-=<=<=<=⎰因此/2/2/2/211()22x x x e x e Y f x e e e λλλλ--==()x -∞<<+∞第四章4-1X 1 2 3Y1 0 16 1122 16 16 163 112 164-2 4352410{,}i j i jC C C P X i Y j C --=== 4-3 由于11(,)14RAf x y dxdy Axydxdy A xdx ydy +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故4A =，代入密度函数，得401,01(,)0xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩当其他所以 112300111{,}42336P X Y xdx ydy <<==⎰⎰4-4 （1）当0X >且0Y >时，()0(,)(1)(1)xyu v x y F x y du e dv e e -+--==--⎰⎰；当00x y <<或时，(,)0F x y =.所以 (1)(1)0,0(,)0x ye e x y F x y --⎧--<<+∞<<+∞=⎨⎩当其他（2）由于{(,):0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤，有11()10(,)(,)12xx y DP X Y f x y dxdy dx e dy e --+-===-⎰⎰⎰⎰4-5 由题意可知：14(,)111(,)220x y B f x y ⎧=∈⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪⎩当其他当12x ≤-或0y ≤时，(,)0F x y =； 当102x -<≤且021y x <≤+时，102(,)42(21)x y y F x y dudv y x y -==--⎰⎰；当102x -<≤且21y x >+时，212102(,)42(21)x x F x y dudv x +-==+⎰⎰； 当0x >且01y <≤时，102(,)42(1)xyy F x y dudv y y -==-+⎰⎰；当0x >且1y >时，(,)1F x y =.因此 2100212(21)00212(,)12(21)02122(1)001101x y y x y x y x F x y x x y x y y x y x y ⎧≤-≤⎪⎪⎪-+-<≤<≤+⎪⎪=⎨⎪+-<≤>+⎪⎪-><≤⎪>>⎪⎩当或当且当且当且当且4-61{0}6P X ==， 7{0}12P Y ==， 5{1}12P X =-=，1{1}3P Y ==， 5{2}12P X ==， 11{}312P Y ==. 4-7 由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰，得1(,)(,)0x y Df x y ∈⎧=⎨⎩当其他当[0,1]x ∈时，220()122xX f x dv x -==-⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.因此 2201()0X x x f x -<<⎧=⎨⎩当其他当[0,2]y ∈时，2201()1(2)2yY f y du y -==-⎰；当[0,2]y ∉时，()0Y f y =.因此 1102()2Y y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他 4-8 由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰ 当0x >时，0()x v x X f x e dv e +∞---==⎰；当0y >时，0()u y y Y f y e du e +∞---==⎰.因此 0()00x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当当， 0()00y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩当当4-9 由题意可知1X 0 12X0 0.1 0.81 0.1 0 4-10 由于1X -1 0 12X-1 0 140 14 0 141 0140 4-11 （1）由于(34)(34)(,)112x y x yRAf x y dxdy Ae dxdy A dx e dy +∞+∞+∞+∞-+-+-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故12A =.（2）当0x <或0y <时，(,)0F x y =； 当00x y <<且时，(34)340(,)12(1)(1)x yu v x y F x y e dudv e e -+--==--⎰⎰.故 34(1)(1)0,0(,)0x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩当其他（3）34(34)9160{03,04}12(1)(1)x y P X Y dx e dy e e -+--<≤<≤==--⎰⎰4-12 由题意可知1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩当其他当10x -≤<时，111()12x X x f x dv x +--==+⎰； 当01x ≤≤时，111()12x X x f x dv x -+-==-+⎰. 故 110()1010X x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩当当其他 4-13 （1）11111111118812121216161616a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故14a =. （2）1{}4P Xi ==(1,2,3,4i =， 25{1}48P Y ==，13{2}48P Y ==，27{3}48P Y ==，3{4}48P Y ==.（3）111125{}48121648P XY ==+++=. 4-14 由联合分布函数的性质可知 （1）(,)()()122F A B C ππ+∞+∞=++=，(,)()()022F A B C ππ-∞-∞=--=，(,)()(a r c t a n )023yF y A B C π-∞=-+=，(,)(a r c t a n )()022x F x A B C π-∞=+-=，故21A π=，2Bπ=，2C π=.（2）21(,)arctan arctan 2223x y F x y πππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2222(,)6(,)(4)(9)F x y f x y x y x y π∂==∂∂++. （3）222262()(4)(9)(4)X f x dy x y x ππ+∞-∞==+++⎰，222263()(4)(9)(9)Y f y dx x y y ππ+∞-∞==+++⎰4-15 （1）由于122002(,)()13f x y dxdy x Cxy dxdy C +∞+∞-∞-∞=+=+=⎰⎰⎰⎰，故13C=. （2）当00x y <<或时，(,)0F x y =； 当1,2x y >>时，(,)1F x y =；当01,02x y ≤≤≤≤时，232200111(,)()3312xyF x y du u uv dv x y x y =+=+⎰⎰；当01,2x y ≤≤>时，223200121(,)()333xF x y du u uv dv x x =+=+⎰⎰当1,02x y >≤≤时，12200111(,)()3312yF x y du u uv dv y y =+=+⎰⎰.故 3223220001101,0231221(,)01,233111,0231211,2x y x y x yx y F x y x x x y y y x y x y <<⎧⎪⎪+≤≤≤≤⎪⎪⎪=+≤≤>⎨⎪⎪+>≤≤⎪⎪>>⎪⎩当或当当当当（3）由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰，当[0,1]x ∈时，222012()233X f x x xy dy x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.故 22201()3X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他当[0,2]y ∈时，120111()336Y f y x xy dx y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰；当[0,2]y ∉时，()0Y f y =.故 1102()360Y y y f y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他（4）由于|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =， |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =，故 26201,02(|)20x xyx y f x y y ⎧+≤≤≤≤⎪=+⎨⎪⎩当其他故 301,02(|)62x yx y f y x x +⎧≤≤≤≤⎪=+⎨⎪⎩当其他 4-16 由于|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =， |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =， （1）当0x >时，(2)20()22x y x X f x e dy e +∞-+-==⎰；当0y >时，(2)0()2x y y Y f y e dx e +∞-+-==⎰.故 2|20,0(|)0x X Y e x y f x y -⎧>>=⎨⎩当其他|0,0(|)0y Y X e x y f y x -⎧>>=⎨⎩当其他（2）21(2)0012{2,1}{2|1}{1}x y ydx e dyP X Y P XY P Y edy-+-≤≤≤≤==≤⎰⎰⎰14541111e e e e e -------+==--. 4-17 （1）由于()1X f x = (01)x <<|1(|)1Y X f y x x=- (01,1)x x y <<<<故 101,1(,)10x x y f x y x⎧<<<<⎪=-⎨⎪⎩当其他 （2）由于01()(,)l n (1)1yY f y f x y d x d x y x+∞-∞===---⎰⎰故l n (1)01()0Y y y f y --<<⎧=⎨⎩当其他 （3）11121{()1}l n 21yy P X Y d yd x x-+>==-⎰⎰ 4-18X Y 与相互独立的充要条件是ij i j p p p = (1,2;1,2,3)i j ==，因此有{1,3}{1}{3}P X Y P X P Y =====1111169181818B ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{2,3}{2}{3}P X Y P X P Y =====11318A B B B ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得21,99A B ==. 4-19 （1）由0.5()0.5()(,)0.251x xu v x X F x f u v dvdu e dvdu e +∞+∞-+--∞-∞-∞-∞===-⎰⎰⎰⎰故 0.510()00x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩当当同理可得0.510()00y Y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩当当（2）0.5()20.250,0(,)(,)0x y e x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩当其他当0x >时，0.5()0.50()(,)0.250.5x v x X f x f x v dv e dv e +∞+∞-+--∞===⎰⎰；当0x ≤时，()0X f x =.故 0.50.50()00x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当当同理可得0.50.50()00y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩当当（3）由于(,)()()X Y f x y f x f y =，故X Y 、相互独立. （4）0.5()0.10.10.1{0.1,0.1}0.25x y P XY dy e dx e +∞+∞-+->>==⎰⎰.4-20 （1）由于1001(,)()12x f x y dxdy dx C x y dy C +∞+∞-∞-∞=+==⎰⎰⎰⎰，故2C=.（2）由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰当[0,1]x ∈时，20()2()3x X f x x y dy x =+=⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.故 2301()0X x x f x ⎧≤≤=⎨⎩当其他当[0,1]y ∈时，12()2()123Y yf y x y dx y y =+=+-⎰；当[0,1]y ∉时，()0Y f y =.故 212301()0Y y y y f y ⎧+-≤≤=⎨⎩当其他（3）当01x y ≤≤≤时，有(,)2()f x y xy =+， 22()()3(123)X Y f x f y x y y =+-可见，(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与并不相互独立. （4）11201{1}2()3y yP XY dy x y dx -+≤=+=⎰⎰.4-21 （1）由于X Y 与相互独立，故()0,0(,)()()0x y X Y e x y f x y f x f y -+⎧>>==⎨⎩当其他 （2）110{1|0}{1}1x P X Y P X e dx e --≤>=≤==-⎰.第五章5-1 （1）1111210(1)12666EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=，222211117210(1)26663EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=，11(21)(221)(211)(201)26E X -+=-⨯+⨯+-⨯+⨯+-⨯+⨯11(2(1)1)166+-⨯-+⨯=-； （2）224()3DX EX EX =-=，()X σ==.5-2 （1）00;kk k k qEX kpq pq q p∞∞=='⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑（2）2222221000kk k k k k k k EXk pq pqk qpq q pq kq ∞∞∞∞--====''⎛⎫===+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑200k k k k pq q pq q ∞∞=='''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑222q qp p=+2222222q q q q q DX p p p p p=+-=+5-3 （1）1()02xEX xf x dx x e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰；（2）22201()2(3)22x DX EX EX x e dx +∞-=-==Γ=⎰. 5-4 （1）0(1)1EXp p p =⨯-+⨯=， 0(1)1EY p p p =⨯-+⨯=；（2）由于20(1)1EX p p p =⨯-+⨯=，20(1)1EY p p p =⨯-+⨯=；22()(1)DX EX EX p p =-=-，22()(1)DY EY EY p p =-=-；（3）由于00(1)11EXY p p p =⨯⨯-+⨯⨯=，故2cov(,)(1)X Y EXY EX EY p p p p =-⋅=-=-.5-5222()()2g t E X t EX tEX t =-=-+， ()220dg t t EX dt=-=， 因此，tEX =，即t EX =时，()g t 达到最小值为DX .5-6 当2Y X =时，022x EYxe dx +∞-==⎰；当3XYe-=时，3014x x EYe e dx +∞--==⎰. 5-7 222()/2(ln 2)/2xx u a EY a dx a eμσσ+∞---∞==⎰ 22()DY EY EY =-222222()/2(l n 2)/222l n 2l n2()()(1)xx u a u a a a e d x a ea e e μσσσσ+∞---∞=-=-⎰ 5-8 由于12102()23EX x x dx x dx ϕ+∞-∞===⎰⎰， (5)20()y EY y y dy ye dy ϕ+∞+∞---∞==⎰⎰6=，且X Y 与相互独立，所以有2643EXY EX EY =⋅=⨯=， 220(+)+633E X Y EX EY ==+=5-9 证明)0E Y E E X E X==-=22221()()1DY EY EY E E X EXDX=-==-=5-10 证明)XYρ===()()0E X E X Y E Y⇒--=()0E X Y Y E X X E Y E X E Y⇒-⋅-⋅+⋅=E X Y E X E Y⇒-⋅=()2c o v(,)D X Y D X D Y X Y D X D Y⇒+=++=+5-15 （1）由于2200(,)sin()x y dxdy A x y dxdyππϕ+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰2c o s c o s2A x x d xππ⎡⎤⎛⎫=-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰21A==，故12A=.（2）22200011sin()cos cos2224 EX x x y dxdy x x x x dxπππππ⎡⎤⎛⎫=+=++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰，由于X Y与相互对称，故有4EY EXπ==；2 222222200011sin()[sin cos]22282 EX x x y dxdy x x x x dxπππππ=+=+=+-⎰⎰⎰22222()22824162DX EX EXπππππ⎛⎫=-=+--=+-⎪⎝⎭由于X Y与相互对称，故有22162DYππ=+-.（3）222000112sin()sin cos222EXY xy x y dxdy x x x dxππππ-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭⎰⎰⎰22π-=2cov(,)1162X Y EXY EX EY ππ=-⋅=-+-2211622162XYππρππ-+-==+- 5-12 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为1(,)(,)0x y Af x y ∈⎧=⎨⎩当其他12(1)12(1)000012,33x x EX xdydx EY ydydx --====⎰⎰⎰⎰12(1)0016x EXY xydydx -==⎰⎰. 5-13 设抽到次品所需要次数为X ，则X 服从下列分布：X 1 2 3 k P2n 221n n n -⋅- 23212n n n n n --⋅⋅-- 2(2)(3)()(1)(2)(1)n n n k n n n n k ------- 即2{}1n k P Xk n n -==⋅-，因此 11112{}1n n k k n k EX k P X k k n n --==-=⋅==⋅⋅-∑∑1121121(2)3n n k k n kn k n n --==+⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭∑∑122121n k n k EX k n n -=-=⋅⋅-∑11231121(1)(2)6n n k k k n k n n n n --==⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭∑∑221()(1)(2)18DX EX EX n n =-=+- 5-15 （1）11005(2)12EX x x y dydx =--=⎰⎰， 512EY EX ==.1122001(2)4EX x x y dydx =--=⎰⎰， 2214EY EX == 2211()144DX DY EX EX ==-=11001(2)6EXY xy x y dydx =--=⎰⎰2151cov(,)612144X Y EXY EX EY ⎛⎫=-⋅=-=- ⎪⎝⎭5()2cov(,)36D X Y DX DY X Y +=++=（2）103()(2)2X f x x y dy x =--=-⎰， 103()(2)2Y f y x y dx y =--=-⎰可见，()()(,)X Y f x f y f x y ≠，所以两者不独立.111441111144XYρ-===-故两者相关. 5-16(5)5()22y X f x xedy x +∞--==⎰， 1(5)(5)0()2y y Y f y xe dx e ----==⎰可见，()()(,)X Y f x f y f x y =，故两者独立.1(5)054y EXY xye dydx +∞--==⎰⎰5-17 两台仪器无故障时间的密度分布为1511150()0x e x f x -⎧>=⎨⎩当其他， 2522250()0x e x f x -⎧>=⎨⎩当其他联合密度函数为125()121212250,0(,)()()0x x e x x f x x f x f x -+⎧>>==⎨⎩当其他设无故障工作时间为12y x x =+，则联合分布函数为1125()5512210(,)()2551y y x x x y y F x x F y e dx dx ye e --+--===--+⎰⎰5()()25y df y F y e y dy-==所以密度函数为5250()0y e y y f y -⎧>=⎨⎩当其他 2502255yEY y edy +∞-==⎰， 235062525y EY y e dy +∞-==⎰ 262225525DY ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5-18 根据题意有()EX P A =， ()EY P B =， ()EXY P AB ={1}()P XY P AB ==， {0}1()P XY P AB ==-已知0XYρ=，所以cov(,)0X Y =，即cov(,)()()()0X Y EXY EX EY P AB P A P B =-⋅=-=故()()()P AB P A P B =.事件A B 与相互独立，由事件的独立性定理可得：A ，A ，B ，B 两两相互独立，即{11}{1}{1}P X Y P X P Y =====， {10}{1}{0}P X Y P X P Y =====， {01}{0}{1}P X Y P X P Y =====， {00}{0}{0}P X Y P X P Y =====，因此，X Y 和相互独立.5-19 已知11~0,,~0,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正态分布的性质可知：()1D X Y DX DY -=+=， ()0E X Y -=故()()~0,1XY N -，令Z X Y=-，则()~0,1ZN .22()zE Z z e dz+∞--∞==⎰22222()()()()1D Z EZE Z DZ EZ E Zπ=-=+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦第六章6-1 设11nn iiY Xn==∑,再对n Y利用契比雪夫不等式:{}1222222nii nnn nD XDY nP Y EYn nεεεε=→∞⎛⎫⎪⎝⎭-≥≤=≤−−−→∑故{}n X服从大数定理.6-2 设出现7的次数为X,则有()~10000,0.1,1000,900X B E X n p D X===由棣莫佛-拉普拉斯定理可得{}100096810001696810.14303015XP X P--⎧⎫⎛⎫<=<=-Φ=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭6-311,212i iEX DX==由中心极限定理可知,10110iX-⨯∑,所以101011616110.136i ii iP X P X==⎧⎫⎧⎫>=-≤=-Φ=-Φ=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑6-4 设报各人数为X,则.100,100==DXEX.由棣莫佛-拉普拉斯定理可得()0228.021100100120}120{=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=≥DXEXXPXP。
《概率论与数理统计》试卷(2学分 A)1
4. 设X ，Y 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则=<}{Y X P .)(A 0； )(B 1/4； )(C 1/2； )(D 1.5. 设X则可能正确的是 。
（A ）a - b = 1； （B ）EX = 1； （C ）a + b < 1/4； （D ）EX < 1/4.二、 填空题（18分，每题3分）1．设X,Y 为随机变量且P{X ≥0,Y ≥0}=73, P{X ≥0}=P{Y ≥0}=74,则P{max(X,Y)≥0}=______________。
.2. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(Z)= .3. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则()P X Y ==.4. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X ，已知(2)1D X Y -=，则ρ=.5. 如果 ,A B A = 且 A B = A ， 则事件 A 与 B 满足的关系是 _________.6. 设连续型随机变量 ξ 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-0211021)(x e x e x F xx， 则{}=<-325ξP _______。
三（10分）有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？四（10分）. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数⎩⎨⎧<<<=他其,010,6),(y x x y x f ， 求（1）,X Y 的边缘密度函数； （2）(1)P X Y +≤； （3）),cov(Y X五（10分） 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数22,0,0(,)0,x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其他, 求 max{,}Z X Y =的密度函数.六（10分）某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的分布密度为120000(365)120000365()0365x e x f x x --⎧≥⎪=⎨<⎪⎩现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试利用中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%.)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365.0=Φ=Φ=Φ≈-e）七（12分）随机变量(X ，Y)服从在区域{0<x <2，0<y <1}上均匀分布。
概率论与数理统计试卷④
概率论与数理统计试卷④（华南理工大学期末试卷）注：标准正态分布的分布函数值Φ（1.0）=0.8413；Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.5）=0.9938；Φ（2.42）=0.9922一、选择题（每题3分，共15分）1.设X～N(u,σ2),则概率P(X≤1+ u) （）A. 随u的增大而增大B. 随u的增加而减小C. 随σ的增加而增加D. 随σ的增加而减小2. 设A、B是任意两事件，则P(A-B)= ( )A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB)3. 设ξ是一个连续型变量，其概率密度为φ(x)，分布函数为F(x),则对于任意x值有（）A. P(ξ=x)=0B. F′(x)= φ(x)C. P(ξ=x)= φ(x)D. P(ξ=x)=F(x)4. 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)·E(Y),则（）A. D(XY)=D(X)·D(Y)B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)C. X和Y独立D. X和Y不独立5. 设ξ的分布率为而F(x)=P{ξ< x},则=(F ( )2)A. 0.6B. 0.35C. 0.25D. 0二、填空题（每空3分，共21分）1. 某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.75，若果命中了就停止射击，否则就一直射到子弹用尽。
则耗用子弹数ξ的数学期望为________。
=0.4,则DX=________.2. 已知DY=36，cov(X,Y)=12,相关系数rXY Array3. 三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为37/64，则每次试验成功的概率为__________.4. 设X ～B(3,p),Y ～B(4,p),且X 、Y 相互独立，则X+Y 服从二项分布__________________.5. 若X ～U(0,5),方程04522=-++X Xx x 有实根的概率为__________.6. 设53+X ～N(11, σ2),且P{2<X<4}=0.15,则P{X<0}=_________.7. 相关系数是两个随机变量之间__________程度的一种度量。
华南理工大学概率论-03-04
2003学年上学期《 概率论与数理统计》试卷（A 卷，3学分用，共10道大题，120分钟，2004年1月）院系 __________________ 专业 、班级__________________姓名__________________ 成绩报告表序号__________________一、选择题（每小题3分，共24分）1． 假设事件A 和B 满足_________,则有P(B|A)=1。
（A ）B A ⊂ ；(B)0)A |B (P =；(C) B A ⊃；(D) A 是必然事件。
2． A ,B 是任意二事件，则下列各结论中正确的是_________。
（A ）;A B )B A (=-⋃（B ）;A B )B A (=⋃-（C ）;A B )B A (⊂-⋃（D ）A B )B A (⊂⋃-。
3． 设随机变量X 与Y 相互独立，其分布列分别为 X~ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.011 Y~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.011 则下列各式正确的是_________。
（A ）;Y X =（B ）;0)Y X (P ==（C ）;21)Y X (P ==（D ）1)Y X (P ==。
4． 设随机变量X 的密度函数为)x 1(1)x (f 2+π=，则Y=2X 的密度函数为_________。
（A ）;)y 4(22+π（B ）;)y 4(12+π（C ）;)y 41(12+π（D ）)y 1(22+π。
5． 设随机变量X ，Y 满足)Y X (D )Y X (D -=+，则必有_________。
（A ）Y ,X 不相关；（B ）Y ,X 独立；（C ）;0)Y (D =（D ）0)XY (D =。
6． 设921X ,,X ,X Λ相互独立，且()9,,1i 1)X (D ,1)X (E i i Λ===，则对,0>ε∀有_________。
（A ）;1}1X {P 291i i -=ε-≥ε<-∑（B ）;1}1X 91{P 291i i -=ε-≥ε<-∑ （C ）;1}9X {P 291i i -=ε-≥ε<-∑（D ）291i i 91}9X {P -=ε-≥ε<-∑。
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二．填空题（每小题
1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.7, 则 =_0.85_.
2．设随机变量 ，则n=__5___.
3．随机变量ξ的期望为 ，标准差为 ，则 =_29_.
4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为___0.94____.
因 ,故ξ与η不相互独立-------5分
（2） 的分布列为
0
1
2
4
5
8
பைடு நூலகம்10
0.39
0.03
0.17
0.09
0.11
0.11
0.10
因此，
-------10分
另解：若ξ与η相互独立,则应有
P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2);
P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);
------2分
---------------------------4分
故 与C相互独立. -------------------------------------------------------6分
十．解： -------------------2分
已知 ， ---------------------------5分
五．
η＝1
η=2
η＝4
η＝5
ξ＝0
0.05
0.12
0.15
0.07
ξ＝1
0.03
0.10
0.08
0.11
ξ＝2
0.07
0.01
0.11
0.10
(1)ξ与η是否相互独立? (2) 求 的分布及 ；
六．
七．
八．
(注： , )
九．
十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量
1820，1834，1831，1816，1824
3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（A）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
4．某一随机变量的分布函数为 ，(a=0,b=1由X趋向正负无穷大得)则F(0)的值为（C）
(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对
5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（）C
在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。-------------------------------------------------------------------------------------------8分
因此，
--------------------12分
因此，
但 ，故ξ与η不相互独立。
六．解：由全概率公式及
P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分
P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分
即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分
九．证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C).
，n=5, -------------------8分
所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分
七．令Ak={在第k次射击时击中目标}，A0={4次都未击中目标}。
于是P(A1)=0.3;P(A2)=0.7×0.3=0.21;P(A3)=0.72×0.3=0.147
P(A4)= 0.73×0.3=0.1029;P(A0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分
（2） -------------------------------6分
（3）
------------------------------------10分
五．解：（1）ξ的边缘分布为
--------------------------------2分
η的边缘分布为
---------------------------4分
5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 ，a为常数，则P(ξ≥0)=____0.25___.（积分高数243页）
三．
(1) 4个球全在一个盒子里;5/ =1/125
(2) 恰有一个盒子有2个球.6×5×4×3
5X6X4X3/625
四．
(1) 求常数A; (2) 求P(ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.
概率论试题（2004-2005学年第一学期）
一
1．设事件A和B的概率为 则 可能为（D）
(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6
2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（D）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
假定重复测量所得温度 .估计 ，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注： , )
概率论试题（
一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）
二．1．0.85、2.n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4
三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分
4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法
因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故
--------------------------------------------------10分
四．解：（1） ---------------------3分
八．解：设他至少应购买n个零件，则n≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p), p=0.95.因n很大，故B(n,p)近似与N(np,npq) ------------4分
由条件有
-------------------------------------------8分
因 ，故 ，解得n=2123,
（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故
P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分
(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
种方法----------------------------------------------------7分