第7章-给水管网优化设计
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以后每层加4m；
Hmaxj——节点j的最大允许水头，m，按贮水设施水位或管道最大承压力确定：
H min j
Z j H bj hbj Z j Pmax j
j为有贮水设施节点 j为无贮水设施节点
Hbj——水塔或水池高度，m；水池为埋深，取负值； hbj----水塔或水池最低水深，m； Pmaxj——节点j处管道承压能力，m。 3）供水可靠性和管段设计流量非负约束条件
管道单位长度造价公式统计参数a、b、α可以用曲线拟合当地管道单位长度造价统计 数据求得。有作图法和最小二乘法两种方法。
【例7.1】根据表7.1所给数据，试确定各种管材管道单位长度造价公式统计参数a、b 和 α。 【解】 （1）采用作图法求承插铸铁管参数。 作图法分为两个步骤，首先确定参统a，然后确定参数b和α。 第一步以D为横座标，C为纵座标，将(C,D)的数据点画在方格坐标纸上，并且用光滑 曲线连接，曲线延长后与纵轴相交，相交处的截距值即为a。如图7.1为根据铸铁 管数据所作曲线，a值为100。 第二步将公式改写为：
n 1 p Min W (qi , hi ) wi (qi , hi ) [( )(a bk m qi m lim hi m )li Pq i i hi ] T 100
目标函数W存在极值的必要条件为，
m n m n m W 1 p n m m ( ) bk mli m qi m hi m Ph nz q h Ph i i i i i i i 0 qi T 100 m n m m n m W 1 p m m ( ) bk m qi m hi m li m Pq Pq i i zi qi h i i i 0 hi T 100 m m 式中， 1 p zi ( ) bk m li m T 100 m
i 1,2,, M
（约束条件）
S .t.
式中
wi ――管段年费用折算值，元/a，如下式定义：
wi (
1 p )( a bDi )li Pi qi hpi T 100
(7.36)
7.2.5
wk.baidu.com
数学模型的求解法则
（1）目标函数W不存在由qi和hi同时作为变量的极值 假设泵站为所有管段提供能量，克服该管段水头损失，且将式（3.17）代入 (7.30)，则目标函数可以改写为管段流量qi 和管段水头损失hi 的二元函数：
P
86000 E
24365
(7.13)
γ—泵站电费变化系数，即泵站全年平均时电费与最大时电费的比值，即：
gq
t 1
pt
h pt Et / t
(7.14)
8760gqp h p E /
显然， γ<=0，且全年各小时qpt、hpt、t和Et变 化越大， γ值越小。
* 注： ρg x 24 x 365 = 85935 ≈ 86000， 24 x 365 = 8760
(7.37)
对于任一已经定线的管段为常数。
目标函数W存在极值的充分条件证明：
W n m A 2 nzi q qi m
2
n 2 m m m i i
h
W B ( )nz q qi hi m
能量变化系数γ：
（1）泵站输水至近处水塔或高位水池（前置水塔系统），扬程基本不变(hpt≈hp)， 则：
24365
1 1 8760 q p h p 8760 qp K dKh K z
t 1 t 1
q
24365 pt
h pt
q
pt
(7.17)
式中 Kd——管网用水量日变化系数；
给水管网优化设计计算必须满足管网水力条件和设计规范要求等，数学表达式如下： (1）水力约束条件
H Fi HTi hi h fi hpi
is j
i 1,2,3,, M
( q ) Q
i
j
0
j 1,2,3, , N
即给水管网恒定流方程组，其中：
kqin h fi m li Di
i 2 i i i i 2 i 2 i
i
式中 N——为数据点数； σ——线性拟合均方差，元。 在1.0~2.0区间用黄金分割法取α值，代入式(7.4)~ (7.6)分别求得参数a、b和均方差σ，搜索最小均方 差σ，直到α步距小于要求值（手工计算取0.05，用 计算机程序计算取0.01）为止，得a、b和α值。 计算过程见表7.2 。 最后得a=112.9，b=3135，α=1.5 。
i 1 i 1
M
M
式中 y2i——管段i上泵站的年运行电费，元/a； Pi——管段i上泵站的单位运行电费指标，元/（m3/s· m· a）； qi——管段i的最大时流量，即泵站设计扬水流量，m3/s； hpi——管段i上泵站最大时扬程，m。 泵站年运行总电费可以表示为：
7.2.3 给水管网优化设计数学模型的约束条件
qi qmini
4）非负约束条件
i 1,2,3,, M
i 1,2,3,, M
hpi 0 i 1,2,3,, M
式中， qmini ―管段最小允许设计流量，必须为正值；
Di 0
7.2.4
给水管网优化设计数学模型
M M
给水管网优化设计的目标就是求解管网中所有管段的一组管径Di，使管网 的年费用折算值最小，可以用下列非线性规划数学模型表达：
7.2.1 给水管网优化设计目标函数 给水管网优化设计的目标是降低管网年费用折算值，亦即在一定投资偿还期（亦 称为项目投资计算期）内的管网建设投资费用和运行管理费用之和的年平均值。可用 下式表示：
C W Y1 Y2 T
(7.10)
式中 W—年费用折算值，元/a； C—管网建设投资费用，元； T—管网建设投资偿还期，a；取值15～20年； Y1—管网每年折旧和大修费用，元/a。 式中 p—年折旧和大修费率，％，一般P=2.5~3.0； Y2—管网年运行费用，元/a，主要考虑运行总电费。
i
N
球墨铸铁和预应力钢筋砼给水管造价公式
本例承插球墨铸铁给水管数据，可以计算得 a=112.9、b=3135、α=1.5，即承插球墨铸铁给水管 单位长度造价公式为： (7.9) 相同的方法，可求得预应力钢筋砼给水管单位长 度造价公式为：
7.2
给水管网优化设计数学模型
数学模型：描述自然现象或工程对象的一个或一组数学公式。例如：给 水管网水力计算环方程组、节点方程组。 优化数学模型：在一定条件下求解一个或多个最大或最小目标值的数学 模型。描述目标值的数学表达式称为目标函数，需要满足的条件表达式 称为约束条件。 供水管网优化设计数学模型：以管网供水成本最低为目标函数，以供水 安全性最佳为约束条件的管网工程设计数学模型，表达形式为经济管径 或经济流速。
(hp0 / hp ) (1 hp0 / hp ) ＝ (30/45) * 0.635 + (1－30/45)*0.34＝ 0.537； P = 86000*0.537*0.5 / 0.85 = 27166。
泵站年运行总电费可以表示为：
Y2 y 2i Pi qi h pi
(7.19)
式中 hp0——泵站扬程hp中用于满足地形高差和用户用水压力的部分压力，m。
γ和P计算例题：
设： Kd = 1.25，Kh = 1.25，E = 0.5元 / KWh；h0 = 30m, hp = 45m；η ＝ 0.85。 解： Kz ＝ Kd*Kh ＝ 1.575； γ’ ＝ 1/Kz ＝ 1/1.575 ＝0.635； γ’’ ＝ [(Kz –1)2 + 1] / Kz3 ＝1.33 / 3.907 ＝ 0.34；
p Y1 C 100
(7.11)
7.2.2 泵站年运行电费计算
泵站年运行电费按全年各小时运行电费累计计算，可用下式表示：
24365
y2
t 1
gqpt h pt Et 86000 E q p h p Pq p h p t
(7.12)
式中 Et－ 全年各小时电价，元/(KW· h) ； ρ－ 水密度，t/m3； g － 重力加速度，取9.81 m/s2 ； qpt － 全年各小时流量，m3/s； hpt － 全年各小时扬程，m； ηt － 全年综合效率，为变压器、电机和传动效率之积； E － 最大时电价，元/KWh；qp － 最大时流量，m3/s； Hp － 最大时扬程，m；η － 泵站最大时综合效率； P——管网动力费用系数，元/(m3/s· m· a)，定义为：
第7章 给水管网优化设计
7.1
管网造价计算 C=a+bDα
(7.1)
管道单位长度造价与管道直径有关，可以表示为：
C——管道单位长度造价，元/m； D——管段直径，m； a、b、α——管道单位长度造价公式统计参数。 管道单位长度的造价包括管材、配件与附件等的材料费和施工费。 根据中国建筑工业出版社《给水排水设计手册》（第 10 册）（ 2000 年 8 月第二版） “给水管道工程估算指标”，不同材料给水管道单位长度造价如表7.1所示。
i 1,2,3,, M
j 1,2,3,, N
(2）节点水头约束条件：
H min j H j H max j
式中 Hmaxj——节点j最小允许水头（m），按不出现负压条件确定：
H min j
Z j H uj Z j
j为有用水节点 Zj——节点j的地面标高，m； Huj——节点j服务水头，m，对于居 j为无用水节点 民用水，一层楼10m，二层楼12m，
3 pt
24365
8760 q3 p
q
t 1
3 hav
[(2 K z )3 ... 13 ... K 3 ]
3 8760K z3qhav
( K z 1) 2 1 3 Kz
(7.18)
实际情况下，可以采用加权平均法近似计算能量变化系数，即：
(hp0 / hp ) (1 hp0 / hp )
图7.1 确定造价公式参数a 图7.2 确定参数b和α
c 100 3072 D1.53
（2）黄金分割－最小二乘法求承插球墨铸铁管造价公式参数 a、b、α 已知α为区间（1.0～2.0)的一个数值，则
c D c D D a N D ( D ) c aN (7.4) b D (7.5) 2 ( a bD c ) i i
1 p Min W wi [( )(a bDi )li Pi qi h pi ] (7.30) （目标函数） T 100 i 1 i 1 kqin H Fi H Ti m li h pi Di ( q i ) Q j 0 is j H min j H j H max j qi q min i Di 0 h pi 0 i 1,2, , M j 1,2, , N j 1,2, , N i 1,2, , M i 1,2, , M i 1,2, , M
log(c a) logb log D
如图7.2所示，在方格坐标纸上， 以logD为横座标，log(c-a)为纵 坐标，点画［logD，log(c-a)］ 数据，并且画一条最接近这些点 的直线，该直线与logD＝0的纵 坐标线的相交点所对应的log（ca）值即为logb＝log（c-a）＝ 8.03，由此可得b=3072。该直线 的斜率为1.53，即α=1.53。 所以，承插铸铁管造价公式为：
Kh——管网用水量时变化系数；
Kz——管网用水量总变化系数，即： Kz=KdKh。 （2）泵站压力稳定管网能量变化系数 若泵站扬水至较远处且无地势高差，其扬程全部用于克服管道水头损失(hpt∝qpt2)， 则：
24365
q
t 1
24365 pt
hpt
8760 q p hp
q
t 1
Hmaxj——节点j的最大允许水头，m，按贮水设施水位或管道最大承压力确定：
H min j
Z j H bj hbj Z j Pmax j
j为有贮水设施节点 j为无贮水设施节点
Hbj——水塔或水池高度，m；水池为埋深，取负值； hbj----水塔或水池最低水深，m； Pmaxj——节点j处管道承压能力，m。 3）供水可靠性和管段设计流量非负约束条件
管道单位长度造价公式统计参数a、b、α可以用曲线拟合当地管道单位长度造价统计 数据求得。有作图法和最小二乘法两种方法。
【例7.1】根据表7.1所给数据，试确定各种管材管道单位长度造价公式统计参数a、b 和 α。 【解】 （1）采用作图法求承插铸铁管参数。 作图法分为两个步骤，首先确定参统a，然后确定参数b和α。 第一步以D为横座标，C为纵座标，将(C,D)的数据点画在方格坐标纸上，并且用光滑 曲线连接，曲线延长后与纵轴相交，相交处的截距值即为a。如图7.1为根据铸铁 管数据所作曲线，a值为100。 第二步将公式改写为：
n 1 p Min W (qi , hi ) wi (qi , hi ) [( )(a bk m qi m lim hi m )li Pq i i hi ] T 100
目标函数W存在极值的必要条件为，
m n m n m W 1 p n m m ( ) bk mli m qi m hi m Ph nz q h Ph i i i i i i i 0 qi T 100 m n m m n m W 1 p m m ( ) bk m qi m hi m li m Pq Pq i i zi qi h i i i 0 hi T 100 m m 式中， 1 p zi ( ) bk m li m T 100 m
i 1,2,, M
（约束条件）
S .t.
式中
wi ――管段年费用折算值，元/a，如下式定义：
wi (
1 p )( a bDi )li Pi qi hpi T 100
(7.36)
7.2.5
wk.baidu.com
数学模型的求解法则
（1）目标函数W不存在由qi和hi同时作为变量的极值 假设泵站为所有管段提供能量，克服该管段水头损失，且将式（3.17）代入 (7.30)，则目标函数可以改写为管段流量qi 和管段水头损失hi 的二元函数：
P
86000 E
24365
(7.13)
γ—泵站电费变化系数，即泵站全年平均时电费与最大时电费的比值，即：
gq
t 1
pt
h pt Et / t
(7.14)
8760gqp h p E /
显然， γ<=0，且全年各小时qpt、hpt、t和Et变 化越大， γ值越小。
* 注： ρg x 24 x 365 = 85935 ≈ 86000， 24 x 365 = 8760
(7.37)
对于任一已经定线的管段为常数。
目标函数W存在极值的充分条件证明：
W n m A 2 nzi q qi m
2
n 2 m m m i i
h
W B ( )nz q qi hi m
能量变化系数γ：
（1）泵站输水至近处水塔或高位水池（前置水塔系统），扬程基本不变(hpt≈hp)， 则：
24365
1 1 8760 q p h p 8760 qp K dKh K z
t 1 t 1
q
24365 pt
h pt
q
pt
(7.17)
式中 Kd——管网用水量日变化系数；
给水管网优化设计计算必须满足管网水力条件和设计规范要求等，数学表达式如下： (1）水力约束条件
H Fi HTi hi h fi hpi
is j
i 1,2,3,, M
( q ) Q
i
j
0
j 1,2,3, , N
即给水管网恒定流方程组，其中：
kqin h fi m li Di
i 2 i i i i 2 i 2 i
i
式中 N——为数据点数； σ——线性拟合均方差，元。 在1.0~2.0区间用黄金分割法取α值，代入式(7.4)~ (7.6)分别求得参数a、b和均方差σ，搜索最小均方 差σ，直到α步距小于要求值（手工计算取0.05，用 计算机程序计算取0.01）为止，得a、b和α值。 计算过程见表7.2 。 最后得a=112.9，b=3135，α=1.5 。
i 1 i 1
M
M
式中 y2i——管段i上泵站的年运行电费，元/a； Pi——管段i上泵站的单位运行电费指标，元/（m3/s· m· a）； qi——管段i的最大时流量，即泵站设计扬水流量，m3/s； hpi——管段i上泵站最大时扬程，m。 泵站年运行总电费可以表示为：
7.2.3 给水管网优化设计数学模型的约束条件
qi qmini
4）非负约束条件
i 1,2,3,, M
i 1,2,3,, M
hpi 0 i 1,2,3,, M
式中， qmini ―管段最小允许设计流量，必须为正值；
Di 0
7.2.4
给水管网优化设计数学模型
M M
给水管网优化设计的目标就是求解管网中所有管段的一组管径Di，使管网 的年费用折算值最小，可以用下列非线性规划数学模型表达：
7.2.1 给水管网优化设计目标函数 给水管网优化设计的目标是降低管网年费用折算值，亦即在一定投资偿还期（亦 称为项目投资计算期）内的管网建设投资费用和运行管理费用之和的年平均值。可用 下式表示：
C W Y1 Y2 T
(7.10)
式中 W—年费用折算值，元/a； C—管网建设投资费用，元； T—管网建设投资偿还期，a；取值15～20年； Y1—管网每年折旧和大修费用，元/a。 式中 p—年折旧和大修费率，％，一般P=2.5~3.0； Y2—管网年运行费用，元/a，主要考虑运行总电费。
i
N
球墨铸铁和预应力钢筋砼给水管造价公式
本例承插球墨铸铁给水管数据，可以计算得 a=112.9、b=3135、α=1.5，即承插球墨铸铁给水管 单位长度造价公式为： (7.9) 相同的方法，可求得预应力钢筋砼给水管单位长 度造价公式为：
7.2
给水管网优化设计数学模型
数学模型：描述自然现象或工程对象的一个或一组数学公式。例如：给 水管网水力计算环方程组、节点方程组。 优化数学模型：在一定条件下求解一个或多个最大或最小目标值的数学 模型。描述目标值的数学表达式称为目标函数，需要满足的条件表达式 称为约束条件。 供水管网优化设计数学模型：以管网供水成本最低为目标函数，以供水 安全性最佳为约束条件的管网工程设计数学模型，表达形式为经济管径 或经济流速。
(hp0 / hp ) (1 hp0 / hp ) ＝ (30/45) * 0.635 + (1－30/45)*0.34＝ 0.537； P = 86000*0.537*0.5 / 0.85 = 27166。
泵站年运行总电费可以表示为：
Y2 y 2i Pi qi h pi
(7.19)
式中 hp0——泵站扬程hp中用于满足地形高差和用户用水压力的部分压力，m。
γ和P计算例题：
设： Kd = 1.25，Kh = 1.25，E = 0.5元 / KWh；h0 = 30m, hp = 45m；η ＝ 0.85。 解： Kz ＝ Kd*Kh ＝ 1.575； γ’ ＝ 1/Kz ＝ 1/1.575 ＝0.635； γ’’ ＝ [(Kz –1)2 + 1] / Kz3 ＝1.33 / 3.907 ＝ 0.34；
p Y1 C 100
(7.11)
7.2.2 泵站年运行电费计算
泵站年运行电费按全年各小时运行电费累计计算，可用下式表示：
24365
y2
t 1
gqpt h pt Et 86000 E q p h p Pq p h p t
(7.12)
式中 Et－ 全年各小时电价，元/(KW· h) ； ρ－ 水密度，t/m3； g － 重力加速度，取9.81 m/s2 ； qpt － 全年各小时流量，m3/s； hpt － 全年各小时扬程，m； ηt － 全年综合效率，为变压器、电机和传动效率之积； E － 最大时电价，元/KWh；qp － 最大时流量，m3/s； Hp － 最大时扬程，m；η － 泵站最大时综合效率； P——管网动力费用系数，元/(m3/s· m· a)，定义为：
第7章 给水管网优化设计
7.1
管网造价计算 C=a+bDα
(7.1)
管道单位长度造价与管道直径有关，可以表示为：
C——管道单位长度造价，元/m； D——管段直径，m； a、b、α——管道单位长度造价公式统计参数。 管道单位长度的造价包括管材、配件与附件等的材料费和施工费。 根据中国建筑工业出版社《给水排水设计手册》（第 10 册）（ 2000 年 8 月第二版） “给水管道工程估算指标”，不同材料给水管道单位长度造价如表7.1所示。
i 1,2,3,, M
j 1,2,3,, N
(2）节点水头约束条件：
H min j H j H max j
式中 Hmaxj——节点j最小允许水头（m），按不出现负压条件确定：
H min j
Z j H uj Z j
j为有用水节点 Zj——节点j的地面标高，m； Huj——节点j服务水头，m，对于居 j为无用水节点 民用水，一层楼10m，二层楼12m，
3 pt
24365
8760 q3 p
q
t 1
3 hav
[(2 K z )3 ... 13 ... K 3 ]
3 8760K z3qhav
( K z 1) 2 1 3 Kz
(7.18)
实际情况下，可以采用加权平均法近似计算能量变化系数，即：
(hp0 / hp ) (1 hp0 / hp )
图7.1 确定造价公式参数a 图7.2 确定参数b和α
c 100 3072 D1.53
（2）黄金分割－最小二乘法求承插球墨铸铁管造价公式参数 a、b、α 已知α为区间（1.0～2.0)的一个数值，则
c D c D D a N D ( D ) c aN (7.4) b D (7.5) 2 ( a bD c ) i i
1 p Min W wi [( )(a bDi )li Pi qi h pi ] (7.30) （目标函数） T 100 i 1 i 1 kqin H Fi H Ti m li h pi Di ( q i ) Q j 0 is j H min j H j H max j qi q min i Di 0 h pi 0 i 1,2, , M j 1,2, , N j 1,2, , N i 1,2, , M i 1,2, , M i 1,2, , M
log(c a) logb log D
如图7.2所示，在方格坐标纸上， 以logD为横座标，log(c-a)为纵 坐标，点画［logD，log(c-a)］ 数据，并且画一条最接近这些点 的直线，该直线与logD＝0的纵 坐标线的相交点所对应的log（ca）值即为logb＝log（c-a）＝ 8.03，由此可得b=3072。该直线 的斜率为1.53，即α=1.53。 所以，承插铸铁管造价公式为：
Kh——管网用水量时变化系数；
Kz——管网用水量总变化系数，即： Kz=KdKh。 （2）泵站压力稳定管网能量变化系数 若泵站扬水至较远处且无地势高差，其扬程全部用于克服管道水头损失(hpt∝qpt2)， 则：
24365
q
t 1
24365 pt
hpt
8760 q p hp
q
t 1