大学物理课后习题答案

[习题解答] 6-2 一个运动质点的位移与时间的关系为

m ,

其中x的单位是m，t的单位是s。试求：

(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；

(2) t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。

解

(1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式

相比较，可以得到

角频率

s 1, 频率

, 周期

, 振幅,

初相位

.

(2) t = 2 s时质点的位移

. t = 2 s时质点的速度

.

t = 2 s时质点的加速度

.

6-3 一个质量为2.5 kg 的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10 N 的拉力，其伸长量为5.0 cm ，求物体的振动周期。

解 根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数

,

于是，振动系统的角频率为

.

所以，物体的振动周期为

.

6-4 求图6-5所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为k 1

和k 2。

解 以平衡位置O 为坐标原点，建立如图6-5所示的坐标系。若物体向右移动了x ，则它所受的力为

.

根据牛顿第二定律，应有

,

改写为

.

图6-5

所以

,

.

6-5 求图6-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为k 1 和k 2。

解 以平衡位置O 为坐标原点，建立如图6-6所示的

坐标系。当物体由原点O 向右移动x 时，弹簧1伸长了x 1 ，

弹簧2伸长了x 2 ，并有

.

物体所受的力为

,

式中k 是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得

, .

于是，物体所受的力可另写为

,

由上式可得

,

所以

图6-6

.

装置的振动角频率为

,

装置的振动频率为

.

6-6仿照式(6-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。解由教材中的例题6-3，单摆的角位移θ与时间t的关系可以写为

θ = θ0 cos (ω t+ϕ) ,

单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能

,

另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能

.

单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即

,

因为, 所以上式可以化为

.

于是就得到

,

由此可以求得单摆系统中物体的速度为

.

这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

6-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动，振幅为A，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在t = 0时，小球的运动状态分别为

(1) x = -A；

(2)过平衡位置，向x轴正方向运动；

(3)过x =处，向x轴负方向运动；

(4)过x =处，向x轴正方向运动。

试确定上述各状态的初相位。

解

(1)将t = 0和x =-A代入

,

得

,

.

(2)根据以及，可以得到

,

.

由上两式可以解得

.

(3)由和v < 0可以得到

,

.

由上两式可以解得

.

(4)由和v > 0可以得到

,

.

由上两式可以解得

.

6-8 长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。

(1)证明重物的运动是简谐振动；

(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；

(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。

解

(1)以悬挂了重物后的平衡位置O为坐标原点，建立如图6-7所示的坐标系。

因为当重物处于坐标原点O时重力与弹力相平衡，即

,

. (1)

当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s + x )，物体的运动方程可以写为

,

将式(1)代入上式，得

,

即

. (2)

重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。

(2)令

, (3)

方程式(2)的解为

图6-7

. (4)

振幅可以根据初始条件求得：当t = 0 时，x0 = -s，v0 = 0，于是

.

角频率和频率可以根据式(3)求得：

,

.

(3)位移与时间的关系：由, 以及当t = 0 时，x0 = -s，v0 = 0，根据式(4)，可以得到

,

.

由以上两式可解得

.

故有

.

6-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率ν作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为μ0 ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。

解设物体的质量为m，以平衡位置O为坐标原点建立如图6-8所示的坐标系。