排列问题的解题技巧

排列问题的解题技巧

一般地，从n个不同元素中取出m（m≦n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列（Arrangement）。

（一）特殊元素的“优先排法”—对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其它元素；

例1用0，1，2，3，4这五个数组成没有重复的二位数，其中偶数的共有（）个；

（二）总体淘汰法—对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减；

例2七个人排成一列甲不能站排头，问有多少种排法？

（三）合理分类与准确分步—解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例3用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.

（四）相邻问题：捆绑法—对于某几个元素要求相邻的排列问题，可相将其“捆绑起来”，看作一个“大”的元素与其它元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。

例4 7人站成一排照相，要求甲乙丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？

（五）不相邻问题，插空法—对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素拍好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端之间插入即可。

例57人站成一排照相，要求甲乙丙三人不相邻，分别有多少种不同的排法？

（六）顺序固定问题用“除法”—对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。例6（1）五人排队甲在前面的排法有几种？

（2）六人排队，甲乙丙顺序固定（可以不相邻），问不同排法有几种？

（七）分排问题用“直排法”—把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取一排成一排的方法来处理。

例77人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有（）种排法。（要求两种解

法）

（八）试验法—题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方法。

例8 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法种数有（）种。

（九）探索法—对情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决。

例9从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于100，则不同的取法有（）种；

（十）消序

例10 有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高（可以不相邻），有多少种排法？

（十二）对应

例12 在100名选手直接按进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后一名冠军，问要举行多少场？

（十三）特征分析—研究有约束条件的排列问题，须紧扣题目所提供的数字特征，进行推理，分析求解。

例13由1，2，3，4，5，6六个数可组成多少个无重复且是六的倍数的五位数。

例14按下列要求，求排法总数：

1）5人排成一排，甲乙两人之间至少有一人；

2）6人排成一排，甲乙丙三人都不在两端；

3）五男两女站成一排，要求女生不能站在两端，且要相邻；

4）6人排成一排，要求甲乙两人之间必有2人；

5）一排6张椅子上坐3个人，每两人之间有空椅子；

6）8张椅子排成一排，有4个人就坐，每人一个座位，其中恰有3个连续空位；

7）8名学生站成前后两排，每排4人，其中要求甲乙两人在后排，丙在前排；

8）8人站成一列纵队，要求甲乙丙三人不在排头且互相隔开；

9）8位同学，其中有3位是三好学生，他们和班主任合影，要求班主任坐中间，而且左右两边要有三好学生；

10）六人并排拍照，要求甲不坐最左边，已不坐最右边。

例题答案及解析

例1（解析：考虑0的特殊性—不能作为首位数，固只能放后面，X0有4种，X2有，3种X4有3种 3+3+4=10）

例2 （解析：如果七个人排成一排有A 77，但是排除甲站排头的A 66，故而有A 77-A 66种情况。）

例3 （解析） 自然数是从个位数开始所有情况

分情况

1位数： C 61＝6

2位数： C 52A 22＋C 51＝25

3位数： C 53A 33＋C 51C 41A 21＝100

4位数： C 54A 44＋C 51C 42A 33＝300

5位数： A 55＋C 51C 43A 44＝600

6位数： 5A 55＝5×120＝600

总数是1631

例4 （解析：第一步，将甲乙丙“捆绑成”一体有A 33种捆法，第二步，与其余四个人有A 55排法，分步相乘，故有A 33A 55种排法）

例 5（解析：先让另外四个人先排有A 44种排法，然后将甲乙丙插入5个空，有A 53种插法，故而有A 44A 53种排法）

练习题答案及解析

1、解析：问题正面分类，考虑分几天吃，那么问题就很复杂。转化考虑方式，即10颗糖排成一列，每两颗之间加一挡板，则分为两天。不加挡板，即在一天吃完。因此，问题转化为，9个间隔位置上是否加挡板。即吃法有92=N 。

所以，在转化时，通过对问题结论形式的变化，往往可以化繁为简，化生为熟，有效解决问题。

2、 解析：本题在解决时，由于正面情况不共面的四点组比较复杂，因此容易产生重复或者遗漏。然而，从反面考虑，即共面的四点组则比较少。即：58124

8=-C 。

正难则反的策略在题目中出现“至少”或者“至多”时常常会起到避实就虚的功效。

3、解析：可以联系到模型：“将10个相同的小球放入4个不同盒子”。这个模型可以运用挡

C——数学模型的思想

板法解决。即：用3个挡板插入到10个球中将其分开。答案：3

9

4、解析：直接考虑比较困难，但我们稍加变化，即能转化成我们熟悉的问题，即：9个相同的A和3个相同的B排成一列，要求B不排在两端，也不相邻，此时只需将B插入到9个A中即运用插空法可解决。选B

5、解析：本是确定从M到N最短路线的条数，正面去分类确定非常麻烦，如果转化一下：将M到N的路线中，横向记为A，纵向记为B，那么就转化为4个A和2个B的排列问题。故选B

题4和5，都反映出问题背景的转化，常常能变陌生为熟悉，大大增强我们解题的信心，也能够使我们所学习的知识更加系统有序。

6、解析：根据条件我们可以分2种情况

第一种情况：2台甲＋1台乙即C42×C51＝6×5＝30

第二种情况：1台甲＋2台乙即C41×C52＝4×10＝40

所以总数是30＋40＝70种

7、解析：至少有3件则说明是3件或4件

3件：C43×C462＝4140

4件：C44×C461＝46

共计是4140＋46＝4186

8、解析：分步完成

第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4＝210

第二步：分配给甲乙并的工作是C42×C21×1＝6×2×1＝12种情况

则根据分步原则乘法关系210×12＝2520

9、解析：每个路口都按次序考虑

第一个路口是C124，第二个路口是C84，第三个路口是C44，

则结果是C124C84C44

可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要A33吗其实不是这样的在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再乘以A33则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要除以A33 10、解析：这是排列组合的一种方法叫做2次插空法

解法一、直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有A91种方法；再用另一个节目去插10个空位，有A101种方法；用最后一个节目去插11个空位，有A111方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为A91A101A111=990种。

解法二、先在11个位置中排上新添的三个节目有A113)种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有A113=990种。