第09篇二重积分(习题)
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第九章 二重积分
习题9-1 1、设⎰⎰+=
1
322
1)(D d y x
I σ,
其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;
又⎰⎰+=
2
322
2)(D d y x
I σ,
其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,
试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.
解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =.
2、利用二重积分的几何意义说明:
(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即
),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=⎰⎰D
d y x f σ;
(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即
),(),(y x f y x f =-时,有
⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D D
d y x f d y x f σ
σ,其中1D 为D 在
0≥x 的部分.
并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2
2
2
R y x y x D ≤+=.
(I)⎰⎰D d xy σ4
; (II)⎰⎰--D d y x R y σ2
2
2
; (III)⎰⎰++D
d y x x
y σ2
231cos . 解：令⎰⎰=
D
d y x f I σ),(,⎰⎰=1
),(1
D d y x f I σ,其中1
D 为D 在0≥x 的部分,
(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0 (2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0 (I)由于}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4 ),(xy y x f =为x 的奇函数, 于是 04 =⎰⎰D d xy σ; (II)由于 }|),{(222R y x y x D ≤+=关于 x 轴对称,且 222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰D d y x R y σ; (III)由于}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2 231cos ),(y x x y y x f ++= 为y 的奇函数,于是01cos 2 23=++⎰⎰D d y x x y σ. 3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)⎰⎰+= D d y x I σ21)(与⎰⎰+=D d y x I σ3 2)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成; 解：由于在D 内,10<+ 3 )()(0y x y x +<+<,所以 1232)()(I d y x d y x I D D =+<+=⎰⎰⎰⎰σσ. (2)⎰⎰+= D d y x I σ)ln(1与⎰⎰+=D d y x I σ2 2 )][ln(, 其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D . 解：由于在D 内,63<+< )][ln()ln(y x y x +<+,所以 221)][ln()ln(I d y x d y x I D D =+<+=⎰⎰⎰⎰σσ. 4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值： (1)⎰⎰++= D d y x xy I σ)1(, 其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ； 解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++ 1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰D d y x xy σ. (2)⎰⎰++= D d y x I σ)94(22 , 其中}4|),{(2 2 ≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为π4,且在D 内, 25313949222≤+≤++≤y y x ,那么 ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰D d y x . (3)⎰⎰++= D y x d I 22cos cos 100σ , 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为200,且在D 内, 100 1cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100 200 cos cos 100102200511002 2=<++<⎰⎰D y x d σ＝. 习题9-2 1、计算下列二重积分： (1) ⎰⎰+D d y x σ)(22 ,其中D 是矩形区域: 1||,1||≤≤y x ； 解： 38)31(2)()(112 11112222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x D σ.