高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答

高中立体几何最佳解题方法总结
一、线线平行的证明方法
1、利用平行四边形；
2、利用三角形或梯形的中位线；
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行的
性质定理）
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行的性质定理）
5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（线面垂直的性质定理）
6、平行于同一条直线的两个直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法
1、定义法：直线和平面没有公共点。

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。

（线面平行的判定
定理）
3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。

4、反证法。

三、面面平行的证明方法
1、定义法：两个平面没有公共点。

2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（面面平行的判定定理）
3、平行于同一个平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

5、垂直于同一条直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法
1、勾股定理；
2、等腰三角形；
3、菱形对角线;
4、圆所对的圆周角是直角；
5、点在线上的射影；
6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

（三垂线定理）
8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：
1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；
2、点在面内的射影；
3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。

（线面垂直的判定定理）
4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。

（面面垂直的性质
定理）
5、两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：
1、定义法：两个平面的二面角是直二面角；
2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理）
3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊂a a
高中立体几何经典考题及方法汇总
1线面平行的判定
1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外
∴1//A C 平面BDE 。

2线面垂直的判定
2、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥
又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC
3线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 3、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1
AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设
11111
A C
B D O ⋂=，连结1AO
A
E
D 1
C
B 1
D
C
B
A
S
D
C
B
A
D 1O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
N
M
P
C
B
A
∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形
∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =
11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂
∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D
（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111
A C
B D ⊥∵， 1111B D A
C C ∴⊥面 1
11AC B D ⊥即 同理可证
11A C AD ⊥， 又
1111
D B AD D ⋂=
∴1A C ⊥面11AB D
4线面垂直的判定
4、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.
5 线面平行的判定（利用平行四边形）
5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．
同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．
而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．
(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．
从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．
6三垂线定理
6、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，
3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点， ∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB
∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND = ∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥
A 1 A
B 1
C 1
D 1
D G E
F
（2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴1
22
PD AB =
=，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且1
12
MQ BC =
=，∴2MN = 7线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定 7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC BD O ⋂=，
∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO
又1
AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，
1AC AA A
⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC
8线面垂直的判定,构造直角三角形
8、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．
（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角
在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴0
30DPE ∠=
9线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
9、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0
60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．
（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；
（3）求二面角A BC P --的大小． 证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD
（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，
PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥
（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥ ∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角
在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴0
45PBG ∠= 10线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直
10、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，
1A A AC A
⋂=，
∴DB ⊥平面11A ACC ，而1
AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，223
4
MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194
A M a =
．∵222
11A O MO A M +=，∴1
AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．
11线面垂直的判定
11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，
作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．
∵AD BD =，∴DF AB ⊥．
又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B ⋂=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ⋂=， ∴ AH ⊥平面BCD ． 12线面垂直的判定，三垂线定理
12、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D
D 1 C 1
A 1
B 1
D C
A B
证明：连结AC
BD AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥⎫
⎬⎭
⇒⊥BD A C
A C BC A C BC D
11111同理可证平面。