相关系数 -PPT
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《典型相关系数》课件
03
CATALOGUE
典型相关系数的计算步骤
数据标准化处理
原始数据标准化
将原始数据转换为均值为0，标准差为1 的标准化数据，消除量纲和量级的影响 。
VS
消除异常值
对标准化数据进行异常值处理，避免异常 值对分析结果的影响。
计算相关系数矩阵
计算变量间的相关系数
通过计算变量间的皮尔逊相关系数或斯皮尔 曼秩相关系数，得到相关系数矩阵。
的线性关系。
矩阵中的对角线元素表 示同一变量与自身的相 关系数，即1，因为任何 变量与自身都是完全相
关的。
矩阵中的非对角线元素 表示不同变量之间的相 关系数，其值介于-1和1 之间，其中负值表示负 相关，正值表示正相关
。
解释典型相关变量对的关系
通过分析典型相关系数矩阵，可以确定哪些变量 之间存在显著的相关关系。
如果模型预测值与实际值之间的典型相关系数 接近于0，则说明模型拟合效果不佳；如果接近 于1或-1，则说明模型拟合效果较好。
05
CATALOGUE
典型相关系数的注意事项与限制
数据量与样本大小的要求
数据量要求
典型相关分析需要足够的样本量以确保结果的稳定性和可靠性。通常，样本量至少需要 达到变量数的5倍，以避免由于随机误差导致的假阳性结果。
对于具有较大绝对值的典型相关系数，其对应的 两个变量之间存在较强的线性关系。
通过比较不同变量对的典型相关系数大小，可以 判断不同变量对之间的相对重要性。
评估模型拟合优度
典型相关分析可以用于评估回归模型或其他统 计模型的拟合优度。
通过比较模型预测值与实际值之间的典型相关 系数，可以评估模型的预测精度和可靠性。
软件选择与安装
软件选择
8.1.2样本的相关系数PPT课件(人教版)
第八章 成对数据的统计分析
8.1.2样本的相关系数
学业标准
学科素养
1．了解两随机变量间的样本的相关系 1．通过利用散点图判断变量间的线
数的含义，了解样本相关系数与“标 性相关程度大小培养直观想象能力．
准化”处理后的成对数据两分两向量 2．通过利用相关系数 r 判断变量间的
夹角关系。
线性相关程度大小培养数学分析能
+xn'
yn'）=
1 n
x'
•
y'
1 n
|x'|
|y'|
cos
| x' | x1'2 x2'2
xn'2
( x1 x)2 ( x2 x)2
sx
sx
( xn x)2 sx
(x1 x)2 (x2 x)2 sx
(xn x)2
n
(xi x)2
i1
n,同理可得 | y' | n
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由
这些点组成了统计图叫做散点图
一、温故知新
3.变量相关关系的分类 正相关和负相关 线性相关和非线性相关
4.两个变量之间相关关系的确定 (1).经验作出推断
(2).通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构
建适当的模型，再利用模型进行估计或推断
二、自主探究
n
xi - xyi - y
n
xiyi - nxy
r=
i=1
=
i=1
n
2n
2
xi x
yi y
n xi2 - nx2 n yi2 - ny2
i=1
i=1
i=1
8.1.2样本的相关系数
学业标准
学科素养
1．了解两随机变量间的样本的相关系 1．通过利用散点图判断变量间的线
数的含义，了解样本相关系数与“标 性相关程度大小培养直观想象能力．
准化”处理后的成对数据两分两向量 2．通过利用相关系数 r 判断变量间的
夹角关系。
线性相关程度大小培养数学分析能
+xn'
yn'）=
1 n
x'
•
y'
1 n
|x'|
|y'|
cos
| x' | x1'2 x2'2
xn'2
( x1 x)2 ( x2 x)2
sx
sx
( xn x)2 sx
(x1 x)2 (x2 x)2 sx
(xn x)2
n
(xi x)2
i1
n,同理可得 | y' | n
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由
这些点组成了统计图叫做散点图
一、温故知新
3.变量相关关系的分类 正相关和负相关 线性相关和非线性相关
4.两个变量之间相关关系的确定 (1).经验作出推断
(2).通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构
建适当的模型，再利用模型进行估计或推断
二、自主探究
n
xi - xyi - y
n
xiyi - nxy
r=
i=1
=
i=1
n
2n
2
xi x
yi y
n xi2 - nx2 n yi2 - ny2
i=1
i=1
i=1
协方差与相关系数 PPT
D(V ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 17
所以
Cov(U ,V ) Cov(2X Y , 2X Y )
Cov(2X , 2X ) Cov(2X ,Y ) Cov(Y , 2X ) Cov(Y ,Y )
所以D(t0X*-Y*)=0,由方差得性质知它等价于 P{t0X*-Y* =0}=1,即P{Y=aX+b}=1
其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X)、
• 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0、 证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y), 又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
协方差与相关系数
一、协方差得概念及性质 二、相关系数得概念及性质 三、协方差得关系式
§1 协方差
• 定义:设二维随机向量(X,Y)得数学期望 (E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称 它为随机变量X与Y得协方差,记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] • 协方差有计算公式
9 ， XY
1 3
，设
U
2X
Y
，
V 2X Y ， 求 UV .
解
Cov( X ,Y ) XY
D( X ) D(Y ) 1 3
49 2
D(U ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 33
E( X ) (1) 0.15 1 0.35 0.20
协方差和相关系数的计算ppt(共24张PPT)
E(X 2) 2
D( X ) D(Y ) 2
E(Y 2 ) 2
cov(U ,V ) (a2 b2 ) 2
而 D(U ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
D(V ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
故
UV
a2 a2
b2 b2
XY 1 0 P pq
E(X ) p, E(Y ) p, D(X ) pq, D(Y ) pq, E(XY ) p, D(XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1，12，2，22，)， 求
XY ．
解
cov( X ,Y )
当D(X ) > 0， D(Y ) > 0 时，当且仅当
P(Y E(Y ) t0 ( X E( X ))) 1
时，等式成立 —Cauchy-Schwarz不等式．
证明 令
g(t) E[(Y E(Y )) t( X E( X ))]2 D(Y ) 2t cov( X ,Y ) t2D( X )
在寒冷的年代里，母爱是温暖。
协方差和相关系数的计算
cov(U ,V ) 解 在文明的年代里，母爱是道德。
继续讨论：a，b 取何值时，U，V 不相关？
E(UV
)
E(U
)E(V
)
为X，Y 的相关系数，记为
a E( X ) b E(Y ) 例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1， 12， 2， 22，2 )， 求 2XY ． 2
E( XY ) p, D( XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
X X p ,Y Y p , P(X Y ) 1
协方差与相关系数(PPT课件)
2 误差rmin (1 XY ) DY , 其 中 XY
C ov(X , Y ) 为相关系数 DX DY
相关系数的性质 相关系数满足|ρXY |≤1且
XY 1 常数a, b, 使P{Y a bX } 1
2 证 由 (1 XY )
rmin 0 知 | XY | 1 DY
则称E ( X EX )(Y EY )为随机变量X 与Y的协方差, 记 为Cov( X ,Y ), 即
Cov( X ,Y ) E ( X EX )(Y EY )
将上式展开, 易得公式
Cov( X ,Y ) E ( XY ) ( EX )( EY )
特别, 当X与Y 相互独立时，有
解 Cov(X ,Y ) XY DX DY 0.5 4 16 4 例3 设 ( X , Y ) 服从参数为 1 ,
2 2 , 12 , 2 , 的
二维正态分布 , 求X 与Y 的相关 系数.
概率统计（ZYH）
例3 解 二维正态分布的密度是
f
exp(h) 2σ1σ 2 1 ρ 2
Cov( X , Y ) Cov( X , Y ) EX , b DX DX
2
Cov( X , Y ) Cov( X , Y ) E Y EY EX X DX DX
Cov(X , Y ) X EX E (Y EY ) DX
( σ1 σ 2 u 2 ) e
t2 2
t 2 u2 2
dtdu
u2 2
σ1σ 2
Hale Waihona Puke 1 e 2dt u
相关系数公式 PPT课件
m
22.875 2.1389 6 1
贝他系数的计算 ：
J
JM
(
J M
)
0.8928
2.8358 2.1389
1.18
23
课堂问题
❖问题五： ❖了解了贝塔系数的计算后，你认为如何才
可以改变公司的贝塔呢？
24
（0.5×0.50×0.122 + 2×0.5×0.5×0.024 + 0.5×0.5×0.22 ） =0.0256
❖ 该组合的标准差为0.16。 ❖ 等于两证券的加权平均数0.32/2=16
10
情况2：如果两种证券的预期相关系数是0.2，两者的协方差为 0.0048，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其方差为：
证为是各券j证的2。券方对自差于身。矩的当阵方j对=差k角。时线，位相置关上系的数投是资1组，合并，且其 协j 方差k 就变
8
协方差比方差更重要
影响证券组合的标准差不仅取决于单个证券 的标准差，而且还取决于证券之间的协方差。
随着证券组合中证券个数的增加，协方差项 比方差项更重要。
随着组合中证券个数的增加，证券的斜方差 数量增长的很快，对投资组合风险的影响会 更大。
等，投资者均有完全相同的主观估计。 • 所有的资产均可被完全细分，拥有充分的流动性且没有交易成本。 • 没有税金。 • 所有投资者均为价格接受者。即任何一个投资者的买卖行为都不会对
股标价格产生影响。
12
课堂问题
❖问题四： ❖贝塔系数用来某种股票的风险，我们是否
可以根据股票的贝塔系数来判断风险，并 进行投资呢？
合计
1.00
期望收益 0.185 期望收益0.06
标准差 i0.1484 标准差 j 0.0872
散点图相关系数 ppt课件
(a)
(b)
(c)
(d)
就两个变量而言，如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相
关，如图(a)和(b)；
如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相关或曲线相关， 如图(c)；
如果两个变量的观测点很分散，无任何规律，则表示变量之间没有相关关系， 如图(d) 。
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圆的面积与圆的半径之间的关系： 圆面积＝3.14 * 半径^2
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5
一、相关的概念
1. 关系的概念
(2)相关关系：如果变量之间存在密切的关系，但又不能由一个或 几个变量的值确定另一个变量的值，当自变量x取一定值时，因变量y 的值可能有多个，这种变量之间的非一一对应的、不确定的关系，称 之为相关关系。
如：子女身高与父母身高之间的关系 证券指数与利率之间的关系
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6
一、相关的概念
2. 相关关系的分类
就是函数关系
(1)按相关的程度分为：
完全相关：一个变量的取值完全取决于另一个变量，数据点落在一条直线(或曲线)上
数值（相关系数）：变量间关系的密切程度常以一个数量性指标描述，这 个指标称相关系数
r=0.8
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11
高中数学选修1-2课件：第1章 相关系数 参考课件
2
nx
i 1
a y bx
若b>0则正相关;若b<0则负相关
第二页，编辑于星期一：点 三十二分。
但是在样本点非常多的情况下，散点图 不好做，那么我们如何来刻画他们之间是否 具有线性相关关系呢？
如何描述它们之 间线性相关关系
的强弱呢？
第三页，编辑于星期一：点 三十二分。
假设两个随机变量的取值分别是（x1,y1），（x2,y2），
1.2
相关系数
第一页，编辑于星期一：点 三十二分。
复习
给定n个样本点（x1,y1）,（x2,y2）,…（xn,yn），如果图
像上面显示它们具有线性相关关系的话，就可以通过下
面的公式计算出a,b的值，代入 y=a+bx 即可得线性回归方
程。
n
b lxy lxx
xi yi nx y
i 1
n
xi 2
…（xn,yn），则变量间线性相关系数r的计算公式如下：
n
r lxy
(xi x)( yi y)
i 1
lxx l yy
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
n
xi yi nx y
i 1
n
xi 2
2
nx
n
yi 2
n
2
y
i 1
i 1
第四页，编辑于星期一：点 三十二分。
误差
Q(a,b) lyy
Qmin
lyy
lxy2 lxx
n[
y (a bx)]2
l yy
(1
lxy 2 l lyy xx
)
lxx
(b
相关系数 -PPT
计算相关系数要求成对数据。若干个个体中每个个体要有
两种不同的观测值。如每个学生的智力分数和学习成绩。
样本容量要求。以n>=30为宜。
没有线性相关，不一定没有关系，可能是非线性的。
12
小练习
相关 -.80所呈现的数据点比相关+.50所呈现的数据点更为 密集地聚集在直线周围。
如果数据密集地聚集在一条从左至右下降的直线上，这 表明这个相关在+.90左右。 大过。
r= X ∑Y ∑ ∑ XY − N
2 2 ( ) ( ) Y X ∑ ∑ 2 2 − ⋅ − Y X ∑ ∑ N N 1725 × 485 83891 − 228.5 10 = = = 0.79 2 2 962.5 ⋅ 86.5 1725 485 ⋅ 23609 − 298525 − 10 10
答：这10名学生身高与体重的相关系数为0.79
X ∑Y ∑ ∑ XY −
第三节 等级相关
23
斯皮尔曼等级相关
英国心理学家Spearman在皮尔逊相关的基础上推导而 来，在定义中把点的坐标换成各自样本的等级。
24
斯皮尔曼等级相关
适用条件
适用于两列等级性质的变量(既可以是等级变量，也可 以是连续变量赋以等级顺序转换而来）。 对数据整体分布不作要求
适用条件： • 要求成对的数据，两列数据都是测量的数据（数值 型变量）； • 正态双变量； • 两列变量之间的关系应是线性的，如果是非线性的， 则不能计算线性相关； • n ≥ 30。
15
积差相关的计算公式
X和Y共同变化的程度 r= X和Y单独变化的程度
SX =
2 X X ( − ) ∑
协方差及相关系数PPT课件
3) 1 存在常数 a, b(b≠0), 使 P{ Y=aX+b }=1,
即: X 和 Y 以概率 1 线性相关.
相关系数刻划了X 和Y 间“线性相关”的程度.
概率论
可见, 若 ρ = ±1, Y 与 X 有严格线性关系; 若 ρ = 0, Y 与 X 无线性关系; 若 0 < |ρ| < 1, |ρ|的值越接近于1, Y 与 X的线性相关程度越高; |ρ|的值越接近于0, Y 与 X的线性相关程度越弱.
可见, 均值 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X的二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若 E X k Y l k ,l 1 ,2 , 存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
若 E [ X E ( X ) ] k [ Y E ( Y ) ] l k , l 1 , 2 ,存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. ((k+l)-th mixed central moment)
可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
四、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
c11 E {X [1E (X 1)2} ]
c 1 2 E { X 1 [ E (X 1 )X ]2 [ E (X 2 )]}
若 cij coX vi,(Xj) E {X [i E (X i)] X j[ E (X j)]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11
C
c21
即: X 和 Y 以概率 1 线性相关.
相关系数刻划了X 和Y 间“线性相关”的程度.
概率论
可见, 若 ρ = ±1, Y 与 X 有严格线性关系; 若 ρ = 0, Y 与 X 无线性关系; 若 0 < |ρ| < 1, |ρ|的值越接近于1, Y 与 X的线性相关程度越高; |ρ|的值越接近于0, Y 与 X的线性相关程度越弱.
可见, 均值 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X的二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若 E X k Y l k ,l 1 ,2 , 存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
若 E [ X E ( X ) ] k [ Y E ( Y ) ] l k , l 1 , 2 ,存 在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. ((k+l)-th mixed central moment)
可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
四、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
c11 E {X [1E (X 1)2} ]
c 1 2 E { X 1 [ E (X 1 )X ]2 [ E (X 2 )]}
若 cij coX vi,(Xj) E {X [i E (X i)] X j[ E (X j)]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11
C
c21
相关系数PPT课件
第1页/共21页
2、协方差的定义 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。
说明：
Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(2) Cov(X,Y)>0，正相关；Cov(X,Y)<0, 负相关。=0，不相关
2 2
0.5,
0.4
x1*
0.5 0.4 0.3* 0.5 0.3 0.5 2* 0.4 0.3* 0.5
0.704
第20页/共21页
谢谢您的观看！
第21页/共21页
(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]} =E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} = ab cov(X, Y)
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
(3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).
(4) 离散型 : COV ( X ,Y )
[xi E( X )][y j E(Y )] pij
ij
连续型 : COV (X ,Y ) [x E(X )][y E(Y )]f (x, y)dxdy
第2页/共21页
x12
2 1
(1
x1
)2
2 2
2x1(1
x1 )1 2
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求D( P )
2、协方差的定义 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。
说明：
Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(2) Cov(X,Y)>0，正相关；Cov(X,Y)<0, 负相关。=0，不相关
2 2
0.5,
0.4
x1*
0.5 0.4 0.3* 0.5 0.3 0.5 2* 0.4 0.3* 0.5
0.704
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第21页/共21页
(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]} =E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} = ab cov(X, Y)
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
(3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).
(4) 离散型 : COV ( X ,Y )
[xi E( X )][y j E(Y )] pij
ij
连续型 : COV (X ,Y ) [x E(X )][y E(Y )]f (x, y)dxdy
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x12
2 1
(1
x1
)2
2 2
2x1(1
x1 )1 2
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求D( P )
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2
2
2 2 X X ( X ) = ∑ ∑ −
(∑ X ) 2 N
N
r=
X ∑Y ∑ ∑ XY −
2 ( ) X ∑ 2 − ⋅ X ∑ N 2 Y ( ) ∑ 2 Y − ∑ N
17
下面是10名学生身高与体重的测量结果，问身 高与体重的关系如何？
18
解：已知n=10,利用原始分数计算积差相关的公式得：
X p −Xq 88.4 − 74.8 rpb = ⋅ pq = × 0.5 × 0.5 = 0.766 代入公式得 ： st 8.88
答：第5题与总分相关较高,相关系数为0.766,即第5题的答对答错 与总分有一致性。也可以说该题的区分度较高。 44
小练习
为了检验一种新的学习方法的效果，心理学家随机地将 一个有8名学生分成两组，每组有4个人。训练后，两组 的测验分数如下： 训练 9 7 6 10 未训练 4 7 3 6
35
肯德尔W系数计算公式
2 ( ) R ∑ i 2 R − ∑ i s N W = = 1 1 K 2 (N 3 − N ) K 2 (N 3 − N ) 12 12
Ri -每一被评事物K个等级之和， N-被评价事物的数目，即等级数， K-评价者的数目或等级变量的列数。 肯德尔W系数的取值范围：[0，1]
常用于问答题（主观题）的区分度指标。
当二分变量为真正的二分变量，或不清楚其分布形态 时，使用点二列相关。
48
二列相关
计算公式：
X p − X q pq ⋅ rb = st y
y：为标准正态分布中p值对应的高度，查正态分布表能得到
49
例：下表为10名考生一次测验的卷面总分和一道问答题 的得分，试求该问答题的区分度（该问答题满分为10 分， 因此得6分及以上则认为该题通过）。
7
• 低相关：<.30/20
如何描述相关—散点图
8
奇异值、全距对相关的影响
9
奇异值、全距对相关的影响
10
相关系数的解释
相关系数是用来表示变量间相关关系强度的指标
• （总体：ρ；样本：r）
•
-1≦r ≦1
• 正负号表示相关的方向；取值大小表示相关的强弱程度
11
相关系数的解释 （续）
相关系数不是等距量表值，更不是等比量表。不能说r = 0.5是r = 0.25的两倍。 存在相关关系，不一定存在因果关系。
• 将数据转化成一个适合点二列相关的形式 • 计算这些数据的点二列相关
45
测验分数 训练情况 9 1 7 1 6 1 10 1 4 0 7 0 3 0 6 0
46
解：已知N = 8，训练组4人, 未训练组4人, 训练人数比率：p = 4/8=0.5，未训练人数比率：q = 4/8=0.5, 训练组平均分： X p = 8 未训练组平均分： X q = 5
N SY =
2 Y Y ( − ) ∑
N
(X - X )(Y − Y ) ∑ r= = NS X SY
∑ (X - X )(Y − Y ) ∑ ( X − X ) ⋅ ∑ (Y − Y )
2
2
16
原始观测值计算公式
(X - X )(Y − Y ) ∑ = r= NS X SY
∑ (X - X )(Y − Y ) ∑ ( X − X ) ⋅ ∑ (Y − Y )
所有人分数的标准差：St= 2.179 代入公式得 ： rpb = X p − X q ⋅ pq = 8 − 5 × 0.5 × 0.5 = 0.688
st 2.179
47
二列相关
二列相关适用的资料是两列数据均属于正态分布，其 中一列变量为等距或等比的测量数据，另一列变量为人 为划分的二分变量（例：及格/不及格；高/矮）。
相关关系
1
引例
考试交卷时间与成绩之间的关系：
2
主要内容
•
基本概念 积差相关* 等级相关
斯皮尔曼等级相关、肯德尔系数 其它相关种类 点二列相关、二列相关、φ系数
•
3
第一节 基本概念
4
变量间的关系
因果关系：一种现象是另一种现象的因，而另一种现 象则是果。 • 例：努力成绩；刺激强度反应强度
27
28
为了证明所给分数确实可靠，一位英语老师请 一位同事将期末报告进行排名。排名结果和教师 本人所给的成绩如下：
排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
成绩 A B A B B C D C C D E
•
计算这些数据的斯皮尔曼 等级相关。
29
排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X ∑Y ∑ ∑ XY −
第三节 等级相关
23
斯皮尔曼等级相关
英国心理学家Spearman在皮尔逊相关的基础上推导而 来，在定义中把点的坐标换成各自样本的等级。
24
斯皮尔曼等级相关
适用条件
适用于两列等级性质的变量(既可以是等级变量，也可 以是连续变量赋以等级顺序转换而来）。 对数据整体分布不作要求
ad − bc rφ = (a + b)(a + c)(b + d )(c + d )
成绩 A B A B B C D C C D E
等级顺序 最终等级 1 1.5 3 4 2 1.5 4 4 5 4 6 7 9 9.5 7 7 8 7 10 9.5 11 11
30
斯皮尔曼等级相关特殊公式
当不存在相同等级时，可使用化简公式：
r=
∑ XY −
2
∑ X ∑Y
(∑ Y ) 2 ∑Y − N
36
肯德尔U系数
肯德尔U系数又称一致性系数，适用于对K个评价者的一
致性进行统计分析。它与肯德尔W系数所处理的问题相同， 但所处理的资料的获得方法不同，计算的结果也不一样。
如果有N件事物，由K个评价者对其优劣、大小、高低等
单一维度的属性进行评价，若评价者采用对偶比较的方法， (即将N件事物两两配对,然后对每一对中两事物进行比较， 择优选择，优者记1，非优者记0), 则应计算肯德尔U系数。
19
积差相关与Z分数
积差相关测量了一个个体在X分布上的位置与在Y
分布上的位置之间的关系。而Z分数提供了一个精确 的方式来表示一个分数在分布中的位置。所以积差相 关的公式可以用Z分数表示：
20
小练习
积差和的值 ∑ ( X − X )(Y − Y ) 可能小于0吗？ 计算下列数据的皮尔逊相关。 X 2 1 3 0 4 Y 9 10 6 8 2
计算相关系数要求成对数据。若干个个体中每个个体要有
两种不同的观测值。如每个学生的智力分数和学习成绩。
样本容量要求。以n>=30为宜。
没有线性相关，不一定没有关系，可能是非线性的。
12
小练习
相关 -.80所呈现的数据点比相关+.50所呈现的数据点更为 密集地聚集在直线周围。
如果数据密集地聚集在一条从左至右下降的直线上，这 表明这个相关在+.90左右。 大过。
每个题目（二分名义变量）与总分（数值）变量的相关， 称为每个题目的区分度。
相关高说明该题答对答错与总分的一致性高，即区分度高。
42
例：有一是非选择测验，共有50题，每题选对得2 分，满分为100分。现有20人的总成绩及对第5题的 选答情况，问第5题区分度如何？
43
解：已知n = 20，第五题答对的10人, 答错的10人, 答对学生的比率： p = 10/20=0.5, 答错学生的比率： q = 10/20=0.5, 答对第五题学生的总分平均成绩： X p = 88.4 答错第五题学生的总分平均成绩： X q = 74.8 所有学生总成绩的标准差：St= 8.88
答：这10人的视听反应时的等级相关系数为0.71。
6∑ D 2
33
肯德尔W（和谐）系数
表示多列等级变量相关程度的一种方法。 适用情况：
• K个评价者对N个事物进行等级评定 • 一个评价者先后K次对N个事物进行等级评定
34
例：有10人对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色 按照其喜好程度进行等级评价（最喜欢=1，最不喜欢 =7）。这10人对颜色的爱好是否具有一致性？
37
38
肯德尔U系数计算说明
39
第四节 其它相关
40
点二列相关 (point-biserial correlation )
点二列相关是考察两列观测值一个为正态连续变 量，一个为“二分”称名变量（男/女；对/错）之间 相关程度的统计方法。
计算公式：
41
点二列相关
点二列相关多用于评价由是非类测验题目组成的测验内部 一致性等问题。
相关从未比1.00
已知r1 = -0.7, r2 = 0.7。下列表述正确的是（ ）。 A . r1 和 r2 代表的意义相同 B . r2 代表的相关程度高于r1 C. r1 和 r2 代表的相关程度相同 D. r1 和 r2的散点图相同
13
第二节 积差相关
14
积差相关的概念适用条件
积差相关（皮尔逊相关）是揭示两个变量线性相 关方向和程度最常用和最基本的方法。
2
= 1−
N ( N 2 − 1)
(∑ X ) 2 ∑X − N ⋅ 6∑ D 2
N
- D为二列等级变量的等级差数
31
例：现有10人的视、听两种感觉通道的反应时（单 位：毫秒），数据见下表。问视、听反应时是否具 有一致性？
32
解：已知N=10, ∑D2=48,带入公式，得：
2
2 2 X X ( X ) = ∑ ∑ −
(∑ X ) 2 N
N
r=
X ∑Y ∑ ∑ XY −
2 ( ) X ∑ 2 − ⋅ X ∑ N 2 Y ( ) ∑ 2 Y − ∑ N
17
下面是10名学生身高与体重的测量结果，问身 高与体重的关系如何？
18
解：已知n=10,利用原始分数计算积差相关的公式得：
X p −Xq 88.4 − 74.8 rpb = ⋅ pq = × 0.5 × 0.5 = 0.766 代入公式得 ： st 8.88
答：第5题与总分相关较高,相关系数为0.766,即第5题的答对答错 与总分有一致性。也可以说该题的区分度较高。 44
小练习
为了检验一种新的学习方法的效果，心理学家随机地将 一个有8名学生分成两组，每组有4个人。训练后，两组 的测验分数如下： 训练 9 7 6 10 未训练 4 7 3 6
35
肯德尔W系数计算公式
2 ( ) R ∑ i 2 R − ∑ i s N W = = 1 1 K 2 (N 3 − N ) K 2 (N 3 − N ) 12 12
Ri -每一被评事物K个等级之和， N-被评价事物的数目，即等级数， K-评价者的数目或等级变量的列数。 肯德尔W系数的取值范围：[0，1]
常用于问答题（主观题）的区分度指标。
当二分变量为真正的二分变量，或不清楚其分布形态 时，使用点二列相关。
48
二列相关
计算公式：
X p − X q pq ⋅ rb = st y
y：为标准正态分布中p值对应的高度，查正态分布表能得到
49
例：下表为10名考生一次测验的卷面总分和一道问答题 的得分，试求该问答题的区分度（该问答题满分为10 分， 因此得6分及以上则认为该题通过）。
7
• 低相关：<.30/20
如何描述相关—散点图
8
奇异值、全距对相关的影响
9
奇异值、全距对相关的影响
10
相关系数的解释
相关系数是用来表示变量间相关关系强度的指标
• （总体：ρ；样本：r）
•
-1≦r ≦1
• 正负号表示相关的方向；取值大小表示相关的强弱程度
11
相关系数的解释 （续）
相关系数不是等距量表值，更不是等比量表。不能说r = 0.5是r = 0.25的两倍。 存在相关关系，不一定存在因果关系。
• 将数据转化成一个适合点二列相关的形式 • 计算这些数据的点二列相关
45
测验分数 训练情况 9 1 7 1 6 1 10 1 4 0 7 0 3 0 6 0
46
解：已知N = 8，训练组4人, 未训练组4人, 训练人数比率：p = 4/8=0.5，未训练人数比率：q = 4/8=0.5, 训练组平均分： X p = 8 未训练组平均分： X q = 5
N SY =
2 Y Y ( − ) ∑
N
(X - X )(Y − Y ) ∑ r= = NS X SY
∑ (X - X )(Y − Y ) ∑ ( X − X ) ⋅ ∑ (Y − Y )
2
2
16
原始观测值计算公式
(X - X )(Y − Y ) ∑ = r= NS X SY
∑ (X - X )(Y − Y ) ∑ ( X − X ) ⋅ ∑ (Y − Y )
所有人分数的标准差：St= 2.179 代入公式得 ： rpb = X p − X q ⋅ pq = 8 − 5 × 0.5 × 0.5 = 0.688
st 2.179
47
二列相关
二列相关适用的资料是两列数据均属于正态分布，其 中一列变量为等距或等比的测量数据，另一列变量为人 为划分的二分变量（例：及格/不及格；高/矮）。
相关关系
1
引例
考试交卷时间与成绩之间的关系：
2
主要内容
•
基本概念 积差相关* 等级相关
斯皮尔曼等级相关、肯德尔系数 其它相关种类 点二列相关、二列相关、φ系数
•
3
第一节 基本概念
4
变量间的关系
因果关系：一种现象是另一种现象的因，而另一种现 象则是果。 • 例：努力成绩；刺激强度反应强度
27
28
为了证明所给分数确实可靠，一位英语老师请 一位同事将期末报告进行排名。排名结果和教师 本人所给的成绩如下：
排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
成绩 A B A B B C D C C D E
•
计算这些数据的斯皮尔曼 等级相关。
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排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X ∑Y ∑ ∑ XY −
第三节 等级相关
23
斯皮尔曼等级相关
英国心理学家Spearman在皮尔逊相关的基础上推导而 来，在定义中把点的坐标换成各自样本的等级。
24
斯皮尔曼等级相关
适用条件
适用于两列等级性质的变量(既可以是等级变量，也可 以是连续变量赋以等级顺序转换而来）。 对数据整体分布不作要求
ad − bc rφ = (a + b)(a + c)(b + d )(c + d )
成绩 A B A B B C D C C D E
等级顺序 最终等级 1 1.5 3 4 2 1.5 4 4 5 4 6 7 9 9.5 7 7 8 7 10 9.5 11 11
30
斯皮尔曼等级相关特殊公式
当不存在相同等级时，可使用化简公式：
r=
∑ XY −
2
∑ X ∑Y
(∑ Y ) 2 ∑Y − N
36
肯德尔U系数
肯德尔U系数又称一致性系数，适用于对K个评价者的一
致性进行统计分析。它与肯德尔W系数所处理的问题相同， 但所处理的资料的获得方法不同，计算的结果也不一样。
如果有N件事物，由K个评价者对其优劣、大小、高低等
单一维度的属性进行评价，若评价者采用对偶比较的方法， (即将N件事物两两配对,然后对每一对中两事物进行比较， 择优选择，优者记1，非优者记0), 则应计算肯德尔U系数。
19
积差相关与Z分数
积差相关测量了一个个体在X分布上的位置与在Y
分布上的位置之间的关系。而Z分数提供了一个精确 的方式来表示一个分数在分布中的位置。所以积差相 关的公式可以用Z分数表示：
20
小练习
积差和的值 ∑ ( X − X )(Y − Y ) 可能小于0吗？ 计算下列数据的皮尔逊相关。 X 2 1 3 0 4 Y 9 10 6 8 2
计算相关系数要求成对数据。若干个个体中每个个体要有
两种不同的观测值。如每个学生的智力分数和学习成绩。
样本容量要求。以n>=30为宜。
没有线性相关，不一定没有关系，可能是非线性的。
12
小练习
相关 -.80所呈现的数据点比相关+.50所呈现的数据点更为 密集地聚集在直线周围。
如果数据密集地聚集在一条从左至右下降的直线上，这 表明这个相关在+.90左右。 大过。
每个题目（二分名义变量）与总分（数值）变量的相关， 称为每个题目的区分度。
相关高说明该题答对答错与总分的一致性高，即区分度高。
42
例：有一是非选择测验，共有50题，每题选对得2 分，满分为100分。现有20人的总成绩及对第5题的 选答情况，问第5题区分度如何？
43
解：已知n = 20，第五题答对的10人, 答错的10人, 答对学生的比率： p = 10/20=0.5, 答错学生的比率： q = 10/20=0.5, 答对第五题学生的总分平均成绩： X p = 88.4 答错第五题学生的总分平均成绩： X q = 74.8 所有学生总成绩的标准差：St= 8.88
答：这10人的视听反应时的等级相关系数为0.71。
6∑ D 2
33
肯德尔W（和谐）系数
表示多列等级变量相关程度的一种方法。 适用情况：
• K个评价者对N个事物进行等级评定 • 一个评价者先后K次对N个事物进行等级评定
34
例：有10人对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色 按照其喜好程度进行等级评价（最喜欢=1，最不喜欢 =7）。这10人对颜色的爱好是否具有一致性？
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38
肯德尔U系数计算说明
39
第四节 其它相关
40
点二列相关 (point-biserial correlation )
点二列相关是考察两列观测值一个为正态连续变 量，一个为“二分”称名变量（男/女；对/错）之间 相关程度的统计方法。
计算公式：
41
点二列相关
点二列相关多用于评价由是非类测验题目组成的测验内部 一致性等问题。
相关从未比1.00
已知r1 = -0.7, r2 = 0.7。下列表述正确的是（ ）。 A . r1 和 r2 代表的意义相同 B . r2 代表的相关程度高于r1 C. r1 和 r2 代表的相关程度相同 D. r1 和 r2的散点图相同
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第二节 积差相关
14
积差相关的概念适用条件
积差相关（皮尔逊相关）是揭示两个变量线性相 关方向和程度最常用和最基本的方法。
2
= 1−
N ( N 2 − 1)
(∑ X ) 2 ∑X − N ⋅ 6∑ D 2
N
- D为二列等级变量的等级差数
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例：现有10人的视、听两种感觉通道的反应时（单 位：毫秒），数据见下表。问视、听反应时是否具 有一致性？
32
解：已知N=10, ∑D2=48,带入公式，得：