第五章+机翼低速气动特性(2)

L = ρV
l 2 ∞ l − 2
∫
Γ(z)dz
Γ (z) 2z = 1− Γ0 l
2V∞ S ∴Γ0 = CL πl
2
l Γ0πl 2 2 CL = l ∫−2 Γ(z)dz = 2V∞S V∞ S
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
而
vi (z) Γ0 CL ∆αi = = = V∞ 2lV∞ πλ
C'L (z) = Cα∞ (z)[αe (z) −α0∞ (z)] = Cα∞ (z)[α(z) − ∆αi (z) −α0∞ (z)] L L = Cα∞ (z)[αa (z) − ∆αi (z)] L
上式中的 Cα∞ (z)、α0∞ (z)为二维翼剖面的升力线斜率和零 L 升迎角。 升迎角。
确定环量Γ(z) 的微分-积分方程
C = C L∞ (α a − ∆α i ) = 常值
' L
dX
沿展向也是不 Cα∞ L
α
C
' Di
= C ∆α i = 常值
' L
dY dR
αe
vi
Ve
V∞ V∞
∆αi
α
∆αi
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
对整个机翼则有
l 1 2 2 C ρV∞ c( z )dz ∫ 2 ∫− 2l c( z )dz ' L ' CL = = = CL = CL 1 1 S ρV∞2 S ρV∞2 S 2 2 l l ' 1 2 2 2 ρV∞ c( z )dz l CDi ∫− 2 2 ∫− 2l c( z)dz ' Di ' CDi = = = CDi = CDi 1 1 S ρV∞2 S ρV∞2 S 2 2 ' L l 2 l − 2
y Γ(z)
−l/ 2
dζ P(z)
dX
dY dR
o z
vi
αe
Ve
∆αi
V∞
α
l/ 2
ζ
∆αi
V∞
z
dvi
dΓ =
dΓ dζ dζ
x
升力，诱导阻力
dR的方向垂直于有效速度 e，它在垂直和平行 的方向垂直于有效速度V 的方向垂直于有效速度 V∞方向上的分量分别为升力 和阻力 i 方向上的分量分别为升力dL和阻力 和阻力dD
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
上两式说明： 上两式说明：椭圆形环量分布无扭转平直机翼的升力系数和 诱导阻力系数就等于剖面的升力系数和诱导阻力系数。 诱导阻力系数就等于剖面的升力系数和诱导阻力系数。
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
下面求椭圆形环量分布平直机翼的气动系数表达式。 下面求椭圆形环量分布平直机翼的气动系数表达式。
Γ(z)dz Γ(z)∆α i(z)dz
dX
Di = ρV
l 2 ∞ l − 2
∫
dY dR
αe
vi
Ve
V∞
∆αi
α
∆αi
V∞
升力，诱导阻力
Di这个阻力在理想二维翼上是不存在的，它是由 这个阻力在理想二维翼上是不存在的， 于有限翼展机翼后面存在自由涡而产生的， 于有限翼展机翼后面存在自由涡而产生的，或者 说，是因下洗角的出现使剖面有效迎角减小而在 来流方向形成的阻力，故称为诱导阻力。 来流方向形成的阻力，故称为诱导阻力。
而在展向不同剖面上的二维流动， 而在展向不同剖面上的二维流动，由于自由涡 的影响彼此又是不相同的。 的影响彼此又是不相同的。
剖面假设
这种从局部剖面看是二维流动， 这种从局部剖面看是二维流动，从整个机翼全 体剖面看又是三维流动，称为剖面假设。 体剖面看又是三维流动，称为剖面假设。
剖面假设
剖面假设实际上是准二维流假设。机翼的 值越 剖面假设实际上是准二维流假设。机翼的λ值越 这种假设越接近实际，且当λ→ 时 大，这种假设越接近实际，且当 →∞时，此假 设是准确的。 设是准确的。
l vi (z) vi (z) 1 2 ∆αi (z) = tg−1 ≈ = l V∞ V∞ 4πV∞ ∫−2
−
dΓ dζ dζ ζ −z
αe
vi
Ve
α0
V∞
V∞
α
∆αi
升力，诱导阻力
在求作用在机翼微段上的升力之前， 在求作用在机翼微段上的升力之前，我们先引 入“剖面流动”的假设，假设有限翼展的机翼 剖面流动”的假设， 各剖面所受的气动力与以有效速度V 各剖面所受的气动力与以有效速度 e流过形状 与该剖面相同、迎角为 与该剖面相同、迎角为αe的二维翼剖面所受的 气动力相同。 气动力相同。
下洗速度
由于机翼已用一条展向变强度Γ(z)的附着涡线 的附着涡线— 由于机翼已用一条展向变强度 的附着涡线 —升力线所代替，所以自由涡在机翼上的诱导下 升力线所代替， 升力线所代替 洗速度，可认为是在附着涡线上的诱导下洗速度。 洗速度，可认为是在附着涡线上的诱导下洗速度。
下洗速度
附着涡线在展向位置ξ处的强度为 +dζ处涡强 附着涡线在展向位置ξ处的强度为Γ(ζ)，在ζ +d 处涡强 ， dΓ Γ (ς ) + ，根据旋涡定理， dζ 微段拖出的自由涡强 d根据旋涡定理， ζ 为 dζ y Γ(z) dΓ 为 。dζ dζ −l/ 2
αe
vi
Ve
dX
dY dR
∆αi
V∞
V∞
α
∆αi
升力，诱导阻力
因此，作用在点 处机翼微段dz上的力 因此，作用在点P(z)处机翼微段 上的力 由 处机翼微段 上的力dR由 库塔—儒可夫斯基升力定理确定， 库塔 儒可夫斯基升力定理确定，即 儒可夫斯基升力定理确定
dR = ρVeΓ(z)dz ≈ ρV∞Γ(z)dz
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
如果机翼是无扭转的，既无几何扭转也无气动扭转， 如果机翼是无扭转的，既无几何扭转也无气动扭转，则几何 迎角 α、零升迎角 0∞，剖面升力线斜率 、零升迎角α 变的，所以沿展向有 变的，
α e − α 0 ∞ = α − ∆α i − α 0 ∞ = α a − ∆α i = 常值
下洗速度
对于大展弦比的直机翼，可用一根位于 对于大展弦比的直机翼，可用一根位于1/4弦线处变强 弦线处变强 度Γ(z)的附着涡线和从附着涡向下游拖出的自由涡系来 的附着涡线和从附着涡向下游拖出的自由涡系来 代替附着涡面+自由涡面。 代替附着涡面 自由涡面。 自由涡面
y
V
∞
Γ (z)
o
z
x
下洗速度
第5章 机翼低速气动特性(2) 机翼低速气动特性(2)
4.3 升力线理论
升力线理论
基于升力线模型建立起来的机翼理论称为 升力线理论。 升力线理论。
剖面假设
有限翼展机翼上的翼剖面与二维翼型特性不同， 有限翼展机翼上的翼剖面与二维翼型特性不同， 其差别反映出绕机翼的三维效应。 其差别反映出绕机翼的三维效应。
确定环量Γ(z) 的微分-积分方程
由翼型理论可知，作用在微段机翼 上的升力 上的升力dL为 由翼型理论可知，作用在微段机翼dz上的升力 为
1 2 dL = C (z) ρV∞ c(z)dz 2
' L
dL = ρV∞Γ(z)dz
确定环量Γ(z) 的微分-积分方程
由剖面流动假设， 由剖面流动假设，剖面升力系数 C'L (z) 可表示为
剖面假设
对大展弦比直机翼小迎角下的绕流来说， 对大展弦比直机翼小迎角下的绕流来说，各剖 面上的展向速度分量以及各流动参数沿展向的 变化， 变化，比其他两个方向上的速度分量以及各流 动参数变化小得多， 动参数变化小得多，因此可近似地把每个剖面 上的流动看作是二维的。 上的流动看作是二维的。
剖面假设
取风轴系： 轴顺来流方向向后 轴顺来流方向向后， 轴向上 轴与升 轴向上， 取风轴系：x轴顺来流方向向后，y轴向上，z轴与升 力线重合并指向左半翼。自由涡面与 平面重合， 力线重合并指向左半翼。自由涡面与xOz平面重合， 平面重合 各涡线沿x轴拖向 。 各涡线沿 轴拖向+∞。 轴拖向
下洗速度
大展弦比直机翼展向剖面和二维翼剖面的主要差 别在于自由涡系在展向剖面处引起一个向下(正 别在于自由涡系在展向剖面处引起一个向下 正 升力时)的诱导速度 称为下洗速度。 的诱导速度， 升力时 的诱导速度，称为下洗速度。
升力，诱导阻力
此诱导阻力与流体的粘性无关。 此诱导阻力与流体的粘性无关。是有限翼展机翼 产生升力必须付出的阻力代价。 产生升力必须付出的阻力代价。
升力，诱导阻力
从能量的观点看， 从能量的观点看，机翼后方自由涡面上的流体微 团旋转所需的能量， 团旋转所需的能量，必须由飞机提供一个附加的 推力来克服诱导阻力才能维持有升力的飞行。 推力来克服诱导阻力才能维持有升力的飞行。
故
CL = C = CL∞ (αa − ∆αi ) = CL∞ (αa −
' L
α
α
CL
πλ
)
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
从而可以得到
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
如果机翼的环量分布Γ(z)是椭圆形分布，则 是椭圆形分布， 如果机翼的环量分布 是椭圆形分布
Γ (z) 2z = 1− Γ0 l
2
Γ0为机翼对称面上的最大环量值。 为机翼对称面上的最大环量值。
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
由环量分布函数可以求得在z点处的下洗速度和下洗角为 由环量分布函数可以求得在 点处的下洗速度和下洗角为
由上面三式， 由上面三式，可以得到
dΓ dζ l 1 1 α 2 dζ Γ(z) = V∞CL∞c(z)[αa (z) + l ∫−2 ζ − z ] 2 4πV∞
此式即为给定迎角和机翼几何形状(翼型 条件下确定环量 此式即为给定迎角和机翼几何形状 翼型)条件下确定环量 翼型 Γ(z) 的微分 积分方程。这个方程只有在少数特殊情况下才 的微分-积分方程 积分方程。 能得到精确的解，椭圆形环量分布是其中最重要的一种。 能得到精确的解，椭圆形环量分布是其中最重要的一种。
y Γ(z)
−l/ 2
dζ P(z)
o
z
ζ
l/ 2
z
dvi
dΓ dΓ = dζ dζ
x
下洗速度
整个涡系在z点产生的下洗速度为 整个涡系在 点产生的下洗速度为
dΓ dζ l − 1 2 dζ vi (z) = l ∫−2 (ζ − z) 4π
dζ P(z)
y Γ(z)
−l/ 2
o
z
l/ 2
ζ
z
dvi
dζ P(z)
o
z
ζ
l/ 2
z
dvi
dΓ dΓ = dζ dζ
x
下洗速度
此自由涡线(半无限长直线 在附着涡线上任一点 此自由涡线 半无限长直线)在附着涡线上任一点 处的下 半无限长直线 在附着涡线上任一点z处的下 洗速度为
dΓ − dζ dΓ dζ dvi (z) = = 4π (ζ − z) 4π (ζ − z)
dΓ dΓ = dζ dζ
x
下洗角
由于下洗速度的存在， 由于下洗速度的存在，机翼展向每个剖面 上的实际有效速度V 上的实际有效速度 e为无限远处来流速度 V∞与下洗速度的矢量和
αe
vi
Ve
α0
V∞
V∞
α
∆αi
下洗角
有效迎角α 也比几何迎角α减小了 减小了∆α 有效迎角αe也比几何迎角 减小了 i ， ∆αi叫下洗角，如图所示。 叫下洗角，如图所示。
升力，诱导阻力
由推进系统所付出的附加功率为
L/2
∆Pw = DiV∞ = ρV∞2
−L / 2
∫ Γ( z )∆α dz
i
确定环量Γ(z) 的微分-积分方程
由上面可知， 由上面可知，求解大展弦比直机翼的升力和阻力 问题，归结为确定环量沿展向的分布Γ(z) 。下 问题，归结为确定环量沿展向的分布 面推导确定Γ(z) 的方程式。 的方程式。 面推导确定
1 2 vi (z) = l 4π ∫−2
−1
l
−
dΓ dζ Γ0 dζ = (ζ − z) 2l
vi (z) vi (z) Γ0 ∆αi (z) = tg ≈ = V∞ V∞ 2lV∞
椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性
上两式说明：椭圆形环量分布的机翼， 上两式说明：椭圆形环量分布的机翼，其下洗速度 和下洗角沿展向是不变的常量。 和下洗角沿展向是不变的常量。
αe
vi
Ve
α0
V∞
V∞
α
∆αi
下洗角
根据速度三角形 可得
vi (z) ∆αi (z) = tg ， αe (z) = α(z) − ∆αi (z), V∞
−1
V∞ Ve (z) = cos ∆αi (z)
αe
vi
Ve
α0
V∞
V∞
α
∆αi
下洗角
由于下洗速度远小于来流速度， 由于下洗速度远小于来流速度，故可得
dL = dRcos ∆αi (z) ≈ dR ≈ ρV∞Γ(z)dz dDi = dRsin ∆αi (z) ≈ dL ⋅ ∆αi (z)
dX
dY
V∞
V∞
α
∆αi
升力，诱导阻力
沿整个翼展积分， 沿整个翼展积分，得到整个机翼的升力和阻力为
L = ρV
l 2 ∞ l − 2
∫