2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.2 综合法、分析法、反证法课
【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.1 归纳与类比课件 文
-11-
1 2 3 4 5 6
1 1 1 9 5.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立;在四边形 ABCD 中,不 ������ ������ ������ π 1 1 1 1 16 1 1 等式 + + + ≥ 成立;在五边形 ABCDE 中,不等式 + + ������ ������ ������ ������ 2π ������ ������ 1 1 1 25 + + ≥ 成立.猜想,在 n 边形 A 1A2…An 中,成立的不等式 ������ ������ ������ 3π
-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
考点1归纳推理 例1如图是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右, 从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为 20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式 为21+23=10,……,依此类推,则第99个等式为( ) 20+21=3 关闭 0+22=5 1+22=6 2 2 依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中的等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为 20+23=9 21+23=10 22+23=12 5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为 20+24=17 21+24=18 22+24=20 23+24=24 17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……,又因为99=(1+2+3+…+13)+8,因此第 …… 7+214=16 512,故选 99A.2 个等式应位于第 14行的从左至右的第 8 个位置 , 即是 2 7+213=8 320 7 14 B.2 +2 =16 512 关闭 B. B C.28+214=16 640 D.28+213=8 448
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第1讲 合情推理与演绎推理练习 理
【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第1讲 合情推理与演绎推理练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4， 2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第________项.解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项. 答案 242.观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________. 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x ). 答案 －g (x )3.在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的13”.拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________. 解析 设正三角形的边长为a ，高为h ，内切圆半径为r ，由等面积法知3ar ＝ah ，所以r ＝13h ； 同理，由等体积法知4SR ＝HS ，所以R ＝14H .答案 144.下列推理是归纳推理的是________.①A ，B 为定点，动点P 满足PA ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理. 答案 ②5.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b10等于________.解析 观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 答案 1236.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n （n ＋3）2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.答案 147.(2016·徐州检测)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n 个等式为________.解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22＝n 2（n ＋1）24.答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2（n ＋1）248.(2016·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________.解析 先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.答案 1 051二、解答题9.给出下面的数表序列：表1 表2 表31 1 3 1 3 54 4 812 …其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明).解表4为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.10.f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13（1＋3）＝33（1＋3）＋13（1＋3）＝33，同理可得f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33.证明f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x3（3＋3x）＝3＋3x 3（3＋3x）＝33. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )＝________.解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域.答案n 2＋n ＋2212.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是________(填序号). ①289；②1 024；③1 225；④1 378.解析 观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 ③13.(2016·南通测试)已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a ＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立.解析 对于函数y ＝a x(a ＞1)的图象上任意不同两点A ，B ，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立；对于函数y ＝sinx (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立.答案sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 2214.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 证明 如图所示，由射影定理，得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD ， 又AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB2＋1AF 2，①在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC2＋1AD 2，② ① ＋②得1AE2＝1AB 2＋1AC2＋1AD 2.。
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.3
第八页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
如图是 2015 年武汉东湖灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁 所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 ____________．(填写对应图形的序号)
第十七页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
类型三 演绎推理
指出下面推理中的错误： (1)自然数是整数……………………………大前提 －5 是整数…………………………………小前提 所以，－5 是自然数…………………………结论 (2)指数函数 y＝ax 是增函数………………大前提
y＝12x是指数函数 ………………………小前提 所以，y＝12x是增函数 ……………………结论
(2015·保定期末)有一段“三段论”，推理是这样
的：对于可导函数 f(x)，如果 f′(x0)＝0，那么 x＝x0 是函数 f(x)的 极值点．因为 f(x)＝x3 在 x＝0 处的导数值 f′(0)＝0，所以 x＝0 是
函数 f(x)＝x3 的极值点．以上推理中( )
A．大前提错误
B．小前提错误
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
3．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的 结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由 __________到__________的推理． (2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． “三段论”可以表示为： 大前提：M 是 P. 小前提：S 是 M. 结论：S 是 P.
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第十二章 推理证明、算法、复数12.1
解析 设 ha，hb，hc，hd 分别是三棱锥 A－BCD 四个面上的高，P 为三
棱锥 A－BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为 Pa，Pb，Pc，
Pd，于是可以得出结论：Phaa＋Phbb＋Phcc＋Phdd＝1.
第三十二页，编辑于星期六：解二十析点答十八案分。
题型三
例6
演绎推理
数列{an}的前
1 23 45
第十四解页析，编答辑案于星期六：二十点 十八分。
5.(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2
＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 b9＝1，则b1b2b3b4…bn＝____________b_1_b_2_b_3b_4_…__b_1_7－__n _(n_<_.17，n∈N*)
则 am ＋ n ＝ n－m . 类 比 等 差 数 列 {an} 的 上 述 结 论 ， 对 于 等 比 数 列 {bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得 到 bm＋n＝________.
思第维二升十九华页，编辑于星期六：解二十析点答十案八分。
跟踪训练2
…，
据此规律，第n个等式可为____________________________________.
第十七页，编辑于星期六：二解十点析十答八案分。
命题点 2 与不等式有关的推理
例 2 已知 x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋x42＝2x＋2x＋x42≥3， x＋2x73 ＝3x＋3x＋3x＋2x73 ≥4，…，类比得 x＋xan≥n＋1(n∈N*)，则 a＝ ___n_n____. 解析 第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的 情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可 知a＝nn.
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.1
(2014·北京)执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 ()
A．1
B．3
C．7
D．15
解：由程序框图知：S＝1＋21＋22＝7.故选 C.
第十页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
(2014·辽宁)执行下面的程序框图，若输入 x＝9，则输出 y＝ ____________．
第二十三页，编辑于星期六：二十一点 四十八 分。
类型四 条件结构
(2015·深圳调研)执行如图所示的程序框图，如果依次输入函
数：f(x)＝3x，f(x)＝sinx，f(x)＝x3，f(x)＝x＋1x，那么输出的函数 f(x)为(
)
A．f(x)＝3x C．f(x)＝x3
B．f(x)＝sinx D．f(x)＝x＋1x
第十九页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
一位商人有 9 枚银元，其中有一枚略轻的是假 银元．请设计一种算法，用天平(不用砝码)将假银元找出来．
解：算法如下： 第一步：把银元分成 3 组，每组 3 枚； 第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平 衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假 银元就在未称的第 3 组内； 第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放 在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元； 如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；
④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该
三角形的面积．
A．1
B．2
C．3
D．4
第十三页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
解：①中勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任 务；②中节约时间，烧水泡茶完成了任务；③中对“树的 大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法 构造；④是纯数学问题，利用三角形的面积公式求出三角 形的面积．故选 C.
(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法
【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法及其应用练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.在数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________.解析 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2. 答案 a n ＝n 22.某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可以推出n ＝k ＋1时该命题也成立.给出以下说法：①n ＝4时该命题成立；②n ＝4时该命题不成立；③n ≥5，n ∈N *时该命题都成立；④可能n 取某个大于5的整数时该命题不成立.现已知n ＝5时该命题成立，那么上述说法正确的序号是________.解析 显然①，②错误，由数学归纳法原理知③正确，④错. 答案 ③3.已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2.则a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________. 答案 3 4 5 n ＋14.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝k (k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真.解析 n 为正奇数，假设n ＝k 成立后，需证明的应为n ＝k ＋2时成立. 答案 k ＋25.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边________(填序号). ①增加了一项：12（k ＋1）；②增加了两项：12k ＋1，12（k ＋1）；③增加了两项：12k ＋1，12（k ＋1），又减少了一项：1k ＋1；④增加了一项：12（k ＋1），又减少了一项：1k ＋1.解析 当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 答案 ③6.(2015·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为________.解析 因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *).答案 f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)7.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，给出以下说法：①f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；②f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14；③f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；④f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.则上述说法正确的序号是________. 答案 ④8.(2015·济南模拟)已知数组⎝ ⎛⎭⎪⎫12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，⎝ ⎛⎭⎪⎫14，23，32，41，…，⎝⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，3n －2，…，n －12，n 1，….记该数组为：(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，…，则a 200＝________.解析 通过观察数组可以发现，第n 组数中共有n 个数，每个数的分子与分母的和等于n ＋1，又因为1＋2＋…＋19＝190<200，故a 200应该是第20组中的第10个数，故应为1011.答案1011二、解答题9.(2016·南京质检)数列{2n－1}的前n 项组成集合A n ＝{1，3，7， (2)－1}(n ∈N *)，从集合A n 中任取k (k ＝1，2，3，…，n )个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k (若只取一个数，规定乘积为此数本身)，记S n ＝T 1＋T 2＋…＋T n .例如：当n ＝1时，A 1＝{1}，T 1＝1，S 1＝1；当n ＝2时，A 2＝{1，3}，T 1＝1＋3，T 2＝1×3，S 2＝1＋3＋1×3＝7.(1)求S 3；(2)猜想S n ，并用数学归纳法证明.解 (1)当n ＝3时，A 3＝{1，3，7}，T 1＝1＋3＋7＝11，T 2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T 3＝1×3×7＝21，所以S 3＝11＋31＋21＝63. (2)由S 1＝1＝21×22－1，S 2＝7＝23－1＝22×32－1， 猜想S n ＝2n （n ＋1）2－1，下面用数学归纳法证明：①易知当n ＝1时成立；②假设当n ＝k 时，S k ＝2k （k ＋1）2－1，则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝T 1＋T 2＋…＋T k ＋1＝[T 1′＋(2k ＋1－1)]＋[T 2′＋(2k ＋1－1)T 1′]＋[T 3′＋(2k ＋1－1)T 2′]＋…＋(2k ＋1－1)T k ′(其中T i ′(i ＝1，2，…，k )为n ＝k 时所有可能的k 个数的乘积的和T k )＝(T 1′＋T 2′＋T 3′＋…＋T k ′)＋(2k ＋1－1)＋(2k ＋1－1)·(T 1′＋T 2′＋T 3′＋…＋T k ′)＝S k ＋(2k ＋1－1)＋(2k ＋1－1)S k ＝2k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k （k ＋1）2－1＋(2k ＋1－1)＝2k ＋1·2k （k ＋1）2－1＝2（k ＋1）（k ＋2）2－1，即当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2（k ＋1）（k ＋2）2－1成立.综合①②知，对任意的n ∈N *，S n ＝2n （n ＋1）2－1成立.所以S n ＝2n （n ＋1）2－1.10.(2016·苏、锡、常、镇一模)圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n (n ∈N *，n ≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n . (1)写出a 2，a 3，a 4的值；(2)写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)a 2＝6，a 3＝6，a 4＝18.(2)a n ＝2n＋2·(－1)n(n ∈N *，n ≥2).(*) 证明如下：①当n ＝2时，a 2＝6，符合(*)式. ②假设当n ＝k 时，(*)式成立， 即a k ＝2k＋2·(－1)k成立，那么当n ＝k ＋1时，因为A 1有3种标法，A 2有2种标法，…，A k 有2种标法， 若A k ＋1仅与A k 不同，则有2种标法：一种与A 1数不同，符合要求，有a k ＋1种；一种与A 1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有a k 种，则有3×2k＝a k ＋1＋a k ，所以a k ＋1＝－a k ＋3×2k＝－2k－2·(－1)k＋3×2k＝2k ＋1＋2·(－1)k ＋1，所以n ＝k ＋1时，(*)式也成立，由①②知(*)式成立， 即a n ＝2n ＋2·(－1)n (n ∈N *，n ≥2).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.用数学归纳法证明2n>2n ＋1，n 的第一个取值应是________. 解析 ∵n ＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n>2n ＋1不成立；n ＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n >2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n >2n ＋1成立.∴n 的第一个取值应是3. 答案 312.(2015·北京东城区调研)设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明S n ＝n （2n ＋1）3时，第二步从“k ”到“k ＋1”应添加的项为________.解析 由S 1，S 2，…，S n 可以发现由n ＝k 到n ＝k ＋1时，中间增加了两项(k ＋1)2＋k 2(n ，k ∈N *).答案 (k ＋1)2＋k 213.设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示).解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4，f (6)＝f (5)＋5＝2＋3＋4＋5，猜想f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝（n ＋1）（n －2）2(n >4).答案 5 12(n ＋1)(n －2)14.(2014·江苏卷)已知函数f 0(x )＝sin x x(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立. (1)解 由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f ′1(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3， 所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1.(2)证明 由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cosx ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin ()x ＋2π. 猜想nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2. 下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立. ①当n ＝1时，由上可知等式成立.②假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′ ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立. 综合①，②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立.令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋n π2(n ∈N *).所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22(n ∈N *).。
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.4
算法初步、推理与证明
§12.4 直接证明与间接证 明
第一页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
1．直接证明 (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论_______， 这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法． (2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它 成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这 种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法． (3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也 是解决数学问题时常用的思维方式．
自查自纠
1．(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因 2．不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误
第三页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
(2015·黄冈高二检测)设 a，b∈R，且 a≠b，a＋b
＝2，则必有( ) A．1≤ab≤a2＋2 b2 C．ab<a2＋2 b2<1
第十四页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
1．综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是从“已 知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻 求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P(已 知)⇒Q1⇒Q2⇒Q3⇒ …⇒Qn⇒Q(结论)．
2．分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是从“结 论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实 质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符 号表示是：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.2
阅读下列两个程序，回答问题：
x=3
x=3
① y=4
②
y=4
x=y
y=x
①中程序输出的 x 值为__________，②中程序输出
的 y 值为__________．
解：程序①中的 x＝y 是将 y 的值 4 赋给 x，赋值后 x 的值变为 4；②中 y＝x 是将 x 的值 3 赋给 y，赋值后 y 的值为 3.故填 4；3.
第十二页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将 a，b 之和的一半赋值给变量 c，语句“d＝c*c”是将 c 的平方赋值给 d，最后输出 d 的值．故 输出结果为 d＝16.
(2)语句“c＝a＋b”是将 a，b 之和赋值给 c，语句“b＝a＋c －b”是将 a＋c－b 的值赋值给了 b.故输出结果为 a＝1，b＝2，c ＝3.
第八页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
执行下列程序后，输出的 i 的值是( ) i＝1 WHILE i<＝10 i＝i＋5
WEND
PRINT i
A．5
END B．6
C．10
D．11
解：这是一个当型循环程序，当 i＝(1＋5)＋5＝ 11>10 时，退出循环，输出的 i＝11.故选 D.
第九页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
下面程序运行后输出结果是 3，则输入的 x 值一定是( ) INPUT x IF x>0 THEN y＝x ELSE y＝－x END IF PRINT y END
A．3 B．－3 C．3 或－3 D．0 解：该程序语句是求函数 y＝|x|的函数值，∵y＝3，∴x＝±3. 故选 C.
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.3 数学归纳法学案 理
§12.3数学归纳法考纲展示►1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．考点1 用数学归纳法证明等式数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基．②假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．(2)框图表示：答案：(1)②n＝k＋1[典题1] 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N*)．[证明] (1)当n＝1时，左边＝12×1×2×1＋2＝18，右边＝141＋1＝18， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋ (12)2k ＋2＝k4k ＋1，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k ＋2＋12k ＋1[2k ＋1＋2]＝k 4k ＋1＋14k ＋1k ＋2＝k k ＋2＋14k ＋1k ＋2＝k ＋124k ＋1k ＋2＝k ＋14k ＋2＝k ＋14k ＋1＋1. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *等式都成立．[点石成金] 用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．考点2 用数学归纳法证明不等式[典题2] 用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12<2－1k＋1k ＋12<2－1k ＋1kk ＋1＝2－1k＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立．由(1)(2)知，原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立． [点石成金] 用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.已知数列{a n }，当n ≥2时，a n <－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N *时，a n＋1<a n .证明：(1)当n ＝1时，∵a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根， ∴a 2<a 1.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1<a k ， ∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0，∴a 2k ＋1－a 2k >0， 又a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0，∴a k ＋2<a k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n .考点3 观察——归纳——猜想——证明[考情聚焦] 通过近几年的高考试题分析，“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式成为高考命题的热点之一．从考查题型看，数学归纳法常与数列、函数等知识结合在一起考查，常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度，属中高档题．主要有以下几个命题角度： 角度一与数列的通项公式或前n 项和有关的证明[典题3] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． (1)[解] 当n ＝1时，由已知，得a 1＝a 12＋1a 1－1，则a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知，得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)[证明] ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式， 整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， ∴a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1， 即n ＝k ＋1时通项公式成立．由①②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．[点石成金] “归纳——猜想——证明”的基本步骤是“观察——归纳——猜想——证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．角度二 证明存在性问题[典题4] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． [解] 解法一：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1， 再由题设条件知，(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝x －12＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，即c ＝c －12＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题：a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立， 即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2， 即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.解法二：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1. 则a k ＋1＝a k －12＋1＋1＝k －1＋1＋1＝k ＋1－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝x －12＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立， 所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n < a 22n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1> a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1， 解得a 2n ＋1>14.④综上，由②③④知，存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．[点石成金] 利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.[方法技巧] 1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．[易错防范] 1.数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1.2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法．课外拓展阅读 归纳、猜想、证明[典例] [2016·江西九江模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明； (2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2n ＋2.[审题视角] (1)将n ＝1,2,3代入已知等式得a 1，a 2，a 3，从而可猜想a n ，并用数学归纳法证明．(2)利用分析法，结合x >0，y >0，x ＋y ＝1，利用基本不等式可证． (1)[解] 分别令n ＝1,2,3，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋12a 1＋a 2＝a 22＋22a 1＋a 2＋a 3＝a 23＋3，∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. 猜想：a n ＝n . ∵2S n ＝a 2n ＋n ，①当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．② ①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2. (ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1，∴[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立．∴a n ＝n (n ≥2)． 显然n ＝1时，也成立， 故对于一切n ∈N *，均有a n ＝n . (2)[证明] 要证nx ＋1＋ny ＋1≤2n ＋2，只要证nx ＋1＋2nx ＋1ny ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)． 即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋nx ＋y ＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2， 即只要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2， 即4xy ≤1.∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立． [答题模板]第1步：寻找特例a 1，a 2，a 3等． 第2步：猜想a n 的公式．第3步：转换递推公式为a n 与a n －1的关系． 第4步：用数学归纳法证明a n .①验证递推公式中的第一个自然数n ＝2. ②推证a k ＋1的表达式为k ＋1. ③补验n ＝1，说明对于n ∈N *成立． 第5步：分析法证明．[方法点睛] (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)为了正确地猜想a n ，首先准确求出a 1，a 2，a 3的值．(3)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．如本题：∵2S n －1＝a 2n －1＋n －1，∴2(S n －S n －1)＝a 2n －a 2n －1＋1，推导a n 与a n －1的递推关系，再推出a n ，则不是数学归纳法．(4)本题第(2)问中的不等式证明不是关于n 的不等式，由x ＋y ＝1来推证，则不能称为数学归纳法．。
2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第1讲 合情推理与演绎推理课件 理
答案 32
3.(2015· 陕西卷)观察下列等式
1 1 1－2＝2 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＝3＋4 1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋5－6＝4＋5＋6 „„
据此规律，第n个等式可为________.
解析
第 n 个等式左边共有 2n 项且等式左边分母分别为 1， 2， „，
(2)求 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值.
(1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)， 1 1 它关于点2，－2对称的点的坐标为(1－x，－1－y). a a ax 由已知得 y＝－ x ，则－1－y＝－1＋ x ＝－ x ， a＋ a a＋ a a＋ a a·ax a a ax f(1－x)＝－ 1－x ＝－ a ＝－ ， x＝－ x a ＋ a a＋ a· a a＋ a x＋ a a 1 1 ∴－1－y＝f(1－x)，即函数 y＝f(x)的图象关于点2，－2对称.
正确.( × )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情 推理.( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比 对象较为合适.( × )
(4) 在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正
确.( × )
2.数列2，5，11，20，x，47，„中的x等于________. 解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 推出x－20＝12，所以x＝32.
规律方法
演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式
是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是
大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.
a 【训练 3】 已知函数 f(x)＝－ x (a>0，且 a≠1). a＋ a (1)证明：函数
2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法及其应用课件 理
2.数学归纳法的框图表示
诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n ＝ 1时结论 成立.( × ) (2) 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证
明.( × )
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( × ) (4) 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n ＝ k 到n＝k＋1时，项数都增加了一项.( × )
考点三 归纳——猜想——证明
【例3】 (2015· 江苏卷)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，„， n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令 f(n)表示集合Sn所含元素的个数. (1)写出f(6)的值； (2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.
k 2)若 k＋1＝6t＋1， 则 k＝6t， 此时有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋2＋ （k＋1）－1 （k＋1）－1 k ＋1＝(k＋1)＋2＋ ＋ ，结论成立； 3 2 3 3)若 k＋1＝6t＋2，则 k＝6t＋1，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2 k－1 k－1 k＋1 （k＋1）－2 ＋ 2 ＋ 3 ＋2＝(k＋1)＋2＋ 2 ＋ ，结论成立； 3 4)若 k＋1＝6t＋3，则 k＝6t＋2，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2 （k＋1）－1 k＋1 k k－2 ＋2＋ 3 ＋2＝(k＋1)＋2＋ ＋ 3 ，结论成立； 2
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.3 算法与流程图课件 文
8
9
10
11
12
13 14 15
16
5.(2015· 天津改编)阅读下边的流程图，运行相应的程序，则输 出i的值为________. 4 解析 运行相应的程序.
第一次循环：i＝1，S＝10－1＝9；
第二次循环：i＝2，S＝9－2＝7；
第三次循环：i＝3，S＝7－3＝4；
第四次循环：i＝4，S＝4－4＝0，满足S＝0≤1，
解析
该流程图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32，
解析答案
所以输出的n的值是5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14 15
16
9.(2015· 山东)执行下边的流程图，若输入的x的值为1，则输出的y的值 13 是________.
解析
输入x＝1，x＜2成立，执行x＝2；
解析答案
一般形式是
.
答案
6.算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现 (1)当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示 “For”语句的一般形式为
说明：上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省
略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.
(2)不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型 和直到型两种语句结构.
解析答案
命题点2 选择结构
例2 执行如图所示的流程图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于 ________.
①[－3,4]
②[－5,2]
③[－4,3]
④[－2,5]
解析答案
引申探究
若将本例中判断框的条件改为“t≥1”，则输出的s的范围是什么？ 解 根据流程图可以得到，
【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.4 复数课件 文 北师大版
解析
答案
-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
思考:利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么? 解题心得:利用复数的四则运算求复数的一般方法为: (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复 数进行运算化简.
-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
①复数加法的几何意义:若复数 z1,z2 对应的向量������������1 , ������������2 不共
线,则复数 z1+z2 是以������������1 , ������������2 为两邻边的平行四边形的对角线������������ 所对应的复数.
②复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是������������1 − ������������2 = ������2 ������1 所对应
2 (2)已知 (1-i) =1+i(i为虚数单位),则复数z=(
������
)
A.1+i B.1-i C.-1+i
D.-1-i
关闭
由已知得 z=
D
(1-i )2 1+i
=
-2i 1&#(1+i )(1-i )
=
-2-2i 2
A.-4
2+������i =3+i, 1+i
)
B.-3 C.3 D.4
关闭
(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.
∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0, ∴ D a=-2.
解析
关闭
答案
-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第5讲 复数课件 理
6
2＋ 3i）（ 3＋ 2i） （ 3）2＋（ 2）2
6＋2i＋3i－ 6 ＝i ＋ ＝－1＋i. 5
答案 (1)－1－2i (2)－1＋i
[思想方法] 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除
法实际上是分母实数化的过程.
答案 (1)二 (2)－2＋3i
规律方法
因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是
一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求
向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.
【训练2】 (2016· 苏北四市调研)已知i为虚数单位，则复数z ＝(－1－2i)i在复平面内对应的点位于第________象限. 解析 z＝(－1－2i)i＝2－i，对应的点Z(2，－1)在第四象限. 答案 四
2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，
复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集
合也是一一对应的，即
(1)复数 z＝a＋bi
复平面内的点 Z(a，b) (a，b∈R). → 平面向量OZ.
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 3.复数的运算
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； z1 a＋bi （a＋bi）（c－di） ac＋bd＋（bc－ad）i ④除法： z2＝c＋di ＝（c＋di）（c－di） ＝ c2＋d2 (c＋di≠0).
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.4 复数 文
【步步高】（江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第十二章 推理与 证明、算法、复数 12.4 复数 文1．复数的有关概念(1)定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b 为实数)a＋bi 为实数⇔b＝0复数的分类a＋bi 为虚数⇔b≠0a＋bi 为纯虚数⇔a＝0 且 b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量→OZ的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量O→Z＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应法则．3．复数的运算(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即O→Z＝O→Z1＋O→Z2，Z→1Z2＝O→Z2－O→Z1. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x2＋x＋1＝0 没有解．( × ) (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的 模．( √ )1．(2015·安徽改编)设 i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________. 答案 3＋i 解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i. 2．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知复数 z 满足(z－1)i＝1＋i，则 z＝__________. 答案 2－i 解析 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有 z－1＝1－i，所以 z＝2－i. 3．在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是________________________． 答案 2＋4i 解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段 AB 的中点 C(2,4)， 则点 C 对应的复数为 z＝2＋4i. 4．已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若 a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝__________. 答案 3－4i 解析 ∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1， ∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.5．(教材改编)已知(1＋2i) z ＝4＋3i，则 z＝________.答案 2＋i解析∵ z ＝41＋ ＋32ii＝4＋3i 1＋2i∴z＝2＋i.1－2i 1－2i＝10－5 5i＝2－i，题型一 复数的概念例 1 (1)设 i 是虚数单位．若复数 z＝a－31－0i(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为________．(2)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若zz12为纯虚数，则复数zz12的虚部为________． (3) 若 z1 ＝ (m2 ＋ m ＋ 1) ＋ (m2 ＋ m － 4)i(m∈R) ， z2 ＝ 3 － 2i ， 则 “m ＝ 1” 是 “z1 ＝ z2” 的 ____________条件．答案 (1)3 (2)1 (3)充分不必要解析 (1)z＝a－31－0i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由 a∈R，且 z＝a－31－0i为纯虚数知 a＝3.(2)由zz12＝21＋ －a2ii＝2＋ai 1＋2i 52－2a 4＋a ＝ 5 ＋5i是纯虚数，得a＝1，此时zz12＝i，其虚部为 1.(3)由mm22＋ ＋mm＋ －14＝ ＝－3，2， 解得 m＝－2 或 m＝1， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． 引申探究1．对本例(1)中的复数 z，若|z|＝ 10，求 a 的值．解 若|z|＝ 10，则(a－3)2＋1＝10，∴|a－3|＝3，∴a＝0 或 a＝6.2．在本例(2)中，若zz12为实数，则 a＝________. 答案 －4 解析 若zz12为实数，则4＋5 a＝0.∴a＝－4. 思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(1)若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为________． (2)(2014·浙江改编)已知 i 是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的________________条件．答案 (1)－1 (2)充分不必要解析 (1)由复数 z 为纯虚数，得x2－1＝0， x－1≠0，解得 x＝－1. (2)当 a＝b＝1 时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；当(a＋bi)2＝2i 时，得a2－b2＝0， ab＝1，解得 a＝b＝1 或 a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．题型二 复数的运算命题点 1 复数的乘法运算例 2 (1)(2015·湖北改编)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为________．(2)(2015·北京改编)复数 i(2－i)＝________.答案 (1)i (2)1＋2i解析 (1)方法一 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为 i.方法二 i607＝ii608＝i4×i152＝1i＝－i，其共轭复数为 i.(2)i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.命题点 2 复数的除法运算例3(1)(2015·湖南改编)已知1－i z2＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝________.(2)(11＋ －ii)6＋2＋ 3－3i＝________. 2i答案 (1)－1－i (2)－1＋i解析(1)由1－i z2＝1＋i，知 z＝1－i 1＋i22i＝－1＋i＝－1－i.(2)原式＝[1＋i 22]6＋2＋ 3i3＋ 2i3 2＋ 2 2＝i6＋6＋2i＋3i－ 56＝－1＋i.命题点 3 复数的运算与复数概念的综合问题例 4 (1)(2015·天津)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a 的值为________． (2)(2014·江苏)已知复数 z＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为________．答案 (1)－2 (2)21解析 (1)(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得 a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2. (2)因为 z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，所以 z 的实部为 21.命题点 4 复数的综合运算例 5 (1)(2014·安徽)设 i 是虚数单位，z 表示复数 z 的共轭复数．若 z＝1＋i，则zi＋i· z＝________.(2)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为________．答案 (1)2 (2)45解析(1)∵z＝1＋i，∴zz 1＋i －i2＋i ＝1－i，i＝ i ＝ i ＝1－i，z ∴i＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.(2)设 z＝a＋bi，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，所以33ba－＋44ab＝ ＝05， ， 解得 b＝45. 思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类 项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成 最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再结合相关定义解答． (4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a， b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答． (5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘 除，后算加减，有括号要先算括号里面的．z (1)(2015·山东改编)若复数 z 满足1－i＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝________.(2)11＋ －ii2 016＝________.(3)－2 1＋23＋3ii＋1－2i2016＝________.答案 (1)1－i (2)1 (3)1＋iz 解析 (1)∵1－i＝i，∴ z ＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i， ∴z＝1－i. (2)11＋－ii21 008＝11＋ －22ii＋ ＋ii221 008＝1.(3)原式＝i 1＋2 3i 1＋2 3i＋1－2i21 008＝i＋－22i1 008＝i＋i1 008＝i＋i4×252＝1＋i.题型三 复数的几何意义例 6 (1)(2014·重庆改编)实部为－2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的第________象限．答案 二解析 由题意可得复数 z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限．(2)如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，3＋2i，－2＋4i，试求：①A→O、B→C所表示的复数；②对角线→CA所表示的复数；③B 点对应的复数．解 ①A→O＝－→OA，∴A→O所表示的复数为－3－2i.∵B→C＝A→O，∴→BC所表示的复数为－3－2i.②C→A＝O→A－O→C，∴→CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C，∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对应的复数为 1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．(1)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ________．答案 B解析 表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称，∴B 点表示 z .(2)已知 z 是复数，z＋2i、2－z i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z＋ai)2 在复平面内对应 的点在第一象限，求实数 a 的取值范围． 解 设 z＝x＋yi(x、y∈R)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得 y＝－2. ∵2－z i＝x2－－2ii＝15(x－2i)(2＋i) ＝15(2x＋2)＋15(x－4)i， 由题意得 x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根据条件，可知12＋4a－a2>0，8 a－2 >0， 解得 2<a<6， ∴实数 a 的取值范围是(2,6)．23．解决复数问题的实数化思想典例 (14 分)已知 x，y 为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求 x，y.思维点拨 (1)x，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．规范解答解 设 x＝a＋bi (a，b∈R)， 则 y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，[3 分] 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，[5 分]根据复数相等得4－a23＝4a，2＋b2 ＝－6，[7 分]解得ab＝ ＝11， ， 或ab＝ ＝－1，1， 故所求复数为或ab＝ ＝－ 1，1，或ab＝ ＝－ －11， .[10 分]x＝1＋i， y＝1－i，或xy＝ ＝11－ ＋ii， ，或xy＝ ＝－ －11＋ －ii， ，或xy＝ ＝－ －11－ ＋ii，.[14 分]温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把 x、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．[方法与技巧] 1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的 过程． 2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复 数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度 去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识． 3．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移 往往和加法、减法相结合． [失误与防范] 1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小． 3．注意复数的虚部是指在 a＋bi(a，b∈R)中的实数 b，即虚部是一个实数．A 组 专项基础训练 (时间：30 分钟)1．(2015·福建改编)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i 是虚数单位)，则 a，b 的值分 别等于__________． 答案 3，－2 解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2.2．设 z＝1＋1 i＋i，则|z|＝________.答案2 2解析∵z＝1＋1 i＋i＝1－i 1＋i 1－i＋i＝1－2 i＋i＝12＋12i，∴|z|＝122＋122＝2 2. 3．(2015·课标全国Ⅱ改编)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝________. 答案 0 解析 因为 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得 4a＝0 且 a2－4＝－4， 解得 a＝0. 4．若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数1＋z i的点是________．答案 H解析 由题图知复数 z＝3＋i，∴1＋z i＝31＋ ＋ii＝3＋i 1＋i1－i 1－i＝4－22i＝2－i.∴表示复数1＋z i的点为 H.5．(2014·江西改编) z 是 z 的共轭复数，若 z＋ z ＝2，(z－ z )i＝2(i 为虚数单位)，则z＝__________. 答案 1－i解析 方法一 设 z＝a＋bi，a，b 为实数，则 z ＝a－bi.∵z＋ z ＝2a＝2，∴a＝1.又(z－ z )i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故 z＝1－i.方法二∵(z－z)i＝2，∴z－z2 ＝i＝－2i.又 z＋ z ＝2，∴(z－ z )＋(z＋ z )＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.6．(2015·江苏)设复数 z 满足 z2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 z 的模为________．答案 5解析 ∵z2＝3＋4i，∴|z|2＝|3＋4i|＝5，即|z|＝ 5. 7．若31＋－bii＝a＋bi(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则 a＋b＝________.答案 3解析31＋－bii＝3＋bi 21＋i＝12[(3－b)＋(3＋b)i]＝3－2 b＋3＋2 bi.a＝3－2 b， ∴3＋2 b＝b，解得ab＝ ＝03，. ∴a＋b＝3.8．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数 m 的取值范围是________． 答案 m<23 解析 z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故 3m－2<0 且 m－1<0， ∴m<23.－1＋i 2＋i9．计算：(1)i3；1＋2i 2＋3 1－i(2)2＋i；1－i1＋i(3) 1＋i 2＋ 1－i 2；1－ 3i(4).3＋i 2－1＋i 2＋i －3＋i解 (1)i3＝ －i ＝－1－3i.1＋2i 2＋3 1－i －3＋4i＋3－3i(2)2＋i＝2＋ii i 2－i 1 2 ＝2＋i＝ 5 ＝5＋5i.1－i1＋i 1－i 1＋i 1＋i －1＋i(3) 1＋i 2＋ 1－i 2＝ 2i ＋－2i＝ －2 ＋ 2 ＝－1.1－ 3i (4) 3＋i 2＝3＋i －i 3＋i 2－i－i3－i13＝＝3＋i4＝－4－ 4 i.10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 12．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________． 答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．答案 3 解析 ∵|z －2|＝x －22＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.14．设a 是实数，若复数z ＝a 1－i ＋1－i 2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则a 的值为________．答案 0解析 ∵z ＝a 1＋i 2＋1－i 2＝a ＋12＋a －12i ， ∴依题意得a ＋12＋a －12＝0，∴a ＝0.15．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝_________.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知， ⎩⎨⎧ 1＋2i ＋1－2i ＝－b ，1＋2i 1－2i ＝c ，∴b ＝－2，c ＝3. 16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5a －b i a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.。
「精品」创新方案2017届高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数第三节数学归纳法课后作业理(2)
【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第三节 数学归纳法课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋142．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．104．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －25．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1 二、填空题6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)，第一步要证的不等式是________________．7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋ n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为______________________________________．三、解答题9．求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．10．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ∈N *，n ≥2)． [冲击名校]1．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n ) 的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋12．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －n ＋ B.12nn ＋C.1n －n ＋D.1n ＋n ＋3．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是____________．4．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由．答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选D 由f (n )可知，共有n 2－n ＋1项，且n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.2．解析：选C 因为当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，命题也成立．现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时命题也不成立．3．解析：选B 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．解析：选C 边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．5．解析：选B 当n ＝k (k ∈N *)时， 左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．二、填空题6．解析：当n ＝2时，左边为1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边为2.故应填1＋12＋13<2.答案：1＋12＋13<27．解析：n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立． 答案：2k ＋18．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2， 则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， 故增加的项为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2三、解答题9．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．10．证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2<2－1k＋1k ＋2<2－1k ＋1kk ＋＝2－1k ＋1k－1k ＋1＝2－1k ＋1，命题也成立． 综合(1)，(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．[冲击名校]1．解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．2．解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1n －n ＋.3．解析：不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋. 答案：1k ＋k ＋4．解：∵f ′(x )＝x 2－1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数． 于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1， 进而a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k－1.当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上是增函数知a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n，∴11＋a n ≤12n ，∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<1.。