2020届高三下学期第二次阶段质量检测(文科数学)试题
2020届陕西省西安市高三下学期第二次质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届陕西省西安市高三下学期第二次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}A=Z 2x x ∈<，{}210B x x =-≥，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{}1,0- B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意写出集合A 和集合B 以及集合B 的补集，然后对集合A 和集合B 的补集取交集即可. 【详解】由题意可得{}1,0,1A =-，1|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，可得R1|2C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，即(){}R 1,0AC B =-.故选：A 【点睛】本题考查集合的交集补集运算，属于简单题. 2．已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+，则复数z 的共扼复数为（ ） A ．12i + B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】C【解析】由复数的除法运算求出z 后，根据共轭复数概念得结论． 【详解】∵()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，∴z 的共轭复数为2z i =+． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题．3．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( ) A ．-1B ．1C ．2D ．-2【答案】B【解析】根据向量坐标的线性运算得到a b -，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案. 【详解】因为向量()5,a m =，()2,2b =- 所以()3,2a b m +=+，因为()a b b -⊥， 所以()0a b b -⋅=所以()6220m -+= 解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题. 4．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A ．96 B ．72C ．48D ．36【答案】B【解析】根据分层比例列式求解. 【详解】 由题意得23872.99n n n -=-∴=选B. 【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.5．2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ）A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案. 【详解】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解. 6．“1m ”是“函数()333x mf x +=-在区间[)1,+∞上无零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】：先求函数()x mf x 333+=-在区间[)1∞+，上无零点时参数1m 2>，再判断m 1>是1m 2>的子集，由此推出“m ＞1“是“函数f （x ）=3x+m ﹣33在区间[1，+∞）无零点的充分不必要条件． 【详解】函数f （x ）=3x+m ﹣33在区间[1，+∞）无零点，则3x+m ＞33，即m+1＞32，解得m ＞12，故“m ＞1“是“函数f （x ）=3x+m ﹣33在区间[1，+∞）无零点的充分不必要条件，故选A ． 【点睛】：判断充分条件、必要条件可知转化为判断集合之间的包含关系，先求解一个命题的等价条件．7．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）A ．620π+B ．916π+C ．918π+D ．2063π+【答案】C【解析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案. 【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥， 该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形， 其中腰长为323，而球体的半径为3， 所以该组合体的体积为：3 14113332329182332V V V ππ=+=⨯⨯+⨯⨯⨯=+半球体三棱锥.故选：C 【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题. 8．已知311cos 63παα-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则sin2α的值为( ) A ．34B 3C ．59-D ．35-【答案】C【解析】利用余弦的差角公式展开，合并得sin cos αα+的值，再结合同角三角函数关系式即可求得sin2α的值． 【详解】 因为311cos cos 623παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭31311sin cos 223αααα+=-+ 所以2sin cos 3αα+=等号左右同时平方得41+2sin cos 9αα=所以52sin cos sin29ααα==- 所以选C 【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦的二倍角公式，属于基础题．9．点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线2x =-的距离和的最小值是 A ．5 B ．2 C ．21- D ．21+【答案】D【解析】根据抛物线定义，将问题转化为求PA PF +的最小值加1，数形结合，则问题得解. 【详解】由24y x =得焦点为()1,0F ，准线1x =-．过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离．所以有PN PF =，连接F 、A ，有FA PA PF ≤+， 所以P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为2FA =所以点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-1． 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线上一点到定直线以及定点之间的距离之和的最小值，属基础题.10．将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()cos2g x x =的图象，则a 的最小值为（ ）A ．3πB ．512π C ．23π D ．12π【答案】B【解析】先写出平移的函数表达式，利用诱导公式得出a 所有取值，最小值即可确定． 【详解】由题意知，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()()sin 2sin 2233h x x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，所以()22Z 32a k k πππ-=+∈，当0k =时，a 取最小值512π． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查诱导公式，解题关键是确定由sin()x ϕ+变成cos x 时ϕ的值．11．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．12．设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ） A ．277±B ．233±C ．72±D ．32±【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形，所以12||||MF PF =，1//MF PN ，由双曲线的定义知，21||||2MF MF a -=，于是2||3MF a =，1||MF a =，在△12MF F 中，由余弦定理可得2247c a =，然后利用22222b c a a a -=，求出b a的值即可得解． 【详解】解：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ． 设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒． 又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为3±． 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的数形结合思想和运算能力，属于中档题．二、填空题13．若x ，y 满足约束条件30200x y x y y +-<⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则43z x y =-的最小值为______.【答案】2-【解析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为433zy x =-，根据截距即可求解. 【详解】画出平行解域如图所示：平移直线04:3l y x =， 当经过3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩交点()1,2A 时，直线4:33zl y x =-在y 轴截距最大， 即43z x y =-有最小值，最小值为2-. 故答案为：2-【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题. 14．在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为______． 【答案】34【解析】区间[]1,5的长度为4，此区间内大于2的数所在区间长度为3，由几何概型概率公式可得概率． 【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==-． 故答案为：34． 【点睛】本题考查求几何概型，属于基础题．15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______.【答案】512π【解析】根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin B A =sin C 得到1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得到答案.【详解】 因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+由2sin sin B A C =结合正弦定理，得2b =所以2sin 2cos ac B ac B =+，)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=. 故答案为：512π【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC 为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______. 【答案】12【解析】设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得2OA =，设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解. 【详解】由题意，设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，AM =可得OA =,，作平面ODA 交BC 于E ，交BC 于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O 的直径，也是球O 的直径，DF =DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，DA =AB =BD =1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD CD ==.（1）若M 是PC 的中点，证明：DM ⊥平面PBC ；（2）求三棱锥A BDM -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）先证明DM BC ⊥，DM PC ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可证结论；（2）在平面PCD 内过M 作//MN PD 交CD 于N ，可证MN ⊥平面ABCD ，再根据四棱锥的体积公式计算可得结果.【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥.又∵ABCD 是正方形，∴BC CD ⊥.∵PD CD D ⋂=，∴BC ⊥平面PCD .∵DM ⊂平面PCD ，∴DM BC ⊥.又2PD DC ==，E 是PC 的中点，所以DM PC ⊥.又∵BC PC C⋂=，DM⊥平面PBC.（2）在平面PCD内过M作//MN PD交CD于N，所以112MN PD==且MN⊥平面ABCD，所以三棱锥M ABD-的体积为111112221332323 M ABD ABDV S MN AB AD MN-=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△.又∵三棱锥A BDM-的体积等于三棱锥M ABD-的体积，∴三棱锥A BDM-的体积等于23.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于中档题.18．已知各项都不相等的等差数列{}66na a=，，又124a a a，，构成等比数列.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设22nanb n=+，求数列{}nb的前n项和为nS.【答案】(1) n a n=；(2) 1(22)(1)nnS n n+=-++.【解析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由22nanb n=+=2n+2n，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和．【详解】（1）∵各项都不相等的等差数列{a n}，a6=6，又a1，a2，a4成等比数列．∴()61211156()3a a da d a a dd=+=⎧⎪+=+⎨⎪≠⎩，解得a1=1，d=1，∴数列{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×1=n．（2）∵22nanb n=+=2n+2n，∴数列{b n}的前n项和：S n=（2+22+23+…+2n）+2（1+2+3+…+n）=()21212n--+2×()12n n+=2n+1﹣2+n2+n．.【点睛】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．19．某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A、B、C、D、E五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B的考生有10人．（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数；（2）已知等级A、B、C、D、E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分．【答案】（1）3；（2）2.9.【解析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为B的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数．（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为D的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分．【详解】（1）因为“语言表达能力”科目中成绩为B的考生有10人，所以该考场有100.25040÷=（人）．所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数为()4010.3750.3750.1500.025400.0753⨯----=⨯=．（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为10.3750.2500.2000.0750.100----=．该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为()()()()11400.2002400.1003400.3754400.25040⎡⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⎣()5400.075 2.9⎤+⨯⨯=⎦．【点睛】本题考查频数、平均数的求法，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20．已知函数()xf x e kx m =--（k 、m 为实数，为自然对数的底数， 2.71828e ≈）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2k =，1m =时，判断函数()f x 零点的个数并证明.【答案】（1）见详解；（2）两个零点，证明见解析.【解析】（1）计算()xf x e k '=-，然后讨论0k ≤、0k >的情况，可得结果. （2）根据（1）的结论可知函数的单调性以及零点存在性定理的应用可得结果.【详解】（1）()x f x e k '=-，（R x ∈），①当0k ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；②当0k >时，由()0f x '>得ln x k >，由()0f x '<得ln x k <，故()f x 的单调递减区间为(),ln k -∞，单调递增区间为()ln ,k +∞.（2）当2k =，1m =时，()21x f x e x =--，()f x 零点个数为2.证明如下：由（1）知()f x 在(),ln 2-∞上递减，而()00f =，故()f x 在(),ln 2-∞上有且仅有1个零点，由（1）知()f x 在[)ln 2,+∞上递增，而()130f e =-<，()2250f e =->，且()f x 的图象在[]1,2上是连续不间断的，故()f x 在[]1,2上有且仅有1个零点，所以()f x 在[)ln 2,+∞上也有且仅有1个零点，综上，函数()f x 有且仅有两个零点.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及利用函数的单调性判断函数的零点，还考查了零点存在性定理的应用，考查分析问题的能力，属中档题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)1P -，且12PF F △的面积为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()R CD AB λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值．【答案】（1）22184x y +=；（2，y x =． 【解析】（1）根据三角形面积可2c =，将P 点代入椭圆得到22611a b +=，联立即可求得a ，b ；（2）设直线l 的方程为y x m =+，表示出||AB =，联立直线与椭圆，根据根的判别式得到m 的取值范围，结合条件表示出λm 取值范围求得其范围.【详解】解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=．即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C 过点)1P ，∴22611a b +=．②由①②解得a =2b =．故椭圆C 的标准方程为22184x y +=． （2）由题知圆221:2O x y +=，设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离d =，由弦长公式可得AB == 将y x m =+代入椭圆方程22184x y +=，得2234280x mx m ++-=， 由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-．设()11,C x y ，()22,D x y ， 则1243m x x +=-，212283m x x -=， 由弦长公式，得CD === 由CD AB λ=，得CD AB λ=== ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值3，此时直线l 的方程为y x =．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合，根的判别式，弦长公式，考查学生运算能力，属于中档题． 22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为,2y 12x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >．（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ．设()0,1M -，且24PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值．【答案】（1）cos sin 1ρθρθ-=；()2220x y ax a +=>；（2）1a =.【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）由直线l的参数方程212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去t 得1x y -=，所以直线的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=，由()2cos 0a a ρθ=>，得()22cos 0a a ρρθ=>， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得曲线C 的直角坐标方程为()2220x y ax a +=>， （2）显然M 在直线l 上，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立得)2110t a t ++=．则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =， 设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根． 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=， 则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-．因为0a >，且1a =满足>0∆，所以1a =．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．设函数()213f x x x =--+．（1）解不等式()0f x >；（2）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2{|3x x <-或4}x > ；（2）(,7]-∞． 【解析】（1）方法一：根据绝对值不等式的意义解不等式；方法二：将不等式2130x x --+>变形为213x x ->+，两端平方整理成关于x 的一元二次不等式，求解即可；（2）利用绝对值不等式()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，可得7a ≤.【详解】（1）解法一：当12x ≥时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >； 当132x -≤<时,()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得233x -≤<-； 当3x <-时，()()21340f x x x x =-+++=-+>，解得3x <-，综上,原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x > ； 解法二：()0213f x x x >⇔->+，两边平方整理得，231080x x -->，解得23x <-或4x >，所以，原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x >； （2）()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，当132x -≤≤时等号成立，所以7a ≤ ．故实数a 的取值范围为(],7-∞．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及利用绝对值不等式求参数的取值范围，属于高考常考题型.。
2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)文科数学试题(含答案)
2020年陕西省高三教学质量检测卷（二）文科数学试题注意事项：1.本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合 A ={-3，-2，-1，0，1，2，3}，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∈=12-x 1|Z x B ，则（ ） A .{1} B .{-1，1} C .{1，2} D .（-3，-2，-1，0，1}2.已知复数1221z +-+=i i （其中i 为虚数单位），则=z （ ）A .i 59+B .1-iC .1+iD .-i 3.近几年，在国家大力支持和引导下，中国遥感卫星在社会生产和生活各领域的应用范围不断扩大，中国人民用遥感卫星系统研制工作取得了显著成绩，逐步形成了气象、海洋、陆地资源和科学试验等遥感卫星系统。
如图是2007-2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模（万亿）及增速（%）的统计图，则下列结论中错误的是（ ）·中国卫星号肮与位置服务产业产值规模（亿元）-o - 增速（%）A .2017年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模达到2550亿元，较2016年增长20.40%B .若2019年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模保持2018年的增速，总体产值规模将达3672亿元C .2007-2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模逐年增加，但不与时间成正相关D .2007-2018年中国卫星导航与位置服务产业总体产值规模的增速中有些与时间成负相关4.曲线2)1()(2'+-=x e f x f x 在点（0，)0(f ）处的切线的斜率等于（ ） A .e 2B .1-e 2C .1-e e 2D .1-e e 24-5.“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和“一一”，其中“一”在二进制中记作“1”，“一一”在二进制中记作“0”.例如二进制数1011（2）化为十进制的计算如下：1011（2）=1×23+0×22+1×21+1×20=11（10）.若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A .0 B .21C .31D .41 6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则命题p ：m ⊥n 的一个充分条件是（ ） A .q ：α//β，m ⊂α，n ⊥β B .q ：α//β，m ⊥α，n ⊥β C .q ：α⊥β，m ⊥α，n //β D .q ：α⊥β，m ⊂α，n //β7.若31)5πsin(α-=+，)π0(α，∈，则=-)α20πcos(（ ）A .624- B .624+-C .624--D .624-或624--8.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin )(πωx A x f （0>A ，0>ω），对R ∈∀θ，)(θ-x f 的最大值为2.将函数)(x f 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g ，函数)(x g 的图象的一条对称轴是6π=x ，则ω的最小（ ） A .61B .32C .35D .659.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对()∞+∈∀，，021x x ()21x x ≠都有[)()(221122x f x x f x -](21x x -)0<.记)1(f a =，4)2(f b =，9)3(c -=f ，则（ ） A .a <c <b B .a <b <c C .b <c <a D .c <b <a 10.已知双曲线E ：1y 2222=-b a x （a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线E 的右支上，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∠3421ππ，MF F ，则21MF •的取值范围是（ ） A .[2b 2，2b 2] B .[2b 2，()122+b 2] C .[()12-b 2，b 2] D .[b 2，()12+b 2]11.定义：{})(g )(x x f N ⊗表示)(g )(x x f <的解集中整数解的个数.若x x f 2log )(=，()21)(g 2+-=x a x ，{}1)(g )(=⊗x x f N ，则实数a 的取值范围是（ ）A .(-3，-1］B .(-∞，-1］C .(-∞，-2］D .[-1，0)12.已知抛物线Γ：）（022>=p px y ，从点M （4，a ）（a >0）发出，平行于x 轴的光线与Γ交于点A ，经Γ反射后过Γ的焦点N ，交抛物线于点B ，若反射光线的倾斜角为32π，|AN |=2，则△ABM 的重心坐标为（ ）A .（2，3-）B .（23，0） C .（3，33-） D .（2，33-）二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤--06301202y x y x y x ，则x y z 3-=的最小值是 .14.已知a =(4，-3)，b =(2，t -2)，若a •(a -b )=2，则|b |= .15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且3a =，sinA cosB 3+sinB =sinC 3）（，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为 .16.如图所示的平面多边形中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，外侧的4个三角形均为正三角形.若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点S 1，S 2，S 3，S 4重合记为点S ，得到四棱锥S —ABCD ，则此四棱锥的外接球的表面积为.三、解答题(共70分。
陕西省2020届高三数学(文)下学期第二次质量检测试题(解析版)
2020年高三第二次教学质量检测文科数学一､选择题1.定义，若，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题中的新定义,找出属于不属于的元素.即可确定出 .【详解】解:集合 .故选C【点睛】此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的关键.2.已知是虚数单位，复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以复数的虚部为，故选B.3.函数的一个零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出根据零点存在性定理得解.【详解】由题得，，所以所以函数的一个零点所在的区间是 .故选B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是( )A. 在北京这天的空气质量中，按平均数来考查，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量B. 在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度C. 在北京这天的空气质量中，月日空气质量最差D. 在北京这天的空气质量中，达到空气质量优的天数有天【答案】D【解析】【分析】由频率分布折线图逐一对四个选项分析即可得出.【详解】因为，，，，所以在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于的数据有个：，，，所以在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度，即选项B正确；因为月日的AQI为，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在的数据有个：，，，，，，即达到空气质量优的天数有天，所以选项D 错.故选：D.【点睛】本题考查频率分布折线图的应用，属于基础题.5.已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.6.已知数列的前项和为，，，则（）A. 39B. 45C. 50D. .55【答案】C【解析】【分析】对已知等式变形得数列数列是等差数列，从而求得，得出结论．【详解】∵ ，∴ ，∴ ，即，∴数列是等差数列，公差为1，首项为，∴ ，．，，∴ ．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，考查等差数列的通项公式和数列的前项和定义．解题关键是已知变形得出数列是等差数列．7.已知圆和关于直线对称，若圆的方程是，则圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题首先可以通过圆的方程得出圆的圆心，然后通过圆和关于直线对称得出圆的圆心坐标，最后得出圆的方程．【详解】由圆的方程是，得圆心坐标为，半径为，设点关于的对称点为，则，解得．所以圆的圆心坐标为，则圆的方程是，故选D．【点睛】本题考查的是圆的相关性质，主要考查圆关于直线的对称圆方程，圆与对称圆的圆心关于直线对称，半径相同，由此即可通过计算出对称圆的圆心来推断出对称圆方程．8.已知函数图象如图所示，则该函数可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象关于原点对称知函数为奇函数，A、C中函数为偶函数排除，B、D选项中函数为奇函数，再根据函数的单调性确定可能的函数.【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数为奇函数.A选项，，且定义域，∴该函数为偶函数，不符合题意，A错误.B选项，，且定义域为，∴该函数为奇函数.易知当时，；当时，；当时，，符合题意，B正确.C选项，，且定义域为，∴该函数为偶函数，不符合题意，C错误.D选项，，且定义域，∴该函数为奇函数.易知当时，；当时，，不符合题意，D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中档题.9.2019年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020年初开始蔓延.党中央､国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下，万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中.为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线医务工作者子女开展在线辅导.春节期间随机安排甲､乙两位志愿者为一位初中生辅导功课共3次，每位志愿者至少辅导1次，每一次只有1位志愿者辅导，到甲恰好辅导两次的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用列举法列出所有基本事件，然后计数可得概率．【详解】由题意辅导三次的所有基本事件为：甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，甲乙乙，乙甲乙，乙乙甲共6个，其中甲恰好辅导两次的有甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲共3个，∴所求概率为．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，即用列举法写出所有基本事件，然后分别计数后计算概率．10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的个数为( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.【详解】还原正方体,以正方形为底面有对①,因为∥ ,且有 ,故①正确.对②,因为∥ ,所以②错误.对③,由图可得显然正确.对④, ,故④错误.故选B【点睛】本题主要考查空间中线面的位置关系与夹角,一般利用平行将线段移至相交位置分析夹角.11.我国古代《周髀算经》中记载，古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位渔民在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼条数.由图可知，这位渔民共捕鱼（）条.A. 39B. 64C. 11D. 224【答案】B【解析】【分析】根据满五进一来记录捕鱼条数的规律，这相当于五进制数，化为十进制即可．【详解】由题意所记录的数相当于五进制数，∴这位渔民共捕鱼条数为．故选：B．【点睛】本题考查进制数之间的认识与转化，读懂题意是解题关键．12.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】引入新函数，求导后确定的单调性，由单调性解不等式．【详解】设，则，∵ 且，∴ ，∴ 在上单调递减，不等式可化为，即，∴ ，∴ ．故选：D．【点睛】本题考查用单调性解函数不等式，解题关键是引入新函数，然后利用已知条件确定单调性后求解不等式．二､填空题13.某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是__________. 【答案】7【解析】根据分层抽样的定义得到故答案为7.14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.【答案】【解析】试题分析:由题设可知在中, ,由此可得 ,由正弦定理可得 ,解之得 ,又因为 ,所以 ,应填 .考点：正弦定理及运用．15.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则 ______.【答案】2【解析】【分析】求出导函数，利用可求得．【详解】由已知，∵曲线在处的切线与直线平行，∴ ，．故答案为：2．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，掌握导数几何意义是解题基础．16.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，则该六边形点阵的第6层共有______个点.如果一个六边形点阵共有169个点，则它共有______层.【答案】 (1). 30个 (2). 8层【解析】【分析】观察图形，归纳出每层点数之间的递推关系，从而得出每层点数所成数列的通项公式．【详解】记第层点数为，则，，，时，，∴数列从第2项开始成等差数列，，即，∴ ，由得（舍去）．即题中六边形点阵有8层．故答案为：30；8．【点睛】本题考查归纳推理，解题关键是寻找规律，本题可以看作是数列模型应用，即以每层点数作为一个数列的项，形成一个数列，然后归纳出数列项的规律，利用数列知识得出结论．三､解答题17.如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，点在棱上，且，， .（1）求证：平面；（2）当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接交于点，由重心性质可得，由相似可得，最后根据线面平行判定定理得结论（2）取上一点使，利用平行进行等体积代换，最后根据锥体体积公式求体积试题解析：解：（1）(法一)连接交于点，连接由分别是棱中点，故点为的重心在中，有，又平面平面（法二）取的中点，连接由是棱的中点，为的中点，为的中位线，即平面又为棱的中点，为的中点由，由，且为直三棱柱，进而得，即平面又平面平面又平面平面(2)取上一点使∵ 且直三棱柱∴ ，∵ 为中点∴ , , 平面∴而 ,点到平面的距离等于∴∴三棱锥的体积为18.已知函数，若的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点 .（1）求的表达式和的递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（1），的递增区间为， .（2）【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，相邻两条对称轴的距离为，可得周期，从而得，再代入坐标得；（2）由三角函数图象变换得，题意转化为的图象与直线在上只有一个公共点，结合函数图象易得结论．【详解】（1），的最小正周期为，∴ .∵ 的图象过点，∴ ，∴ ，即 .令，，，，故的递增区间为， .（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.∵ ，∴ ，∴ ，故在区间上的值域为 .若函数在区间上有且只有一个零点，即函数的图象和直线只有一个公共点，如图，根据图象可知，或，即 .故实数的取值范围是 .【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查三角函数的单调性，考查函数的零点个数问题，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．函数零点个数问题常常转化为函数图象与直线交点个数，利用数形结合思想求解．19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：男女总计认为共享产品对生活有益认为共享产品对生活无益总计（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人，再从人中随机抽取人赠送超市购物券作为答谢，求恰有人是女性的概率.参与公式：临界值表：【答案】(1) 可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系(2)【解析】试题分析：（1）根据题中数据，利用参考公式计算的观测值，对应查表下结论即可；（2）从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，写出所有的基本事件，即可得到恰有1人是女性的概率.试题解析：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；（2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：，共15种，其中满足条件的为共8种情况，故所求概率．20.已知点在椭圆：上，且点到的左、右焦点的距离之和为 .（1）求的方程；（2）设为坐标原点，若的弦的中点在线段（不含端点，）上，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.（2）设出的坐标，求得中点的坐标，由的斜率得到，利用点差法求得的斜率，设出直线的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得的取值范围.【详解】（1）由条件知，，所以，，∴椭圆方程为 .（2）设点、的坐标为，，则中点在线段上，且，∴ ，又，，两式相减得，易知，，所以，即 .设方程为，代入并整理得 .由解得，又由，∴ .由韦达定理得，，故.而，所以的取值范围是 .【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.21.函数的图象关于原点对称，函数分别在点､处有极大值和极小值，且， .（1）求函数的解析式；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） .（2）或 .【解析】【分析】（1）由函数图象关于原点对称得，由极值点得方程的两实根是，，从而得，由及得的关系，此关系式连同代入可求得，得函数解析式；（2）求出的最小值，解相应不等式可得的范围．【详解】（1）的图象关于原点对称，即函数为奇函数，∴ 恒成立，即．，，∴ ，∵ ，是的两个极值点，∴方程的两实根是，，则，∵∴ ，又，∴ ， .（2）由（1），，，由得，从而极大值为，极小值为，又，∴当时，的最小值是，故，所以或 .【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的极值的概念，考查不等式恒成立问题．掌握导数与函数极值（最值）关系是解题基础．不等式恒成立问题常常分离参数后转化为求函数的最值，然后再解相应不等式得出结论．22.在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是 .（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普通方程, 直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离 ,即可求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线方程,根据t的几何意义求值即可.试题解析:（1）由，得，即，故直线的直角坐标方程为 .由得所以圆的普通方程为 .若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，故实数的取值范围为 .（2）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），①圆的方程为，②联立①②，得，设两点对应的参数分别为，则，，故 .23.已知函数 .（1）解不等式；（2）已知函数，若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值定义分类去掉绝对值符号后，分类解不等式即可得；（2）求出和的最小值，题意题意转化为的最小值不小于的最小值，解之可得的范围．【详解】（1）依题意，得，由，得或或 .解得 .即不等式的解集为 .（2）由（1）知，，，则，解得，即实数的取值范围为 .【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查绝对值的性质，根据绝对值的定义去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法，除去绝对值符号求解外还可利用绝对值三角不等式求含绝对值的函数的最值．。
陕西省2020届高三下学期第二次模拟文科数学试题 Word版含解析
2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1.已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A.[21]-， B. [21)-， C. [1]3， D. (13]，【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可.【详解】解：∵{|23}A x x =-≤≤，=10{|}{|}1B x x x x >=<- ∴21[)AB ＝﹣，.故选：B .【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位,复数Z 131ii-=+,则其共轭复数z 的虚部为（ ） A. 2 B. ﹣2C. 2iD. ﹣2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.【详解】解：∵z ()()()()1311312111i i i i i i i ---===--++-, ∴12z i =-+,则共轭复数z 的虚部为2. 故选：A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.已知向量()1,1a =-，(),2b x =，且a b ⊥，则a b +的值为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，解得2x =． ∴(3,1)a b +=，∴23110a b +=+=．选D ．4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A.12B.13C.16D.112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A. 甲和丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证 6.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01<x <时，()4x f x =，则5(2019)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性得到5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及()()20191f f =，再利用奇偶性得到12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值从而得到要求的函数值的和．【详解】因为()f x 的周期为2，所以5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()()20191f f =， 由()f x 为奇函数，则11222f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11f f -=-，但()()11f f -=，故()()110f f -==，故()5201922f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，选A ．【点睛】一般地，对于定义在R 的奇函数()f x ，如果其周期为T ，那么02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭．另外，对于奇函数、周期函数的求值问题，应利用周期性将所求的值归结为给定区间上的求值问题． 7.已知m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ） A. 若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α∥β B. 若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C. 若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α∥β D. 若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则α∥β 【答案】D 【解析】 【分析】在A 中,α与β相交或平行；在B 中,α与β相交或平行；在C 中,α与β相交或平行；在D 中,由面面平行的判定定理得α∥β.【详解】解：由m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知： 在A 中,若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α与β相交或平行,故A 错误； 在B 中,若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α与β相交或平行,故B 错误； 在C 中,若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α与β相交或平行,故C 错误； 在D 中,若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D 正确.故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 8.已知函数f （x ）=﹣sinωx （ω＞0）的最小正周期为π,则该函数图象（ ）A. 关于点（6π,0）对称 B. 关于直线x 6π=对称 C. 关于点（3π,0）对称 D. 关于直线x 3π=对称【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的余弦函数公式可得f （x ）＝2cos （ωx 6π+）,利用周期公式可求ω的值,进而根据余弦函数的图象和性质即可求解.【详解】解：f （x ）=﹣sinωx ＝2cos （ωx 6π+）, ∵f （x ）的最小正周期为T 2πω==π,∴ω＝2,∴f （x ）＝2cos （2x 6π+）, ∴f （6π）＝2cos 2π=0,可得函数关于点（6π,0）对称,故A 正确,B 错误,f （3π）＝2cos56π=可得C 错误,D 错误. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两角和的余弦函数公式,周期公式,余弦函数的图象和性质,考查了函数思想,属于基础题.9.已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点M （x 0,4）到焦点F 的距离|MF |54=x 0,则p ＝（ ） A. 2 B. 4C. 1D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p+,与已知条件结合,得x 0＝2p ①；把点M 的坐标代入抛物线方程可得42＝2p •x 0②,结合①②即可解出p 的值. 【详解】解：由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p +, ∵|MF |54=x 0, ∴x 0524p +=x 0,即x 0＝2p ①,∵点M （x 0,4）在抛物线y 2＝2px 上, ∴42＝2p •x 0②,由①②解得,p ＝2或﹣2（舍负）, 故选：A .【点睛】本题考查抛物线的定义,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.10.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D.1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11.已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+=（ ）A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式弦化切，求得tan 3α=， 21cos sin 22αα+分母用22cos sin αα+代替，弦化切后，将tan 3α=代入即可得结果.【详解】因为sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，所以tan 25tan 3tan 2ααα+=⇒=-， 22221cos sin cos cos sin 22cos sin ααααααα++=+ 21tan 1321tan 195αα++===++，故选D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123y x -=D.2218x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a =①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ,y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则14y x --的取值范围是_____.【答案】51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】首先画出平面区域,根据14y x --的几何意义求范围. 【详解】解：不等式组对应的平面区域如图：14y x --的几何意义是过（4,1）和区域内的点的直线的斜率,所以最大值是过A （﹣3,﹣4）与（4,1）连接的直线斜率为415347--=--, 最小值是过B （3,2）与（4,1）连接的直线斜率为21134-=--, 所以14y x --的取值范围是51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了简单线性规划的问题解答,关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义.属于基础题.14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛,现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：根据表中数据,该中学应选_____参加比赛. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据题意,分析可得三人中乙的平均数最小且方差最小,由平均数、方差的统计意义分析可得答案.【详解】解：根据题意,由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数,而甲乙的方差小于丙的方差,则三人中乙的平均数最小且方差最小,故应该选乙参加比赛； 故答案为：乙【点睛】本题考查平均数、方差的统计意义,属于基础题. 15.如图，在ABC 中,D 是边BC 上一点，AB =22AD AC=,1cos 3BAD ∠=，则sin C =_________.【答案】33【解析】 【分析】设2AC =，利用余弦定理求得BD ，然后在ABC 中利用正弦定理可求得sin C 的值. 【详解】由题意不妨取2AC =,则2AB AD ==且13cos BAD ∠=, 由余弦定理，可得22262BD AB AD AB AD cos BAD =+-⋅⋅∠=,22sin 3BAD ∠=,由正弦定理得sin 6sin AD BAD B BD ⋅∠==，从而sin 3sin AB B C AC ⋅==. 3【点睛】此题主要考查解三角形中余弦定理、正弦定理方面等知识的综合应用，属于中档题.根据题目中的条件“AB =22AD AC =”，可有多种方法假设，比如：设()20AC t t =>，则2AB AD t ==；或者取2AC AB =,则有AD AB =，…，代入余弦定理、正弦定理进行运算，注意在取值时候要按照题目所给的比例合理进行，更要注意新引入参数t 的范围. 16.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径3dm 放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm【答案】125π【解析】 【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【详解】作出相关图形，显然3AH =,因此30ACH ∠=，因此放球前()211=33=33V ππ⋅⋅，球O 与边1A C 相切于点M ，故OM r =，则2OC r =，所以13CH r =，113A H r =,所以放球后()2321=33=33V r r r ππ⋅⋅，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12=5V π球.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,n ∈N *. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n . 【答案】（1）a n ＝3n ,n ∈N *（2）()292n n + 【解析】 【分析】（1）依题意a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,两式相减得d ＝3,将d ＝3代入一式可得a 1,则通项公式可求. （2）因为数列{a n }是等差数列,所以数列{a 3n }也是等差数列,且首项a 3＝9,公差d '＝9,则其前n 项和可求.【详解】解：(1)因为{a n }是等差数列,a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,所以1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得d ＝3,a 1＝3.则a n ＝3+（n ﹣1）×3＝3n ,n ∈N *. (2)a 3,a 6,a 9,…,a 3n 构成首项为a 3＝9,公差为9的等差数列. 则()()236931991922n a a a a n n n n n ++++=+-⨯=+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.18.如图,四边形ABCD 是直角梯形,AB ＝2CD ＝2PD ＝2,PC 2=,且有PD ⊥AD ,AD ⊥CD ,AB ∥CD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ； （2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）2+ 【解析】 【分析】（1）推导出PD ⊥CD ,PD ⊥AD ,由此能证明PD ⊥平面ABCD. （2）由PD ⊥面ABCD ,四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求出AD ＝1,由PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,得AB ⊥平面P AD ,AB ⊥P A ,P A =由此能求出四棱锥P ﹣ABCD 的表面积.【详解】解：（1）证明：在△PCD 中,PD ＝1,CD ＝1,PC =∵12+122=,∴∠PDC ＝90°,即PD ⊥CD ,又PD ⊥AD ,AD ∩CD ＝D ,∴PD ⊥平面ABCD. （2）由（1）得PD ⊥面ABCD , V P ﹣ABCD ()111322AB CD AD PD =⨯⨯+⨯⨯=, ∴AD ＝1,∵PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,PD ∩AD ＝D ,∴AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥P A ,∴P A =由题意得BC ＝PC =PB =△PBC 中,由余弦定理得cos ∠PCB 12==-.∴∠PCB ＝120°,∴S △PCB 11202sin =︒=, 122PABS=⨯=, S △P AD ＝S △PCD 111122=⨯⨯=,()1312122ABCD S =+⨯=,∴四棱锥P ﹣ABCD 的表面积S22=++. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：甲商场五天的销售情况 销售第x 天 1 2 3 4 5 第x 天的销量y 1113121514（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；（2）根据甲商场这五天的销售情况，求x 与y 的回归直线方程ˆˆy bx a =+. 参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+中，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx =-.【答案】（1）38.5（2）453ˆ55yx =+ 【解析】 【分析】（1）根据平均值公式计算平均值.（2）根据公式计算回归直线方程ˆˆybx a =+.【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：27.50.01532.50.04537.50.07542.50.06547.50.02538.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）1234535x ++++== 1113121514135y ++++==()()()12122222(13)(1113)(23)(1313)(33)(1213)(43)(1513)(53)(1413)4(13)(23)(33)(43)(53)5niii ni i x x y y b x x ==--=---+--+--+--+--==-+-+-+-+-∑∑453ˆ13355a y bx =-=-⨯=回归方程为：453ˆ55yx =+ 【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力. 20.已知函数()21xf x e x x =---.（1）求函数()y f x ='的单调区间；（2）函数()()21g x x a x =-+-，求()()g x f x =的解的个数.【答案】（1）函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，（2）(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解，当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解. 【解析】 【分析】 （1）求出fx 和()f x ''，然后可得答案；（2）令()()()h x g x f x =-，则()xh x a e '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出()h x 的单调性，然后结合()h x 的函数值即可得出答案. 【详解】（1）由()21xf x e x x =---，得()21xf x e x '=--，故()2xf x e ''=-，令()0f x ''>，解得ln 2x >，令()0f x ''<，解得ln 2x <，故函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增； （2）令()()()1xh x g x f x ax e =-=+-，则()xh x a e '=-，若0a ≤，则()0h x '<，()h x 在R 上单调递减，而()00h =，故()h x 有1个零点， 若0a >，可得(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '<， ∴()h x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减， ∴()()max ln 1ln h x h a a a a ==-+， 令()1ln t a a a a =-+，则()ln t a a '=，当()0,1a ∈时，()0t a '<，当()1,a ∈+∞时，()0t a '>， ∴()t a 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，而()10t =，故()()0,11,a ∈⋃+∞时，()max 0h x >，()h x 有2个零点， 当1a =时，()max 0h x =，()h x 有1个零点， 综上，(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解， 当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题.21.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为为()1,0.（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234k k =-时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2.【解析】 【分析】（1）由题设条件，列出方程组，结合222a b c =+，求得22,a b 的值，即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由椭圆22221x y a b+=的四个顶点围成的菱形的面积为()1,0，可得2ab =，1c =，即221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()2223484120k x kmx m +++-=， 则()()222264434412k m km∆=-+-()2248430k m =-+>，即2243m k <+，且122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，所以12MN x x =-===又由点O 到直线MN的距离d =所以12MON S MN d =△=又因为12121234y y k k x x ==-，所以()22121112k x x km x x m x x +++222228334412434km km m k k m k -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+=--+， 化简整理可得22243m k =+，满足>0∆，代入222MCNmS ===△ 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-， 考虑到OM ，ON 关于x轴对称，不妨设1k =，2k =，则点M ，N的坐标分别为2M ⎫⎪⎪⎭，2N ⎫-⎪⎪⎭，此时12MON S ==△ 综上可得，MON △.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,0，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+. 【答案】（1）:10l x y --=，2:4C y x =；（2）1【解析】 【分析】（1）cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--=，然后可得直线l 的直角坐标方程为：10x y --=，消去244x m y m⎧=⎨=⎩中的m 可得曲线C 的普通方程；（2）直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），代入方程24y x =可得280t --=，然后可得12t t +=128t t =-，然后利用121211t t MA MB t t-+=求解即可.【详解】（1cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--=因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：10x y --=.曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），消去参数m ，转换为普通方程为24y x =；（2）直线l 的参数方程为12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程24y x =可得280t --=， 设其根为12,t t ，则有12t t +=，128t t =-，所以1212111t t MA MB t t -+====. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型. 23.已知函数()31f x x m x m =----（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}3x x <（2）11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）当1m =时，()14f x x x =---34251431x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，，，然后分段解不等式即可. （2）由绝对值的三角不等式可得()max 21f x m =+，对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，即21312m m m ++-≤-，令()2131f m m m =++-152********m m m m m m ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m =-，利用()f m ，()g m 在同一坐标系中的图象求解即可. 【详解】（1）当1m =时，()14f x x x =---34251431x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，， 因为()1f x <，所以25114x x -<⎧⎨≤≤⎩或1x <所以3x <，所以不等式的解集为：{}3x x <；（2）因为()()313121x m x m x m x m m ----≤----=+ 所以()max 21f x m =+，因为任意的x ∈R ，有()()2231f x f m m ≤=---， 所以21231m m m +≤---，即21312m m m ++-≤-，设()2131f m m m =++-152********m m m m m m ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m =-， ()f m ，()g m 在同一坐标系中的图象如下：所以1123m -≤≤， 所以实数m 的取值范围为：11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值的三角不等式求最值、考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题.。
安徽省合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学（文科）试题含解析
安徽省合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学(文科)试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1.已知复数z = m(3 + z)-(2 + z)在复平面内对应的点在第三象限，则实数刀的取值范围是( )2.如图，在等腰三角形A8C 中，已知ZBAC = 120°,阴影部分是以AB 为直径的圆与以AC 为直径的 圆的公共部分，若在AABC 内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()后兀 ]~921也兀2 9~设双曲线的方程为二一］=1(。
〉0，〉0),若双曲线的渐近线被圆M ： x 2 + y 2-10x-0所截得的a" b3 77 5A. 3 * 5B. 3 c. 3 d .4. 在AABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别。
、b 、c ,满足疽一2a(sin3 + 0cos3)+ 4 = 0 ,人=2占,则A3C 的面积为A. 2也B.也C. 2右d .右5. 已知抛物线。
：尸=2px(p>0)的焦点为F ,准线/与工轴的交点为A , Af 是抛物线C 上的点，且若以AF 为直径的圆截直线A"所得的弦长为2,则。
=()A. 2B. 2也C. 4D. 4皿6. 已知cost 1 = |,则cos2a =( )两条弦长之和为12,已知ABP 的顶点A, B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则A.25B.25C.25D.257.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B-A)+5/n(B+A)=3sin2A,且c=由,C=|,则ABC的面积是()3也7^3巨匝7也A. B.6 c.3d.或6442x-y-2<08.已知x,y满足不等式"+y—1Z0,则Z=y-3入的最小值是()y<iA.1B.-3_7 C.-1 D.29.在AA3C中,。
西安市2020届高三年级第二次质量检测 文科数学试题(图片版,含答案)
D文科数学第1页(共4页)西安市2020届高三年级第二次质量检测文科数学注,専项：1. 本卷共150分.考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等顼写在答题卡和 试卷指定位置上.2. 回答选择題时.选出每小髄答案后.用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黒.如需改动•用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束，将本试融和答独卡一并交回.一、选择现：本大■共12小■，毎小屋5分，共60分.在毎小題蛤出的四个选项中，只有一项是符合■ 目要求的.1. 已知 R 是实数集=Z||x|<2hB= {x|2x-l>0}，MAn (C.B )=()A. {-1.0)B, (1|D.(-co,l)2.已知i 是虚数单位，复数蚩，则复数z 的共純复数为()A. 1 4- 2iB. 1 - 2iC. 2 + iD. 2 —i3.已知向 J|a = (5.m),4= (2,-2),若(a —D)丄，.则 ()A. -1B. IC. -2D.21某公司生产A.B.CH 种不同型号的轿车，产量之比依次为2 ： 3 1 4,为检验该公司的产品质员，用 分层抽样的方法抽取一个容fit 为n 的样本.若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆.則5.2021年某省新高考将实行“3 + 1 + 2”模式，即语文、数学、外语必选，物理.历史二选一，政治、地 理、化学、生物四选二.共有12种选课模式.某同学已选了物理.记事件“他选择政治和地理”，事 件B ：“他选择化学和地理”，姻事件A 与事件B<)絶密★启用前A.是互斥事件，不是对立事件 C.耻是互斥事件，也是对立事件 B. 是对立事件,不是互斥事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件6.“m> 1”是“函数/(工)=3*—3有在区间［1,+8>上无等点”的 A. 充分不必要条件 B. 0要不充分条件 C. 充要条件n HE **厶山夂妊sin2（2）求三棱锥A_ BDM的体积.18.(本小廣満分12分)巳知各項都不相等的等差数列(a，，％ =6.又构成等比数列.(1)求数列的通项公式I(2)设如=2■- +2”,求数列5」的的“顼和为S“.11(*小题瀟好】W S某高校自主招冃号试中.所有去而试的考生全部參加了“语言表达能力”和“竞争与团队意訳”两个科目的测试，成绩分别为A、H、C、D、E五个等级，某专场考生的两科测试成绩数据统计如图3, 其中”语言喪达能力”成绩等级为B的唇生有10人.ffl 3'f求该考场考生中“竞争与团队意识"科目成绩等級为A的人数；⑵已知等級A、B.C、D、E分别对应5分,4分,3分,2分.1分.求该考场学生“语言表达能力"科目的平均分.20.(本小舰濤分12分)i.'HJ皈敷戶"•仃-& 一姑以曲为实教，原为自然对数的底數工―2. 71828》. 求函数f(x)的单调区间［(2)当* = 2,槌=1时，判断函数/(x)零点的个数并旺明."'I：："：〉* A。
2020陕西省高三文科数学教学质量检测(二)答案
（8 分）
所以 kBP＋kBQ＝y1－1＋y2－1
x1
x2
＝x2（kx1＋n）－x2＋x1（kx2＋n）－x1 x1x2
＝2kx1x2＋（n－1）（x1＋x2） x1x2
2k·4n2－4＋（n－1）· －8kn
＝ 1＋4k2
1＋4k2
4n2－4
1＋4k2
＝ 8k（n－1） ＝－1. 4（n＋1）（n－1）
a2 4 2 ， a1 3 所以数列{an} 是从第 2 项起，以 2 为公比的等比数列，
所以 an
3, n 1, 2n , n 2.
（5 分） （6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（8 分）
所以 Tn = log2 3+ 2 + 3+ + n
（10 分）
log
2
3
n
1
2
2
n
.
（12 分）
【评分标准】具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分.
当 x∈[1，2]时，t′(x)>0， 所以函数 t(x)＝xex 在[1，2]上单调递增，
所以 t(x)max t(2) 2e2 ，
（4 分）
所以 1 2e2 ， a
解得
0
a
1 2e2
，
0， 1 所以实数 a 的取值范围是 2e2 .
（5 分）
（Ⅱ）证明：当 a 1时，函数 f (x) ex ln x m2 x 0
由 an Sn1 1n 2 可知，
（1 分）
当 n 3 时， an1 Sn2 1，
（2 分）
两式相减得 an an1 an1 ，
即 an 2an1 ，
所以 an 2n 3 .
2020届陕西省高三年级教学质量检测(二)文科数学试卷 (解析版)
2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，函数f（x）＝ln（1﹣x）的定义域为集合B，则A∩B＝（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，1）C．[1，3]D．（1，3]2．已知i为虚数单位，复数Z=1−3i1+i，则其共轭复数z的虚部为（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i3．已知向量a→=（1，﹣1），b→=（x，2），且a→⊥b→，则|a→+b→|＝（）A．√2B．√7C．2√2D．√104．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（）A．12B．13C．16D．1125．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符，已知两人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．甲和丙C．乙和丙D．乙和丁6．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f(−52)+f(2019)=（ ） A ．﹣2B ．2C ．4D ．67．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，l ⊂β，m ∥l ，n ∥l ，则α∥βB ．若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊂α，m ∩n ＝A ，l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β8．已知函数f （x ）=√3cos ωx ﹣sin ωx （ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ ） A ．关于点（π6，0）对称B ．关于直线x =π6对称 C ．关于点（π3，0）对称D ．关于直线x =π3对称9．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点M （x 0，4）到焦点F 的距离|MF |=54x 0，则p ＝（ ） A ．2B ．4C ．1D ．510．已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（ ） A ．a ＝e ，b ＝﹣1 B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣111．已知sinα+2cosαsinα−2cosα=5，则cos 2α+12sin2α＝（ ） A ．−25B ．3C ．﹣3D ．2512．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√52，点（4，1）在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．x 24−y 2=1B ．x 220−y 25=1C ．x 212−y 23=1D ．x 28−y 2=1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x ，y 满足{y −2≤0x +3≥0x −y −1≤0，则y−1x−4的取值范围是 ．14．某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：甲 乙 丙 平均数 250 240 240 方差151520根据表中数据，该中学应选 参加比赛．15．如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，AB ＝AD =√22AC ，cos ∠BAD =13，则sin C ＝ ．16．如图，圆锥型容器内盛有水，水深3dm ，水面直径2√3dm 放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为 dm三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 3＝12，a 2+a 4＝18，n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n ．18．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB ＝2CD ＝2PD ＝2，PC =√2，且有PD ⊥AD ，AD ⊥CD ，AB ∥CD ．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12，求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积．19．将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如下所示： 甲商场五天的销售情况销售第x 天 1 2 3 4 5 第x 天的销量y1113121514（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；（2）根据甲商场这五天的销售情况，求x 与y 的回归直线方程y =b ^x +a ．参考公式：回归直线方程y =bx +a 中，b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a =y −b ^x ．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣x 2﹣x ﹣1． （1）求函数y ＝f ′（x ）的单调区间；（2）函数g （x ）＝﹣x 2+（a ﹣1）x ，求g （x ）＝f （x ）的解的个数． 21．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为（1，0）． （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=−34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4；坐标系及参数方程]22．平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（1，0），曲线C 的参数方程是{x =4m 2y =4m （m为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρcos （θ+π4）﹣1＝0．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|．[选修4-5；不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x﹣3m﹣1|．（1）若m＝1，求不等式f（x）＜1的解集．（2）对任意的x∈R，有f（x）≤f（2），求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，函数f（x）＝ln（1﹣x）的定义域为集合B，则A∩B＝（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，1）C．[1，3]D．（1，3]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝[﹣2，1）．故选：B．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知i为虚数单位，复数Z=1−3i1+i，则其共轭复数z的虚部为（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=1−3i1+i=(1−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−2i，∴z=−1+2i，则共轭复数z的虚部为2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知向量a→=（1，﹣1），b→=（x，2），且a→⊥b→，则|a→+b→|＝（）A．√2B．√7C．2√2D．√10【分析】根据a→⊥b→便可得出a→⋅b→=0，从而求出x值，进而求出a→+b→的坐标，从而求出|a→+b→|的值．解：∵a→⊥b→；∴a→⋅b→=x−2=0；∴x＝2；∴b→=(2，2)；∴a→+b→=(3，1)；∴|a→+b→|=√10．故选：D．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求长度的方法．4．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（）A．12B．13C．16D．112【分析】先求出基本事件总数n=C42C22A22⋅A22=6，再求出乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m=C22C22⋅A22=2，由此能求出乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率．解：现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数n=C42C22A22⋅A22=6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m=C22C22⋅A22=2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p=mn=26=13．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符，已知两人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．甲和丙C．乙和丙D．乙和丁【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．解：由题意，可知：∵乙、丁的预测是一样的，∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故乙、丁的预测不成立，②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，∵甲、丙的预测成立，∴丁必获奖．∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，∴丙不获奖，乙获奖．从而获奖的是乙和丁．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．6．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f(−52)+f(2019)=（）A．﹣2B．2C．4D．6【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，∴f（0）＝0，f（x+2）＝f（x），当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），得f（1）＝0，∵当0＜x＜1时，f（x）＝4x，∴f(−52)+f(2019)=−f （52）+f （1）＝﹣f （2+12）+f （1）＝﹣f （12）+f （1）=−412+0＝﹣2， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和周期性的性质进行转化是解决本题的关键．7．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，l ⊂β，m ∥l ，n ∥l ，则α∥βB ．若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊂α，m ∩n ＝A ，l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，由面面平行的判定定理得α∥β．解：由m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m ⊂α，n ⊂α，l ⊂β，m ∥l ，n ∥l ，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中，若m ⊂α，m ∩n ＝A ，l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．已知函数f （x ）=√3cos ωx ﹣sin ωx （ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ ） A ．关于点（π6，0）对称B ．关于直线x =π6对称C ．关于点（π3，0）对称D ．关于直线x =π3对称【分析】由两角和的余弦函数公式可得f （x ）＝2cos （ωx +π6），利用周期公式可求ω的值，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解． 解：f （x ）=√3cos ωx ﹣sin ωx ＝2cos （ωx +π6）， ∵f （x ）的最小正周期为T =2πω=π， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2cos （2x +π6）， ∴f （π6）＝2cosπ2=0，可得函数关于点（π6，0）对称，故A 正确，B 错误，f （π3）＝2cos 5π6=−√3，可得C 错误，D 错误．故选：A ．【点评】本题主要考查了两角和的余弦函数公式，周期公式，余弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于基础题．9．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点M （x 0，4）到焦点F 的距离|MF |=54x 0，则p ＝（ ） A ．2B ．4C ．1D ．5【分析】由抛物线的定义可知，|MF |＝x 0+p2，与已知条件结合，得x 0＝2p ①；把点M 的坐标代入抛物线方程可得42＝2p •x 0②，结合①②即可解出p 的值． 解：由抛物线的定义可知，|MF |＝x 0+p2，∵|MF |=54x 0，∴x 0+p 2=54x 0，即x 0＝2p ①，∵点M （x 0，4）在抛物线y 2＝2px 上， ∴42＝2p •x 0②，由①②解得，p ＝2或﹣2（舍负）， 故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 10．已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（ ） A ．a ＝e ，b ＝﹣1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣1【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae +1+0＝2，可得a ，进而得到切点，代入切线方程可得b 的值． 解：y ＝ae x +xlnx 的导数为y ′＝ae x +lnx +1， 由在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ， 可得ae +1+0＝2，解得a ＝e ﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b ，即b ＝﹣1， 故选：D ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．已知sinα+2cosαsinα−2cosα=5，则cos 2α+12sin2α＝（ ） A ．−25B ．3C ．﹣3D ．25【分析】根据同角三角函数关系求出tan α的值，利用弦化切结合1的代换进行求解即可．解：∵sinα+2cosαsinα−2cosα=5，∴sin α+2cos α＝5sin α﹣10cos α， 即12cos α＝4sin α， 则tan α＝3，则cos 2α+12sin2α＝cos 2α+sin αcos α=cos 2α+sinαcosα22=1+tanα2=1+31+9=410=25， 故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及1的代换，结合弦化切是解决本题的关键．12．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√52，点（4，1）在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．x 24−y 2=1B ．x 220−y 25=1C ．x 212−y 23=1D ．x 28−y 2=1【分析】利用双曲线的离心率，以及双曲线经过的点，求解双曲线的几何量，然后得到双曲线的方程．解：由题意双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√52得，c a =√52，16a 2−1b 2=1，c 2＝a 2+b 2，∴a ＝2√3，b =√3， ∴双曲线C 的方程为：x 212−y 23=1．故选：C ．【点评】本题考查双曲线方程的综合应用，双曲线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x ，y 满足{y −2≤0x +3≥0x −y −1≤0，则y−1x−4的取值范围是 [﹣1，57] ．【分析】首先画出平面区域，根据y−1x−4的几何意义求范围．解：不等式组对应的平面区域如图：y−1x−4的几何意义是过（4，1）和区域内的点的直线的斜率，所以最大值是过A （﹣3，﹣4）与（4，1）连接的直线斜率为−4−1−3−4=57，最小值是过B （3，2）与（4，1）连接的直线斜率为2−13−4=−1，所以y−1x−4的取值范围是[﹣1，57]．【点评】本题考查了简单线性规划的问题解答，关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义．14．某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：甲 乙 丙 平均数 250 240 240 方差151520根据表中数据，该中学应选 乙 参加比赛．【分析】根据题意，分析可得三人中乙的平均数最小且方差最小，由平均数、方差的统计意义分析可得答案．解：根据题意，由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数，而甲乙的方差小于丙的方差，则三人中乙的平均数最小且方差最小，故应该选乙参加比赛； 故答案为：乙【点评】本题考查平均数、方差的统计意义，属于基础题．15．如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，AB ＝AD =√22AC ，cos ∠BAD =13，则sin C ＝√33．【分析】不妨设AC =√2，则AB ＝AD ＝1．在△ABD 中，由余弦定理可得：解得BD ．可得cos B ，sin B ．在△ABC 中，由正弦定理即可得出． 解：不妨设AC =√2，则AB ＝AD ＝1．在△ABD 中，由余弦定理可得：BD 2＝1+1﹣2cos ∠BAD ＝2−23=43，解得BD =2√33．取BD 的中点E ，连接AE ，则cos B =BE AB =√331=√33，sin B =√63．在△ABC 中，由正弦定理可得：√2√63=1sinC，解得sin C =√33． 故答案为：√33．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，圆锥型容器内盛有水，水深3dm ，水面直径2√3dm 放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为12π5dm【分析】由题意画出截面图，设铁球的半径为r ，利用体积相等求解r ，则球的体积可求． 解：如图，设铁球的半径为r ，则放入铁球后水深为3r ，上底面半径为√3r ， 此时铁球与水的体积和为13⋅π⋅(√3r)2⋅3r =3πr 3．原来水的体积为13⋅π⋅(√3)2⋅3=3π，铁球的体积为43πr 3，则3π+43πr 3=3πr 3，解得r 3=95．∴铁球的体积V =43π×95=12π5．故答案为：12π5．【点评】本题考查圆锥与球的体积，是基础的计算题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 3＝12，a 2+a 4＝18，n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n ．【分析】（Ⅰ）依题意a 1+a 3＝12，a 2+a 4＝18，两式相减得d ＝3，将d ＝3代入一式可得a 1，则通项公式可求．（Ⅱ）因为数列{a n }是等差数列，所以数列{a 3n }也是等差数列，且首项a 3＝9，公差d '＝9，则其前n 项和可求．解：（ I ）因为{a n }是等差数列，a 1+a 3＝12，a 2+a 4＝18，所以{2a 1+2d =12，2a 1+4d =18.解得d ＝3，a 1＝3．则a n ＝3+（n ﹣1）×3＝3n ，n ∈N *．…………． （ II ）a 3，a 6，a 9，…，a 3n 构成首项为a 3＝9，公差为9的等差数列．则a 3+a 6+a 9+⋯+a 3n =9n +12n(n −1)×9=92(n 2+n)．…………．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，等差数列的定义等，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．18．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB ＝2CD ＝2PD ＝2，PC =√2，且有PD ⊥AD ，AD ⊥CD ，AB ∥CD ．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12，求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积．【分析】（1）推导出PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，由此能证明PD ⊥平面ABCD ．（2）由PD ⊥面ABCD ，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12，求出AD ＝1，由PD ⊥AB ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面PAD ，AB ⊥PA ，PA =√2，由此能求出四棱锥P ﹣ABCD 的表面积． 解：（1）证明：在△PCD 中，PD ＝1，CD ＝1，PC =√2， ∵12+12=(√2)2，∴∠PDC ＝90°，即PD ⊥CD ，又PD ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面ABCD ． （2）由（1）得PD ⊥面ABCD ，V P ﹣ABCD =13×12×(AB +CD)×AD ×PD =12， ∴AD ＝1，∵PD ⊥AB ，AB ⊥AD ，PD ∩AD ＝D ，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA=√2，由题意得BC＝PC=√2，PB=√PA2+AB2=√6，△PBC中，由余弦定理得cos∠PCB=22×2=−12．∴∠PCB＝120°，∴S△PCB=12×√2×√2×sin120°=√32，S△PAB=12×2×√2=√2，S△PAD＝S△PCD=12×1×1=12，S ABCD=12(1+2)×1=32，∴四棱锥P﹣ABCD的表面积S=52+√2+√32．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如下所示：甲商场五天的销售情况销售第x天12345第x天的销量y1113121514（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；（2）根据甲商场这五天的销售情况，求x 与y 的回归直线方程y =b ^x +a ．参考公式：回归直线方程y =bx +a 中，b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a =y −b ^x ．【分析】（1）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率得答案；（2）由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求．解：（1）购买该产品的顾客的平均年龄为（27.5×0.01+32.5×0.04+37.5×0.07+42.5×0.06+47.5×0.02）×5＝38.5； （2）x =1+2+3+4+55=3，y =11+13+12+15+145=13． b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2=−2×(−2)−1×0+0×(−1)+1×2+2×14+1+0+1+4=0.8， a =y −b ^x =13﹣0.8×3＝10.6．∴x 与y 的回归直线方程为y =0.8x +10.6．【点评】本题考查频率分布直方图，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1．（1）求函数y＝f′（x）的单调区间；（2）函数g（x）＝﹣x2+（a﹣1）x，求g（x）＝f（x）的解的个数．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间尽快；（2）令h（x）＝g（x）﹣f（x），求出函数的导数，得到函数h（x）的最大值，通过讨论a的范围，判断函数h（x）的零点个数即g（x）＝f（x）的解的个数．解：（1）由f（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1，得f′（x）＝e x﹣2x﹣1，故f″（x）＝e x﹣2，令f″（x）＞0，解得：x＞ln2，令f″（x）＜0，解得：x＜ln2，故函数y＝f′（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增；（2）令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝1+ax﹣e x得h′（x）＝a﹣e x，若a≤0，则h′（x）≤0，h（x）递减，而h（0）＝0，故h（x）有1个零点，若a＞0，得x∈（﹣∞，lna）时，h′（x）＞0，x∈（lna，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣∞，lna）递增，在（lna，+∞）递减，∴h（x）max＝h（lna）＝1﹣a+alna，令t（a）＝1﹣a+alna，则t′（a）＝lna，当a∈（0，1）时，t′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，t′（a）＞0，∴t（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而t（1）＝0，故a ∈（0，1）∪（1，+∞）时，h （x ）max ＞0，h （x ）有2个零点， 当a ＝1时，h （x ）max ＝0，h （x ）有1个零点， 综上，a ∈（﹣∞，0]∪{1}时，g （x ）＝f （x ）有1个解， 当a ∈（0，1）∪（1，+∞）时，g （x ）＝f （x ）有2个解．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21．已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为（1，0）． （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=−34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． 【分析】（1）依题意，2ab =4√3，c ＝1，由此可求得a 2＝4，b 2＝3，进而得到椭圆的方程；（2）分情况讨论，①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y ＝kx +m ，与椭圆方程联立，可得弦长|MN |，点O 到直线MN 的距离d ，进而表示出面积，再根据题设条件得出结果；②当直线MN 的斜率不存在时，可直接求出点M ，N 的坐标，进而求得面积；综合即可得出结论．解：（1）由题意可知，2ab =4√3，c ＝1， 因此{ab=2√3a 2−b 2=1，解得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），当直线MN 的斜率存在时，设方程为y ＝kx +m ，由{x 24+y 23=1y =kx +m，消y 可得，（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则有△＝64k 2m 2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＝48（4k 2﹣m 2+3）＞0，即m 2＜4k 2+3，x 1+x 2=−8km 3+4k2，x 1x 2=4m 2−123+4k2，所以|MN|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(+8km 3+4k2)2−4×4m 2−123+4k2=4√3⋅√1+k 23+4k 2√4k 2−m 2+3．点O 到直线MN 的距离d =√1+k，所以S △MON =12|MN|d =2√3|m|3+4k2√4k 2−m 2+3． 又因为k 1k 2=y 1y2x 1x 2=−34，所以k 2x 1x 2+km(x 1+x 1)+m 2x 1x 2=k 2+km(−8km3+4k2)+m 24m 2−123+4k 2=−34，化简可得2m 2＝4k 2+3，满足△＞0， 代入S △MCN =2√3|m|3+4k2√4k 2−m 2+3=2√3m 22m 2=√3，当直线MN 的斜率不存在时，由于k 1k 2=−34，考虑到OM ，ON 关于x 轴对称，不妨设k 1=√32，k 2=−√32，则点M ，N 的坐标分别为M(√2，√62)，N(√2，−√62)， 此时S △MON =12×√2×√6=√3， 综上，△MON 的面积为定值√3．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，考查直观想象，逻辑推理以及化简求解能力，属于中档题．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4；坐标系及参数方程]22．平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（1，0），曲线C 的参数方程是{x =4m 2y =4m （m为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρcos （θ+π4）﹣1＝0．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果． 解：（1）根据{x =ρcosθy =ρsinθ，直线l 的极坐标方程√2ρcos （θ+π4）﹣1＝0转换为直角坐标方程为：x ﹣y ﹣1＝0．曲线C 的参数方程是{x =4m 2y =4m （m 为参数），消去参数m ，转换为直角坐标方程为y 2＝4x ．（2）直线l 转换为参数方程为{x =1+√22ty =√22t （t 为参数），代入直角坐标方程为y 2＝4x ．得到：t 2−4√2t −8=0， 所以：t 1+t 2=4√2，t 1t 2＝﹣8． 所以1|MA|+1|MB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√32+328=1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5；不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |﹣|x ﹣3m ﹣1|． （1）若m ＝1，求不等式f （x ）＜1的解集．（2）对任意的x ∈R ，有f （x ）≤f （2），求实数m 的取值范围．【分析】（1）当m ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|﹣|x ﹣4|={3，x ＞42x −5，1≤x ≤4−3，x ＜1，分段解不等式．（2）可得f （x ）max ＝|2m +1|，任意的x ∈R ，有f （x ）≤f （2）＝|m ﹣2|﹣|3m ﹣1|，即|2m +1|+|3m ﹣1|≤|m ﹣2|，令f （m ）＝|2m +1|+|3m ﹣1|={−5m ，m ＜−122−m ，−12≤m ≤135m ，m ＞13，g （m ）＝|m ﹣2|，利用f （m ），g （m ）在同一坐标系中的图象求解．解：（1）当m ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|﹣|x ﹣4|={3，x ＞42x −5，1≤x ≤4−3，x ＜1，因为f （x ）＜1，所以{2x −5＜11≤x ≤4或x ＜1 所以x ＜3，所以不等式的解集为：{x |x ＜3}；（2）因为||x ﹣m |﹣|x ﹣3m ﹣1||≤|（x ﹣m ）﹣（x ﹣3m ﹣1）|＝|2m +1| 所以f （x ）max ＝|2m +1|，因为任意的x ∈R ，有f （x ）≤f （2）＝|m ﹣2|﹣|3m ﹣1|， 所以|2m +1|≤|m ﹣2|﹣|3m ﹣1|，即|2m +1|+|3m ﹣1|≤|m ﹣2|，即f （m ）＝|2m +1|+|3m ﹣1|={−5m ，m ＜−122−m ，−12≤m ≤135m ，m ＞13，g （m ）＝|m ﹣2|，f （m ），g （m ）在同一坐标系中的图象如下：所以−12≤m ≤13，所以实数m 的取值范围为：（−12，13）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、性质．属于中档题．。