大学物理下册 第四章习题课选讲例题

mB B
F T1 F T2 mAmBg mA mB
如令 m C 0，可得
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2 ay 2 m B gy mA mB mC / 2
（3） 考虑滑轮与轴承间的 摩擦力矩 M f ，转动定律
F T1 F T2
FN
1 2
m
h
2 mv0

1 2
mv
2
1 2
J
2
h
v
1 2
v0

3v0
2l 3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）
1 2
J
2
mgh
c
h 2 hc
3 2
h0
例： 质量 m ，半径 R 的均匀圆盘可绕过中心的光滑 竖直轴自由转动. 在盘缘站一质量为 m0 的人，开始人和 盘都静止，当人在盘缘走一圈时，盘对地面转过的角度.
J
2

1 2
J 0
2
FN
由质点动能定理
mgh R F T d

0
FT FT
2

1 2
mv
1 2
o P '
FT
mv
2 0
F T
物体由静止开始下落 v 0 0 , 0 0 并考虑到圆盘的转动惯量 J 解得
v 2 mgh m 2m
m 2 4 . 0 kg
M
f
T
M
t 2 25 s
2
2
f
C
T
f
mg
y
求：J
a 1 0 . 0156 m/s
a 2 0 . 0064 m/s
T1 R M
T2 R M
J
J
a1 R a2
R
2
f
m 1 g T1 m 1 a 1
m 2 g T2 m 2 a 2
0
置和直杆作弹性碰撞. 求 碰后直杆下端达到的高度 h . 解：此问题分为 三个阶段
l
m
h0
l m
c
l
m
v0
h
1） 单摆自由下 摆（机械能守恒）， 与杆碰前速度
hຫໍສະໝຸດ Baidu
v0
2 gh 0
v0
角动量守恒
2 gh 0
ml v 0 J ml v
2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）
c
l
机械能守恒
RF T2 RF T1 J
FC
F T2
mB
PB y
a R
a
mBg mA mB mC 2
mAmBg mA mB mC 2
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
A
mA
FT1
C
F T1
F T2
mC F T2
例 一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4 ， 式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度. 解：
d dt ( at bt
3
ct ) a 3 bt
4
2
4 ct
3

d dt
( a 3 bt
2
4 ct ) 6 bt 12 ct
r (t )
m

S t
t 0

1 2
r
r t
sin
msm F G r 3 r
L C
lim
S t

1 2
r v sin
1 2m
L
所以相等的时间内扫过相等的面积。
2 例 一滑冰者开始转动时 E k0 J 0 0 2 ，然后将 手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的转
r
解（1）
a
a t a 0 .4 m s
2


0 .4 0 .5
at r

a r
2
0 . 8 rad s
求（2）t 5 s 时角速度及转过的圈数；
0 . 8 rad s

1 2
2
t 4 rad s
n
t
2
10 rad
T
R R
m1
m2
h
M
f
T
mg
y
h
已知：R 50 cm h 2 . 0 m m 1 8 . 0 kg t 1 16 s
m 2 4 . 0 kg
M
f
T
t 2 25 s
M
C
求：J
f
T
mg
y
m 1 g T1 m 1 a 1
T1 R M

2π
1 .6
求（3） t 1s 时轮缘上一点的加速度. 2 a t a 0 .4 m s r 0 .5 m
a

at
t 0 . 8 rad s
a n r
2
1
r
an
0 . 32 m s
0 . 51 m s
2
a
a


0
FT R d R
1 2 J
2

0

FT d
2 0
FN
1 2
J
为圆盘终了和起始时的角 坐标和角速度 .
, 0 和 、 0 分别
o P '
FT
R
o
m'
m
h
F T
P
m
m


0
FT R d R

0

FT d
1 2
T1 m 1 ( g a 1 ) 78 . 3 N
N 2 . 93 ) 2 a g ( 2 m 2 T
( a 1 a 2 ) J ( T1 T 2 ) R
J ( T1 T 2 ) R a1 a 2
3 2
2
1 . 06 10 kg m
例：证明关于行星运动的开普勒第二定律，行星 对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。 证明: t 时间内径矢扫过的面积为 L 1 r S r r sin 2 r (t d t ) ms 单位时间扫过的面积 v
RF T2 RF T1 M
f
J
M
f
结合（1）中其它方程
F T1 m A a
m B g FT2 m B a
3
2
例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半 径 r 0 . 5 m , 如果升降机从静止开始以 a 0 . 4 m s 2 加速度上升, 求 （1）滑轮角加速度；（2） t 5 s 时 角速度及转过的圈数；（3） t 1s 时轮缘上一点的 加速度. 2 a 0 .4 m s 已知： r 0 . 5 m

o
x dx
dF f
x
解：取一小段如图 m dm dx l d F f d mg
d M x ( d mg )
M

x d mg
mg
l

L
xdx
1 2
mgL
0
例 电风扇在开启电源后，经t1时间达到了额 定转速，此时相应的角速度为0 ，当关闭电源后， 经过t2时间风扇停转．已知风扇转子的转动惯量为 J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量， 求电机的电磁力矩． 解：
例 关于力矩有以下几种说法: （1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等; 在上述说法中
(A) 只有（2）是正确的; (B)（1）、（2）是正确的;
(C)（2）、（3）是正确的;
动角速度.
注意：刚体定轴转动内力矩的功之 和为零，非刚体不一定.
解：外力矩为零，角动量守恒 1 3 0 J 0 0 J 0 3 内力做功，转动动能变化
E k0 1 2 J
2 0 0

Ek
1 J0 2 3
2 9 0

3 2
J
2 0 0
例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆 与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将单 摆摆锤拉到高度 h ，令它自静止状态下摆，于垂直位
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
例 如图所示, A、B 为两个相同的定滑轮, A 滑 A 轮挂一质量为M的物体, B 滑轮受力F = Mg, 设 A、B 两滑轮的角加速度分别为 M αA和αB ,不计滑轮的摩擦,这 两个滑轮的角加速度的 大小关系为:
（A）αA＝αB ; （B）αA>αB; A
P
m
1 2
R 2 m
m
v R
(m ' 2) m
2 gh
例 质量为 m A 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 m C 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 m B 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从 静止落下距离 y 时， C A mA 其速率是多少？（3） mC 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 M f 再求线加速度及 mB B 绳的张力.
A F T1 mA FN F T1 mA O x PA F T1
PC
C
mC F T2
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
mB B
F T2
O
F T1 m A a
m B g FT2 m B a
P N1 0
l
以支点O为转动中心，梯子受 的合外力矩：
Ff
Ff N 2
P
N1

o
cot
P
l 2
cos N 2 l sin 0
P 2
例 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面 上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的 摩擦系数为 , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小．
Tr J A J
Mg T Ma
B F =Mg
T
Mg
（C） αA<αB ;
aA r
A
（D）无法确定.
B Fr Mgr J B J
aB r
例 人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的： (A) 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒, 动能不守恒; (D) 角动量不守恒, 动能守恒.
m0
m
解：盘和人为系统，角动量守恒。 设： 0 , 分别为人和盘相对地 的角速度，顺时针为正向. 1 2 2 mR m 0 R 0 0 2 1 2 d 2 d 0
mR 2
2π
R
顺时针向

2m0 2m0 m
dt

m0R
dt
2
0
1 2
mR d m 0 R
例 一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动 的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台 组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于 身体两侧, 在此过程中, 系统 (A) 角动量守恒, 机械能不守恒; (B) 角动量守恒, 机械能守恒;
(C) 角动量不守恒, 机械能守恒;
(D) 角动量不守恒, 机械能不守恒.
M M f J 1
M
f
J 2
M Jω 0 (
1 t1

1 t2
)
ω 0 1 t1 2 t 2
例：求一半径 R 50 cm 的飞轮对过其中心轴的 转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其 质量 m 1 8 . 0 kg 的让其从 h 2 . 0 m 处静止下落, 测得下落时间 t 1 16 s ；若用质量 m 2 4 . 0 kg 的 重物时, t 25 s , 假定摩擦力矩 M f 是一个常量 , 2 求飞轮的转动惯量. 解：受力分析、坐标如图
f
m 2 g T2 m 2 a 2 T2 R M h 1 2
f
J
2
a1 R
J
2
a2 R
h
a1 2h t1
2
1 2
a 1t1
a 2t2
0 . 0156 m/s
2
a2
2h t2
2
0 . 0064 m/s
2
已知：R 50 cm h 2 . 0 m m 1 8 . 0 kg t 1 16 s
2 at

2 an
2

arctan( a n a t ) 38 . 7
例 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，墙 光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子 与地面的摩擦力。 解：刚体平衡的条件 Fi 0 Mi 0
N2
Ff N 2 0
2
0
2 π
d 0
例 一质量为 m ' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 . 解 拉力 F T 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 能定理可得，拉力 F T 的力矩所作的功为