耦合电感的计算

例6-1 图6.8(a)所示电路，已知R1=10Ω，
L1=5H，L2=2H，M=1H，i1（t）波形如图6.8(b)所 示。试求电流源两端电压uac（t）及开路电压ude（t）。
图6.8 例6-1图
解：由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R2上电压 为零，L2上自感电压为零，L2上仅有电流i1在其上产生的互 感电压。这一电压也就是d、e开路时的电压。根据i1的参考 方向及同名端位置，可知 di1 t ude t M dt 由于第2个线圈上电流为零，所以对第1个线圈不产生互 感电压，L1上仅有自感电压
dt
i1从同名端流出，i2亦从同名端流出，属磁通相助情况，u1
中的互感压降部分与其自感压降部分同号，即为
M
将L1上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L1
di2 dt
。
上电压
di1 di2 u1 L1 M dt dt
再写第2个线圈L2上的电压u2。因L2上的电压u2与电
流i2参考方向关联，所以u2中的自感压降部分为
di1 t ubc t L1 dt
电流源两端电压
di1 t uac t uab t ubc t R1i1 t L1 dt
下面进行具体的计算。 在0≤t≤时， i1（t）=10tA (由给出的波形写出) 所以
uab t R1i1 t 10 10t 100tV dii d ubc t Li 5 10t 50V dt dt uac t uab t ubc t 100t 50V d 10t di1 ude t M 1 10V dt dt
在1≤t≤2s时 所以
i1 t (10t 20)
uab t R1i1 t 10 (10t 20) (100t 200)V di d ubc t L1 5 (10t 20) 50V dt dt uac t uab t ubc (t ) (100t 150)V d 10t 20 di1 ude t M 1 10V dt dt
(2)如何正确书写所遇各种情况的耦合电感上的电压、
电流关系是至关重要的。通常，将耦合线圈上电压看成由自 感压降与互感压降两部分代数和组成。
先写自感压降：若线圈上电压、电流参考方向关联，则 其上自感电压取正号即。反之，取负号即－。
再写互感压降部分：观察互感线圈给定的同名端位置及所 设两个线圈中电流的参考方向，
第6章 耦合电感电路 和理想变压器
（时间：4次课，8学时）
耦合电感和变压器在工程中有着广泛地应用。本
章首先讲述了耦合电感的基本概念，然后介绍了耦合 电感的去耦等效，最后分析了空心变压器电路，重点 讨论理想变压器的特性，从而对变压器有个初步认识。
第6章 耦合电感电路和理想变压器


6.1 耦合电感元件
假定穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线圈1的 自感磁链与互感磁链分别为ψ11 =N1Φ11，ψ12=N1Φ12；交 链线圈2的自感磁链与互感磁链分别为ψ22=N2Φ22， ψ21=N2Φ21 。
图 6.1 耦合电感元件
类似于自感系数的定义，互感系数的定义为：
M 21
21
i1
M 12
2 22 21 L2 i2 Mi1
11 ， 21 分别 22 分别为线圈1、2的自磁链； 12 ， 上式中， 为两线圈的互磁链。
设两线圈上电压电流参考方向关联，即其方向与各自 磁通的方向符合右手螺旋关系，则 d 2 di2 di 1 (6-6a)
u2 dt L2 dt M dt d 1 di1 di 2 u1 L1 M dt dt dt
(6-6b)
图6.3 磁通相助的耦合电感
如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消， 如图6.3所示，耦合电感的电压、电流关系方程式为：
d 1 di 1 di 2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di2 di1 u2 L2 M dt dt dt
图6.3 磁通相消的耦和电感
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u 2 L2 M dt dt
(6-9)
如果如图6.6所示那样，设仍是从a端流入，不是从c 端流入，而是从c端流出，就判定磁通相消。由图6.6所 示可见，两互感线圈上电压与其上电流参考方向关联， 所以
di1 di2 u1 L1 M dt dt
6.2 耦合电感的去耦等效 6.3 空心变压器电路的分析

6.4 理想变压器
6.1 耦wk.baidu.com电感元件

6.1.1 耦合电感的基本概念 6.1.2 耦合电感元件的电压、电流关系 6.1.3 同名端
6.1.1 耦合电感的基本概念
图6.1是两个相距很近的线圈（电感），当线圈1中 通入电流 i1时，在线圈1中就会产生自感磁通Φ 11，而 其中一部分磁通Φ 21 ，它不仅穿过线圈1，同时也穿过 线圈2，且Φ 21≤Φ 11。同样，若在线圈2中通入电流 i2， 它产生的自感磁通Φ 22，其中也有一部分磁通Φ 12不仅 穿过线圈2，同时也穿过线圈1，且Φ 12 ≤Φ 22 。像这 种一个线圈的磁通与另一个线圈相交链的现象，称为磁 耦合，即互感。Φ 21 和Φ 12 称为耦合磁通或互感磁通。
图6.7 互感线圈同名端的测定
关于耦合电感上电压电流关系这里再强调说明两点：
(1)耦合电感上电压、电流关系式形式有多种形式，不 仅与耦合电感的同名端位置有关，还与两线圈上电压、电流 参考方向设的情况有关。若互感两线圈上电压电流都设成关 联参考方向，磁通相助时可套用式(6-8)，磁通相消时可套 用式(6-9)。若非此两种情况，不可乱套用上述两式。
12
i2
上面一式表明线圈1对线圈2的互感系数M21，等于穿越 线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的电流之比。 二式表明线圈2对线圈1的互感系数M12，等于穿越线圈 1的互感磁链与激发该磁链的线圈2中的电流之比。 可以证明 M21=M12=M
我们以后不再加下标，一律用M表示两线圈的互感系 数，简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利（H）。
由上述分析可见，具有互感的两线圈上的电压，在设其参 考方向与线圈上电流参考方向关联的条件下，等于自感压降 与互感压降的代数和，磁通相助取加号；磁通相消取减号。 对于自感电压 L1 di1 、L2 di2 取决于本电感的u、i的参考方 向是否关联，若关联，自感电压取正；反之取负。 di di M 而互感电压 M 、 dt 的符号这样确定：当两线圈电流均 dt 从同名端流入（或流出）时，线圈中磁通相助，互感电压与
①若两电流均从同名端流入(或流出)，则磁通相助，互感 压降与自感压降同号，即自感压降取正号时互感压降亦取正 号，自感压降取负号时互感压降亦取负号。 ②若一个电流从互感线圈的同名端流入，另一个电流从互 感线圈的同名端流出，磁通相消，互感压降与自感压降异号， 即自感压降取正号时互感压降取负号，自感压降取负号时互 感压降取正号。只要按照上述方法书写，不管互感线圈给出 的是什么样的同名端位置，也不管两线圈上的电压、电流参 考方是否关联，都能正确书写出两线圈的电压、电流之间关 系式。
根据uac、ude的表达式，画出其波形如图6.8(c)、 图6.8(d)所示。
例6-2 图6.9所示互感线圈模型电路，同名端位置及
各线圈电压、电流的参考方向均标示在图上，试列写出该互
感线圈的电压、电流关系式(指微分关系)。
图6.9 例6-2图
解：先写出第1个线圈L1上的电压u1。因L1上的电压 u1与i1参考方向非关联，所以u1中的自感压降为 L1 di1 。 观察本互感线圈的同名端位置及两电流i1、i2的流向，可知
di2 di1 u 2 L2 M dt dt
(6-8) 图6.6 磁通相消情况 互感线圈模型
图6.7所示是测试互感线圈同名端的一种实验线路，把 其中一个线圈通过开关S接到一个直流电源上，把一个直流 电压表接到另一线圈上。当开关迅速闭合时，就有随时间增 长的电流从电源正极流入线圈端钮1，这时大于零，如果电 压表指针正向偏转，这说明端钮2为实际高电位端(直流电压 表的正极接端钮2)，由此可以判定端钮1和端钮2是同名端； 如果电压表指针反向偏转，这说明端钮 2为实际高电位端， 这种情况就判定端钮1与端钮 2 是同名端。
因为Φ21≤Φ11 ，Φ12≤Φ22 ，所以可以得出 两线圈的互感系数小于等于两线圈自感系数的几何平均值， 即
M L1 L2
上式仅说明互感M比 L1 L2小（或相等），但并不能说明 M比 L1 L2小到什么程度。为此，工程上常用耦合系数K来表 示两线圈的耦合松紧程度，其定义为 M K L L
1
dt
dt
2
该线圈中的自感电压同号。即自感电压取正号时互感电压亦 取正号，自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当两 线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线圈中磁通相消，
故互感电压与自感电压异号，即自感电压取正号时互感电压 取负号，反之亦然。
6.1.3 同名端
互感线圈的同名端是这样规定的：当电流分别从两线圈各 自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这 两端称为两互感线圈的同名端，用标志“”或“*”表示 。例 如图6.5(a)，a端与c端是同名端(当然b端与d端也是同名端)； b端与c端(或a端与d端)则称为非同名端(或称异名端)。
图6.5 互感线圈的同名端
这样规定后，如果两电流不是同时从两互感线圈同 名端流入(或流出)，则各自产生的磁通相消。有了同名 端规定后，像图6.5(a)所示的互感线圈在电路中可以用图 6.5(b)所示的模型表示，在图6.5(b)中，设电流i1、i2分别 从a、d端流入，磁通相助，如果再设各线圈的 u、i为关 联参考方向，那么两线圈上的电压分别为
以u2中的互感压降部分为
M di1 dt
L2
di2 dt
。考
虑磁通相助情况，互感压降部分与自感压降部分同号，所 。将L2上自感压降部分与互
感压降部分代数和相加，即得L2上电压
di2 di1 u2 L2 M dt dt
此例是为了给读者起示范作用，所以列写的过程 较详细。以后再遇到写互感线圈上电压、电流微分关 系，线圈上电压、电流参考方向是否关联、磁通相助 或是相消的判别过程均不必写出，直接可写(对本互感
在t≥2s时 i1（t）=0 (由观察波形即知)
所以 uab=0，ubc=0，uac=0，ude=0 故可得
0 t 1s 100t 50V uac t 100t 150V 1 t 2s 0 其余 0 t 1s 10 V ude t 10 V 1 t 2s 0 其余
线圈)
di1 di M 2 dt dt di2 di1 u2 L2 M dt dt u1 L1
1 2
则
K
M L1 L2
可知，0≤K≤1，K值越大，说明两线圈间的耦合越紧， 当K=1时，称全耦合， 当K=0时，说明两线圈没有耦合。
耦合系数 K 的大小与两线圈的结构、相互位置以及周 围磁介质有关。如图 6.2(a)所示的两线圈绕在一起，其K值 可能接近1。相反，如图6.2(b)所示，两线圈相互垂直，其K 值可能近似于零。由此可见，改变或调整两线圈的相互位 置，可以改变耦合系数 K 的大小；当 L1 、 L2 一定时，也就 相应地改变互感M的大小。
图 6.2耦合系数k与线圈相互位置的关系
6.1.2 耦合电感元件的电压、电流关系
当有互感的两线圈上都有电流时，穿越每一线圈的磁 链可以看成是自磁链与互磁链之和。当自磁通与互磁通方 向一致时，称磁通相助，如图6.3所示。这种情况，交链线 圈1、2的磁链分别为
1 11 12 L1i1 Mi2