线性代数下的行列式和矩阵

线性代数下的行列式和矩阵

线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为

0 ，则称为零解。

于是我们考虑的问题是：

齐次方程组：

1.是否存在非零解，以及存在的条件

2.通解的结构与性质

3.解法

非齐次方程组：

1.是否有解，以及有解的条件是什么

2.有多少解以及对应解数量的条件是什么

3.多解的结构与性质

4.解法

行列式

二，三阶行列式

行列式的初始作用是解线性方程组！

例如：最简单的二元线性方程组

\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.

\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}

x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -

a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -

b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.

可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}

\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：

D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}

a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \

\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D

同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。这里我还记得的是，对于二阶和三阶行列式，我们可以用对角线法则方便地计算。总之，对角线法则就是:主对角线上的元素减去次对角线上的元素的乘积。

n 阶行列式

刚刚提到了对角线法则，一定要记住只有二阶和三阶行列式可以用这个法则！在这种情况下，我们需要定义一个正式的值计算公式。

由刚才二，三阶行列式的实践，我们可以推广以下规律：

1.n 阶行列式的值是 n! 个不同项的代数和，其中每项都

是不同行不同列的 n 个元素的乘积

2.每项的正负号取决于其 n 个元素的下标排列，即将元素

按照行顺序排列之后，列排列的逆序数。若逆序数为偶

数，则该项符号为正，反之为负

于是可以推出 n 阶行列式的值为：

\sum(-

1)^{\tau(p_1p_2...p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n} \\ 其中 p_1...p_n 是列排列，\tau 是其逆序数

行列式的性质

首先，明确行列式获得一个值。也就是说，如果我们对行列式的运算不会改变这个值，那么这个运算就是合法的，我们可以据此证明这些性质。

1.行列式 = 转置行列式

2.交换行列式中的两行（列），行列式的符号取反

3.若行列式中某行（列）所有元素都有一个公因子 k ，则

可以把公因子提到行列式记号之外

4.若行列式中某行（列）各元素都是两数之和，则可以把

该行列式分解为两个行列式之和

5.将行列式中的某行（列）中所有元素乘以 k 后，加到另

一行（列）上，行列式的值不变

这些性质的提出，目的无他，就是为了行列式好计算。如果直接按照定义计算 n 阶行列式，那么运算次数为 (n - 1) * n! 次，计算次数有点太多了，所以需要其他手段来化简运算。利用性质，可以把普通的行列式转化为特殊形式（例如上三角，下三角这种有规律的行列式）来简化运算。

行列式按行（列）展开

还是从二阶，三阶行列式入手，如果按照定义写出三阶行列式的计算公式，你会发现：

= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) +

a_{12}(a_{23}a_{31} - a_{21}a_{33}) + \dots \\ =

a_{11}\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} &

a_{33} \end{bmatrix} - a_{12}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} +

a_{13}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} &

a_{32} \end{bmatrix}

可以把三阶行列式简化为二阶行列式的计算！这是行列式的展开:

在 n 阶行列式中，把元素 a_{ij} 所在的行列划去之后，留下的 n - 1 阶行列式叫做元素 a_{ij} 的余子式，记

M_{ij} 。记 A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} 为元素 a_{ij} 的代数余子式。

于是我们就获得了新的行列式计算公式：

D = \sum_{k=1}^na_{ik}A_{ik} = \sum_{k=1}^na_{kj}A_{kj}

仔细观察会发现，展开所需的计算和定义是一样的，没有区别。但是，如果一行(列)包含多个零，那么展开定理可以减少运算量，所以直接展开那一行(列)就行了。

克拉默法则

如果你善于发现，你会发现行列式一直是个正方形，没错，这就是行列式的特点，所以它只能用于 m = n 情况的线性方程组，对于这一类方程，存在克拉默法则来计算解是否唯一的问题：