1的个数
小于1的无穷多个数相乘的极限
小于1的无穷多个数相乘的极限首先,我们可以考虑一个简单的例子,即当序列中只有两个数时,即{a₁, a₂}。
此时,乘积可以表示为a₁ a₂。
如果a₁和a₂都小于1,那么它们的乘积仍然小于1。
因此,两个小于1的数相乘的结果仍然是小于1的数。
接下来,我们考虑更多个数相乘的情况。
假设我们有n个小于1的数相乘,即{a₁, a₂, a₃, ..., aₙ}。
我们可以将这个乘积表示为Pₙ = a₁ a₂ a₃ ... aₙ。
如果我们继续将n增加,即考虑{n+1}个数相乘,即{a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, aₙ₊₁},我们可以将这个乘积表示为Pₙ₊₁ = Pₙ aₙ₊₁。
由于aₙ₊₁小于1,所以Pₙ₊₁ = Pₙ aₙ₊₁仍然小于Pₙ。
换句话说,每次乘以一个小于1的数,乘积都会减小。
现在,我们考虑无穷多个小于1的数相乘的情况,即{a₁, a₂, a₃, ...}。
我们可以将这个乘积表示为P = a₁ a₂ a₃ ...。
根据前面的讨论,我们知道每次乘以一个小于1的数,乘积都会减小。
因此,随着我们乘以更多的小于1的数,乘积会趋向于0。
综上所述,小于1的无穷多个数相乘的极限为0。
也就是说,当我们乘以无穷多个小于1的数时,乘积会趋向于0。
这个结论可以用数学符号表示为limₙ→∞ (a₁ a₂ a₃ ... aₙ) = 0。
需要注意的是,这个结论仅在我们考虑的数列满足一定条件时成立。
具体来说,如果数列中的项趋近于1,或者存在某些项大于1,那么这个结论可能不成立。
因此,在使用极限的概念时,我们需要确保数列满足相应的条件。
如何用1-100这100个数字组成一个九宫格使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等
筛选结果:最终筛选出符合条件的 9个数字,填入九宫格中,完成题 目要求
九宫格的排列方式:1-9、1018、19-27、28-36、37-45、 46-54、55-63、64-72、73-99
数字的顺序:按照从小到大的顺 序排列,每行三个数字,共三行
对角线上的数字之和:每条对角 线上的数字之和都相等,等于45
棋类游戏:在五子棋、围棋等 棋类游戏中,九宫格常被用作 棋盘的格子
数学教育:用于教授数学基 础概念,如加法、减法等
音乐教育:用于教授音符和 音阶,将音乐理论可视化
心理学研究:用于研究人类 认知和注意力等心理现象
九宫格的变种:除了传统的九宫格,还有多种变种,如旋转九宫格、镜像九宫格 等。
九宫格的拓展:九宫格可以拓展到其他领域,如数学、计算机科学、艺术等。
确定对角线数字的方法:通过计算 和推理,确定九宫格对角线上的数 字。
举例说明:以1-9这9个数字为例, 通过计算可以确定对角线上的数字 为5。
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对角线数字的特点:对角线上的数 字之和相等,且每行、每列的数字 之和也相等。
注意事项:在确定对角线数字时,需 要注意数字的排列顺序,以保证每行、 每列和对角线上的数字之和相等。
特殊情况:如果九宫格中有相同 的数字,则它们必须位于同一行 或同一列
数字的选择:1-100中选取9个数字,每个数字只出现一次
排列方式:采用旋转、对称等方式排列数字,使得每行、每列和对角线上的数字之和相 等
组合技巧:利用数字的特性,如奇偶性、大小关系等,进行组合,使得组合具有规律性 和美感
实例展示:展示一些成功的数字组合,并分析其特点
由1-100这100个数字组成
试题1提高组C++试题及答案
试题一提高组 C++语言一、单项选择题(共 10 题,每题 2 分,共计 20 分;每题有且仅有一个正确选项)1. 下列四个不同进制的数中,与其它三项数值上不相等的是()。
A. (269)16B. (617)10C. (1151)8D. (1001101011)22. 下列属于解释执行的程序设计语言是()。
A. CB. C++C. PascalD. Python3. 中国计算机学会于()年创办全国青少年计算机程序设计竞赛。
A. 1983B. 1984C. 1985D. 19864. 设根节点深度为 0,一棵深度为 h 的满 k(k>1)叉树,即除最后一层无任何子节点外,每一层上的所有结点都有 k 个子结点的树,共有()个结点。
A. (k h+1 - 1) / (k - 1)B. k h-1C. k hD. (k h-1 ) / (k - 1)5. 设某算法的时间复杂度函数的递推方程是 T(n) = T(n - 1) + n(n 为正整数)及 T(0) = 1,则该算法的时间复杂度为()。
A. O(log n)B. O(n log n)C. O(n)D. O(n2 )6. 表达式 a * d - b * c 的前缀形式是()。
A. a d * b c * -B. - * a d * b cC. a * d - b * cD. - * * a d b c7. 在一条长度为 1 的线段上随机取两个点,则以这两个点为端点的线段的期望长度是()。
A. 1 / 2B. 1 / 3C. 2 / 3D. 3 / 58. 关于 Catalan 数 Cn = (2n)! / (n + 1)! / n!,下列说法中错误的是()。
A. Cn 表示有 n + 1 个结点的不同形态的二叉树的个数。
B. Cn 表示含 n 对括号的合法括号序列的个数。
C. Cn 表示长度为 n 的入栈序列对应的合法出栈序列个数。
D. Cn 表示通过连接顶点而将 n + 2 边的凸多边形分成三角形的方法个数。
统计1列单元格 某数字的个数 公式
Excel技巧:使用公式统计单元格内某数字
的个
在Excel中,我们经常需要统计某个列中特定数字的出现次数,
如统计销售数据中出现的不同产品编号的个数等。
本文将介绍一个简
单易懂的公式,帮助大家快速统计单元格内某数字的个数。
首先,我们需要打开Excel电子表格,并在第一列输入一组数字,如下图所示:
接着,我们在第二列中输入需要统计的数字,如数字“3”,然后
在第三列中输入以下公式:
=SUMPRODUCT((A1:A10=B1)*1)
此公式的含义是,首先判断A1到A10这一列中的数字是否等于B1中的数字“3”,是则返回1,否则返回0。
然后将这些1和0相加,
即可统计出单元格中数字“3”的个数。
最终结果如下图所示:通过这个简单的公式,我们可以方便地统计单元格中某个数字的
个数,并快速处理大量数据,提高工作效率。
四年级奥数:加乘原理(一)
四年级奥数:加乘原理(一)1,2,3,…,299,300,这300个自然数中,完全不含有3的自然数共有_____个.【解析】 可以先计算出来含有3的自然数的个数,然后用300减去含有3的自然数的个数,就可以得到完全不含有3的自然数的个数. 1-99中,含有数字3的数有:9+10=19(个)历届杯赛考试中,对计数问题的考察是必不可少的.这部分的题目有一定的方法,目的是考察大家对各类问题的方法的应用能力.要做好这些题目,就需要同学们掌握计数问题的各类方法,枚举法是一种很重要的数学思考方法,是大家必须掌握的一种计数方法.加乘原理的方法也是解决计数问题的常用方法,帮助我们提高解决问题的准确率.名师点题例1知识概述1. 计数问题类型:① 图形计数:线段、三角形、长方形、正方形计数; ② 应用题类型的计数问题. 2. 解决计数问题常用的方法:① 分类计数(加法原理):如果完成一件工作有几类不关联的方式,在每一类方式中又各有几种不同的方法,使用其中任何一种方法都能独立完成这件工作的不同方法总数,就是完成这件工作的各类方法的总数之和;② 分步计数(乘法原理):如果完成一件工作有几个相关的步骤,要依次完成这几个步骤,这件工作才能完成,而每一个步骤各有几种不同的方法去完成,那么,完成这件工作的方法总数,就是完成这件工作的各个步骤的方法种数之积.100-199中,含有数字3的数有19个200-300中,含有数字3的数有19+1=20(个)含有3的自然数的个数是19+19+20=58(个)完全不含有3的自然数共有:300-58=242(个)例2从A点沿直线走最短的路径到B点,共有多少种不同的走法?【解析】标数法解图表类题型例3从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路,从丙地到丁地也有2条路.问:从甲地经乙、丙两地到丁地,共有多少种不同的走法?【解析】用A1,A2表示从甲地到乙地的2条路,用B1,B2,B3表示从乙地到丙地的3条路,用C1,C2表示从丙地到丁地的2条路(见下页图).从甲到丁是分三步走的:第一步甲到乙有2种方法,第二步乙到丙有3种方法,第3步丙到丁有2种方法.对于第一步的每种方法,第二步都有3种方法,所以从甲到丙有2×3=6(种)方法;对从甲到丙的每种方法,第三步都有2种方法,所以不同的走法共有2×3×2=12(种).A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2【巩固拓展】1、如图中共有几个三角形?【解析】根据数线段的方法得:(6+5+4+3+2+1)×2+(3+2+1)×2+6+6+1=67(个)2、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何点都不能重复经过.问:这只甲虫共有几种不同走法?【解析】第一步,从A点到C点,有4条路线;第二步C点到B点,有4条路线.由乘法原理,共有4×4=16种不同的走法.3、从A到B,要求每一步都是向右、向上或者斜上方,问有多少种不同的走法?【解析】例1小明要登上10级台阶,他每一步只能登1级或2级台阶,他登上10级台阶共有多少种不同的登法?【解析】登上第1级台阶只有1种登法.登上第2级台阶可由第1级台阶上去,或者从平地跨2级上去,故有2种登法.登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去,或者从第2级台阶上去,所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和,共有1+2=3(种)……一般地,登上第n级台阶,或者从第(n—1)级台阶跨一级上去,或者从第(n —2)级台阶跨两级上去.根据加法原理,如果登上第(n—1)级和第(n—2)级分别有a种和b种方法,则登上第n级有(a+b)种方法.因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法,就可以依次推算出登上以后各级的方法数.由登上第1级有1种方法,登上第2级有2种方法,可得出下面一串数:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.其中从第三个数起,每个数都是它前面两个数之和.登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个,即89.也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数(见下图).【巩固拓展】有15根火柴,如果规定每次取2根或3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?【解析】为了便于理解,可以将本题转变为“上15级台阶,每次上2级或3级,共有多少种上法?”所以本题的解题方法与例1类似(见下表).取完15根火柴共有28种不同取法.例2右图中每个小方格的边长都是1.一只小虫从直线AB上的O点出发,沿着横线与竖线爬行,可上可下,可左可右,但最后仍要回到AB上(不一定回到O点).如果小虫爬行的总长是3,那么小虫有多少条不同的爬行路线?【解析】如果小虫爬行的总长是2,那么小虫从AB上出发,回到AB上,其不同路线有6条(见左下图);小虫从与AB相邻的直线上出发,回到AB上,其不同路线有4条(见右下图).实际上,小虫爬行的总长是3.小虫爬行的第一步有四种情况:向左,此时小虫还在AB上,由上面的分析,后两步有6条路线;同理,向右也有6条路线;向上,此时小虫在与AB相邻的直线上,由上面的分析,后两步有4条路线;同理,向下也有4条路线.根据加法原理,共有不同的爬行路线6+6+4+4=20(条)【巩固拓展】下图中每个小方格的边长都是1.有一只小虫从O点出发,沿图中格线爬行,如果它爬行的总长度是3,那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条?【解析】枚举法:上下、下上、左左、右右、左右、右左共6种例3用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?【解析】组成一个三位数要分三步进行:第一步确定百位上的数字,除0以外有5种选法;第二步确定十位上的数字,因为数字可以重复,有6种选法;第三步确定个位上的数字,也有6种选法.根据乘法原理,可以组成三位数:5×6×6=180(个)【巩固拓展】用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数,并把这些六位数从小到大排列,第505个数是__________.【解析】把这些数按照从小到大排列.当最高位是1时,共有5×4×3×2×1=120(个);当最高位是2、3、4的时候都各有120个,所以共有120×4=480(个).505-480=25(个).剩下的25个都是最高位为5的数,当十万位上是5,万位是0的时候,这样的数共有4×3×2×1=24(个).所以第505个数的万位为1,它是510234.下图,把A,B,C,D,E 五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色,那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.【解析】从接触面最多的入手,再按照相邻原则依次考虑,从C 开始考虑,有4种着色方法.C 着色后,A 有3种着色方法,A着色后,B 有2种着色方法,B 着色后,D 有2种着色方法,D 后E 也有2种着色方法. 所以共有4×3×2×2×2=96种【巩固拓展】下图,把A,B,C,D,E 五部分用五种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色,那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.【解析】从接触面最多的入手,再按照相邻原则依次考虑,从A 开始考虑,有5种着色方法. B 和A 不同色有4种着色方法,C 和A,B 不同色,有3种着色方法,B 和D 同色时,D 有1种选择,E 有3种选择,当B,D 不同色时,D 有2种选择,E 有2种选择,因此需要对B,D 着色情况进行分类所以共有5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=420种(第11届中环杯初赛)如图,35个边长为1厘米的小正方形组成一个5厘米×7厘米的长方形,则图中所有正方形的周长和为( )厘米.【解析】图形计数,巧求周长.周长为4的正方形有5×7=35个,周长为8的有4×6=24个,周长为12的有3×5=15个,周长为16有2×4=8个,周长为20的有1×3=3个.所以周长和为4×35+8×24+12×15+16×8+20×3=140+192+180+128+60=700.(第九届“中环杯”四年级决赛)6个人排成一排,甲当排头,乙不当排尾,共有多少种排法?【解析】乘法原理6个人排成一排,甲当排头,乙不当排尾,共有14432196⨯⨯⨯⨯⨯=种排法例2例1例3(第11届中环杯决赛)如图,某市的街道构成正方形网格,邮递员要从 A 经过P 到 B.沿着最短路线走,共有__________种不同的走法.【解析】标数法:必须经过P点,从A到P下面的点:2种走法从P点上面的点到B:4种走法一共有2×4=8种走法例4下图是中国象棋棋盘,如果两人各有一个“车”的棋子,它们不在同一行,也不在同一列就不会被吃掉,那么总共有多少种不同的放置方法使两“车”不相遇.【解析】设甲方先放棋子,可任意放置,故甲方有10×9=90种.对应甲的第一种方法,乙方按照规定必须去掉甲方棋子所在的行和列,所以乙方有9×8=72种甲方共有90种方法,而乙方都有对应他的72种方法因此总共有90×72=6480种不同的放置方法.例5下图中,要从A走到B,但不能经过C,D两点,如果只能向右,向上,或者斜上方走,一共有多少种不同的走法?BCDA【解析】利用标数法每一点的走法数等于它的左方和下方两个点的方法数的和.1 4 4 7 11 171 3 0 3 4 61 2 3 0 1 2A 1 1 1 1 1答案是17种.例6(小机灵杯精选考题)从1,2,3,4,5,6中选取若干个数,使得它们的和是3的倍数,但不是5的倍数,那么共有多少种不同的取法?【解析】利用标数法先满足是3的倍数:取1个数,有2种方法取2个数,有2*2+1=5种取3个数,有2*2*2=8种取4个数,有5种取5个数,有2种取6个数,有1种共有2+5+8+5+2+1=23种其中再减去5的倍数,也即15的倍数取3个数,有1种(和为15)取4个数,有2种(考虑另两个数的和为6)取5个数,有1种共有4种所以满足条件的是23-4=19种1、如下图中的每个小方格都是面积为1的正方形,那么面积为2的长方形有几个?【解析】用a×b表示矩形的类型,其中a表示矩形的水平长度,b表示矩形的竖直长度.图中每行有4个2×1的矩形,共4行;图中每列有3个1×2的矩形,共5列.所以,图中面积为2的长方形共有4×4+3×5=31(个).2、一排房有五个房间,在五个房间中住着甲、乙、丙、丁,规定每个房间只许住一个人,并且只允许两个人住的房间挨在一起,第三个人的房间必须和前两个人隔开,有几种住法?【解析】先判断出必须是中间的房间空着,然后有4×3×2×1=24种.3、用0,1,2,3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数?【解析】个位数字,只有0、2、4三种可能.如果个位是0,有5×4=20(个)如果是个位是2、4,有2×4×4=32(个)所以,共有20+32=52(个)4、(第12届中环杯初赛)小明要从学校出发去少年宫参加活动,下图是学校到少年宫的路线图,直线表示可以通行的道路,如果小明要尽快到达少年宫,他一共有多少条不同的最短路线可以走?【解析】利用标数法一共有15条最短路线.5、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数?②三位偶数?③没有重复数字的三位偶数?④百位为8的没有重复数字的三位数?⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数?【解析】①8×8×8=512(个);②4×8×8=256(个);③4×7×6=168(个);④1×7×6=42(个);⑤1×3×6=18(个).6、一个篮球队,五名队员A、B、C、D、E,由于某种原因,C不能做中锋,而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上.问:共有多少种不同的站位方法?【解析】4×4×3×2×1=96(种).7、(第13届中环杯决赛)如图所示的网格中,要从A到B,方向只能向右或向上,不能经过C以及D,有多少条不同的路径.【解析】利用标数法一共有18条最短路线.。
第一节:任何2位数乘以11或111,或n个1的数
第一节:任何2位数乘以11或111,或n个1的数先谈谈乘以111、另1 个乘数的两位和小于10如:11×34 速算的方法,把34分开两边,中间插入两个数的和。
3[3+4]4即是374 11×45速算的方法,把45分开两边,中间插入两个数的和。
4[4+5]5即是495 2、另1个乘数的两位数和等于或大于10如:11×58 速算的方法,把5和8分开两边,中间插入两个数的和,5[5+8]8,但因为中间5+8大于10,所以需要进位。
即变63811×79 速算的方法,把7和9分开两边,中间插入两个数的和,7[7+9]9,但因为中间7+9大于10,所以需要进位。
即变868再谈谈乘以111,或n个1的数1、另1 个乘数的两位和小于10在方法是与11是相似的,另一个数分开两边,中间(加上1个数减1)次个另一个数2个数和。
就是如果3个1的,中间加3-1=2次另一个数2个数和。
如是是4个1,中间则加4-1=3次另一个数2个数和。
111×24=2[2+4] 2+4]4=2664;1111×36=3[3+6] [3+6] [3+6]6=39996;111111×35=3[3+5] [3+5] [3+5] [3+5] [3+5]5=38888852、另1 个乘数的两位和小于10若另一个的和大于10,如111111×48=4[4+8] [4+8] [4+8] [4+8] [4+8]8=5333328,这是协及到4+8后进位的问题,结果的开头数是另一个数十位数的数+1.结果的中间是2个数和的个位数+1,有多少个呢?若是n个1,n-2个,结果的十位数是那个数的和的个位数,结果的个位数是那个数的个位数。
例如:11111111×86,首先8+6是大于10,所以结果的开头数是8+1=9;结果的中间是8+6=14的个位数4+ 1=5,有多少个呢?因有8个1,所以就有8-2个6;结果的十位数是8+6=14的个位数4;结果的个位数是6,所以相乘的结果是955555546.111×49=5439;11111×87=966657;111111×75=8333325;1111111×96=106666656配套练习:11×24= 27×111= 11×94= 38×11111=111×64= 1111×39= 111111×85= 1111×42=1111×76= 74×111111= 11111×67= 81×11111111=。
小于1的无穷多个数相乘的极限
小于1的无穷多个数相乘的极限假设我们有一个数列 {a₁, a₂, a₃, ...},其中每个元素aₙ 都是小于1的实数。
我们想要求这个数列的乘积的极限。
首先,我们可以将这个乘积表示为一个无穷级数的形式,即: P = a₁ a₂ a₃ ...接下来,我们可以考虑这个乘积的部分乘积序列 {P₁, P₂, P₃, ...},其中 Pₙ 表示前 n 个数相乘的结果。
即:P₁ = a₁。
P₂ = a₁ a₂。
P₃ = a₁ a₂ a₃。
...我们可以观察到,随着 n 的增加,每个部分乘积 Pₙ 都在逐渐减小。
因为每个 aₙ 都小于1,所以每个部分乘积 Pₙ 都小于前一个部分乘积 Pₙ₋₁。
换句话说,这个数列是递减的。
根据数学中的单调有界原理,递减的数列必然存在极限。
因此,我们可以得出结论,当 n 趋向无穷大时,部分乘积序列 {P₁, P₂, P₃, ...} 收敛到一个极限 L。
即lim(n→∞) Pₙ = L.现在我们来计算这个极限 L。
由于每个部分乘积 Pₙ 都是小于1的数相乘,我们可以将其写成指数的形式:Pₙ = a₁ a₂ a₃ ... = e^(ln(a₁) + ln(a₂) +ln(a₃) + ...)。
其中 ln 表示自然对数。
因此,我们可以将 Pₙ 转化为指数和的形式。
现在,我们可以使用级数的性质来计算这个指数和。
根据级数的定义,我们可以将其写成幂级数的形式:e^(ln(a₁) + ln(a₂) + ln(a₃) + ...) = e^(∑(ln(aₙ)))。
接下来,我们需要考虑级数∑(ln(aₙ)) 是否收敛。
由于每个aₙ 都小于1,所以 ln(aₙ) 是负数。
因此,我们可以使用数学中的幂级数收敛判别法来判断级数的收敛性。
根据幂级数收敛判别法,当幂级数的通项趋于零时,级数收敛。
在这种情况下,ln(aₙ) 趋于零意味着 aₙ 趋于1。
综上所述,当 ln(aₙ) 趋于零时,级数∑(ln(aₙ)) 收敛。
excel表格中计算一行数据中1的总个数的公式
在Excel中,我们常常需要对一行数据中的1的总个数进行计算,这在统计、数据分析和报表制作中都是很常见的需求。
为了高效地完成这一任务,我们需要掌握相应的公式和技巧。
在Excel中,计算一行数据中1的总个数可以使用SUM函数结合IF 函数来实现。
我们需要使用IF函数将数据中的1和非1分开,然后再利用SUM函数进行求和,即可得到一行数据中1的总个数。
具体而言,我们可以使用以下公式来实现:```excel=SUM(IF(A1:F1=1,1,0))```其中A1:F1表示需要计算的数据所在的单元格范围。
这个公式的原理是,先利用IF函数将数据中的1和非1分别转换为1和0,然后再使用SUM函数来对整个范围进行求和,即可得到1的总个数。
需要注意的是,这个公式是一个数组公式,所以在输入完公式后,需要按下Ctrl+Shift+Enter来确认,而不是普通的Enter键。
我们还可以通过使用COUNTIF函数来更简单地实现统计一行数据中1的总个数。
COUNTIF函数是Excel提供的一个非常有用的统计函数,可以快速地实现对指定范围内满足条件的数据进行统计。
具体而言,我们可以使用以下公式来实现:```excel=COUNTIF(A1:F1,1)```这个公式的原理是,利用COUNTIF函数在指定范围内统计数值等于1的数据个数,从而得到1的总个数。
以上就是在Excel中计算一行数据中1的总个数的两种常用方法。
通过掌握这些公式和技巧,我们可以更高效地进行数据分析和统计工作。
总结回顾:在本文中,我们介绍了在Excel中计算一行数据中1的总个数的常用公式和技巧。
通过使用SUM函数结合IF函数或者直接使用COUNTIF 函数,我们可以快速准确地实现这一统计需求。
掌握这些方法,可以帮助我们在数据分析和报表制作中更加高效地进行工作。
个人观点和理解:在实际工作中,我们经常需要对数据进行统计和分析。
掌握Excel中各种统计函数和技巧,能够帮助我们更快速、准确地完成这些任务。
c++二进制中一的个数
c++二进制中一的个数
C++中计算一个二进制数中1的个数可以使用以下方法:
1. 声明一个变量count,用于记录1的个数,初值为0。
2. 使用一个循环遍历二进制数的每一位,直到遍历完所有位。
3. 判断当前位是否为1,如果是则count加1。
4. 将二进制数右移一位,即将当前位移到下一位,并继续进行下一次遍历。
5. 循环结束后,count即为二进制数中1的个数。
下面是示例代码:
```c++
#include <iostream>
// 计算二进制数中1的个数
int countOnes(int num) {
int count = 0; // 记录1的个数
while (num != 0) { // 循环遍历每一位
if (num & 1) {
count++; // 如果当前位为1,则count加1
}
num = num >> 1; // 右移一位
}
return count;
}
int main() {
int num;
std::cout << "请输入一个二进制数:";
std::cin >> num;
int ones = countOnes(num);
std::cout << "二进制数中1的个数为:" << ones <<
std::endl;
return 0;
}
```
以上代码通过将二进制数逐位右移来判断每一位是否为1,并累加到count中,最终得到1的个数。
小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
在计算小于10000的正整数中含有数字1的数的个数时,我们可以首先从最简单的情况开始考虑,逐步深入挖掘这个问题的各种可能性。
1. 个位数中含有数字1的数在1-9的范围内,只有个位数为1的数满足条件,即数字1本身,共计1个。
2. 十位数中含有数字1的数在10-99的范围内,十位数为1的数包括10-19,共有10个;个位数为1的数包括11-19,共有9个。
故十位数中含有数字1的数共计19个。
3. 百位数中含有数字1的数在100-999的范围内,百位数为1的数包括100-199,共有100个;十位数为1的数包括110-119、210-219、310-319、 (910)919,每个区间共有10个,共计90个;个位数为1的数包括101-109、111-119、121-129、...、991-999,每个区间共有10个,共计90个。
故百位数中含有数字1的数共计280个。
4. 千位数中含有数字1的数在1000-9999的范围内,千位数为1的数包括1000-1999,共有1000个;百位数为1的数包括1100-1199、2100-2199、3100-3199、...、9100-9199,每个区间共有100个,共计900个;十位数为1的数包括1010-1019、1110-1119、1210-1219、 (9910)9919,每个区间共有10个,共计900个;个位数为1的数包括1001-1009、1011-1019、1021-1029、...、1991-1999,每个区间共有10个,共计900个。
故千位数中含有数字1的数共计3700个。
根据以上计算,小于10000的正整数中含有数字1的数的个数共计5000个。
这个结论呼应了数学世界里关于数字1的一些有意思的规律。
我们不难发现,小于10000的正整数中含有数字1的数的个数占比是很大的,这在一定程度上反映了数字1在自然数中的特殊地位。
在数物体的时候,用来表示物体个数的数1,2,3,…,叫做_
1、在数物体的时候,用来表示物体个数的数1,2,3,…,叫做_____________________.2、在正整数1,2,3,…,的前面添上“–”号,得到的数– 1,– 2,– 3,…,叫做_____________.3、零是正整数还是负整数?____________________________________________.4、____________________________统称为自然数。
______________________统称为整数。
5、整数p除以整数q,如果除得的商正好是整数而没有余数,我们就说__________________或______________________________.6、整除的条件是(1)_____________________________;(2)________________________.7、如果整数s能被整数t整除,s就叫做t的______________;t叫做s的______________.8、倍数和因数是相互________________的。
9、一个数的因数的个数是___________________的,其中最小的因数是________________,最大的因数是______________________.10、一个数的倍数的个数是_________________的,其中最小的倍数是___________________.1、判断题:(1)一个正整数的倍数一定能被它的因数整除。
()(2)一个正整数的因数至少有两个。
()(3)个位上是零的数一定能被2或者5整除。
()(4)自然数中,除了2以外,所有的偶数都是合数。
()(5)0能被任何整数整除。
()2、填空题:(1)最小的自然数是___________;最小的正整数是_________;最大的负整数是_________. (2)能整除12的数有__________________________________________________________. (3)100以内能同时被3,5整除的最大奇数是______________,最小偶数是_____________. (4)把下列算式的序号填入合适的圈内:①65÷13 = 5;②8÷16 = 0.5;③17÷3 = 5……2;④3.5÷3.5 = 1;⑤8÷8 = 1;⑥14÷2.8 = 5除尽整除(5)已知A = 2×2×3×5,那A的全部因数有____________________________________.3、解答题:(1)一个数既是360的因数,又是18的倍数,这个数可以是多少?(2)一个数只有两个因数,且这个数比25小,试求这个数。
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求1的个数的算法与性能分析摘要本课题研究的是给定十进制数N的情况下,求出现1的个数的算法,算法来源《算法之美》。
本文首先依据遍历N个数的思路,通过分析,给出解决问题的算法;然后,在此基础上,提出效率更高的算法,从而,弥补了当N足够大时,运行效率低的不足。
最后,将其与之前的算法通过Visual Studio 2010软件进行性能分析。
对比两个算法,通过性能分析,比较两者在运行时间和效率上的差异。
关键字:算法,1的个数,性能分析AbstractWe study the algorithms which under the condition of given decimal number N, and find the number of 1. The algorithm from《The Beauty of algorithm》.This paper based on the traveral N number of ideas, through the analysis, we can give the algorithm to solve the problem;Then the efficient algorithm is put forward in order to make up of the lack of low operating efficiency when N is large enough. Finally, we can analyze the previous algorithm through the Visual Studio 2010. Through performance alalysis, we can compare the two algorithms of the difference between running time and efficiency.Key words: Algorithm, The number of 1, Performance analysis1.引言一直以来,算法被设计用来解决各种问题,它规定了解决问题的运算序列。
算法作为一门独立的学科,主要分为设计与分析。
最初,人们对于算法的要求仅仅是设计出来可以用来解决问题,但是,随着人们对高效率的渴望,人们不仅希望算法可以用来解决问题,并且可以高效、快速的解决。
因此,开启了对算法的分析改进的时代。
一般而言,描述算法优劣的指标主要包括正确性,可读性,健壮性,时间复杂度和空间复杂度。
其中,正确性,可读性,健壮性是我们在设计算法时,就应该保证实现的功能。
而对算法的空间以及时间的复杂性研究更多的时候是分析已有的算法,通过改进算法,对其效率进行分析。
2.问题的描述给定一个10进制的数N,写下从1到N的所有数中,出现1的次数。
要求写一个算法,求函数()f N,返回从1到N中出现的1的个数。
例如,当N=5时,写下一组数为1,2,3,4,5,那么,出现1的个数为1;同理:当N=12时,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,那么,出现1的个数为5。
3.算法的分析3.1遍历法通过分析得出,解决该问题的最简单的算法就是从1开始遍历到N,将其中每一个数中含有1的个数加起来,便可得到出现1的个数。
算法如下:ULONGLONG Count1InAInteger(ULONGLONG n){ULONGLONG iNum=0;while(n!=0){iNum+=(n%10==1)?1:0;n/=10;}return iNum;}ULONGLONG f(ULONGLONG n){ ULONGLONG iCount=0;for (ULONGLONG i=1;i<=n;i++){iCount+=Count1InAInteger(i);}return iCount;}算法的主题思路是首先定义一个无符号的超长整型的数据类型,通过设计函数()f n 实现从1到N 的遍历过程,其中,函数Count1InAIntege 用来判断所经历的的数是否含有数字1,最后,通过调用函数Count1InAIntege 实现最终的目标。
以上代码只要加入简单的主函数,就可以运行得到所要的结果。
主函数如下所示:void main(){ULONGLONG n=10000;f(n);printf("f(n)=%d\n",f(n));getchar();}以上的主函数,我们取N=10000为例,当然也可以设置输入N 。
从以上的代码,可以看出,算法虽然被设计的简单易读,但是,在运行过程中,随着N 的不断增大,遍历的数也越来越多,这给空间和时间上都带来了一定的负担,虽然随着科学技术的发展,计算机的内存空间不断的扩充,我们可以暂且忽略这一因素。
但是,时间上的效率是我们不得不关注的问题。
随着N 的增大,算法的运行效率越来越低。
因此,我们必须设计一种新的算法,尽量避免遍历N 个数的过程,从而,提高算法的运行效率。
3.2改进的算法基于以上算法的缺点,我们不再通过遍历N 个数来统计其中含有数字1的个数,而是,试图探索小于N 的数在每一位上可能出现数字1的次数,然后,通过求和得到最终的结果。
下面我们对每一位可能出现数字1的次数进行讨论,力求得出我们想要的规律。
ⅰ.当N 只是一位数时,即010N ≤<,那么,显然当N=0时,()0f N =;而当010N <<时,()1f N =。
ⅱ.当N为2位数的时,那么各位和十位上都有可能为1。
我们发现,各位上出现1的个数不仅与个位上的数有关,还与十位上的数有关。
同样,十位上出现1的个数不仅与十位上的数有关,也与个位上的数有关。
下面分情况讨论:①当个位上的数字等于0时,十位上的数等于个位上可能出现的1的个数;②当个位上的数字大于或等于1时,个位上可能出现的1的个数等于十位上的数字加1(实际上所加数字是1);③当十位上数字等于1时,十位上出现1的次数等于个位上的数字加1(实际上所加数字为10);④当十位上数字大于1时,十位上出现1的次数等于10,即10-19。
以上分析得出,当N为两位数时,十位上出现1的个数由个位决定,个位上出现1的个数由十位决定。
我们的思想是通过分析各个位上可能出现的1的次数,来设计相应的算法,那么同理,可以分析3位数,4位数以及更多位数出现数字1的总个数。
我们设N=abcde,我们举例分析百位上出现1的次数,当然读者可以同理分析其他位上的数字1出现的次数。
如果百位上的数字为0,那么,百位上出现数字1的次数由高位决定。
因为求百位上出现数字1的个数就是要求同时满足小于N的并且百位上出现数字1的数的集合,即高位数字100⨯。
如果百位上的数字为1,那么,百位上出现数字1的次数既有高位决定,也由低位决定。
和以上的分析一样,除了具有高位数字100⨯个1出现之外,还需要加上满足大于高位数字100⨯,小于N并且百位上出现数字1的数的集合。
如果百位上的数字大于1,那么,百位上出现1的次数仅由高位决定,即存在(高位数字+1)100⨯个数字1出现。
以上我们只是分析百位上出现数字1的个数的情况,同理,可以分析其他位上的出现数字1的次数的情况。
因此,依据以上的规律,给出代码如下:LONGLONG Sum1s(ULONGLONG n){ULONGLONG iCount=0;ULONGLONG iFactor=1;ULONGLONG iLowerNum=0;ULONGLONG iCurrNum=0;ULONGLONG iHigherNum=0;while(n/iFactor!=0){iLowerNum =n-(n/iFactor)*iFactor;iCurrNum=(n/iFactor)%10;iHigherNum=n/(iFactor*10);switch(iCurrNum){case 0:iCount+=iHigherNum*iFactor;break;case 1:iCount+=iHigherNum*iFactor+iLowerNum+1;break;default:iCount+=(iHigherNum+1)*iFactor;break;}iFactor*=10;}return iCount;}以上代码设计简单,它表示首先建立函数Sum1s,初始化变量,然后,利用循环语句变化当前所在的位,根据以上分析的结果,运用一个Switch语句,判断各位上存在数字1的个数,最后结束,输出结果。
加入主函数如下:void main(){int n=123;Sum1s(n);printf("Sum1s=%d\n",Sum1s(n));getchar();}4.算法的结果与性能分析针对遍历法和改进后的方法,假设N=10000,我们通过Visual Studio 2010运行后,得出如下结果:遍历法运行结果图4.1改进后的算法运行结果图4.2从以上结果,我们可以看出,两种算法在解决问题上都是可行的,当输入N=10000时,它们具有相同的运行结果。
为了更加清楚的了解两个算法在运行效率上的差异,我们启动了Visual Studio 2010自带的性能分析,分别分析当N=10000,N=1000000,N=100000000时,运行的总时间以及CPU使用百分率,以下是各种情况下的分析报告:N=10000(遍历法)图4.3N=10000(改进的算法)图4.4对比图4.3和图4.4可以看出当N=10000时,改进的算法在运行时间上明显优于遍历法,运行时间几乎提高了37倍之多,而CPU使用百分率表示着系统资源的调取情况,从图表中,显然可以看出,改进后的算法在最后的几秒内CPU 使用百分比几乎为0,这表示改进后的算法很快捷地完成了运算。
我们还依次分析了当N=1000000,N=100000000时,运行时间和CPU使用百分比。
如图4.5-4.8所示。
N=1000000(遍历法)图4.5N=1000000(改进的方法)图4.6N=100000000(遍历法)图4.7N=100000000(改进的方法)图4.8以上数据表明,通过避免遍历N个数的方法解决该问题,运行效率明显提高,并且随着N的不断增大,时间上的差异越来越明显。
当N=100000000时,运行时间竟然提高了将近15万倍。
此外,在分析过程中,我们还发现,两个算法在占用最多独占应用程序时间的函数上的差异,如图4.9和图4.10所示。
图4.9图4.10图4.9表明,因为f函数被调用并且调用了其他的函数,因此,它的独占百分比高达43.06%,同样的,图4.10表明,printf函数在运行时所占时间百分比很高,这在一定程度上体现了各自算法的结构以及各个函数在算法中所占的比重。