概率论第1章3-6
概率第一章
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
概率论第一章第六节
(2) P( A1 A2
An )
1 P(A1 A2
An )
1 P( A1 A2 An )
A1 A2 An独立
A1 A2 An独立
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ).
9
例1 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的 概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将 密码译出的概率是多少？
2
2
P( AB) 0，P( A)P(B) 1 ,
4
由此可见两事件互斥但不独立.
二者之间没 有必然联系
B
AB
AS
B AS
若P( A) 0 , P(B) 0 , A，B相互独立与互不相容
不能同时成立.
20 返回
为p , p 1 2 . 问对甲而言, 采取三局二胜制有利,
还是五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜 ,
胜局情况可能是 :
“甲甲”,“甲乙甲”;“乙甲甲”,
设Ai :“甲第i局胜”(i 1, 2, 3), 设A :“甲最终胜”,
则 A A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3
p pp
纯 纯纯
H1： 不纯 纯 纯
q pp
纯 纯纯
p 1 0.01 0.99,
q 1 0.95
H2：不纯 不纯 纯
q qp
纯 纯纯
H3： 不纯 不纯 不纯
q qq
纯 纯纯
0.05.
P(H0)
C936 , C3
100
P(H3 )
C43 C3
100
,
P( H1 )
C926C41 C3
100
,
P( H2 )
《概率论》第1章 事件与概率
25/27
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
第一章 事件与概率
3/27
在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定 发展,而且在人口统计、保险业、误差理论、天文学等自 然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用 方 面 作 出 重 要 贡 献 的 数 学 家 有 雅 格 布 · 努 利 (Jakob 伯 Bernoullii),丹尼尔· 伯努利(Daniel Bernoullii), 棣莫弗(De Moivre), 拉 普 拉 斯 (pace), 欧 拉 (L.Euler), 贝 叶 斯 (T.Bayes), 蒲 丰 (G.Buffon), 高 斯 (F.Gauss), 泊 松 (S.Poisson),布尼亚可夫斯基 (V.Bunjakovskii),切比雪夫 (Chebyshev), 马 尔 可 夫 (A.Markov), 李 雅 普 诺 夫 (A.Lyapunov)等. 尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多 成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚 至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础.
4/27
凯恩斯主张把任何命题都看作事件,例如“明天将下 雨”,“土星上有生命”等等都是事件,人们对这些事件的 可信程度就是概率,而与随机试验无关,通常称为 主观概 率. 米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限, 而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通 常称为客观概率.
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
《概率论》第1章§6独立性
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
伊藤清概率论第一章
例如，由 R 的全体区间构成的族所生成的完全加法族为 Borel
集合族．再如，端点为有理数的全体区间构成的族也生成同一
个 Borel 集合族．R 上的完全加法族有很多种，但是 Borel 集合
族是最有用的一个．
将空间 Ω 与其子集构成的一个完全加法族 F 结合来考虑
时，所产生的序偶 (Ω, F ) 称为可测空间. 然而，当 Ω = R 时，通
4 第 1 章 概率论的基本概念
的测度 P ，称为 (Ω, F ) 上的概率测度. 对于 E ∈ F ，称 P (E) 为 E 的概率或 E 的P -测度.
将 Ω, F , P 一起考虑时，所产生的序偶 (Ω, F , P ) 称为概 率空间.
§2 概率空间的实际意义
针对想理解后面出现的定理含义的读者，这里有必要对前 一节定义的抽象概率空间在实际随机现象研究中的应用加以说 明，仅对推理感兴趣的读者另当别论.
k=1
3◦ 属于 F 的集合的余集也属于 F ，即若 E ∈ F ，则
2 第 1 章 概率论的基本概念
Ω−E ∈ F．
利用这三个条件，我们可以推出下列结论.
4◦ 空集 (今后用 ∅ 表示) 也属于 F ．事实上，在 3◦ 中取
E = Ω 即可.
∞
5◦ 如果 E1, E2, E3, · · · ∈ F , 则 Ek ∈ F .
这个等式称为有限可加性. 以此类推，仅依靠形式的推理是不能导出完全可加性的. 将
概率的完全可加性作为基础来假设，是数学上的理想化模式. 你 渐渐地便能理解这种理想化不是与实际相悖的，反而是与其一 致的.
综合以上三个步骤的分析便获得概率空间 (Ω, F , P ).
§3 概率测度的简单性质
第一章概率论的基础知识3-45学分
随机事件
二、样本空间
1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S（ Ω ） . 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点,记为e （ ω ）. 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事 件,记为{e} （ {ω} ）.
请给出E1-E7的样本空间
三、随机事件
五、事件的运算
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、德.摩根(De Morgan)律：
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
交变并，并变交，最后加补
例2
甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹， 以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标， 试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
A1 : “至少有一人命中目标 ” :
A B C
A2 : “恰有一人命中目标” : ABC ABC ABC A3 : “恰有两人命中目标” : ABC ABC ABC A4 : “最多有一人命中目标 ” : A5 : “三人均命中目标” :
i 1
n
4. 积（交）事件:A与B同时发生 AB＝AB发生
4’n个事件A1, A2,…, An同时发生 A1A2…An发生
5.差事件：A－B称为A与B的差事件。A－B发生
事件A发生而B不发生
何时A-B=? 何时A-B=A？
6 互不相容（互斥）
7 对立事件 （逆事件）
A B
组合一：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有
概率第一章
第1章 随机事件1．1 随机事件1.1.1 随机现象与随机试验概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学分科．什么是随机现象呢？下面让我们先做两个简单的试验：试验一：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球；试验二：一个盒子中有10个相同的球，其中5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一球．分析上述两个试验结果给出下述两个基本概念：确定性现象：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象．试验一所代表的类型即是确定性现象．试验二所代表的类型，有多于一种可能的试验结果，而且在一次试验之前不能确定会出现哪一个结果，这一类试验称为随机试验．在客观世界中随机现象也是极为普遍的，例如：某地区的年降雨量；检查流水生产线上的一件产品，是合格品还是不合格；打靶射击时，弹着点离靶心的距离，等等．在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象．在相同条件下多次重复某一试验或观察时，虽然结果具有不确定性，但会表现出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性．那么如何来研究随机现象的统计规律呢?对随机现象进行的实验与观察统称为试验．具有下列特征的试验称为随机试验：1．可在相同的条件下重复进行；2．试验结果不止一个，但在试验之前能明确试验所有可能的结果；3．试验前不能确定到底会出现哪一个结果．随机试验一般用大写英文字母E 表示．如：1E ：抛一枚硬币，观察出现正面还是反面（分别用“H ” 和“T ” 表示出现正面和反面）；2E ：抛两枚硬币，观察出现的结果；3E ：掷一颗骰子，观察出现的点数；4E ：记录某网站一分钟内被点击的次数；5E ：对一目标进行射击，直到命中为止，观察其结果；6E ：在一批灯泡中任取一只，测其寿命．1.1.2 样本空间与随机事件对于随机试验，虽然在我们试验之前不能预知试验的结果，但可以确定试验的所有可能的结果．定义1.1.1 样本空间：随机试验所有可能的结果组成的集合称为样本空间，通常用字母Ω表示．定义1.1.2 样本点：随机试验每一个可能的结果称为样本点，通常用字母ω表示样本点，即为Ω中的元素．例1.1.1 一盒子中有黑球、白球，从中任取一球，观察其颜色，记1ω={取得白球}，2ω={取得黑球}，则12{,}ωωΩ=．例 1.1.2 一个盒子中有十个完全相同球，分别标以号码1210，，，，从中任取一球，令 i ={取得球的号码为i }，则{1,210}Ω=．例1.1.3 写出16~E E 的样本空间．解 16~E E 的样本空间分别为：(1) 1{,}H T Ω=；(2) 2{,,,}HH HT TH TT Ω=；(3) 3{1,2,3,4,5,6}Ω=；(4) 4{0,1,2}Ω=；(5) 5{(,)|0,0}x y x y Ω=>>；(6) 6{|0}t t Ω=≥．在实际中，我们通常并不关心所有的样本点，而是只关注一些满足一定条件的样本点，如在随机试验6E 中，若规定这种灯泡的寿命超过1000小时为一级品，那么我们只关心{|1000}t t >中的样本点，所以我们有如下定义：定义1.1.3 随机事件：样本空间Ω的子集，称为随机事件，用大写字母,,,,A B C D 表示，即随机事件为满足一定条件的样本点组成的集合．特别的，仅由一个样本点的事件称为基本事件，它是随机试验的直接结果，每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件；全体样本点组成的事件称为必然事件，记为Ω，每次试验必然事件必定发生；不包含任何样本点的事件称为不可能事件，记为∅，每次试验不可能事件必定不发生．在每次试验中，当且仅当事件A 中的一个样本点出现时，称事件A 发生．例如在3E 中，如果用A 表示事件“掷出奇点数”，那么A 是一个随机事件．由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1,3,5中的任何一个时才称事件A 发生了，所以我们把事件A 表示为{}1,3,5A =；“掷出的点数不超过6”就是必然事件，用集合表示这一事件就是3E 的样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=．而事件“掷出的点数大于6”是不可能事件，这个事件不包括3E 的任何一个可能结果，所以用空集∅表示．一个样本空间Ω中，可以有很多的随机事件．概率论的任务之一，是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律．下面我们来介绍事件之间的关系和事件之间的运算规律．1.1.3 事件的关系及运算因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的．下面给出这些关系和运算在概率中的提法，并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率中的含义．设随机试验E 的样本空间为Ω，,,(1,2,)k A B A k =是Ω的子集．1． 事件的关系(1) 事件的包含与相等：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于事件 B ，记为A B ⊃或者B A ⊂．:{}A B A,B ⊂∈∈ωω则．见文氏（Venn ）图1．1．若B A ⊂且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等．(2) 事件的和：事件A 与事件B 至少有一个发生的事件称为事件A 与事件B 的和事件， 记为A B ．事件A B 发生意味着：或事件A 发生，或事件B 发生，或事件A 与事件B 都发生．{}A B A,B =∈∈ωω或．见文氏（Venn ）图1．1．推广121ni n i A A A A ==，表示12,,,n A A A 至少有一个发生， 121i i A A A ∞==，表示12,,A A 至少有一个发生．(3) 事件的积：事件A 与事件B 都发生的事件称为事件A 与事件B 的积事件，记为A B ，也简记为AB ．事件A B （或AB ）发生意味着事件A 发生且事件B 也发生，即A 与B 都发生．{}A B A,B =∈∈ωω且．见文氏图1．1．推广121ni n i A A A A ==，表示12,,,n A A A 同时发生， 121i i A A A ∞==，表示12,,A A 同时发生．(4) 事件的差：事件A 发生而事件B 不发生的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -，}A B {A,B -=ω∈ω∉且．见文氏图1．1．注：A B A AB -=-．(5) 互不相容事件(互斥)： 若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB =∅，则称事件A 与事件B 是互斥的，或称它们是互不相容的．见文氏图1．1．若事件12,,,n A A A 中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的． (6) 对立事件：“A 不发生”的事件称为事件A 的对立事件，记为A ．A 和A 满足：A A =Ω，AA =∅．见文氏图1．1：注：① __A A =Ω-；②在一次随机试验中A 和A 有一个发生而且只有一个发生．图1．1事件的关系图 由上述可见概率论中事件间的关系与集合论中集合之间的关系是一致的，于是事件之间的运算规律与集合之间的运算规律也是一致的．２．事件的运算规律设C B A ,,为事件，则事件之间的运算满足：(1) 交换律：A B B A =，BA AB =．(2) 结合律：()()A B C A B C =，)()(BC A C AB =．(3) 分配律：()()()A B C AC BC =，()()()AB C A C B C =． (4) 对偶律：A B AB =；___AB A B =．例1.1.4 甲，乙，丙三人各射一次靶，记事件A ＝｛甲中靶｝，事件B ＝｛乙中靶｝，事件C ＝｛丙中靶｝，用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”；(2)“甲中靶而乙未中靶”；(3)“三人中只有丙未中靶”；(4)“三人中恰好有一人中靶”；(5)“ 三人中至少有一人中靶”；(6)“三人中至少有一人未中靶”；(7)“三人中恰有两人中靶”；(8)“三人中至少两人中靶”；(9)“三人均未中靶”；(10)“三人中至多一人中靶”；(11)“三人中至多两人中靶”．解（1）“甲未中靶”=A；=；(2)“甲中靶而乙未中靶”AB=；(3)“三人中只有丙未中靶”ABC=；(4)“三人中恰好有一人中靶”ABC ABC ABC=；(5)“三人中至少有一人中靶”A B C==ABC；(6)“三人中至少有一人未中靶”A B C=；(7)“三人中恰有两人中靶”ABC ABC ABC=；(8)“三人中至少两人中靶”AB AC BC=；(9)“三人均未中靶”ABC=；(10)“三人中至多一人中靶”ABC ABC ABC ABC==A B C．(11)“三人中至多两人中靶”ABC注：用其它事件的运算来表示一个事件，方法往往不唯一，如上例1.1.4中的(6)和(11)所表示的事件实际上是同一事件．1．2 随机事件的概率在一次随机试验中，除必然事件一定发生，不可能事件不发生外，一般的随机事件可能发生，也可能不发生，于是需要知道它发生的可能性到底有多大．概率是用来描述随机事件发生的可能性的大小的一种数量指标，它是逐步形成和完善起来的．下面我们就先引入频率的概念，然后研究频率的性质，进而引出概率的定义．1.2.1事件的频率定义 1.2.1 对于一个随机事件A 来说，在n 次重复试验中，记A n 为随机事件A 出现的次数，又A n 称为事件A 的频数，称()n f A = A n n为事件的频率． 由上述定义，对于事件的频率，我们很容易得到如下性质：（1）0()1n f A ≤≤；（2）()1n f Ω=；（3）对于k 个两两互斥的事件12,,,k A A A ，有11()k kn i n i i i f A f A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑．根据上述定义可知频率反应了一个随机事件发生的频繁程度，人们经过长期的实践发现，虽然个别随机事件在某次试验或观察中可能出现也可能不出现，但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性．在掷一枚均匀的硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，在大量试验中出现正面和反面的频率，都应接近于50％，为了验证这点，历史上曾有不少数学家做过这个试验，其结果如下：又如，在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母．而且各个字母被使用的频率相当稳定．例如，下面就是英文字母使用频率的一份统计表．对一随机事件来说，如果它发生的频率越大，自然这个事件在一次试验中发生的可能性就越大，所以频率在一定程度上反映了事件发生可能性的大小．如上述两个试验，尽管每做n 次试验，所得到的频率()n f A 各不相同，但随着试验次数n 的增加，事件A 的频率()n f A 与会逐渐稳定在一个常数附近，而实际上这一常数即为事件A 的概率．下面给出概率的一个严密的定义．20世纪30年代中期，柯尔莫哥洛夫给出了概率的严密的公理化定义．定义1.2.2 设Ω是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一个随机事件A ，定义一个实数()P A 与之对应．若实值集合函数()P ⋅满足下列条件：（1）非负性：对于每个随机事件A ，都有()0;P A ≥（2）规范性：()1P Ω=；（3）可列可加性：若事件12,,,A A 两两互斥，则有 11()i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑， (1.2.1)则称()P ⋅为概率，()P A 为事件A 的概率．由概率的定义，可得到概率的以下性质：性质1 ()0P ∅=．性质2 (有限可加性) 设12,,,n A A A 是两两互斥的事件，则 121()()nn k k P A A A P A ==∑ (1.2.2)性质3 对任意事件A ，有()1()P A P A =-．性质4 对任意事件,A B ，若,A B ⊂则()()()P B A P B P A -=-． (1.2.3)性质5 若,B A ⊂则有()()P B P A ≥．性质6 对于任一事件A ，有0()1P A ≤≤．性质7(减法公式) 对任意事件,A B ，有()()()P B A P B P AB -=-． (1.2.4) 证 因为B A B AB -=-，且AB B ⊂，由(1．2．3)，()()()()P B A P B AB P B P AB -=-=-．性质8 (加法公式) 对任意事件,A B ，有()()()() P P AB A P B P AB =+-．(1．2．5) 证 由于 ()A B A B AB =-，且(),A B AB -=∅于是有()()()()()()P A B P A P B AB P A P B P AB =+-=+-．推广 ,,A B C 是任意三个事件，则有()()()()()()()().P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+一般，对于任意n 个事件12,,,n A A A 有1121111()()()()...(1)()n n n i i i j i j k n i i j n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A A -=≤<≤≤<<≤==-+++-∑∑∑．1．3 古典概率模型古典概型是人们最初讨论的一种随机试验，本节即要讨论古典概型中随机事件的概率．下面先看第１节的三个例子：1E ： 抛一枚硬币，观察出现正面还是反面．（分别用“H ” 和“T ” 表示出正面和反面）； 2E ：抛两枚硬币，观察出现的结果；3E ：掷一颗骰子，观察出现的点数．上述三个例子即为古典概型随机试验，它们有共同的特点：(1)样本空间只包含有限个样本点；(2)每个样本点在每次随机试验中等可能出现．凡是具有上述两个特点的随机试验就称为是古典概型，那么在古典概型中随机事件的概率应该如何计算？定义1.3.1 随机试验E 是古典概型，样本空间Ω共含有n 个样本点，随机事件A 含有r 个样本点，则定义事件A 的概率为： () A r P A n==Ω中本中本样点个数 样点个数． (1.3.1) 古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧，按照上述概率的计算公式，计算的要点是给定样本点，并计算它的总数，而后再计算所求事件中含的样本点的数目．下面我们看一些典型的古典概率计算的例子．例1.3.1 将一枚硬币抛掷两次，设事件1A ={恰有一次出现正面}；事件2A ={至少有一次出现正面}，求1()P A 和2()P A ．解 正面记为“H ”，反面记为“T ”，则随机试验的样本空间为{,,,}HH HT TH TT Ω=， 而 {}1,A HT TH =，{},,2A HH HT TH =，于是121()42P A ==，23()4P A =． 例1.3.2 有10个电阻，其电阻值分别为1210ΩΩ⋯Ω，，，，从中取出三个，求取出的三个电阻，一个小于5Ω，一个等于5Ω，另一个大于5Ω的概率．解 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体，这是古典概型，样本空间的样本点数为103⎛⎫ ⎪⎝⎭，所求事件含样本点数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛151114．故所求概率为 41511111063P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭． 例1.3.3 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率．解 设事件A={每组有一名运动员}，B={3名运动员集中在一组}，30名学生平均分成3组共有30201030!10101010!10!10!⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭种分法． （1）保证每组有一名运动员则有27!3!9!9!9!分法，所以50()30!20310!10!10!P A =27!3!9!9!9!=； （2）让3名运动员集中在一个组，则有272010371010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分法，所以27201037101018()30!20310!10!10!P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==． 例1.3.4（摸球模型）(1) （无放回地摸球）设袋中有M 个白球和N 个黑球，现从袋中无放回地依次摸出m n +个球，求所取球恰好含m 个白球，n 个黑球的概率．解 样本空间所含样本点总数为,M N m n +⎛⎫⎪+⎝⎭所求事件含的样本点数为,M N m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以所求概率为 M N m n P M N m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫ ⎪+⎝⎭． (2) 有放回地摸球设袋中有4只红球和6只黑球，现从袋中有放回地摸球3次，求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率．解 样本空间点总数为310101010⨯⨯=，所求事件所含样本点数为664⨯⨯，故 366410P ⨯⨯= 0.144=． 例1.3.5（盒子模型）设有n 个球，每个都能以相同的概率被放到N 个盒子()N n ≥的每一个盒子中，试求：(1)某指定的n 个盒子中各有一个球的概率；(2)恰好有n 个盒子中各有一个球的概率．解 设事件A={某指定的n 个盒子中各有一个球}，B={任意n 个盒子中各有一个球}． 由于每个球可落入N 个盒子中的任一个，所以n 个球在N 个盒子中的分布相当于从N 个元素中选取n 个进行有重复的排列，故共有nN 种可能分布．对于事件A ，相当于n 个球在那指定的n 个盒子中全排列，总数为!n ，所以 !()n n P A N=． 对于事件B ，n 个盒子可以任意，即可以从N 个盒子中任意选出n 个来，这种选法共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 种，对于每种选定的n 个盒子，再全排列，所以事件B 放法共有!N n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭种，所以!()n N n n P B N⎛⎫ ⎪⎝⎭=． 上述例子是古典概型中一个比较典型的问题，不少问题都可以归结为它．例如概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次集会的n 个人中没有两个人生日相同的概率．若把n个人看作上面问题中的n 个球，而把一年的365天作为盒子，则365N =，这时按照上述事件B 概率的求法就给出所求的概率．例如当40n =时，0109P =．，即40人中至少有两个人生日相同的概率为0891．，这个概率已经相当大了．例1.3.6 袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别，把球均匀混合，然后随机取出来，一次取一个，求第k 次取出的球是黑球的概率()1k a b ≤≤+． 解 设事件A ={第k 次取出的球是黑球}．法1 把a 只黑球及b 只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号)，若把取出的球依次放在排列成一行的a b +个位置上，则可能的排列法相当于把a b +个元素进行全排列，总数为()!a b +，把它们作为样本点全体．A 事件所含样本点数为(1)!a a b ⨯+-，这是因为第k 次取得黑球有a 种取法，而另外1a b +-次取球相当于1a b +-只球进行全排列，有(1)!a b +-种取法，故所求概率为(1)!()()!a a b a P A a b a b⨯+-==++， 结果与k 无关．实际上本例就是一抽签模型，例如在体育比赛中进行抽签，对各队机会均等，与抽签的先后次序无关．法2 把a 只黑球看作是没有区别的，把b 只白球也看作是没有区别的．仍把取出的球依次放在排列成一行的a b +位置上，因若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球，而黑球的位置可以有⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b b a 种放法，以这种放法作为样本点．对于事件A ，由于第k 次取得黑球，这个位置必须放黑球，剩下的黑球可以在1a b +-个位置上任取1a -个位置，因此共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a 种放法．所以所求概率为b a a a b a a b a P k +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11． 两种不同的解法答案相同，两种解法的区别在于，选取的样本空间不同．在[法一]中把球看作是“有区别的”，而在[法二]中则对同色球不加区别，因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球间的顺序而用排列，第二种解法则不注意顺序而用组合，但最后还是得出了相同的答案．由本例，我们必须注意，在计算样本点总数及所求事件含的样本点数时，必须对同一个确定的样本空间考虑，因此其中一个考虑顺序，另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确．1．4 条件概率在许多实际问题中，除了考虑()P B 外，有时还需要考虑在一定条件下事件B 发生的概率，比如，已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，我们称这种概率为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率，记为(|)P B A ．1.4.1 条件概率的定义引例 盒中有4个外形相同的球，分别标有1,2,3,4，现在从盒中有放回的取两次球，每次取一球．则该试验的所有可能的结果为(1，1) (1，2) (1，3) (1，4)(2，1) (2，2) (2，3) (2，4)(3，1) (3，2) (3，3) (3，4)(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)其中(,)i j 表示第一次取i 号球，第二次取j 号球，设A ={ 第一次取出球的标号为2}，B ={ 取出的两球标号之和为4}， 则事件{(13),(2,2),(3,1)}B =，，因此事件B 的概率为 ()316P B =． 下面我们考虑在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率(|)P B A ．由于已知事件A 已经发生，{(21),(2,2),(2,3),(2,4)}A =，，这时，事件B 在事件A 已经发生的条件下发生，那么只可能出现样本点(2,2)，因此A 发生的条件下B 发生的概率为14，即 1(|)4P B A =． 由引例可以看出，事件B 在“条件A 已发生”这附加条件下的概率与不附加这个条件的概率是不同的．那么如何计算条件概率(|)P B A 呢？定义1.4.1 设A 、B 是两个随机事件，()0P A >，称()(|)()P AB P B A P A = (1.4.1) 为在事件A 已发生的条件下事件B 发生的条件概率． 在上述引例中，41(),()1616P A P AB ==，显然有()(|)()P AB P B A P A ==14． 例1.4.1 10个产品中有7个正品，3个次品，按照不放回抽样，每次一个，抽取两次，求(1) 两次都抽到次品的概率；(2 ) 第二次才取到次品的概率；(3）已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率．解 设A ，B 分别表示第一次和第二次抽到的是次品．(1) ()P AB ＝32110915⨯⨯＝； (2) 737()10930P AB ⨯==⨯；(3) 12()215(|)39()1510P AB P B A P A ====．例 1.4.２ 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4， 如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少?解 设事件A ={能活20岁以上}，事件B ={能活25岁以上}，即要求条件概率P(B A)，由题()0.8P A =，()0.4P B =，()()P AB P B =，于是()(|)()P AB P B A P A =0.410.82==． 1.4.2 条件概率)|(A P ⋅的性质容易验证条件概率|P A ⋅（）也有非负性、规范性和可列可加性三条性质： (1) 非负性：对任意的B ，(|)P B A ≥0； (2) 规范性： (|)1P A Ω=；(3) 可列可加性：对任意的一列两两互斥的事件,(1,2,)i B i ⋯＝，有 11(|)(|)i i i i P B A P B A ∞∞===∑．因此，条件概率仍然是概率，所以条件概率也具有有限可加性、减法公式、加法公式等无条件概率所具有的一些性质．如对任意的12,B B ，有：(1) 121212(|)(|)(|)(|)P B B A P B A P B A P B B A =+-；（2）12112(|)(|)(|)P B B A P B A P B B A -=-； （3）若()(|)1()P B A B P B A P A ⊂==，则． 例1.4.３ 一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解 设事件A ={任意按最后一位数字，不超过2次就按对}，事件i A ={第i 次按对密码}(1,2i =)，则__112()A A A A =，(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得__1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯；(2）事件B =｛最后一位按偶数｝，则____112112(|)(()|)(|)(|)P A B P A A A B P A B P A A B ==+14125545⨯=+=⨯． 1.4.3 乘法公式由条件概率定义的（1.4.1）可得，当()0P A >时，有()(|)P AB P A P B A =（）， （1.4.2） 及()0P B >时，()(|)P AB P B P A B =（）． （1.4.3） 推广 12,,,n A A A 为n 个事件，且12n-1()0P A A A >，则有 12n 121321n 121()()(|)(|)(|)n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=． （1.4.4）特别的，当3n ＝时，有()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =（）．乘法公式一般用于计算多个事件同时发生的概率．例1.4.4设袋中装有r 只红球，t 只白球．每次取一只观察其颜色并放回，并同时再放入a 只同色球，连续取四次，试求第一次、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率．解 以i A 表示事件“第i 次取到红球”1,2,3,4i =，则43,A A 分别表示第三次、第四次取到白球，即要求事件1234A A A A 的概率，由乘法公式(1.4.4)得12341213124123()()(|)(|)(|)P A A A A P A P A A P A A A P A A A A =r r a t t ar t r t a r t a a r t a a a ++=⋅⋅⋅++++++++++ ()()()()(2)(3)rt r a t a r t r t a r t a r t a ++=+++++++．1.4.4全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个比较重要的公式，它们将一个比较复杂事件的概率转化为不同条件下发生的比较简单的条件概率来计算．下面首先介绍一下样本空间划分的概念．定义 1.4.2 设Ω是随机试验E 的样本空间，12,,,n B B B 是E 的一列随机事件，若 (1),,,1,2,,i j B B i j i j n =∅≠=；(2)12n B B B =Ω，则称12,,,n B B B 为样本空间Ω的一个有限划分．定理 1.4.1 （全概率公式）设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个有限划分，且()0,1,2,i P B i n >=，则对任一事件A ，有()1()(|)iii P A P B P A B ∞==∑． （1.4.5）证1()()[()]ni i P A P A P A B ==Ω=1(())ni i P AB ==，对任意i j i j,B B ≠=∅，得()i AB ()()=Φi j AB AB ，由概率的有限可加性得11(())()nn i i i i P AB P AB ===∑=1()(|)ni i i P B P A B =∑．例1.4.5 有一批同一型号的产品，其中由甲厂生产的占30%，乙厂生产的占50%，丙厂生产的占20%，又知这甲、乙、丙三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件，取到次品的概率是多少?解 设事件A 为“任取一件为次品”，事件123,,B B B 分别为产品由甲、乙、丙厂生产，显然123,B B B =Ω且,,1,2,3i j B B i j =∅=，即123B ,B ,B 构成样本空间的划分．所以由（1.4.5）112233()()()()()()()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++，123()0.02()0.01()0.01P A B P A B P A B ===，，，故112233()()()()()()()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0020300105001020013.......=⨯+⨯+⨯=．定理 1.4.2 （贝叶斯公式）设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个划分，()i P B 0>，1,2,3,,i n =，对任意事件A ，有1()(|)(|),1,2,...()(|)i i i njjj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑． (1.4.6)证 i i P(B A )P(B A )P(A )=1i i njj j P(A B )P(B ),P(A B)P(B )==∑ 1,2,,i n =．例1.4.6 （续例1．4．5） 有一批同一型号的产品，其中由甲厂生产的占30%，乙厂生产的占50%，丙厂生产的占20%，又知这甲、乙、丙三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件，发现是次品，那么它分别由甲、乙、丙厂生产的概率是多少?解 123(),(),()P B A P B A P B A 即为所要求的条件概率，由贝叶斯公式(1.4.6)，11131()(|)0.020.3(|)0.460.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑；22231()(|)0.010.5(|)0.380.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑；33331()(|)0.010.2(|)0.150.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑．例1.4.7袋中有4个红球，6个白球，作不放回的摸球两次，求（1）第二次摸到红球的概率；（2）已知第二次摸到红球，求第一次摸到的也是红球的概率．解 设A ={第一次摸到红球}，A ={第一次摸到白球}，B ={第二次摸到红球}．显然11114634(),(),(|),(|)101099P A P A P B A P B A ====； （1）由全概率公式(1．4．５)111143642()()(|)()(|)1091095P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=； （2）由贝叶斯公式(1.4.5)1111111()(|)1(|)()(|)()(|)3P A P B A P A B P A P B A P A P B A ==+．例1．4．8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?解 设A ={抽查的人患有癌症}，B ={试验结果是阳性}，则__A ={抽查的人没有患癌症}．()0.005, ()0.995 ,(|)0.95, (|)0.04P A P A P B A P B A ====．由贝叶斯公式(1．4．5)，得()(|)(|)0.1066 ()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ==+．这表明某人的试验结果为阳性，但此人确患癌症的概率却非常小，只有0.1066，即平均来说，1000个检查结果呈阳性的人中大约只有107人确患癌症．那是否说明该试验对于诊断一个人是否患有癌症没有意义？我们来分析一下．如果不做试验，随机抽取一人，那么他是癌症患者的概率为()0.005P A =，若进行试验，试验后呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率为P (|)0.1066A B =．概率从0.005增加到0.1066，约增加了21倍，说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义．至于试验结果呈阳性患癌症的概率还如此低，是由癌症的患病率非常低0.005导致的．1．5 事件的独立性条件概率(|)P B A 通常来说与()P B 不相等，这反映了事件A 的发生与否对事件B 有影响；若(|)P B A 与()P B 相等，则反映了事件A 的发生与否对事件B 无影响．如：抛硬币两次，事件A ＝{第一次正面向上}，B ＝{第二次正面向上}．1()(|)2P B P B A ==． 所以两个事件A 、B 其中一个发生与否，不影响另一件事件发生的可能性大小，此时 (|)()P B A P B =，即：()(|)()()P AB P B A P B P A ==， 于是得到()()()P AB P A P B =，我们称A 与B 相互独立．定义 1.5.1 对事件A 和B ，如果()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．定理1．5．1 设A ，B 是两个事件， 且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则)()|(A P B A P =． 定理1.5.2 设事件A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 各对事件也相互独立． 证 因为____()A A A BB ABA B =Ω==，显然__,AB A B 互斥，故______()()()()()()()P A P ABAB P AB P AB P A P B P AB ==+=+，于是____()()()()()(1())()()P A B P A P A P B P A P B P A P B =-=-=，所以A 与B 相互独立．由A ，B 相互独立可以推出A 与B 相互独立，于是，A 与B 相互独立可推出A 与B 相互独立，再由B =B ，又可推出A 与B 相互独立．定理1.5.3 若事件A ，B 相互独立，且0()1P A <<，则__(|)(|)()P B A P B A P B ==．证()()()(|)()()()P AB P A P B P B A P B P A P A ===，__________()()()(|)()()()P A B P A P B P B A P B P A P A ===． 定义1.5.2 （三个事件相互独立） 设C B A ,,为三个事件，若等式),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ====同时满足，则称事件C B A ,,相互独立．类似的可以定义n 个事件相互独立．定义1.5.3 设12,,,n A A A 是n 个事件，若对其中任意k 个事件12,,,k i i i A A A(2)k n ≤≤有1212()()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =，则称这n 个事件是相互独立的．定义 1.5.4 设有n 个事件12,,,n A A A （3≥n ），若对其中任意两个事件i A 与)1(n j i A j ≤<≤有)()()(j i j i A P A P A A P =则称这n 个事件是两两相互独立的．显然，若n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则n 个事件一定是两两相互独立，但反之不一定成立．在实际应用中，独立性的判断一般不会采用定义判断，而是根据问题的实际意义去判断，如抛硬币两次，事件A ＝{第一次正面向上}，B ＝{第二次正面向上}，第一次出现哪一面并不影响第二次出现正面的概率，所以事件,A B 相互独立．例1.5.1甲、乙两射手独立地向同一目标射击一次，其中命中率分别为0.9和0.8， (1) 求目标被击中的概率；(2) 现已知目标被击中，求它是由甲击中的概率． 解 设A ={甲命中}，B ＝{乙命中}，C ={目标被击中}，(1) () () ()()()()0.90.80.90.80.98P C P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯=； (2) ()()(|)()[()()()()]P AC P A P A C P C P A P B P A P B ==+-0.90.920.98==． 例1.5.２ 设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上？解 设需要n 门高射炮，A ＝｛飞机被击中｝，A i ＝｛第i 门高射炮击中飞机｝，12)i n =⋯（，，，，则12()()n P A P A A A =⋯=_____________________121()n P A A A -______121()n P A A A =-，由相互独立的性质____________1212()()()()n n P A A A P A P A P A =，于是______12()1()()()1(10.2)n n P A P A P A P A =-=--，令1(10.2)0.95n--≥，得08005n≤．．，即得14n ≥．即至少需要14门高射炮才能有95%以上的把握击中飞机．例 1.5.３ 一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性，一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性．设一个系统由四个元件按图示方式（图１．２）组成，各个元件相互独立，且每个元件的可靠性都等于)10(<<p p ，求这个系统的可靠性．。
概率论第一章
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
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第三节
第一章
概率的性质
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概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
SWJTU
Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
《概率论与统计原理》第1章
P (A ) P ( B A )
i
i 1
i
n
例13 两台车床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混 放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2 倍。现任取一零件，求它是的合格品的概率。
1.5.4 贝叶斯公式
设 Ai ( i =1，2，…，n)是样本空间的一个划分，且 P( Ai )>0，则对任意事件 B，有
例10 已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC） =P（BC）=1/16，P（AB）=0，求事件A，B，C都 不发生的概率。
§1.5
条件概率和事件的独立性
1.5.1 条件概率 在事件 B 发生的条件下，事件 A的条件概率为
P( AB) P( B A) P( A) 理解条件概率的意义
第一章 事件的概率
§1.1 随机事件和样本空间
1.1.1 随机现象与随机试验 1、确定性现象和随机现象
确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象
随机现象是指在一定条件可能发生也可能不发生的 现象，其出现的结果不确定 概率论研究的主要问题就是随机现象的规律性
2、随机试验
对随机现象的观察称为随机试验，简称为试验，用 字母E来表示 随机试验的特点： （1）可重复性 试验在相同的条件下可以重复进行
（2）可观测性 每次试验的可能结果不止一个，而且 事先能明确试验的所有可能结果
（3）随机性 在每次试验之前不能准确预知将会出现 的结果 一些随机试验的例子： E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数
E2：记录一段时间内某城市110报警次数 E3：从含有三件次品a1，a2，a3和三件正品b1，b2， b3的六件产品中，任取两件，观察出现正品和次品 的情况 E4：从一批电脑中任取一台，观察无故障运行的时 间 E5：设平面上有一簇间距为a的平行线，现反复用一 枚长度为l（l<a）的针投掷下去，投掷n次后，观察 针与平行线相交的数目 E6：向坐标平面区域D：x2 +y2≤100内随机投掷一点 （假设点必落在D内），观察落点M的坐标
概率论第一章ppt课件
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
概率论第一章
(1) 0 f ( A) 1; (2) f () 1, f () 0; (3) 若A, B互斥, 则 f ( A B) f ( A) f ( B).
推广：(两两互斥事件组) 设 A1 , A2 ,..., An ,... 是样本空间中有限个 或可列个事件，若满足 Ai Aj ,(i j ) ，则称 A1 , A2 ,..., An ,... 是两两互斥的，或称其是两两互斥事件组。 (7) 互逆(对立)事件：若 AB 且A B ，则称A,B为互逆 事件，或称A与B互相对立。逆事件可表示为： A A (8) 完备事件组：设事件组 A1 , A2 ,..., An 为两两互斥事件组，且 A1 A2 ... An ，则称 A1 , A2 ,..., An 是一个完备事件组。 划分 剖分 分解 事件间的运算规律： 与集合运算相似 交换律 结合律 分配律
2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E( X C) E( X ) C
3. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E (CX ) CE ( X )
例如 E ( X ) 5, 则 E ( 3 X ) 3 E ( X ) 3 5 15.
对偶律 自反律
例4 一射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射 击时击中目标，使用文字叙述下列事件：
A1 A2
A2 A1 A2 A3
A1 A2 A3
前两次至少有一次击中目标 第二次没有击中目标 三次射击至少有一次击中目标 三次射击都击中目标
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论第一章知识点总结
概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。
3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。
4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。
5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。
8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。
其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-第3-5节
n : 第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是
从 6 张中取一张，第二次再从盒中取，仍是 有 6 张券可供抽取，故有：
P61 P61 36 (种)
k : 中奖券有 2 张，第一次取有 2 张可供抽取,
第二次取仍有 2 张可供抽取，故有：
P21 P21 4 (种)
即, 10个球中的任一个被 取出的机会是相等的，
均为1/10.
10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
所以称这类概率模型为古典概型.
概率统计
在此示例中, 若记 A={ 摸到2号球 } 2
则 P(A)=?
显然： P(A)= 1/10
若记 B={ 摸到红球 } 1 2 3 4 5 6
则 P(B)=?
从而: P( A) k 4 1 0.111 n 36 9
概率统计
nn:
（2). 不放回地抽取
n : P61 P51 30
k : P21 P11 2
从而: P( A) k 2 1 0.067 n 30 15
注 ▲ 若在此例中若将取法改为 “一次抽取两张” ，
其它条件不变则有:
概率统计
P(e1) P(e2) L L P(en)
又由于基本事件是两两互不相容的，于是：
P(S) P(e1Ue1UL L en)
P(e1) P(e2) L L P(en)
nP(ei)
而 P(S) 1
又由已知，
P(ei )
1 n
,
i 1, 2,L n
A ei1 U ei2 UL U eik , (1 i1 i2 L ik n)
(2)．若首位数 2, 4, 6, 8 则有: P41 P41 P84
概率论 第一章
第一章随机事件及其概率习题一1 举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子.解(1)设ｖ１０为10次射击命中次数，则｛５＜ｖ１０≤８＝——随机事件，｛ｖ１０≤１０｝——必然事件，｛ｖ１０＞１０｝——不可能事件；(2)掷一枚骰子试验中，｛出现偶数点｝——随机事件，｛出现ｉ点｝（ｉ＝１，２，…，６）——随机事件，｛出现点数小于7｝——必然事件，｛点数不小于7｝——不可能事件；(3)盒中有2个白球，3个红球，从盒中随机取出3球，则｛取出的3个球中含有红球｝——必然事件，｛取出的3个球中不含红球｝——不可能事件.2 互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系：(1)｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ；(2)ｘ＞２０与ｘ≤２０；(3)ｘ＞２０与ｘ＜１８；(4)ｘ＞２０与ｘ≤２２；(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品；(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品.解对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点，但两个对立事件的并(和)等于样本空间，即若A与__A是两个对立事件，则A__A＝Φ，A＋__A＝Ω；而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含，即若A与B是两个互不相容事件，则AB＝Φ，且Ａ＋Ｂ⊂Ω.(1)由于｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∩｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝＝Φ，且｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∪｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝⊂Ｒ，所以事件｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ是互不相容事件；(2)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Ｒ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤20是对立事件；(3)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ＜18｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ＜18｝＝R，所以事件x＞２０与x＜１８是互不相容事件；(4)｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２２｝≠Φ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤２２是相容事件；(5)设事件Ａ＝｛２０个产品全是合格品｝，事件Ｂ＝｛20个产品中只有一个废品｝，显然ＡＢ＝Φ，Ａ＋Ｂ⊂Ω＝｛２０个产品｝，所以A与B是互不相容事件；(6)设事件Ａ＝｛20个产品全是合格品｝，事件B＝｛20个产品中至少有一个废品｝，显然AB＝Φ，Ａ+Ｂ＝Ω＝｛20个产品｝，所以A与B是对立事件.3 写出下列随机试验的样本空间.(1)10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只(取出后不放回)，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数；(3)测量一汽车通过给定点的速度.解(1)将3只次品都取出，至少要抽取3次，而最多抽取10次即可，故所求样本空间Ω＝｛３，４，…，９，１０｝;(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品，故所求样本空间Ω＝｛１０，１１，１２，…｝;(3)若不考虑汽车的运动方向，则所求样本空间Ω＝｛v｜v＞０｝.若考虑汽车的运动方向，θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角，则所求样本空间 Ω＝｛（vｃｏｓθ，vｓｉｎθ）｜v＞０，０≤θ＜２π＝.4 事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品，事件B表示所有的仪器为合格品，问事件(1)Ａ∪Ｂ；（２）Ａ∩Ｂ各表示什么意义?解(1)Ａ∪Ｂ＝Ω; （２）Ａ∩Ｂ＝ .5 设A，B，C为三个随机事件，试将下列事件用A，B，C来表示：(1)仅仅A发生；(2)三个事件都发生；(3)至少有两个事件发生；(4)恰有一个事件发生；(5)没有一个事件发生；(6)不多于两个事件发生.解（１）Ａ__B__ C；（２）ＡＢＣ；（３）ＡＢ∪ＡＣ∪ＢＣ；（４）Ａ__B__C∪__AＢ__C∪__A__BＣ；（５）__A__B__C；（６） ＡＢ__ C.7 袋内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率. 解随机试验是从8个球中任取2个，样本空间所包含的样本点总数为n=C28.设事件A={取出两个球均为白球}，此时，事件A包含的样本点数为k=C25，故P(A)= k / n = C25 / C28≈0.357.8 一批产品共200个，其中有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有一个是废品的概率；(3)任取3个全是废品的概率.解随机试验是从200个产品中任取3个，样本空间所包含的样本点总数为n=C3200. 设事件A i={取出的3个产品中含有i个废品},i=1,3,事件B={这批产品的废品率}.若取出的3个产品中含有i个废品，则i个废品必须从6个废品中获得，3-i个合格品必须从194 个合格品中获得，从而事件A i所包含的样本点数为k i=C i6C3-i194 ,i=1,3.故P(B)= 6 / 200 =0.03,P(A1)=k1 / n=C16C2194/C3200≈0.086,P(A3)=k3 /n=C36/C3200≈0.000 02.9 两封信随机地向四个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好投入一封信的概率.解将两封信随机地投入四个邮筒，共有4×４＝１６种投法，即ｎ＝１６.设 Ａ＝｛第二个邮筒恰好投入一封信｝，此时，需将两封信中的一封放入第二个邮筒，共有2种放法，剩下的一封放入其他三个邮筒中的一个，共有3种放法，从而事件A包含的样本点数为ｋ＝２×３＝６，故Ｐ（Ａ）＝ｋ/ｎ＝６/１６＝３/ ８.10 在房间里有10个人，分别佩带着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率.解设事件A＝｛最小号码为5｝，事件B＝｛最大号码为5｝，则Ｐ（Ａ）＝Ｃ２５/Ｃ３１0＝１/１２，Ｐ（Ｂ）＝Ｃ２４ /Ｃ３１０＝１/２０.11 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.解设事件Ａ＝｛指定的三本书放在一起｝，将指定的三本书作为一个整体，10本书成为8本，故Ｐ（Ａ）＝k/n=A33A88/A1010≈０.０６７.12 甲、乙二人约定1点到2点之间在某处会面，约定先到者等候10分钟即离去.设想两个人各自随意地在1点到2点之间选一个时刻到达该处，问“甲乙二人能会面”这事件的概率是多少?解记事件A＝｛两人能会面｝，以ｘ，ｙ分别表示两人到达时刻，则两人能会面的充要条件为｜ｘ－ｙ｜≤１０， 即Ａ＝｛（ｘ，ｙ）：｜ｘ－ｙ｜≤１０｝.这是一个几何概率问题，样本空间为Ω＝｛（ｘ，ｙ）：０≤ｘ，ｙ≤６０｝，Ｐ（Ａ）＝Ｌ（Ａ）/Ｌ（Ω）＝６０２－５０２/６０２＝11/36.13 在一间房里有四个人，问至少有两人的生日是在同一个月的概率是多少?解四个人在12个月中任一月出生的可能性是相等的，故基本事件的总数为12４.设事件Ａ＝｛四个人生日均不在同一个月｝，则Ｐ（__A）＝１－Ｐ（Ａ）＝１－A４１２/12４＝７３８/１７２８＝４１/９６.14 设有10件样品，编以号码0~9，随机地抽取1件样品，以B表示“取到号码为偶数的样品”；A１表示“取到号码为1的样品”，A２表示“取到号码为2的样品”，Ａ３表示“取到号码大于7的样品”，分别求A１，A２，Ａ３的概率和A１，A２，Ａ３对B的条件概率，并将条件概率与无条件概率做一比较.解由题设可知:Ｐ（A１）＝1/10，Ｐ（A2）＝1/10，Ｐ（A3）＝2/10=1/5，Ｐ（A１｜Ｂ）＝０，Ｐ（A2｜Ｂ）＝ 1/5，Ｐ（A3｜Ｂ）＝ 1/5 .15 某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，不超过三次而接通所需要电话的概率是多少?如果已知最后一个数是奇数，那么此概率是多少?解(1)设A={三次中至少有一次接通}, __A={三次每次都不通},A i={第i次接通}(i=1,2,3).易知，__A=__A1__A2__A3，故P(__A1)=9/10, P(__A2__A1)=8/9,P(__A3|__A1__A2)=7/8,从而，P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 9/10×8/9×7/8=7/10.故P(A)=1- P(__A)=1-7/10=3/10.(2)若已知最后一个数字是奇数，从0到9有十个数，其中五个是奇数，则P(__A1)=4/5, P(__A2__A1)=3/4,P(__A3|__A1__A2)=2/3,从而，P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 4/5×3/4×2/3=2/5.故P(A)=1- P(__A)=1-2/5=3/5.16 考察甲、乙两地出现春旱的情况，以A，B分别表示甲、乙两地出现春旱这一事件.根据以往气象记录知Ｐ（Ａ）＝０．２，Ｐ（Ｂ）＝０．１５，Ｐ（ＡＢ）＝０．０８，求 Ｐ（Ａ｜Ｂ），Ｐ（Ｂ｜Ａ）及Ｐ（Ａ∪Ｂ）.解由题设可知:Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ｂ）＝０.０８/０.１５＝8/15，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ａ＝０.０８/0.２＝２/５，Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝０.２＋０.１５－０.０８＝０.２７.17 掷三个均匀骰子，已知第一粒骰子掷出幺点(事件B)，问“掷出点数之和不小于10”这个事件A的条件概率是多少?解设事件B＝｛第一粒骰子掷出幺点｝，事件Ａ＝｛掷出点数之和不小于10｝，由题设可知，若第一粒掷出幺点，第二粒可能掷出3、4、5、6点；若第二粒掷出3点，第三粒必掷出6点；第二粒掷出4点，第三粒可能为5、6点；第二粒掷出5点，第三粒可能掷出4、5、6点；第二粒掷出6点，第三粒可能掷出3、4、5、6点，则Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ｂ）=10/36=5/18.18 甲、乙二人射击，甲击中的概率为0 8，乙击中的概率为0 7，二人同时射击，并假定中靶与否是独立的，求：(1)中靶的概率；(2)甲中、乙不中的概率；(3)甲不中、乙中的概率.解设A、B分别表示甲中靶、乙中靶两事件，则事件A与B独立，又Ｐ（Ａ）＝０．８，Ｐ（Ｂ）＝０．７，于是，所求概率为(1)Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．８＋０．７－０．７×０．８＝０．９４；(2)Ｐ（Ａ__B）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（__B）＝０．８×（１－０．７）＝０．２４；(3)Ｐ（__AＢ）＝Ｐ（__A）Ｐ（Ｂ）＝（１－０．８）×０．７＝０．１４.19 从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进，若总机打通的概率为0.6，车间的分机占线的概率为0.3，假定二者是独立的，求从厂外向该车间打电话能打通的概率.解设A，B分别表示从厂外打电话总机打通、分机打通两事件，则事件A，B独立，又Ｐ（Ａ）＝０．６，Ｐ（Ｂ）＝１－０．３＝０．７，所求概率为Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．６×０．７＝０．４２.20 设事件A，B的概率均不为0，证明事件A与B独立及互不相容不会同时成立.证若Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则有(1)因A，B两事件相互独立，且Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞0，有P（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＞ ０，故ＡＢ≠Φ，即A、B不互不相容;(2)因ＡＢ＝Φ，故Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Φ）＝０，而Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，故Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＞０， 于是Ｐ（ＡＢ）≠Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），即A与B不相互独立.21 有四个大小质地一样的球，分别在其上写有数字1，2，3和“1，2，3”，令Ａ ｉ＝｛随机抽出一球，球上有数字ｉ｝(ｉ＝１，２，3).试证明A１，A２，Ａ３两两独立而不相互独立.证由题设可知Ｐ（A１）＝1/2，Ｐ（A2）＝1/2，Ｐ（A3）＝1/2,且Ｐ（A１A２）＝1/4= 1/2×1/2,Ｐ（A１A3）＝1/4= 1/2×1/2,Ｐ（A2A3）＝1/4= 1/2×1/2 .以上等式说明A１，A２，Ａ３两两独立.但Ｐ（A１A２Ａ３）＝1/4≠1/2×1/2×1/2＝Ｐ（A１）Ｐ（A2）Ｐ（A3）.可见事件A１A２Ａ３不相互独立.22 加工某一零件共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％，3％，5％，3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.解设Ａｉ＝｛第ｉ道工序出次品｝，ｉ＝１，２，３，４.又设Ａ＝｛零件为次品｝，则有Ａ＝A１∪A２∪Ａ３∪Ａ４.由题知，A１，A２，Ａ３，Ａ４相互独立，__A1 ，__A2 ，__A3 ，__A4也相互独立，于是Ｐ（Ａ）＝Ｐ（A１∪A２∪Ａ３∪Ａ４）＝１－Ｐ（________________________4321AAAA⋃⋃⋃）＝１－Ｐ（__A1__A2__A3__A4）＝１－Ｐ（__A1）Ｐ（__A2）Ｐ（__A3）Ｐ（__A4）＝１－０．９８×０．９７×０．９５×０．９７≈０．１２４.23 掷三枚均匀骰子，记B＝｛至少有一枚骰子掷出1｝，Ａ＝｛三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样｝，问A，B是否独立?解考虑P(A｜__B)，若__B发生，则三枚骰子都不出现幺点，那么，它们都只有5种可能性(2，3，4，5，6)，比不知__B发生时可能取的点数1，2，3，4，5，6少了一个.从5个数字取3个(可重复取)，其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时，有两个一样的可能性要大些，即Ｐ（Ａ）＜Ｐ（Ａ｜__B).由此推出Ｐ（Ａ）＞Ｐ（Ａ｜Ｂ），故A，B不独立.24 一批玉米种子，其出芽率为0 9，现每穴种5粒，问“恰有3粒出芽”与“不大于4粒出芽”的概率是多少?解设Ａ＝｛恰有3粒出芽了｝，Ｂ＝｛不大于4粒出芽｝.把穴中每一粒种子是否发芽看作一次试验，而各粒种子发芽与否是互不影响的，所以5次试验是相互独立的，故Ｐ（Ａ）＝ｂ３（５，０．９）＝Ｃ３５×０.９３×（１－０．９）２＝Ｃ３５×０．９３×０．１２≈０．０７３，Ｐ（Ｂ）＝１－ｂ５（５，０．９）＝１－Ｃ５５×０．９５×（１－０．９）０＝１－０.９５≈０．４１.25 某一由9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是70 ％ ，现在该机构对某事件可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.解显然本问题是：如果9人中超过4人作出正确决策，则可对该事件可行与否作出正确决策，从而设事件Ａ＝｛作出正确决策｝，由题设知，ｎ＝９，p＝０．７，ｑ＝０．３，于是ｂｋ（ｎ，ｐ）＝ｂｋ（９，０．７）＝Ｃｋ９×０．７ｋ×０．３９－ｋ(ｋ＝５，６，７，８，９)，所以5次试验是相互独立的，故Ｐ（Ａ）＝∑=95kＣｋ９×０．７ｋ×０．３９－ｋ≈0.901.26 电灯泡使用寿命在1 000小时以上的概率为0 2，求3个灯泡在使用1 000小时后，最多只有一个坏了的概率.解利用二项概型，有P n(k≤1)=b0(3,0.8)+b1(3,0.8)＝Ｃ０３×０．８０×０．２３＋Ｃ１３×０．８１×０．２２＝０．１０４.27 用三台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.解设事件A、B、C分别表示三台机床加工的产品，事件E表示合格品.依题意，Ｐ（Ａ）＝０．５，Ｐ（Ｂ）＝０．３，Ｐ（Ｃ）＝０．２,Ｐ（Ｅ｜Ａ）＝０．９４，Ｐ（Ｅ｜Ｂ）＝０．９，Ｐ（Ｅ｜Ｃ）＝０．９５，由全概率公式Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｅ｜Ａ）＋Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｅ｜Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｅ｜Ｃ） ＝０．５×０．９４＋０．３×０．９＋０．２×０．９５＝０．９３.28 12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛时，同时取出了3个，用完后放回去.第二次比赛时，又同时取出3个，求第二次取出3个球都是新球的概率.解以A ｉ（ｉ＝０，１，２，３）表示事件“第一次比赛从盒中任取的3个球中有ｉ个新球”.可知Ａ０,A１,A２,Ａ３是样本空间Ω的一个划分.以B表示事件“第二次取出的球都是新球”.则Ｐ（Ａ０）＝Ｃ３３/Ｃ３１２＝１/220，Ｐ（A１）＝Ｃ19Ｃ23/Ｃ３１２＝27/200,Ｐ（A2）＝Ｃ29Ｃ13/Ｃ３１２＝27/55,Ｐ（A3）＝Ｃ39/Ｃ３１２＝21/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝Ｃ39/Ｃ３１２＝21/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ1）＝Ｃ38/Ｃ３１２＝14/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ2）＝Ｃ37/Ｃ３１２＝35/220,Ｐ（Ｂ｜Ａ3）＝Ｃ36/Ｃ３１２＝1/11.由全概率公式，得Ｐ（Ｂ）＝∑=3iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝１/220×21/55+27/220×14/55+27/55×35/220+21/55×1/11＝1746/12100≈0.14629 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“-”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0 8及0 2收到信号“·”和“-”；当发出信号“-”时，收报台以概率0 9及0 1收到信号“-”和“·”.求：(1)收报台收到信号“·”的概率；(2)当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率.解设事件B＝｛收到信号“·”｝，Ａ０＝｛发出信号“·”｝，A１＝｛发出信号“-”｝.显然Ａ０,A１构成一个完备事件组，且Ｐ（Ａ０）＝０．６，Ｐ（A１）＝０．４，Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝０．８，Ｐ（Ｂ｜A１）＝０．１.(1)应用全概率公式，有Ｐ（Ｂ）＝∑=1iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝０．６×０．８＋０．４×０．１＝０．５２.(2)应用贝叶斯公式有Ｐ（Ａ０｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ0）Ｐ（Ｂ｜Ａ0）/∑=1iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝0.6×0.8/0.52≈０．９２３.30 设某种病菌在人口中的带菌率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假定Ｐ（阳性｜带菌）＝０．９９，P(阴性｜带菌)＝０．０１，Ｐ（阳性｜不带菌）＝０．05P(阴性｜不带菌)＝０．95.设某人检出阳性，问他“带菌”的概率是多少?解设A＝｛某人检出阳性｝，Ｂ１＝｛带菌｝，Ｂ2＝｛不带菌｝.由题设知Ｐ（Ｂ1）＝０．８３，Ｐ（Ｂ2）＝１－０．８３＝０．１７，Ｐ（Ａ｜Ｂ1）＝０．９９， Ｐ（Ａ｜Ｂ2）＝０．０５，故所求的概率为Ｐ（Ｂ1｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ1）/Ｐ（Ａ）＝Ｐ（B1）Ｐ（Ａ｜B1）/∑=2jＰ（B j）Ｐ（Ａ｜B j）＝(０.８３×０.９９)/(０.８３×０.９９＋０.１７×０.０５)＝０.８２１７/(０.００８５＋０.８２１７)≈０.９８９８.31 设有五个袋子，其中两个袋子(品种A1)每袋有两个白球和三个黑球，另外两个袋子(品种A2)每袋有一个白球和四个黑球，还有一个袋子(品种A3)中有四个白球和一个黑球，(1)从五个袋中任挑一袋，并从这袋中任取一球，此球为白球的概率；(2)从不同品种的三袋中任挑一袋，并由其中任取一球，结果是白球(事件B)，问这球由三个品种的袋子中取出的概率各是多少?解(1)设事件B表示“取到白球”，A i表示“从五个袋中取到A i品种袋子”（ｉ＝１，２，３），故Ｐ（A1）＝2/5, Ｐ（A2）＝2/5,Ｐ（A3）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A1）＝2/5,Ｐ（Ｂ｜A2）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A3）＝4/5,利用全概率公式，所求概率为Ｐ（Ｂ）＝∑=31iＰ（A i）Ｐ（Ｂ｜A i）＝Ｐ（A1）Ｐ（Ｂ｜A1）＋Ｐ（A2）Ｐ（Ｂ｜A2）＋Ｐ（A3）Ｐ（Ｂ｜A3）＝2/5×2/5＋2/5×1/5＋1/5×4/5＝10/25＝2/5 .(2)设事件B＝｛取到白球｝，A i＝｛从不同品种三袋中取到品种A i袋子｝ （ｉ＝１，２，３），根据题设，欲求下述三个条件概率Ｐ（Ｂ｜A1）,Ｐ（Ｂ｜A1）,Ｐ（Ｂ｜A1）. 于是Ｐ（A1）＝1/3 ,Ｐ（A2）＝1/3,Ｐ（A3）＝1/3,Ｐ（Ｂ｜A1）＝2/5 ,Ｐ（Ｂ｜A2）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A3）＝4/5. 利用全概率公式，取到白球概率为Ｐ（Ｂ）＝∑=31iＰ（A i）Ｐ（Ｂ｜A i）＝1/3×2/5＋1/3×1/5＋1/3×4/5＝7/15.再由贝叶斯公式，有Ｐ（Ａ1｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ｂ｜Ａ1）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×2/5)/7/15＝2/7.Ｐ（Ａ2｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ2）Ｐ（Ｂ｜Ａ2）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×1/5)/7/15＝1/7.Ｐ（Ａ3｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ3）Ｐ（Ｂ｜Ａ3）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×4/5)/7/15＝4/7.。
概率论与数理统计 1-6
第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念第六节独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结一、事件的相互独立性1.引例盒中有5个球（3绿2红），每次取出一个，有放回的取两次，记A：第一次抽取，取到绿球B：第二次抽取，取到绿球则有P(B|A)=P(B)他表示A的发生并不影响B发生的可能性大小，即)P(AB)=P(A)P(BP(B|A)=P(B⟺)2.定义设A,B是两事件，如果满足等式P AB=P A P B则称事件A，B相互独立，简称A，B独立.说明：事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.两事件相互独立)P(AB)=P(A)P(B 两事件互斥AB =∅两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系互斥独立AB例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=P(A)P(B).A BP A=12,P B=12则P(AB)=0，而P(A)P(B)=1 4 ,故P(AB)≠P(A)P(B).由此可见两事件互斥但不独立. AB3.三事件两两相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式൞P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C),则称事件A，B，C两两相互独立4.三事件相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式P AB=P A P B,P BC=P B P C,P AC=P A P C,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立注意:三个事件相互独立→三个事件两两相互独立三个事件相互独立↚三个事件两两相互独立推广：设A1,A2,⋯,A n是n个事件，如果对于任意k(1<k≤n)，任意1≤i1<i2<⋯<i k≤n，具有等式P(A i1A i2⋯A ik)=P(A i1)P(A i2)⋯P(A ik)则称A1,A2,⋯,A n为相互独立的事件n个事件相互独立→n个事件两两相互独立n个事件相互独立↚n个事件两两相互独立二、几个重要定理定理一：设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然.定理二：若A,B相互独立，则下列各对事件，ഥA与B，A与ഥB，ഥA与ഥB，也相互独立。
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
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P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
证明提示：
B A1 A2 ... An ...
B B B ( A1 A2 ... An ...) BA1 BA2 ... BAn ...
注1：上述和式既可以是有限和，也可以是级数和，事件组也
P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1) 0.73. 例10 10个考签中有四个难签，3人参加抽签，不放回，甲 乙丙顺序抽，求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到 难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。
0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0345
例2 12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出三个用完后放回去， 求第三次取到的乒乓球个个都是新球的概率。
解 设 Ai , Bi , Ci 分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球，
i=0，1，2，3. 显然A0 A1 A2 , A3 . 并且 B0 , B1 , B2 , B3
解：以x，y表示甲乙两人到达的时刻，则 0 x T ,0 y T , 即 S {( x, y ) 0 x T , 0 y T }, 两人能会面的充要条件为：
| x y | t , 即 A {( x, y ) | x y | t},
( A) T 2 (T t ) 2 t 2 所以 P( A) 1 (1 ) 2 (S ) T T
复习
1. 事件的关系
和事件 积事件 差事件 互斥事件 互逆事件 完备事件组
2. 事件的运算
交换律 结合律 分配律 对偶律 自反律
3. 概率的公理化定义
三个公理：
非负性 归一性 可数可加性
4. 概率的运算性质:
加法公式： P( A B) P( A) P( B) P(AB)
P( A B C ) P( A) P( B) P(C) P( AB) P( BC) P( AC) P( ABC)
k
1.3.2 几何概型
引例：设S为一区域，某质点等可能的落在位于区域中的任一 点，A为S子区域，求质点位于A的概率P(A). 由等可能的假定知，质点位于A的概率与A的度量成正比， 因此，P(A)可定义为： 这种方法定义的概率称 ( A) P( A) 为几何概率 (S ) ( A) 为A的度量，可以是长度，面积，体积等几何度量。 例6 甲乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面。先 到者等待 t 时离去(t<T)，设两人在0到T这段时间内各时刻到 达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两 人能会面的概率P(A).
甲、乙、丙抽到难签的概率是否相等？
1.5 概率基本公式
1.5.1 全概率公式
怎样从已知的简单事件的概率去推算出复合事件的概率？ 把一个复合事件分解为若干个互斥的简单事件之和，再 通过分别计算这些简单事件的概率得到最终结果。
定理1.2 （全概率公式）
设事件组 A1 , A2 , An , 为完备事件组，且 P ( Ai ) 0, i 1, 2,..., n,..., 则对任一随机事件B，有
P( B) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A)
例1 一批产品共计100箱，其中25箱由甲厂生产，另35箱、 40箱分别由乙厂、丙厂生产，已知甲、乙、丙三厂的产品次 品率分别为0.05，0.04，0.02。先从中任取一箱，再从该箱 中任取一件，求所取产品为次品的概率。
解：设事件A表示“活到20岁以上”；事件B表示“活到25岁 以上”，则有P(A)=0.8,P(B)=0.4,由于B A ，则 AB B ， P( AB) 0.4. P( AB) 0.4 故 P( B | A) 0.5 条件概率实质是缩 P( A) 0.8 减了样本空间
1.4.2 乘法定理 定理1.1 (乘法公式) 设A,B为二事件，若P( B) 0, 则
例9 猎手在距猎物10米远处开枪，击中概率为0.6，若击不 中， 待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25， 若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概 率 ，求猎手在三枪内击中猎物的概率。 解： Ai , i 1, 2,3 分别表示“第i枪击中猎物”， 以 则所求概率为P ( A1 A2 A3 ).
2
12
7
12
3 10
7
实际推断原理
例 5 袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一球，求 （1）作放回抽样（2）作不放回抽样，求第i（i=1,2…k）人取 到白球（记为B）的概率。（其中k不大于a+b） 解：（1）放回抽样
a P( B) ab
（2）不放回抽样
各取一球共有取法Aab (a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)。B发生，第i 1 人取白球有a种取法，其余有 Aakb1 (a+b-1)(a+b-2)…(a+b-1(k-1)+1), 即B事件包含a(a+b-1)(a+b-2)…(a+b-1-(k-1)+1)个基 本事件，于是 a k 1 k P( B) aAab1 / Aab ab
P( AB) P( B) P( A | B)
一般地，对多个事件 A1 , A2 , A3 ,, An , 若P( A1 A2 An ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An1 )
解： 依题意 P( A) 0.7, P( A) 0.3, P( B | A) 0.95, P( B | A) 0.8 进一步可得
P( B | A) 0.05, P( B | A) 0.2
例8 设某种动物活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的 概率为0.4，现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以 上的概率是多少？
4 P( A) 1 33 100 99 2 （2）设事件B表示产品为合格品，则产品合格率为事件B的 1 r C90 概率P(B)，B包含的基本事件数为 ，基本事件总数
1 n C100 , 故产品合格率为： 为:
60 10
90 P( B) 90% 100
例 3 将 n 只球放入 N ( N n) 个盒子里，试求每个盒子至多有 一只球的概率（盒子容量不限）。
例1 将一枚硬币抛掷三次. (1)设事件A1为“恰有一次出现正
面”, 求P(A1); (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面”, 求 P(A2).
解 (1) 随机事件的样本空间: S={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }. 而 A1={HTT,THT,TTH }. 故得 3 P( A ) 1 8
不必是完备事件组，只要是两两互斥的且 B Ai 即可。
i 1
注2：若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一 阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，要求的是第二阶段 的结果发生的概率，则用全概率公式。
注3：应用公式时，必须首先找出引发该事件的完备事件组。
推论1.6 设有事件A，且0<P(A)<1，则对任一随机事件B，有
例7 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%， 甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，现随意买 一只灯泡，若用 分别表示该灯泡是甲乙厂生产的，B表示该 A, A 灯泡为合格品，试计算下面的概率：
P( A), P( A), P( B | A), P( B | A), P( B | A), P( B | A)
(2) 由于A2 {TTT }, 于是 1 7 P( A2 ) 1 P( A2 ) 1 . 8 8
例2 100件产品有60个一等品，30个二等品，10个废品，规定 一二等品都为合格品，(1) 从中任意取两件，求两件产品有一 件一等品一件次品的概率； (2) 这批产品的合格率。 解：（1）设事件A表示取得一件一等品一件次品，则基本事 2 1 1 件总数为 n C100 ，A包含的基本事件数为 r C60C10 ，故
解：以B表示所取产品为次品，以 A1 , A2 , A3 分别表示所取一箱 由甲乙丙厂生产，则 A1 , A2 , A3 为完备事件组，故由全概率 公式，所求概率为：
P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
例7 （Buffon投针问题） 在平面上画有等距离的一些平行线， a l (l a) 距离为 ，向平面上随意投掷一长为 的针， 试求A=“针与平行线相交”的概率P(A). 解：设M为针的中点，x表示M点与最近的一条平行线的距离， 表示针与最近的平行线的交角，易知： S : 0 x a , 2 l x 0 . 而针与平面相交的充要条件为： sin 2
N n，每个盒子至多放一只球，共有 解：基本事件总数为 N ( N 1)( N n 1) 种不同放法，于是
N ( N 1) ( N n 1) P Nn
例 4 某班有30名学生，试求该班至少有两名学生生日相同的 概率。
解：设事件A表示至少有两名学生生日相同，基本事件总 30 A 数为 n 365 ， 表示30个学生生日各不相同，则其基 本事件总数为 r 365 364 (365 30 1) ，从而 365 364 336 P( A) 1 P( A) 1 0.706 30 365 例 4 据调查，某部门接待站在某一周曾接待过12次来访，已 知这12次来访接待的时间都是在周一和周五进行的，问是否可 以推断接待来访的时间是特意安排的？ 思路：假设接待站来访的时间是每周的任意一天，而来访 者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接 待来访者都是在周一周五的概率为