概率论第1章3-6

P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
证明提示：
B A1 A2 ... An ...
B B B ( A1 A2 ... An ...) BA1 BA2 ... BAn ...
注1：上述和式既可以是有限和，也可以是级数和，事件组也
P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1) 0.73. 例10 10个考签中有四个难签，3人参加抽签，不放回，甲 乙丙顺序抽，求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到 难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。
0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0345
例2 12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出三个用完后放回去， 求第三次取到的乒乓球个个都是新球的概率。
解 设 Ai , Bi , Ci 分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球，
i=0，1，2，3. 显然A0 A1 A2 , A3 . 并且 B0 , B1 , B2 , B3
解：以x，y表示甲乙两人到达的时刻，则 0 x T ,0 y T , 即 S {( x, y ) 0 x T , 0 y T }, 两人能会面的充要条件为：
| x y | t , 即 A {( x, y ) | x y | t},
( A) T 2 (T t ) 2 t 2 所以 P( A) 1 (1 ) 2 (S ) T T
复习
1. 事件的关系
和事件 积事件 差事件 互斥事件 互逆事件 完备事件组
2. 事件的运算
交换律 结合律 分配律 对偶律 自反律
3. 概率的公理化定义
三个公理：
非负性 归一性 可数可加性
4. 概率的运算性质:
加法公式： P( A B) P( A) P( B) P(AB)
P( A B C ) P( A) P( B) P(C) P( AB) P( BC) P( AC) P( ABC)
k
1.3.2 几何概型
引例：设S为一区域，某质点等可能的落在位于区域中的任一 点，A为S子区域，求质点位于A的概率P(A). 由等可能的假定知，质点位于A的概率与A的度量成正比， 因此，P(A)可定义为： 这种方法定义的概率称 ( A) P( A) 为几何概率 (S ) ( A) 为A的度量，可以是长度，面积，体积等几何度量。 例6 甲乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面。先 到者等待 t 时离去(t<T)，设两人在0到T这段时间内各时刻到 达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两 人能会面的概率P(A).
甲、乙、丙抽到难签的概率是否相等？
1.5 概率基本公式
1.5.1 全概率公式
怎样从已知的简单事件的概率去推算出复合事件的概率？ 把一个复合事件分解为若干个互斥的简单事件之和，再 通过分别计算这些简单事件的概率得到最终结果。
定理1.2 （全概率公式）
设事件组 A1 , A2 , An , 为完备事件组，且 P ( Ai ) 0, i 1, 2,..., n,..., 则对任一随机事件B，有
P( B) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A)
例1 一批产品共计100箱，其中25箱由甲厂生产，另35箱、 40箱分别由乙厂、丙厂生产，已知甲、乙、丙三厂的产品次 品率分别为0.05，0.04，0.02。先从中任取一箱，再从该箱 中任取一件，求所取产品为次品的概率。
解：设事件A表示“活到20岁以上”；事件B表示“活到25岁 以上”，则有P(A)=0.8,P(B)=0.4,由于B A ，则 AB B ， P( AB) 0.4. P( AB) 0.4 故 P( B | A) 0.5 条件概率实质是缩 P( A) 0.8 减了样本空间
1.4.2 乘法定理 定理1.1 (乘法公式) 设A,B为二事件，若P( B) 0, 则
例9 猎手在距猎物10米远处开枪，击中概率为0.6，若击不 中， 待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25， 若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概 率 ，求猎手在三枪内击中猎物的概率。 解： Ai , i 1, 2,3 分别表示“第i枪击中猎物”， 以 则所求概率为P ( A1 A2 A3 ).
2
12
7
12
3 10
7
实际推断原理
例 5 袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一球，求 （1）作放回抽样（2）作不放回抽样，求第i（i=1,2…k）人取 到白球（记为B）的概率。（其中k不大于a+b） 解：（1）放回抽样
a P( B) ab
（2）不放回抽样
各取一球共有取法Aab (a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)。B发生，第i 1 人取白球有a种取法，其余有 Aakb1 (a+b-1)(a+b-2)…(a+b-1(k-1)+1), 即B事件包含a(a+b-1)(a+b-2)…(a+b-1-(k-1)+1)个基 本事件，于是 a k 1 k P( B) aAab1 / Aab ab
P( AB) P( B) P( A | B)
一般地，对多个事件 A1 , A2 , A3 ,, An , 若P( A1 A2 An ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An1 )
解： 依题意 P( A) 0.7, P( A) 0.3, P( B | A) 0.95, P( B | A) 0.8 进一步可得
P( B | A) 0.05, P( B | A) 0.2
例8 设某种动物活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的 概率为0.4，现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以 上的概率是多少？
4 P( A) 1 33 100 99 2 （2）设事件B表示产品为合格品，则产品合格率为事件B的 1 r C90 概率P(B)，B包含的基本事件数为 ，基本事件总数
1 n C100 , 故产品合格率为： 为:
60 10
90 P( B) 90% 100
例 3 将 n 只球放入 N ( N n) 个盒子里，试求每个盒子至多有 一只球的概率（盒子容量不限）。
例1 将一枚硬币抛掷三次. (1)设事件A1为“恰有一次出现正
面”, 求P(A1); (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面”, 求 P(A2).
解 (1) 随机事件的样本空间: S={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }. 而 A1={HTT,THT,TTH }. 故得 3 P( A ) 1 8
不必是完备事件组，只要是两两互斥的且 B Ai 即可。
i 1
注2：若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一 阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，要求的是第二阶段 的结果发生的概率，则用全概率公式。
注3：应用公式时，必须首先找出引发该事件的完备事件组。
推论1.6 设有事件A，且0<P(A)<1，则对任一随机事件B，有
例7 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%， 甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，现随意买 一只灯泡，若用 分别表示该灯泡是甲乙厂生产的，B表示该 A, A 灯泡为合格品，试计算下面的概率：
P( A), P( A), P( B | A), P( B | A), P( B | A), P( B | A)
(2) 由于A2 {TTT }, 于是 1 7 P( A2 ) 1 P( A2 ) 1 . 8 8
例2 100件产品有60个一等品，30个二等品，10个废品，规定 一二等品都为合格品，(1) 从中任意取两件，求两件产品有一 件一等品一件次品的概率； (2) 这批产品的合格率。 解：（1）设事件A表示取得一件一等品一件次品，则基本事 2 1 1 件总数为 n C100 ，A包含的基本事件数为 r C60C10 ，故
解：以B表示所取产品为次品，以 A1 , A2 , A3 分别表示所取一箱 由甲乙丙厂生产，则 A1 , A2 , A3 为完备事件组，故由全概率 公式，所求概率为：
P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
例7 （Buffon投针问题） 在平面上画有等距离的一些平行线， a l (l a) 距离为 ，向平面上随意投掷一长为 的针， 试求A=“针与平行线相交”的概率P(A). 解：设M为针的中点，x表示M点与最近的一条平行线的距离， 表示针与最近的平行线的交角，易知： S : 0 x a , 2 l x 0 . 而针与平面相交的充要条件为： sin 2
N n，每个盒子至多放一只球，共有 解：基本事件总数为 N ( N 1)( N n 1) 种不同放法，于是
N ( N 1) ( N n 1) P Nn
例 4 某班有30名学生，试求该班至少有两名学生生日相同的 概率。
解：设事件A表示至少有两名学生生日相同，基本事件总 30 A 数为 n 365 ， 表示30个学生生日各不相同，则其基 本事件总数为 r 365 364 (365 30 1) ，从而 365 364 336 P( A) 1 P( A) 1 0.706 30 365 例 4 据调查，某部门接待站在某一周曾接待过12次来访，已 知这12次来访接待的时间都是在周一和周五进行的，问是否可 以推断接待来访的时间是特意安排的？ 思路：假设接待站来访的时间是每周的任意一天，而来访 者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接 待来访者都是在周一周五的概率为
故所求概率为：
( A) P( A) (S ) 2 a a 2
m 2l 若以频率代替概率，则有 n a
即
2nl ma
统计试验法
蒙特卡罗方法 (MonteCarlo)
1.4 条件概率与乘法定理
1.4.1 条件概率 引例 某班有30名学生，其中女生12名，男生18名，女生中有2 人喜欢看足球赛，男生中有10人喜欢看。先从该班中随意挑选一 位学生。考虑： A=“该生喜欢看足球赛”；B=“该生为男生”；该生喜欢看足 球赛（已知该生为男生），此事件记为 | B A 10 18 10 P( AB) 12 P( AB) ? P( A | B ) P( A) P( B) 30 30 18 P( B) 30 定义：在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事 P 件A对于事件B的条件概率。记为： ( A | B) P( AB) 当P( B) 0时，有 P( A | B) P( B)
减法公式：P( A B) P( A) P( AB)
1.3
1.3.1 古典概型
古典概型与几何概型
古典概型：若一随机试验具有下面两个特征： （1） 所有的基本事件数为有限个；
（2） 每个基本事件出现的可能性相同。
则称该随机试验为古典概型（等可能概型）。 古典概型中事件A的计算：
A 中包含的基本事件个数(r) P( A) 基本事件总数(n)