论-微积分中求极限的常用方法
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧函数极限是微积分中的重要概念之一，它的求解方法与技巧有很多。
在本文中，将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握函数极限的求解过程。
一、常用的极限求解方法1. 代数化简法将复杂的极限式子进行代数化简，化为比较简单的极限式子，从而进行计算。
例如：$$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^n-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^n-1}{x}\cdot{\frac{(1-x)^n+(1-x)^n}{(1-x)^n+(1-x)^n}}$$2. 夹逼定理当需要证明某一极限存在时，可以使用夹逼定理。
夹逼定理是指：若$\lim_{x\toc}f(x)=\lim_{x\to c}h(x)=A$，且存在另一个函数$g(x)$，满足$f(x)\leq g(x) \leqh(x)$，则$\lim_{x\to c}g(x)=A$。
例如：$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$证明：$$\because \cos x\leq\frac{\sin x}{x}\leq1, (\forall x \in (0,\frac{\pi}{2}])$$3. 最高阶同类项法二、常用的技巧1. 分子有理化当极限式子中含有分数时，可以使用分子有理化技巧，将分数化为更容易计算的形式。
例如：使用分子有理化技巧：2. 三角函数性质当极限式子中含有三角函数时，可以利用三角函数性质进行化简。
例如：3. 比较大小法$$x>0, e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$$4. 提取公因数法总之，我们在计算函数极限的时候，需要耐心分析和具体问题具体分析，从而选择合适的方法和技巧进行计算。
函数极限的计算方法
函数极限的计算方法函数极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点无限接近于某个值的趋势。
函数极限的计算方法有多种，下面我们将介绍其中的几种常用方法。
一、代入法代入法是函数极限计算中最简单的方法之一。
当函数在某一点存在极限时，我们可以直接将该点的值代入函数中，计算得到函数的极限值。
例如，对于函数f(x) = 2x + 3，在x=1处的极限可以通过代入法计算得到：lim(x->1) f(x) = lim(x->1) (2x + 3) = 2*1 + 3 = 5。
二、夹逼定理夹逼定理也是函数极限计算中常用的方法之一。
夹逼定理指出，如果函数f(x)、g(x)、h(x)在某一点x=a附近满足以下条件：对于任意的x，有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim(x->a) g(x) = lim(x->a) h(x) = L，则函数f(x)在x=a处的极限也为L。
夹逼定理常用于求解无法直接代入的极限。
例如，对于函数f(x) = sin(x)/x，在x=0处的极限可以通过夹逼定理计算得到：由于-1≤sin(x)≤1，所以-1/x≤sin(x)/x≤1/x，当x趋近于0时，-1/x和1/x都趋近于0，因此根据夹逼定理，函数f(x)在x=0处的极限为0。
三、无穷小量与无穷大量的比较在函数极限的计算中，我们经常会遇到无穷小量和无穷大量。
无穷小量和无穷大量之间的比较可以帮助我们确定函数的极限。
例如，对于函数f(x) = sin(x)/x，在x=0处的极限可以通过比较无穷小量来计算：由于当x趋近于0时，sin(x)趋近于0，而x不等于0，所以sin(x)/x为无穷小量。
根据无穷小量的定义，函数f(x)在x=0处的极限为0。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求解函数极限的方法，特别适用于计算0/0形式的不定型。
洛必达法则的基本思想是将函数的极限转化为对函数导数的极限。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在某一点x=a 处满足lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) = 0（或lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) = ∞），并且lim(x->a) f'(x) / g'(x)存在（其中f'(x)和g'(x)分别为f(x)和g(x)的导数），则lim(x->a) f(x) / g(x) = lim(x->a) f'(x) / g'(x)。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
计算极限的三种方法
计算极限的三种方法计算极限的三种方法引言在高等数学中，计算极限是一个重要的概念，它不仅在微积分中应用广泛，还在其他领域中起着关键作用。
本文将详细介绍计算极限的三种常用方法，并对它们的原理进行解释。
方法一：代入法代入法是计算极限中最简单、直观的方法之一。
它的基本思想是通过给定函数的输入值逐渐接近极限点，然后计算对应的函数输出值。
使用代入法计算极限的步骤如下： - 根据题目给出的极限点，选取一系列逼近极限点的数值。
- 将选取的数值代入给定函数中，得到对应的函数输出值。
- 观察函数输出值的变化趋势，判断是否趋近于某个确定的值。
- 如果输出值逐渐趋近于一个常数，该常数即为极限的结果。
方法二：夹逼法夹逼法是一种常用的计算极限的方法，它的基本思想是通过夹逼定理找到一个上界和下界，从而确定函数极限。
使用夹逼法计算极限的步骤如下： - 首先，找到与给定函数相关的两个函数，它们的极限等于同一个常数。
- 接着，通过比较给定函数与这两个函数之间的大小关系，找到一个夹逼定理的条件。
- 利用夹逼定理，证明给定函数的极限也等于这个常数。
夹逼法在一些复杂的函数中特别有用，它可以将函数极限的计算转化为求解两个简单函数的极限问题。
方法三：泰勒展开法泰勒展开法是一种通过近似多项式来计算函数极限的方法，它基于泰勒级数的理论，并利用函数的导数信息建立多项式模型。
使用泰勒展开法计算极限的步骤如下： - 首先，确定需要计算极限的函数。
- 接着，根据函数的性质以及泰勒级数的定义，将函数展开成多项式。
- 选择合适的近似阶数，截断多项式展开式，得到一个近似函数。
- 计算近似函数在极限点处的极限值，作为原函数在该点的极限近似。
泰勒展开法在计算复杂函数的极限时非常有用，它可以将复杂的函数问题转化为求解多项式的问题，简化计算过程。
结论计算极限的三种方法，即代入法、夹逼法和泰勒展开法，各有其适用的情况。
代入法简单直观，适用于求解简单函数的极限；夹逼法适用于复杂函数的极限求解，能够通过夹逼定理得到确定的结果；泰勒展开法在函数特性和导数信息已知的情况下，通过多项式近似求解函数极限。
极限求解方法和技巧
极限求解方法和技巧极限是微积分的一个重要概念，在数学中找到极限是解决问题的一种有效方法。
然而，由于极限的定义有时很抽象，而且特殊特征也不易被直接观察到，所以求解极限问题并不总是容易的。
本文将介绍一些求解极限的方法和技巧，以帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
一、代数运算法代数运算法是求解极限最基本的方法之一。
根据四则运算的性质，可以通过进行代数运算，如加减乘除、乘积的因式分解、分式的通分等，来简化极限表达式，使其变得更易计算。
此外，通过运用因子分解、提取公因子、配方等方法，将表达式进行转化，可以得到与已知的极限相关的形式，从而使得求解极限问题变得相对容易。
二、夹逼定理夹逼定理是求解极限的重要工具之一。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，它们的极限都为某个常数，且这两个函数之间的极限函数落在这两个极限之间，从而得出待求的极限。
夹逼定理在处理复杂的极限问题时非常有用，通过构造合适的夹逼函数，可以有效地确定待求极限的范围。
三、变量代换法变量代换法是求解极限问题的一种常用方法。
对于某些复杂的极限表达式，我们可以通过引入一个新的变量，从而将原来的极限表达式转化为一个更易求解的形式。
变量代换法可以使问题的求解变得更加直观，同时也能够简化计算过程。
四、泰勒展开法泰勒展开法是一种求解极限问题的高级技巧。
它利用泰勒级数的性质，将函数在某个点附近展开成无穷级数的形式，从而将原来的极限问题转化为级数求和的问题。
通过逐项计算级数的和，可以有效地求解原来的极限。
泰勒展开法在研究一些特殊函数极限时非常有用，比如指数函数、对数函数等。
五、极限变量的分离和取值法当极限表达式中同时包含多个变量时，可以对其中一个变量进行分离并取值，以便将原来的极限表达式转化为只包含一个变量的极限，从而简化求解过程。
通过极限变量的分离和取值法，可以将复杂的极限问题化简成相对简单的单变量极限问题。
六、用变形去无穷去有穷法有些极限问题虽然在初始形式下看似复杂，但通过适当的变形，可以将问题转化为更易求解的形式。
极限的定义和常用方法
极限的定义和常用方法极限在数学中是一个重要的概念，它是微积分学的基础。
极限是一个数列或函数趋于某个值时的极端状态，它是微积分的理论基础，也是许多重要定理的前提条件，如泰勒公式、微分中值定理等。
极限的定义极限的定义是指数列或函数在某一个点内的行为趋于特定值的过程。
具体来说，对于一个数列 {an}，若存在一个实数 a，使得对于任意小的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n>N时，满足|an − a|<ε，那么就称 a 是数列 {an} 的极限。
同样地，对于一个函数 f(x)，若存在一个实数 a，使得对于任意小的正实数ε，都存在正实数δ，满足|f(x) − a|<ε，当0<|x-a|<δ 时，我们就说 a 是函数f(x) 在点 x=a 处的极限。
常用方法下面介绍一些常用的求极限的方法。
1. 代入法当极限表达式可以通过直接代入计算的时候，我们可以使用代入法。
这种方法虽然简单易用，但是只有在表达式比较简单或已经简化的情况下才能使用。
2. 差分法差分法是一种计算无穷小量的方法。
对于一个函数 f(x)，若存在 a∈R，那么 a+h 与 a 之间的差值可以表示为 f(a+h) − f(a)。
如果这个差值可以表示为 h 乘以无穷小量，则我们称该函数在 a 点上是可导的。
3. 极限换元法当直接计算极限比较困难的时候，可以使用极限换元法。
这种方法常常运用到一些常用极限关系式，如sinx/x→1，ln(1+x)/x→1等等。
4. 夹逼定理夹逼定理也是一种比较常见的求极限的方法，它是利用数列的单调有界性来求极限。
具体来说，对于一列数 {an}，若对于所有的 n，满足a1≤an≤b1，同时 b1、b2 等都收敛到同一个实数 b，则有 lim a_n = b。
5. L'Hôpital 规则除了以上方法之外，当求解极限结果为 0/0 或∞/∞ 时，我们可以使用 L'Hôpital 规则。
求函数极限的方法和技巧
求函数极限的方法和技巧函数极限是微积分中很重要的一个概念，它在描述函数的性质和行为上起着关键的作用。
在求函数极限时，有许多方法和技巧可以帮助我们得出准确的结果。
本文将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和计算函数极限。
一、基本极限公式和定理在求函数极限时，有一些基本的极限公式和定理是非常有用的，可以帮助我们快速计算极限。
下面是一些常见的基本极限：1. 常数极限：lim（常数）= 常数2. 幂函数极限：lim（xn）= 0 （当n > 0时）、lim（x^n）= 1（当n = 0时）3. 正弦函数和余弦函数极限：lim（sinx）= 0、lim（cosx）= 14. 自然对数函数和指数函数极限：lim（lnx）= -∞（当x→0+时）、lim（ex）= ∞（当x→∞时）除了基本的极限公式外，还有一些常用的极限定理可以简化计算：1. 四则运算法则：若lim（f(x)）和lim（g(x)）存在，则lim（f(x) ± g(x)）= lim（f(x)）± lim（g(x)）lim（f(x) * g(x)）= lim（f(x)） * lim（g(x)）lim（f(x) / g(x)）= lim（f(x)） / lim（g(x)）（此处lim（g(x)）≠0）2. 复合函数极限：若lim（f(x)）= a，则lim（g(f(x))）= g(a)这些基本极限公式和定理在计算极限时非常有用，可以大大简化计算过程。
二、夹逼定理夹逼定理是求解函数极限的重要工具，它对于求解一些复杂函数的极限非常有帮助。
夹逼定理通常用于以下情况：1.当函数在一些区间内被两个已知函数夹逼时，可以利用夹逼定理求出函数的极限。
具体而言，如果存在函数g(x)≤f(x)≤h(x)以及lim（g(x)）= lim （h(x)）= a，那么lim（f(x)）= a。
这意味着，当一个函数夹在两个已知函数之间，并且这两个函数的极限相等时，该函数的极限也等于这个相等的极限。
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略【摘要】微积分中函数极限是微积分学习中的重要内容，对于理解函数的性质和变化趋势具有重要意义。
本文将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，包括数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法以及利用导数的方法。
通过多种方法的结合运用，可以更准确地求解函数的极限。
我们也要注意极限存在的条件，确保计算的准确性。
提高极限求解的技巧和效率，可以帮助我们更好地掌握函数极限的求解过程，提高学习效果。
深入理解和掌握这些方法，将有助于我们更好地应用和推广到实际问题中，从而更好地理解和应用微积分知识。
【关键词】微积分、函数极限、数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法、利用导数的方法、多种方法结合运用、注意极限存在的条件、提高极限求解的技巧和效率1. 引言1.1 微积分中函数极限的重要性微积分中函数极限是微积分学习中的重要概念之一，它能够帮助我们理解函数在某一点的变化趋势和极限取值。
函数极限的研究不仅有助于我们解决数学问题，还可以应用于物理、经济、工程等各个领域。
函数极限的重要性体现在以下几个方面：函数极限是微积分的基础，它是导数、积分等概念的前提。
只有对函数极限有深入的理解，才能更好地理解微积分中的其他内容。
函数极限在研究函数在某一点的性质时起到至关重要的作用，能够帮助我们确定函数在该点的连续性、可导性等特性。
函数极限也可以应用于求解极限值、证明极限存在等问题，是数学分析中的重要工具之一。
微积分中函数极限的重要性不言而喻。
只有深入理解函数极限的概念，掌握各种求解方法和技巧，才能在微积分学习中取得更好的成绩，并将其运用到实际问题中取得更好的效果。
强调函数极限的重要性，也有助于引起我们对微积分学习的重视和兴趣。
对函数极限的研究具有极其重要的意义。
2. 正文2.1 数列极限法数总结和统计等。
以下是关于数列极限法的内容：数列极限法是微积分中函数极限求解的一种常用方法，通过研究数列的性质和极限，可以推导出函数的极限值。
求函数极限的方法探究
求函数极限的方法探究函数极限是微积分中一个重要的概念，它描述了函数逼近于一些特定值时的行为。
求解函数极限的方法有许多，下面将讨论几种常用的方法。
首先，最常用的方法是代入法。
对于大多数简单的函数，可以直接给定一个 x 的值，然后计算该值下函数的函数值。
例如，对于函数 f(x) = x²+3x-2，我们可以代入 x=2，计算出 f(2) = 8+6-2 = 12，从而得到极限lim(x→2) f(x) = 12其次，限制法也是一种常用的方法。
当x接近其中一特定值时，函数值通常趋于一个确定的值。
例如，对于函数f(x)=1/x，当x无限接近于0时，函数值趋于无穷大。
我们可以使用限制法来求出这一极限。
限制法的一般步骤是首先分析函数在该特定值附近的行为，然后使用代入法将函数值计算到特定值的接近程度。
首先，我们可以用一些数值来接近这一特定值，例如x=0.1，x=0.01，x=0.001，等等。
然后，计算出每个x值对应的函数值，并观察其变化趋势。
通过观察这些函数值的变化，我们可以猜测极限的值。
通过增加x的精度，我们可以不断逼近极限值。
当我们的计算结果足够接近我们猜测的极限值时，我们可以认为我们已经找到了函数的极限。
举例来说，我们可以使用限制法来求函数 f(x) = sin(x) 在 x 接近0 时的极限。
我们可以通过代入一系列 x 值来计算函数值，并观察其变化：我们可以观察到，当 x 越接近 0 时，函数值也越接近于 0。
通过不断逼近 x=0 的精度，我们可以得到 sin(x) 在 x 接近 0 时的极限为lim(x→0) sin(x) = 0。
此外，夹逼定理也是求解函数极限的重要方法之一、夹逼定理判断一个函数的极限值是否存在通过将其夹在两个函数之间。
如果这两个函数的极限都存在并且收敛到同一个值，那么原函数的极限值也应该等于这个值。
例如，我们可以使用夹逼定理来求函数 f(x) = x sin(1/x) 的极限。
微积分求极限的方法
微积分求极限的方法微积分中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
求极限的方法有很多种，下面我将介绍几种常用的方法和技巧。
1.代入法：代入法是求解极限最常用的方法之一、它的基本思想是，将极限中的自变量替换为一个特定的值，然后计算函数在这个特定值附近的取值情况。
例如，求$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$，我们可以将 $x$ 替换为$0$，然后计算 $\frac{\sin 0}{0}$，根据 $\sin 0=0$，所以这个极限等于 $1$。
2.夹逼准则：夹逼准则也是求极限常用的方法之一、它的基本思想是，如果一个函数在一些点附近有两个函数夹住，这两个函数的极限都存在且相等，那么这个点的极限也存在且等于这个共同的极限。
例如，求极限 $\lim_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$，我们可以使用夹逼准则，上下界函数分别是$-x$ 和 $x$，两个函数的极限都是 $0$，所以根据夹逼准则，该极限也是 $0$。
3.分子有理化和分母有理化：有时候，如果极限的表达式中有无理数或者根式，可以尝试用有理数近似代替无理数，然后对分子和分母进行有理化。
例如，求极限$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$，我们可以对分子有理化，得到 $\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$，然后化简得 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$，再代入$x=0$ 可以求得极限等于 $1$。
4. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解极限中常用的一个重要方法。
它适用于形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限。
函数极限的几种求解方法
函数极限的几种求解方法函数极限是微积分中一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。
在求解函数极限时，我们可以通过多种方法来得到结果。
本文将介绍几种常用的函数极限求解方法，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、直接代入法直接代入法是求解函数极限最简单的方法之一，它适用于绝大多数函数。
在这种方法中，我们只需将自变量x的值代入到我们要求解的函数中，然后计算得到函数的极限值。
对于函数f(x) = x^2，要求解lim(x→3) x^2的极限值，我们只需将x=3代入到函数中得到9，即lim(x→3) x^2 = 9。
这种方法简单直接，适用范围广泛，但在某些情况下可能会出现不确定形式的极限，这时就需要借助其他方法来求解。
二、夹逼定理夹逼定理也是求解函数极限常用的方法之一，它适用于一些复杂的函数极限问题。
夹逼定理的基本思想是通过找到一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限值相同，并且夹住要求解的函数，在夹逼定理的约束下，我们可以通过求解上界函数和下界函数的极限值来得到要求解函数的极限值。
对于函数f(x) = x*sin(1/x)，要求解lim(x→0)x*sin(1/x)的极限值，我们可以找到上界函数g(x) = |x|和下界函数h(x) = -|x|，满足lim(x→0) g(x) = 0，lim(x→0) h(x) = 0，同时g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，因此根据夹逼定理，我们可以得到lim(x→0) x*sin(1/x) = 0。
夹逼定理在求解复杂的函数极限问题时非常有用，它可以帮助我们找到一些难以直接代入求解的函数极限的解析形式。
求解函数极限有多种不同的方法，每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题情况选择合适的方法来求解函数极限，从而得到准确的结果。
通过掌握这些方法，读者可以更加深入地理解和应用函数极限的概念，提高数学分析问题的能力和水平。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握函数极限的求解方法，为进一步学习数学分析和微积分打下坚实的基础。
微积分中求数列极限的几种方法
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２０数学学习与研究㊀２０２１ ３０微积分中求数列极限的几种方法微积分中求数列极限的几种方法Һ卢㊀兰㊀（长春光华学院基础教研部，吉林㊀长春㊀１３００１７）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要针对求解数列极限的具体实例，对各类求解数列极限的方法进行归纳和总结，掌握了这些求数列极限的解题方法和技巧，能够大大提高解题能力和解题效率．ʌ关键词ɔ数列极限；解题方法数列极限问题是高等数学中极限问题的重要组成部分，如何求数列的极限教材一般介绍得比较简单㊁分散．本文将根据具体的数列求极限问题探讨其解题方法．一㊁先求出ｎ项和的表达式再求极限这种方法通常适用于求数列通项为ｎ项和的极限问题．求ｎ项和的表达常常需要高中阶段求数列前ｎ项和的方法，高中问题这里不再详述．例１㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１æèçöø÷．由于ｃｎ＝２ｎ－１２ｎ－１＝ａｎｂｎ，其中ａｎ＝２ｎ－１是等差数列，ｂｎ＝１２ｎ－１是等比数列．求这样的数列｛ａｎｂｎ｝的前ｎ项和，常用 乘公比，错位减 的方法．故设Ｓｎ＝１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１，则１２Ｓｎ＝１２＋３２２＋５２３＋７２４＋ ＋２ｎ－１２ｎ，将两式相减，可得１２Ｓｎ＝２＋１２＋１２２＋１２３＋ ＋１２ｎ－２－２ｎ－１２ｎ＝３－２ｎ＋３２ｎ，故Ｓｎ＝６－４ｎ＋６２ｎ．因为ｌｉｍｘңɕ４ｘ＋６２ｘ＝ｌｉｍｘңɕ４２ｘｌｎ２＝０，故ｌｉｍｎңɕ４ｎ＋６２ｎ＝ｌｉｍｘңɕ４ｘ＋６２ｘ＝０．所以ｌｉｍｎңɕ１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１æèçöø÷＝６－０＝６．二㊁利用两边夹准则求数列极限有时求数列通项为ｎ项和的极限问题先求ｎ项和的表达式是很难做到的，这时需要尝试其他的方法，两边夹准则就是常考虑的方法．利用两边夹准则求极限时一般需要放缩ｎ项和，常用的放缩技巧如下：（１）几个正数乘积中，略去大于１的因子就缩小，略去小于１的因子就放大；（２）分子㊁分母都是正数，分母缩小（放大），则分数放大（缩小），分子缩小（放大），则分数缩小（放大）；（３）ｎ个正数之和可缩小为ｎ个最小数之和（或缩小为最大数），也可放大为ｎ个最大数之和．例２㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎæèçöø÷．由于和式中各项的分子㊁分母都是正数，故可用放缩技巧（２），即ｉｎ２＋ｎ＋ｎɤｉｎ２＋ｎ＋ｉɤｉｎ２＋ｎ＋１（ｉ＝１，２， ，ｎ），于是，有ｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋ｎɤðｎｉ＝１ｉｎ２＋ｎ＋ｉɤｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋１，又ｌｉｍｎңɕｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋ｎ＝１２，ｌｉｍｎңɕｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋１＝１２，则ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎæèçöø÷＝１２．例３㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ()１ｎ．由于表达式的底数部分是几个正数之和，可用放缩技巧（３），即４＝（４ｎ）１ｎɤ（１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ）１ｎɤ４１ｎ㊃４，ｌｉｍｎңɕ４㊃４１ｎ＝４，所以ｌｉｍｎңɕ（１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ）１ｎ＝４．三㊁利用定积分定义求数列极限一般求每项为无穷小的无限项的和式极限时通常要考虑利用定积分定义求极限．例４㊀求ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２æèçöø÷．将这个和式化为某个函数在某个区间上的积分和，从而可利用定积分求和式极限．先将和式改写，㊀ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２＝１ｎ１１＋１ｎ()２＋１１＋２ｎ()２＋ ＋１１＋ｎｎ()２éëêêêùûúúú．考虑用［０，１］区间上的函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２将［０，１］区间ｎ等分，取每个小区间的右端点ξｉ，故. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２１㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３０ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２＝ðｎｉ＝１１１＋ξ２ｉΔｘｉ＝ðｎｉ＝１１１＋ｉｎ()２㊃１ｎ，所以ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２æèçöø÷＝ʏ１０１１＋ｘ２ｄｘ＝π４．有的求数列极限问题表面上看不能利用定积分的定义来求，但经过适当的变形之后是可以用的，如例５．例５㊀求ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ．求解过程如下：ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ＝ｅｌｉｍｌｎｎ！ｎ＝ｅｌｉｍ㊀１ｎ［ｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎ］＝ｅｌｉｍ㊀１ｎðｎｉ＝１ｌｎｉｎ＝ｅʏ１０ｌｎｘｄｘ＝１ｅ．注意，这里的ʏ１０ｌｎｘｄｘ是瑕积分，具体求瑕积分的过程此处省略了．四㊁由单调有界原理及其递推公式求数列的极限用这种方法求极限的一般步骤如下：（１）由已知条件确定数列｛ｘｎ｝的递推公式ｘｎ＋１＝ｆ（ｘｎ）；（２）利用递推公式证明此数列是单调有界数列；（３）对递推公式两边取极限得到关于此数列极限的方程，解方程得到数列极限．例６㊀设ｘ１＝２，ｘｎ＋１＝１２ｘｎ＋２ｘｎ()，ｎ＝１，２，３， ，证明：数列｛ｘｎ｝收敛，并求此极限ｌｉｍｎңɕｘｎ．由已知，显然有ｘｎ＞０ｎ＝１，２，３， ()，ｘｎ＋１＝１２ｘｎ＋２ｘｎ()ȡｘｎ㊃２ｘｎ＝２，ｎ＝１，２，３， ，即数列ｘｎ{}有下界，由此可知，ｘｎ＋１－ｘｎ＝１２２ｘｎ－ｘｎ()＝２－ｘ２ｎ２ｘｎɤ０．因此，数列ｘｎ{}单调递减且收敛，故ｌｉｍｎңɕｘｎ的极限存在．设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａ，对所给递推公式两边取极限，可得Ａ＝１２Ａ＋２Ａ()，解得Ａ＝２，注意Ａ＞０．五㊁利用级数收敛的必然条件求数列极限级数收敛的必要条件：若级数ðɕｎ＝１ｕｎ收敛，则ｌｉｍｎңɕｕｎ＝０．例７㊀求ｌｉｍｎңɕｎ！ｎｎ．考虑正项级数ðɕｎ＝１ｎ！ｎｎ．由于ｌｉｍｎңɕ（ｎ＋１）！（ｎ＋１）（ｎ＋１）ｎ！ｎｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ()ｎ＝１ｅ＜１．所以正项级数ðɕｎ＝１ｎ！ｎｎ收敛．由级数收敛的必要条件，得ｌｉｍｎңɕｎ！ｎｎ＝０．六㊁利用施笃兹定理（Ｓｔｏｌｚ）求数列极限施笃兹定理一般教材都没有介绍，它可以用来计算某些难度较大的数列极限ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ（无穷比无穷型）．施笃兹定理被称为数列极限的洛必达法则，其定理内容如下：设数列ｙｎ{}严格增大，且无界，若ｌｉｍｎңɕｘｎ－ｘｎ－１ｙｎ－ｙｎ－１存在或为ɕ，则ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝ｌｉｍｎңɕｘｎ－ｘｎ－１ｙｎ－ｙｎ－１．下面利用施笃兹定理再求解一遍例５．ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ＝ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎｎ＝ｅｌｉｍ１ｎｌｎｎ！ｎｎ＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎｎ＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎ－ｌｎ（（ｎ－１）！）＋（ｎ－１）ｌｎ（ｎ－１）ｎ－（ｎ－１）＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ（ｎ－１）！）－ｎｌｎｎ－ｌｎ（（ｎ－１）！）＋（ｎ－１）ｌｎ（ｎ－１）ｎ－（ｎ－１）＝ｅｌｉｍ（ｎ－１）（ｌｎ（ｎ－１）－ｌｎｎ）＝ｅｌｉｍｌｎｎ－１ｎ()＝ｌｉｍｎңɕｎ－１ｎ()ｎ－１＝ｌｉｍｎңɕ１－１ｎ()－ｎ[]ｎ－１－ｎ＝１ｅ．七㊁利用中值定理求数列极限例８㊀求ｌｉｍｎңɕｎ２ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１()（ａʂ０）．由极限表达式的形式考虑用拉格朗日中值定理求解，设ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ，在ａｎ与ａｎ＋１构成的区间上对ｆ（ｘ）使用拉格朗日中值定理，即存在介于ａｎ与ａｎ＋１的ξ，使得ｆａｎ()－ｆａｎ＋１()＝ｆᶄ（ξ）ａｎ－ａｎ＋１()＝１ｎ（ｎ＋１）㊃ａξ２＋１＝ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１，所以ｌｉｍｎңɕｎ２ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１()＝ｌｉｍｎңɕｎ２ｎ（ｎ＋１）㊃ａ１＋ξ２＝ａ．ʌ参考文献ɔ［１］刘玉莲，杨奎元．数学分析讲义学习辅导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［２］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．. All Rights Reserved.。
极限的常用求法及技巧
极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。
极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。
极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。
极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。
函数的极限等等。
本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。
1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。
数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。
1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。
若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞→或)(,∞→∞→n a n读作当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明2322n lim -∞→n n 解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--（nn n 因此，对于任给的ε>0,只要ε<n9，便有 ε<--33322n n即当n ε9>时，（2）试成立。
求极限的方法总结
极限是数学分析中的重要概念，也是微积分的基础。
求极限的方法有很多种，下面将对常用的几种方法进行总结和解析。
1. 直接代入法直接代入法是最基本的求极限方法，适用于函数单调、连续，且直接代入可知极限值的情况。
具体步骤如下：（1）将极限表达式中的变量替换为具体的数值。
（2）根据函数的定义和性质，计算替换后的表达式。
（3）得出极限值。
2. 因式分解法因式分解法适用于有理函数的极限求解，通过分解函数，消除分子、分母中的共同因子，简化极限表达式。
具体步骤如下：（1）对有理函数进行因式分解。
（2）对分解后的表达式进行约分，消除共同因子。
（3）根据约分后的表达式求极限。
3. 泰勒公式法泰勒公式法是利用泰勒公式将函数展开，近似表示函数在某一点附近的值，从而求解极限。
具体步骤如下：（1）确定函数在某一点附近的泰勒展开式。
（2）根据泰勒展开式求极限。
4. 洛必达法则洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）适用于求解“0/0”或“∞/∞”形式的极限。
该法则通过对分子、分母同时求导，将极限问题转化为导数的极限问题。
具体步骤如下：（1）判断极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”。
（2）对分子、分母分别求导。
（3）将求导后的表达式代入原极限表达式。
（4）求解新的极限表达式。
5. 夹逼定理夹逼定理（Squeeze Theorem）适用于求解形如“f(x) = (g(x))/(h(x))”，且当x趋向于某一点时，g(x)和h(x)分别趋向于a和b（a ≠ b）的极限。
具体步骤如下：（1）找到两个函数p(x)和q(x)，使得p(x) ≤ f(x) ≤ q(x)。
（2）证明当x趋向于某一点时，p(x)和q(x)分别趋向于a和b。
（3）根据夹逼定理，得出f(x)趋向于a。
6. 有界函数法有界函数法适用于求解形如“f(x) = g(x)/h(x)”，且当x趋向于某一点时，g(x)趋向于0，h(x)趋向于无穷大的极限。
具体步骤如下：（1）证明g(x)在x趋向于某一点时趋向于0。
关于求函数极限方法的讨论
关于求函数极限方法的讨论求函数极限是微积分中的一大重要概念，它揭示了函数在其中一点或者无穷远处的趋势和特性。
随着微积分的不断深入发展，人们提出了多种方法来求函数的极限，其中最为常用的方法有极限定义法、夹逼准则、洛必达法则和泰勒展开等。
在本文中，我们将对这些方法进行讨论。
首先，我们来介绍极限定义法。
这是我们学习极限概念的第一个方法，它是基础也是最为直观的方法之一、极限定义法通过对函数在接近其中一点时的变化情况进行分析，可以求得函数在该点的极限值。
具体而言，根据定义，对于给定的函数f(x)和一个点a，我们可以说当自变量x足够接近点a时，函数f(x)的值也会趋近于其中一个常数L。
数学上可以表示为lim┬(x→a) f(x) = L。
在这个过程中，我们需要通过不断逼近x的过程来验证极限是否存在，具体步骤如下：1.对于任意给定的ε>0，我们需要找到一个相应的δ>0，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε成立。
2.如果能够满足上述条件，那么我们就可以说函数f(x)在点a处存在极限，并且该极限值为L。
极限定义法虽然直观，但是在实际计算中有时候较为繁琐。
因此，人们提出了夹逼准则。
夹逼准则是一种基于数列的概念来讨论函数极限的方法，它常用于解决一些复杂函数的极限问题。
具体而言，如果函数f(x)在[a,b]上的所有点上的值都位于两个函数g(x)和h(x)所包围的范围内，并且当x趋近于a或b时，g(x)和h(x)的值都趋近于同一个常数L，那么我们就可以说函数f(x)在点a处存在极限，并且该极限值为L。
夹逼准则的应用可以简化问题，使得我们可以更轻松地求出函数的极限。
另一个求极限的重要方法是洛必达法则。
洛必达法则是一种通过对函数的导数进行分析来求得函数的极限值的方法，它常常用于解决一些涉及到无穷大或无穷小量的极限问题。
具体而言，对于一个函数的极限lim┬(x→a) (f(x)/g(x))，如果分子和分母在x趋近于a时都收敛到0或者∞，且g'(x) ≠ 0，那么可以通过对函数的导数进行求解来求出该极限的值。
极限的基本概念及计算方法
极限的基本概念及计算方法极限是微积分的基本概念之一，是描述函数趋近某一特定值的概念。
在数学中，极限使用符号lim来表示，通过求取极限，我们可以研究函数的性质和行为，以及解决一些与变化相关的问题。
在本文中，我们将介绍极限的基本概念，并探讨一些常用的极限计算方法。
一、极限的定义在数学中，我们使用极限来描述函数在某一点或趋于无穷时的行为。
设函数f(x)定义在某一区间上，当自变量x无限接近某一值a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，称函数f(x)在x趋于a的过程中的极限为L，记作：lim(f(x)) = Lx→a其中，lim表示极限运算，x→a表示自变量x趋于a的过程。
二、极限的性质在计算极限时，有一些基本的性质需要注意：1. 极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在，那么极限值L是唯一确定的。
2. 逼近性：当函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在时，函数值f(x)无限接近于L，但不一定等于L。
3. 有界性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且有限，那么函数f(x)在某个邻域内是有界的。
4. 保号性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且不为零，那么函数f(x)在极限值L的邻域内具有相同的符号。
三、常用的极限计算方法在计算极限时，有几种常用的方法可以帮助我们求取极限：1. 代入法：对于一些简单的函数，可以直接将极限值代入函数中计算得到结果。
例如，当求取lim(x→3) (2x+1)时，可以直接将x=3代入函数得到结果。
2. 基本极限法则：根据一些基本的极限性质，我们可以将复杂的函数求极限的问题转化为求取一些基本的极限式子的问题。
例如，lim(x→0) (sin x / x)可以使用基本极限法则转化为求取lim(x→0) sin x / lim(x→0) x，而这两个极限都是已知的。
3. 张举法：对于一些复杂的函数，我们可以通过引入新的变量或变形来简化计算。
例如，当求取lim(x→∞) (x^2 + 3x - 2) / (2x^2 + 5)时，可以将分子和分母同时除以x^2，得到lim(x→∞) (1 + 3/x - 2/x^2) / (2 +5/x^2)。
极限的定义与求解方法
极限的定义与求解方法极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的特性。
通过极限的求解，我们可以了解函数的趋势、性质和变化规律，从而为微积分的应用提供了基础。
本文将介绍极限的定义以及常见的求解方法。
一、极限的定义在介绍极限的定义之前，我们需要先了解一些基本的概念。
在数学中，函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合的规则。
对于函数f(x)，我们可以通过自变量x的取值来确定因变量f(x)的值。
而极限则是描述了函数在某一点附近的行为。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，有|f(x)-L|＜ε成立，那么我们称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作：lim┬(x→a)〖f(x)=L〗其中，x→a表示x趋于a的过程，L表示极限的值。
二、极限的求解方法1. 代入法当函数在某一点处有定义时，我们可以直接将该点的值代入函数中，得到极限的值。
例如，对于函数f(x)=2x+1，我们要求lim┬(x→2)〖f(x)〗，只需要将x=2代入函数中，得到f(2)=2(2)+1=5，即lim┬(x→2)〖f(x)=5〗。
2. 无穷小量法对于一些特殊的函数，我们可以通过无穷小量的性质来求解极限。
无穷小量是指当自变量趋于某一点时，函数值趋于零的量。
例如，对于函数f(x)=(sinx)/x，我们要求lim┬(x→0)〖f(x)〗，可以利用无穷小量sinx/x的性质，得到lim┬(x→0)〖f(x)〗=1。
3. 夹逼定理夹逼定理是求解极限中常用的方法，它利用了函数与其他已知函数之间的大小关系。
夹逼定理的核心思想是找到两个已知函数，它们的极限值相等，并且夹在待求函数的中间。
例如，对于函数f(x)=x^2sin(1/x)，我们要求lim┬(x→0)〖f(x)〗，可以通过夹逼定理得到0≤|f(x)|≤x^2，由于lim┬(x→0)〖x^2〗=0，因此lim┬(x→0)〖f(x)〗=0。
微积分求极限的方法（2·完整版）
微积分求极限的⽅法（2·完整版）专题⼀求极限的⽅法【考点】求极限1、近⼏年来的考试必然会涉及求极限的⼤题⽬，⼀般为2-3题12-18分左右，⽽⽤极限的概念求极限的题⽬已不会出现。
⼀般来说涉及到的⽅法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利⽤定积分的概念求极限，使⽤这些⽅法时要注意条件，如等价量代换是在⼏块式⼦乘积时才可使⽤，洛必达法则是在0⽐0，⽆穷⽐⽆穷的情况下才可使⽤，运⽤极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使⽤等。
2、极限收敛的⼏个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常⽤于数列的连加）、单调有界准则、⼦数列收敛定理（可⽤于讨论某数列极限不存在）3、要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助⽅法的运⽤，⽐如因式分解，分⼦有理化，变量代换等等。
4、两个重要极限0sin lim 1x xx→= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第⼆个式⼦1lim(1)xx x e→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题⽬。
5、⼀些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如：（1）利⽤归结原则将数列极限转化为函数极限（2）函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
有时可以利⽤这点进⾏解题，如111lim x x e-→因左右极限不相等⽽在这点极限不存在。
（当式⼦中出现绝对值和e的⽆穷次⽅的结构时可以考虑从这个⾓度出发）（3）遇到⽆限项和式求极限时想三种⽅法：①看是否能直接求出这个和式(如等⽐数列求和)再求极限②夹逼定理③⽤定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，⽽当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也→0（5）⼀个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中⽅法②③考到的可能性较⼤。
6、有关求极限时能不能直接代⼊数据的问题。
7、闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、此部分题⽬属于基本题型的题⽬，需要尽量拿到⼤部分的分数。
极限求积分的方法
极限求积分的方法极限是微积分学中的一个基本概念，是微积分学中各种概念和计算方法能够建立和应用的前提。
下面求函数极限的方法总结，欢迎阅读参考！利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
函数音速就是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都就是在函数音速的定义上顺利完成的。
函数音速性质的合理运用。
常用的函数音速的性质存有函数音速的唯一性、局部有界性、保序性以及函数音速的运算法则和无机函数的音速等等。
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的x次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于ax等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候可以存有表明必须你采用这个方法）。
首先他的采用存有严苛的采用前提！必须就是x收敛而不是n收敛！（所以直面数列音速时候先必须转化成谋x收敛情况下的音速，当然n收敛就是x收敛的一种情况而已，就是必要条件（除了一点数列音速的n当然就是收敛于正无穷的，不可能将就是负无穷！）必须就是函数的导数必须存有！（假如说你g（x），没有说你与否可微，轻易用，无疑于那可真！）必须就是0比0无穷大比无穷大！当然还要特别注意分母无法为0。
洛必达法则分成3种情况：0比0无穷比无穷时候轻易用;0除以无穷，无穷乘以无穷（应属无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都译成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能够变为第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于（指数幂数）方程方法主要就是挑指数Perdana对数的方法，这样就能够把幂上的函数移下来了，就是译成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，lnx两端都收敛于无穷时候他的幂移下来收敛于0，当他的幂移下来收敛于无穷的时候，lnx收敛于0）。