经济数学建模 (2)

i 1 i
n
-i
A3
An-1
An
S0
资金现值公式现金流量图
若Ai表示净现金流,称S0为净现值，记为NPV
经济数学模型
五、年金
若每个相同时间段资金数额相同都为A，即Ai=A，称A为年 金。根据资金产生时间分为
普通年金：从第一期开始每期 期末收款、付款的年金。
０ Ａ １ Ａ ２ Ａ ３ Ａ ４
Ａ
Ａ １
经济数学模型
1、单利现值模型
若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
Sn S0 1 nr
2、复利现值模型
( Sn S （ 0 1 nr）)
每年折现一次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
Sn n -n (Sn S （ ) S0 S（ 0 1 r） n 1 r） n （ 1 r）
大，方案越优。
净现值的大小既取决于资金流量，也取决于所用的
贴现率。对于同一项投资方案来讲，贴现率越小，净
现值越大；反之，净现值越小。
经济数学模型
净现值的优缺点 • 原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量(年金的现 值)或不规则的资金流量，充分考虑了投资方案发生资 金流量的先后时间以及整个寿命期间内的收益，体现了 货币的时间价值。因而它是一种较为广泛使用的长期投
又 L 10 0
当T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后 报废这台机器，此时，企业所得利润的现值为
L T 852.25 元
经济数学模型
3.3
简单的投资决策模型
投资决策分析对企业获利能力、资金结构、偿债能力
及长远发展都有重要影响，投资决策方法非常多，最简
单的技术方法可以分为非贴现法和贴现法两类,它们的区 别在于前者不考虑货币的时间价值，计算简便；后者则 考虑货币的时间价值，更科学、合理。非贴现法主要有 回收期法和年平均报酬率法两种。贴现法主要有净现值
1 (1+r ) n 1 0.0812 500=A A r 0.08
解得A为
A=5000000×0.1327=663500（元）
因此，每年至少要收回663500元，才能还清贷款本利。
经济数学模型
先付年金终值（复利）为
1 R n 1 1 F A 1 R
Sn S （ 0 1 nr）
经济数学模型
二、复利模型（利滚利） 1、离散型复利模型
每年结算一次，n年后的本利和为
Sn Sn （ 1 1 r）
n 1,2,...
n
Sn S （ 0 1 r）
每年结算m次，n年后的本利和为
r mn S n S（ ） 0 1 m
经济数学模型
流出系统的资金称现金流出，流入系统的资金称现金流入， 现金流入与现金流出之差称净现金流量。
现金流量图
经济数学模型
若在相同时间段资金量不是固定值，而是随时间段变化，
用Ai表示第i阶段末的资金量(i=1,2,…n),r表示阶段的利 率，则n个阶段全部资金量的终值S为
S A1 (1 r ) + A 2 (1 r )
2、连续型复利模型
连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为
r mn rn Sn lim S（ 1 ） S e 0 0 m m
三、现值模型
已知初始资金S0，用单利或复利计算n年后资 金Sn的计算式称为终值模型；反之，已知n年后的终
值Sn，求按年利率r折算到现在时间段的资金S0的模
型称为现值模型。 在现值模型中，将年利率r也称为折现率
资决策方法。
• 主要缺点是在投资额不相等的若干方案之间进行比较
时，单纯看净现值的绝对额并不能做出正确的评价。因
为在这种情况下，不同方案的净现值是不可比的。
经济数学模型
例
项目的净现值
单位：万元 现值=①×②
年 0 1 2
现金流量①
现值系数（10%）②
-1000 500 400
1 0.9091 0.8264
CI——第t年的现金流入量；
CO——第t年的现金流出量； ic——基准收益率。
经济数学模型
例
年 项目A的现金流量 现值系数（10%） 折现的现金流量 累计折现现金流量
项目A的折现现金流量
0 -1000 1 -1000 -1000 1 400 0.9091 363.64 -636.36 2 400 0.8264 330.56 -305.8 3 400 0.7513 300.52 -5.28 4 400 0.6830 273.2 267.92
n -1
n -2
+...+An-1 (1 r )+An
Ai (1 r )n i
i 1
n
s
A1 A2 A3 An-1 An
资金终值公式现金流量图
经济数学模型
若考虑现值，第i阶段资金的现值为 则n个阶段全部资金量的现值S为
Ai(1+r)-i
S0
A1 A2
A (1 r )
法、内部收益率法和获利能力指数法三种。
以贴现法为例分析。
经济数学模型
一、投资回收期(动态) 动态投资回收期是指在给定的基准收益率下，用方案各年 资金净流量的现值来回收全部投资的现值所需的时间。公式：
t ( CI CO ) t ( 1 i c ) t 0
' P t

0
式中
PT——动态投资回收期；
IRR优点： 可以直接反映投资项目的实际收益水平，可以直接与
经济数学模型
行业基准收益率比较。计算过程不受基准收益率高低
的影响，比较客观。 例 某公司有一完整工业项目。各年的现金净流量如图所示， 假设该项目的基准折现率为10%.
-300 0 1 -100 2 3 4 5 11 12
建设期
82 82 82 82 82 202
Ａ ２
Ａ ３ ４
预付年金：从第一期开始每期
期初收款、付款的年金。
０
经济数学模型
递延年金：在若干期以后收付的年金。
Ａ Ａ ＡＡ ０ １ ２ ３ ４ 5 6 A 7
永续年金：无限期的普通年金。
Ａ Ａ Ａ Ａ ０ １ ２ ３ ４
…… ……
A
∞
经济数学模型
普通年金终值（复利）为
S A(1 r ) + A(1 r ) +...+A(1 r )+A
用matlab计算得
净现值 NPV=71.97（万元），获利指数 PI=1.1881 内部收益率 IRR=12.9%
NPV (CI CO)t (1 ic)t
t 0
n
式中： NPV——净现值；
CI——第t年的现金流入量； CO——第t年的现金流出量；
n——该方案的计算期； ic——设定的折现率。
经济数学模型
对单一方案而言，若NPV≥0，则认为项目可行，若 NPV < 0，则予以拒绝。对多方案比选时，净现值越
n -1 n -2
(1+r ) 1 A(1 r ) = A r i 0
n -1 n i
普通年金现值为
1 (1+r ) S0 =S(1+r) =A r
n
n
经济数学模型
例
假设以8%的利率借款500万元，投资于某个寿命期为12 年的新技术，每年至少要收回多少现金才是有利的？
设每年回收A元，据普通年金现值计算公式
S0 Se
rT
= f (t ) e
0
T
r (T t )
e
rT
dt = f (t ) e dt
rt 0
T
特别，当f(t)=A时，有
A S0 A e dt (1 e rT ) r 0
rt
T
经济数学模型
例 某企业想购买一台设备，设备成本为5000元，t年 后该设备的报废价值为
续资金流，若f(t)在（0，T)连续，则在时间段
（t,t+△t)内资金的近似值为f(t)△t,若按连续复 利计算，这些资金在期末的终值为
F f (t )t e
由定积分思想，总收入的终值为
r (T -t )
S f (t ) e
0
T
r (T -t设连续折现,记其对应的现值为S0, T年资 金流量的总现值S0是
（四）内部收益率
经济数学模型
内部收益率（IRR）指能使项目的净现值等于零时的折现率。
t ( CI CO ) t (1 IRR ) 0 t 0 n
IRR的决策标准： 1、将方案的内部收益率与行业基准收益率对比，如果
方案的IRR大于等于行业基准收益率，则方案可行，
否则不可行； 2、在可行的方案中，IRR最大的方案为最优方案；
经济数学模型
每年折现m次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
r mn S0 S（ ） n 1 m
r mn ( Sn S （ ）) 0 1 m
连续折现,若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
S0 Sn e
rn
(Sn S0e )
rn
经济数学模型
四、资金流的现值与终值模型
在财务分析中，把研究的项目视为一个系统，投入的资金、 花费的成本、获得的收益，可以看成是以资金形式体现的该系 统的资金流出或流入。在项目整个寿命期内各时点上实际发生 的资金流出或流入称为现金流量。
S t 5000 400t
使用该设备在t年时可使企业增加收入850－40t元，若 年利率为5%，计算连续复利，企业应在什么时候报废 这台设备？此时，总利润的现值是多少？ 解 T年后总收入的现值为
0.05t 850 40 t e dt 0 T